Черненко В.Д. Высшая математика в примерах и задачах (том 1)

Подождите немного. Документ загружается.

500

Гпава

Исключая отсюда время

г,

находим уравнение траектории

движения у = xtga ^— т. е. движение снаряда про-

Ivl cos а

исходит по параболической траектории.

6.12. Найти дифференциал дуги кривой

= а

cos

y-a%\Vit^z-a\vL

cos

Решение. Находим производные i = -а sin

у-а

cos

sin/

z = -a . Отсюда по формуле (3) дифференциал дуги равен

cos/

M-a^\xit) +(flfcos/) +

^^^ *

^ adt

sin/

У cos/

dt =

cos/

9Л.

Естественный трёхгранник

пространственной кривой.

Касательная и нормальная плоскость

к пространственной кривой

р.

Естественный трёхгранник, составленный из трёх вза-

имно перпендикулярных плоскостей, можно построить

любой

неособой точке М^{х^^у^,2о) пространственной кривой. Пусть

пространственная кривая задана вектор-функцией скалярного

аргумента г = ?(/), тогда естественный трёхгранник (рис. 9.21)

состоит из:

а)

соприкасающейся плоскости

М^М^М^

—содержащей век-

dr d^r

— и —г

dt dr

торы — и

-yj-;

б)

нормальной плоскости

М^М^М^

—перпенди-

dr .

кулярнои к вектору —; в) спрямляющей плоскости

MQM^M^

—перпендикулярной первым двум плоскостям.

При пересечении этих плоскостей образуются три прямые:

ПРИПОХСЕНИЕ аИффЕРЕНиИАПЬНОГО ИСЧИСПЕНИЯ

501

Рис. 9,21.

а)

MQA/J

— касательная, направляющий вектор касатель-

ной Г = —;

В =

б)

MQM^

— бинормаль, направляющий вектор бинормали

dr d"r

в) MQM^ — главная нормаль, вектор главной нормали

[B,f]. Соответствующие им единичные векторы:

-^ f ^ В ^ N

т =

—=:-,

р =

—=г-,

V =

—:г-

ВЫЧИСЛЯЮТСЯ

ПО

формулам

|Г|

^ \В\ \N\

^ dr ~ Ич 3 г -,

(1)

где s — длина дуги кривой.

2°.

Уравнение касательной к пространственной кривой

= x(t), у = y(tX z = z(t) в точке

(XQ

J^Q

^О

) имеет вид

(2)

'dt

502

Гпава

ИЛИ

Г,

T. Т

(3)

где

x,y,z —

текущие координаты точки касательной; коорди-

наты

XO,J^Q,ZQ

соответствуют значению параметра

/^;

7;=—,

г=-^,

dt ' dt ' dt

Уравнение нормальной плоскости

точке

М^

вытекает

из

условия перпендикулярности прямой

плоскости

(х-Хо)

НУ-УО)

dy_

(2-Zo)

0 (4)

ИЛИ

{x-x,)T^+{y-y,)T^+{z-z,)T^^Q. (5)

Аналогично определяются: уравнение главной нормали

^-^0

_У-Уо _^-^o

N^ N^ N^

уравнение спрямляющей (касательной) плоскости

уравнение бинормали

в. в.. в.

(6)

(7)

(8)

уравнение соприкасающейся плоскости

{x-x,)B^^{y-y,)B^+{z-z,)B^=Q. (9)

3°.

Если пространственная кривая задана линией пересече-

ния двух поверхностей F{x,y,z) =

и G{x,y,z) = О, то вместо

d^r Р ^

векторов

— и —Y

можно брать векторы ar\dx,dy,dz]

ПРИПОХСЕНИЕ ПИФФЕРЕНиИАЛЬНОГО ИСЧИСПЕНИЯ

503

d^r ^i^x,d^y,d^zY В данном случае одну из переменных x,y,z

можно считать независимой и её второй дифференциал прирав-

нивать нулю.

7.1.

Дана кривая

y=^t^,

z = ^^.6 точке

Л/^

(2,4,8) най-

ти:

а) основные единичные векторы f, v, j8

;

б) уравнения каса-

тельной, главной нормали и бинормали; в) уравнения

касательной, нормальной и соприкасающейся плоскости.

Решение, а) Составим уравнение вектор-функции

f -ti

Л-t^]

Л-

V'k

и найдём производные

dr т ^

^ 2Г d^7 rs- ^ г

— = /+2//+ЗгА:, —T-

2j+6tk,

dt dr

Поскольку в точке М^ параметр /^ = 2

то вектор касатель-

ной будет

^ dr ^ ^

—

i-]-4j

l2k,

вектор бинормали

5 =

2-г

dt ' dt^

= 24Г-127 +

2А:,

вектор нормали

{B,T] =

i J k

24 -12 2

1 4 12

= -152Г-28б7

108А:.

