Черненко В.Д. Высшая математика в примерах и задачах (том 1)
Подождите немного. Документ загружается.
530 Гпава 10
"»^Ж1^^»^^^-'/:
dx „ч f dx . „ч f еЧх
rit
Решение, а) Делаем замену
е""
=t, тогда dx
=
— и интеграл
t
примет вид
= - U-'i ^-3arctg^ = -ln(r+l)-3arctg^ + C =
2^
r+l 2
= -ln(e'"+l)-3arctge" + C.
6) Делаем замену
e^""
=/, тогда
б/х
= и интеграл при-
мет вид
J(l + e'^)' 3J(l + 0' ? 3J^ ' ^ '
3(1 +
0 3(1+ e'^)
B)
Воспользуемся подстановкой x = -, (ic = —;-, тогда
получим
2 2л:
г) Используем подстановку
л:
= -, dx
=
—;-, тогда будем
t Г
иметь
НЕОПРЕПЕПЕННЫЙ ИНТЕГРАП 531^
f
f"
3/2
=-[—'^^=-—ка+ьег'Ч{а+ье)=
b
yja + bt^
b
yJax^-\-b
д) Заменяем
e""
=t, dx
=
—, тогда
t
e'^dx с dt _r dt с d(t-3)
г e ax _p at _ r at _f"
2 , o2
(/-ЗГ+4
•'(/-ЗГ+2
= —arctg + C = —arctg + C.
2 2 2 2
10.4. Интегрирование no частям
1°.
Формула интегрирования по частям
\udv-uv-\vdu. (1)
Для применения формулы интегрирования по частям
подынтегральное выражение следует представить в виде произ-
ведения двух множителей
w
и (it;.
За
w
выбирается функция, кото-
рая при дифференцировании упрощается, а за dv выбирается
такое выражение, содержащее dx, из которого посредством ин-
тегрирования можно найти
V.
По этой формуле отыскание интеграла от udv сводится к
отысканию интеграла от vdu, причем применять
ее
следует
в
тех
случаях, если интеграл от vdu проще исходного интеграла
2°.
Есть целые классы интегралов, например:
[
jc" In
xdx, I
x'^e'^dx,
J x" sin bxdx,
J x"
cos
bxdx,
J x" arcsin
bxdx,
\
x" arctg bxdx.
532 Гпава 10
J
е"^
sin
hxdx^
J
e"^
cos
bxdx
и
T.
д., которые вычисляются именно с помощью интегрирова-
ния по частям.
Формула интегрирования по частям может применяться нео-
днократно и в некоторых случаях получают выражение, из ко-
торого определяется исходный интеграл. Так последние два
интеграла могут быть найдены по формулам
г ^ , , Z)sin6x + acos6x ^ ^
\е cosbxax
=
е -\-С;
с ах • 1 , asinbx-bcosbx ^ ^
е"^
sin bxdx
=
е"^
+ С. (2)
3°.
Интегрируя по частям, можно вывести формулы "пони-
жения
степени"
для интегралов
[sin" xdx
=
—cosxsin''"^
JC
+ [sin"~^ xdx,
^ n n ^
I
cos" xJjc = —sinxcos""*
JC
+ [cos""^ xdx. (3)
4.1.
Найти интегралы: a) {xe^dx; 6) \xaictgxdx; B)\\nxdx;
r) \x^
sin
xdx;
д) -ri—; e)
[
arcsinjcrfx.
xdx
sin^x
X
Решение, a) Положим x
=
u ^ e^dx = dv, тогда du
=
dx и
X
V = 2e^. Запишем no формуле интегрирования по частям интег-
рал в виде
JC
XX XX X
jxe^dx
=
2хе'-
-l^e'dx
=
2хе^ -Ае^+С
=
le^ix-l) + С.
б) Положим arctgx =
w,
xdx
=
dv, тогда du= -,
2
1
+
Х
X
v
=
—, По формуле (1) имеем:
НЕОПРЕПЕПЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ 533
f , ^^ If x^dx х^ 1
f х^
+1"
\dx
xarctgxax = —arctgx—
\—z
= —arctgx— ; =
x^
\ с , \ с dx \ / 2 \ ^
= —arctgx—\dx-\-—\— -~[x arctgx-x-arctgxl
+
C.
dx
в) Положим
In
x =
w,
dx
=
dv, тогда du=—, v
=
x. По
формуле (1) имеем
J
In
xdx = jclnx-jx — = x(ln
jc
-1) + С
г) Положим x^ =
t/,
sin
xdx = dv, тогда du =
2xdx,
t;
= -cos
x.
По формуле (1) имеем
J x^ sin xdx
=
-jc^
cos
x + 2 J x
cos
xdx.
Применим еще раз формулу интегрирования по частям, по-
ложив
X
= t/ и
cos
xdx
=
dv , тогда получим
J
х^
sin xdx = -х^
cos х +
2(х sin
х
-1 sin xdx) =
=
(2
-
х^)
cos X
+ 2х sin
X
+ С.
dx
д) Положим
X
=
W,
—г— = б/и, тогда du=dx, v
=
-ctg х.
sin X
По формуле (1) имеем
I—-— = -xctgx+ Г ctgxJx = -xctgx + In|sinx| + C.
•^
sin X ^
dx
е) Полагаем arcsin х =
w,
dx
=
dv, тогда du = , , t; = х.
По формуле (1) имеем
f . , .г х^
arcsm
Х(2х
= х arcsin х -
г-
= х arcsin х +
J J 1-х'
+-J(l-x')
2J(l-x') = xarcsinx + Vl-x' +C.
534
Гпава 10
4.2.
Найти интегралы: а) \4х^ ^rkdx\ б) J cos(lnx)(ir;
в) Je^^'cosSxc/x.
Решение, а) Положим л1х^-\-к=и, dx
=
dv, тогда
du
xdx
, v
=
x. По формуле (1) имеем
х^
+к-к
I
л/х^ +kdx
=
x^Jx^
+к - \ , ~xsjx^ +к - \—, dx
=
xyjx^
+к- Гл/х^ + kdx
+
к\ .
•• •'л/77
=
X'sJx^
+к
-{-klnlx +
x^lx^
+А:
-J л/х^ +kdx.
Перенося последний интеграл в левую часть равенства, по-
лучим
2jvx^
+
kdx
=
х\1
х^
+к +kln\x
+
\Jx^
-ьк
откуда
jVx^+^x = ~(xVx^+A:+A:ln
;с
+ л/д:^+^П+С
sin(lnx)
dx,
б) Положим cos(lnx) =
w,
dx
=
dv, тогда du=-
X
v^x. По формуле(1) имеем
I
cos(ln x)dx =
X
cos(ln х)
4-
J
sin(ln x)dx.
Положим теперь sin(ln
x) ==
w,
dx
=
dv тогда
du =
dx,
X
v
=
x. Применяя еще раз формулу
(1),
получим
J cos(ln
x)<ix
=
X
cos(ln x) + X sin(ln ^) -
J
cos(ln x)dx.
НЕОПРЕПЕПЕННЫЙ ИНТЕГРАП 535
Переносим последний интеграл в левую часть
2J cos(ln x)dx
=
jc(cos
In x +
sin
In
x)
откуда
г X
J cos
In
xdx
=
— (cos
In X
+ sin
In
x)
+
С
в) Полагаем
cos Зх
=
w,
e^'^dx
=
dv, тогда du
=
-3 sin 3xdx,
^=-^.
По формуле (1) имеем
1 '^
J
e^""
cos
3xdx =
—
e^""
cos
3x +
— j
e^""
sin 3xdx.
Полагаем теперь sin3x =
w,
e dx
=
dv, тогда
du=3 cos 3xdx, v
=
—e^''.
Применим еще раз формулу (1)
1 '^ Q
I
е^""
cos
3xdx = —
e^""
cos
3x +
—
e^""
sin
3x
— \e^''
cos
3xdx.
J 2 4 4-'
Переносим последний интеграл
в
левую часть
13
4
откуда
-le^^''cos3xdx
=
—e^^''\
cos3x
+—sin3x
L
J
2 t 2 J
Г 2 2 '
e ''cos3xJx = —e
2 1 3 ^
""' cos3x
+—sin3x
2
+ C.
13
Этот же результат можно получить сразу, если воспользо-
ваться формулами (2).
Г
7^
J гх аг
4.3.
Найти интегралы: а) je ах; б) J—-—
X arctgx
х'
dx;
. rarcsinvx -
^:
536
Гпава
10
Решение, а) Сделаем замену переменной х =
^^,
dx
=
2tdt,
тогда {e'^dx
=
2\te'dt.
Теперь обозначим t
=
u,
edt
=
dv, тогда du
=
dt, v
=
e^.
По формуле (1) будем иметь
jte'dt
=
te'-je'dt
=
e\t-'\)
+
C.
Переходя к переменной
х,
окончательно получим
Je^^
=
2e^(V^-l)
+
C.
dx
б) Делаем замену arctgx = /, тогда
= cit
и х^
=
tg^t.
Интеграл примет вид
'Х^
arctgx
1
+ х'
Полагаем / =
м,
tg^tdt = dv, тогда du=dt, v^tgt-t.Uo
формуле (1) имеем
2
jttg'tdt
=
t(tgt-t)-\(tgt-t)dt
=
t{tgt-t)
+
ln\cost\
+
—
+
C.
Переходя к переменной
х,
получим
г Х^ arctgx , ^ , ч 1 1 ^i 2ч 1 / ч2 ^
J —or = arctgx(x-arctgx)—ln(l + x )-f—(arctgx) +C =
1 9 1 2
= xarctgx—ln(l + x )—(arctgx) + С
в) Делаем замену arcsinvx=/, тогда vx=sinr,
dx __
I
2
sm tat. Интеграл примет вид
Vl-д:
rarcsinvx - ^f . ,
—. dx
=
2\tsmtdt.