Таким образом, основные единичные векторы будут

_ /+4/+12А:

т= т==

Vi6i

^ _ 24r-12j

+ 2it

_ 12Г-б7

V724

/181

504 Гпава 9

^_-152Г-28б7 + 108^_-7бГ-1437 + 54^

л/116564 ~ л/29141

б) Поскольку в точке М^ координаты х^ = 2,

>^о

= 4, z^ = 8

^ dx ^ dy ^ dz ^^

и производные

при

1^=2 равны — =

-^ = 4, — =

12,

то

урав-

dt dt dt

нение касательной (2) будет

х-2_

j;-4_z-8

ПГ"''Т~"'~12~'

Уравнение главной нормали (6)

х-2

у-4 Z-8 х-2 у-4 z-8

— = или = = •

-152 -286 108 -76 143 54

Уравнение бинормали (8)

x-2_3;-4_z-8 х-2_

j;-4_z-8

~24'~~^~'Y~

^™ ~12~~~^~~Т~'

в) Уравнение касательной плоскости (7)

-152(x-2)-286(>;-4)+108(z-8) = 0 или 76x+143>;-54z =

292.

Уравнение нормальной плоскости (5)

(x-2) + 4(j;-4) + 12(z-8) = 0 или

4:^

+ 12z = 114.

Уравнение соприкасающейся плоскости (9)

24(x-2)-12(j;-4) + 2(z-8) = 0 или 12x-6>; + z = 8.

7.2.

Найти основные единичные векторы f, \7, р кривой

х^,

= 2х в точке х^=2.

Решение. Пространственная кривая задана пересечением

параболического цилиндра у

х^ и плоскости z = 2х. Диффе-

ренцируя эти уравнения, считая х независимой переменной, по-

лучим dy

2xdx и dz

2dx, d^y

2dx^ ^

d^z^O-

Отсюда при

XQ=2

получим dr {dx,4dx,2dx} и

rf'r{0,2Jjc',0} или ^{1,4,2} и

rf'r{0,l,0}.

ПРИПОЖЕНИЕ аИФФЕРЕНиИАПЬНОГО ИСЧИСПЕНИЯ

505

Таким образом, единичные векторы равны:

,_ Г _1-\-А] + 2к

B = [dr,d'r] =

к\

^- г о В -2i+k

= -2i+k, В=^ = р.—

1^1

л/5

N = [B,T] =

i j к

-2 О 1

1 4 2

-Ai+5j-U,

V =^^ =

-4i+5j-Sk

7.3.

Найти уравнения касательной прямой и нормаль-

ной плоскости к линии: а) x = t, y =

t^,

z-t^, tQ=\;

б) r(0 = sin^/r

sinfcos/7 +

cos^/^,

f =

—;

в) 2x^+3/+z^=9,

3x4/

-z' = 0 в точке Мо(1,-1,2).

Решение, а) Находим производные: х

\, y

2t, z =

3/^

вычисляем их значения при

^о

= I: х(1)

^(l) = 2, z(l) = 3.

Определяем координаты точки касания х^

Уо=1,

. Отсюда, уравнения касательной прямой (2) и плоскости

(4)примутвид: £zi = Zzl = £zl,

(д^-1)

(;;-1)2

+ (г-1)3 = 0

1 2 3

или x

y + z-6 = 0.

б) Параметрические уравнения линии имеют вид x

s'm

sint cos t, z

cos^

Подставляя /^ =

—

в эти уравнения, оп-

1 1

-,^0=--

ределяем координаты точки касания Mf,: х^=

— ,

Уо- ^ , ^ -

Находим производные: х = 2 sin t cos t = sin 2t,

y = cos^t-sm^t =

cos2t,

z = -2costsmt = -sm2t

вычисляем

506

Гпава 9

ИХ значения

в точке

касания:

^ж^

чЪ

= КУ

ч4у

= 0, Z

v4.

-1.

Подставляя координаты точки касания и значения произ-

водных в этой точке в уравнение касательной прямой (2), по-

лучим:

JC V Z

2_ 2

-1

Поскольку в уравнении прямой (3) 7^ = О, то касательная

лежит в плоскости, перпендикулярной оси у.

Уравнение нормальной плоскости

(5),

нашем случае, при-

мет вид

у~

•0

Z —

= 0 или

+ z-l = 0.