НЕОПРЕПЕПЕННЫИ ИНТЕГРАП
537
Интегрируем по частям: t
=
u, sintdt
=
dv
du =dt, V-
-cost.
Откуда
J/sin^ dt = -tcost+\QOStdt = -tcost+ smt +C.
Окончательно
f arcsin
VJC
, . г n Г ^
—; dx = -arcsinyjX'yJl-x +
^lx
+ C.
•' Vl-x
4.4.
Найти интегралы: a) j
cos^
xdx; 6)
J
sin^"
xdx .
Решение, a) Воспользуемся второй формулой (3)
I
cos^ xJx = —sinxcos^
JC
+
— [
cos^xd!x = —sinxcos^x +
J 7 7J 7
и
7
6^
V*
4 4Г 3 ^ ^
-smxcos x +
—
cos xdx
; 5J J
=—sin
xcos^xH—
7 7
1.
4 4П . 2 2.
-sin jccos xH— -sin xcos x-\—sin
X
5 5 3 3
+
C
=
1 .
=—sin
д:
7
6 6
cos
JC
+
—
/
cos"
X
+—(cos^
X
+ 2)
л
+
C.
6) Воспользуемся несколько раз первой формулой (3)
|sin"'ji:<ix = cosxsin'x
+
— \sin^ xdx
=
cosjcsin'x +
J in inJ in
10
9( 1
+— —cosxsin
10 8
10-
gJ
J 10
9
+—
10
1 .77
—cosxsin xH—
8 8
^ 1
V 6
10
cosxsin'xH-
—cosxsin^ xH— [sin'* xc/x
J
1 .99
= cosxsin x4—
10 10
V
1
. 7 1
—cosxsin xH—
8 8
1
• 5
—cosxsin x +
6
538
Гпава
10
5( 1
:
+
-
3
3
—cosxsm
jc
+
V
•• cos
jc
sin x
+
—
10 10
—
[sin^xrix:
^^^
1 . ^ 7
—cosxsin/x-f
—
8 8
r
1
V
-cosxsin
x +
V
+-
1
. 3 3
—
cosxsin x +
—
4 4
^
1 . Г
—cosxsmx +
—
V 2 2^
J
Ч
+ C.
10.5.
Интегралы от функций,
содержащих квадратный трехчлен
f Ax-vB
,
1.
Рассмотрим интеграл вида
—;—; ах.
•'
ах" +
/?х
+ с
Путем выделения полного квадрата
в
квадратном трехчле-
2
^ Ъ
не
и
замены
ах
^гЬхЛ-c-t,
х + — = z
интеграл приводится
к
2а
табличным (2,9,11) интегралам
ОХ +Z7X
+
C
-Л;:
2а
ГШ
1
1—4—
•^
/ а
В-
АЬ_
1а
dz
z'±k'
2
С ( b
где
к'= — .
а
yia]
С помощью аналогичных преобразований решаются интег-
ралы вида
Ах
+
В
1
. dx\
\yjax^ ^-bx-^-cdx.
yjax^+bx
+
c
^n
XX f
МхЛ-М
2°.
Интегралы вида
J =^ax
сводятся
к
{mx-^nfyjax^ +bx-\-c
НЕОПРЕПЕПЕННЫЙ ИНТЕГРАП 539
рассмотренным выше интегралам с помощью подстановки
1
t
3°.
Интегралы вида
sax^
Л-Ьх-\-с
находятся методом вьщеления алгебраической части по формуле
J IZ3~T~i~rZ
yjax^
-\-bx +
c
= Кх'"-Ч ... +А^_,)л1ах'+Ьх
+
с^А\ "" пл
^ах^
л-ЬхЛ-с
где коэффициенты Д.(/ =
0,1,...
,т) находятся приравниванием
коэффициентов правой и левой части при одинаковых степенях
неизвестных х после дифференцирования равенства и освобож-
дения его от знаменателя.
Аналогичным путем можно найти и интеграл
[{а^х^'+а^х'^'^Л-
...
+
а^)л]ах^
+ Ьх +
cdx =
= (А,х-^'+А,х-+ ... +A^,,)^Jax'+bx
+ c +
A^,,j f^ .
yjax
Л-Ьх
+
с
Неопределенные коэффициенты определяются путем диф-
ференцирования правой
и
левой части и сравнения коэффициен-
тов при одинаковых степенях х,
АО л ж
г С (Mx
+
N)dx
4°.
Интегралы вида / = ^^ ^ ^,
где
кор-
{х^
+
рх
+
дУ у] ах^
+Ьх +
с
ни трехчлена x^+px-i-q мнимые, находятся подстановкой
. Интеграл в этом случае принимает вид
х =
t
+
l