в) Если линия определена пересечением двух поверхностей:

(p{x,y,z)

0 и \i/{x,y,z)

0, то, полагая, например, x

x{t) и

исключая попеременно другие переменные, находим у

y{t),

Z =

z{t) (вообще говоря, бесчисленное множество различных па-

раметрических уравнений).

Пусть x

t, тогда из решения системы:

2^43/+z'=9,

находим: у = — v9-5r% z = —

v7^^+9.

Знак минус переменной

2 2

у ставит

соответствие координаты точки М^ и параметр t, рав-

ный для этой точкм единице.

5 /

Находим производные:

7 /

I У =

2V9-57

Z =

2 V? Г + 9

и их значения в точке М^:

х(1)

у(1)

= -

ПРИПО^КЕНИЕ аИФфЕРЕНиИАПЬНОГО ИСЧИСПЕНИЯ 507

^(1) =

— .

Таким образом, уравнения касательной прямой и нор-

мальной плоскости в точке М^ имеют вид:

= ^^ = ^г-, (x-l) + -(y + l) + -(z-2) = 0

4 8

или

х-Л^^улЛ^2-2^

10j;

+ 7z-12 = 0.

8 8 8

7.4. Написать уравнения касательной прямой к винтовой

линии х

= а

cos t, y

asmt^

bt в любой точке и при t

7i.

Показать, что винтовая линия пересекает образующие цилинд-

ра х^

Л-у^

= сГ

под одинаковым углом.

Решение. Находим производные x--a^\Vit, y

acost,

b. Отсюда уравнение касательной прямой в любой точке

x-acost y-asint z — bt х

а у z-Ьк

\ = = ^—,апри/ =

л:

--—= ^^ = —-—,

-asmt а cost b О -а b

т. е. при t

= 7r

касательная лежит

плоскости, перпендикулярной

оси

и отстоящей от начала координат на расстоянии х

—а.

Образующие цилиндра х^ +у^

а^

параллельны оси Oz,

Находим направляющий косинус угла, образованного касатель-

ной с осью Oz:

Z b b

cos

7 =

yjz^+y^+z^ yJa^sm^t-\-b^cos^t

л1а^+Ь^

Поскольку касательные к винтовой линии образуют

осью

Oz один и тот же угол, то они отсекают и образующие под этим

же углом.

7.5. Найти уравнение соприкасающейся плоскости к кри-

вой: х^+У+z^ =9, х^-У =3 в точке Мо(2,1,2).

508

Гпава 9

Решение. Пространственная кривая задана пересечением

двух поверхностей. Дифференцируя уравнения поверхностей,

считая

независимой переменной, будем иметь

xdx

ydy + zdz -

О,

xdx - ydy -

Отсюда, полагая х^ =2, у^-1, z^ = 2, получим dy - Idx,

-2dx, d^y

-3dx\ d^z

-3dx^.

Таким образом, соприкасающаяся плоскость определяется

векторами {dx, 2dx,-2dx} и |0,-3^л:^,-3^!х^} или{1,2,-2} и

{0,-3,3}.

Следовательно, нормальный вектор соприкасающейся плос-

кости будет

\Т

] к\

В =

= -12Г

+ 37-3^.

1 2 "2

10 -3 -3

Отсюда уравнение соприкасающейся плоскости

-12(x-2) + 3(j;-l)-3(z-2) = 0 или 4x-y

z-9

9.8. Кривизна

кручение пространственной

кривой

1°.

Кривизна пространственной кривой в точке М опреде-

ляется аналогично кривизне плоской кривой. Если кривая зада-

на уравнением г = r(s), где s — длина дуги, то

ds'

(1)

где R — радиус кривизны.

Если кривая задана параметрическим уравнением г = r(t),

то кривизна определяется выражением

ПРИПОЖЕНИЕ аИффЕРЕНиИАПЬНОГО ИСЧИСПЕНИЯ

509

(2)

2°.

Под кручением или второй кривизной кривой в точке М

понимается число

1 .. в

—

lim—,

р Ду-^о ЛУ

(3)

где в — угол поворота бинормали на участке кривой As*, р —

радиус кручения или радиус второй кривизны. Если кривая за-

дана уравнением г = r(s), то

dr d^r d^r

\dp\

^ds_dsl_di_

ds'

(4)

Знак минус соответствует тому случаю, когда векторы у и

—- имеют одинаковое направление; знак плюс —

противопо-

ложном случае.

Если кривая задана уравнением г

r(t), т. е. параметри-

чески, то

dr d^r d^r

^^}_^Js_di_dl_

2г:

^ d^

dt ' dt^

(5)

3°.

Формулы Френе

V dv _ f P

ds ~R' ~ds~~J p^'