Черненко В.Д. Высшая математика в примерах и задачах (том 3)
Подождите немного. Документ загружается.
250
Гпава
27
Значения Х<
11,
а именно х^-
2,
xf^
4,
xf^ 6
и
xf^
9,
наблюда-
лись 1+3+7+5= 16
раз,
следовательно
7^*(х)=16/20
=
0,8
при 9< х < 11.
Так как х =
11
— наибольшая варианта,
то,
согласно свойств
эмпирической функции распределения, получим
F\x)-1
при
х>
11.
Отсюда, искомая функция распределения примет вид
[о при х<2,
|о,05 при 2<х<А,
F'(x)
=
\
0,2 при
А<Х<6,
0,55 при в<х<9,
0,8 при 9<jc<ll,
1 при х>\\.
График функции распределения показан на
рис.
27.3.
2
4 6 9 11 X
Рис.
27.3
1.2. По данному распределению выборки
интервал х^-
x.^j
частота
п^
2-6
4
6-10
6
10-14
10
14-18
25
18-22
5
построить: а) гистограмму частот; б) гистограмму относитель-
ных частот.
Решение, а) Нетрудно решить, что длина интервалов равна
Л
= 4. Тогда плотности частот равны -^
=
1;
-^
=
1,5; -^
=
2,5;
п п h h h
h h
ЭПЕМЕНТЫ MA ТЕМА ТИЧЕСКОИ СТА ТИСТИКИ
251
На оси абсцисс построим заданные интервалы (рис. 27.4).
п
6.25
2,5
L5
2 6 10 И 18 22 X
Рис. 27А
Над этими интервалами параллельно оси абсцисс проведем
отрезки на расстояниях, равных соответствующим плотностям
частоты — и построим ступенчатую фигуру из прямоугольни-
п
ков,
которая и будет искомой гистограммой частот.
б)
Найдем сначала объем выборки п
=
2^п. =4+6+10+25+5=50.
0,12;
4 6
Относительные частоты будут ж = — = 0,08;
>^2
- тг
•^ -^ '50 50
25 5
w^= — = 0,5; W5=-7T = 0^.
50 50
Плотности относительных частот будут:
W.
0,08
= 0,02;
3
h
^-^ = 0,03;^ ^ =
0,05;
^
4 h
05
4
0,125; ^ = ^ = 0,025.
4 ' Л 4 А 4 h А
На оси абсцисс откладываем заданные частичные интерва
лы (рис. 27.5).
0,125
0Р5
орз
0,02
2 6 10 14 18 22 X
Рис. 27.5
252
Гпава 27
Над частичными интервалами параллельно оси абсцисс про-
5м
отрезки на расстояниях,
ностям относительных частот
ведем отрезки на расстояниях, равных соответствующим плот-
на..
1.3. В магазине за день проданы рубашки следующих размеров
40 37 39 42 40 39 38 40 41 36
41 41 40 39 41 40 37 43 40 39
39 38 40 37 40 38 42 41 40 42
41 40 38 39 41 40 41 41
Написать дискретный вариационный ряд и построить по-
лигон.
Решение. Различные значения признака (размеры рубашек)
располагаем в порядке их возрастания и под каждым из этих
значений записываем их частоту, тогда вариационный ряд при-
мет вид
^'
1
"'•
36
1
37
3
38
4
39
6
40
И
41
9
42
3
43
1
На оси абсцисс отложим варианты х^, на оси ординат соот-
ветствующие им частоты.
Полигон распределения показан на рис. 27.6.
10
5-1
55 40
Рис. 27,6
ЭПЕМЕНТЫ MA ТЕМА ТИЧЕСКОЙ СТА ТИСТИКИ
253
1.4. В течение дня измерялось напряжение тока в элект-
росети (в). При этом были получены следующие значения:
209 215 215 232 220 220 218 220 221
222 224 227 217 226 212 221 225 219
220 222 216 223 218 230 211 219 227
226 220 219 216 232 215 219 218 223
По этим данным написать: а) интервальный вариацион-
ный ряд с равными интервалами в три деления; б) построить
гистограмму; в) написать кумулятивный ряд; г) построить ку-
мулянту и огиву.
Решение, а) Разобьем диапазон изменения напряжений на
равные интервалы и составим таблицу, в первой строке которой
расположим в порядке возрастания интервалы, а во второй зна-
чения подсчитанных частот
интфвал
х.-х.^1
п,
У'
209-
212
2
2
212-
215
1
3
215-
218
6
9
218-
221
11
20
221-
224
6
26
22Ф-
227
4
30
227-
230
3
33
230-
233
3
36
б) Гистограмма распределения показана на
рис.
27.7.
п.
^
209 212 215
218
221224
227 230 233 х
Рис.
27.7
в) Находим накопленные частоты для каждого из интер-
валов вариационного ряда // "^^у ==2; /^ =«7+«2 ~^' Уз
254 Гпава 27
=п^'^П2+п^=9;
у^ =20; у^ =26; у^ =30;
Уу
=33; 7^=36. Подставляя
частоты в третью строку таблицы, получим кумулятивный ряд.
г) Откладывая накопленные частоты по оси ординат, ин-
тервалы по оси абсцисс, получим кумулянту (рис. 27.8).
7/
30
20
10
0\
210
220 230
Рис. 27.8
Откладывая на оси абсцисс накопленные частоты, а на оси
ординат границы интервалов, получим огиву (рис. 27.9).
О 10 20 30 г.
Рис. 27.9
27.2.
Средние значения признака
совокупности
1°.
Генеральной средней при наличии в совокупности по-
вторяющихся значений признака называется среднее значение
изучаемого признака в генеральной совокупности
ЭПЕМЕНТЫ MA ТЕМА ТИЧЕСКОЙ СТА ТИСТИКИ 255
^=Щ^
(1^,
=
^).
(О
где
N-
— частота признака х..
При отсутствии повторений признака используется форму-
ла средней арифметической
^ = ^^^, (2)
N
Выборочной средней называется среднее значение призна-
ка в выборочной совокупности
^^Z,_^
G«,=«. (3)
п ^
- I-,
или х=^^=^—, если признак не повторяется.
п
Ошибка репрезентативности
А
определяется разностью меж-
ду выборочной средней и генеральной средней
А
= х - X.
2°.
Генеральной долей называется отношение количества
единиц М, обладающих данным признаком, к численности гене-
ральной совокупности
М
Выборочная доля определяется отношением w-min, где
т — количество единиц, обладающих данным признаком в вы-
борочной совокупности
п.
Ошибка репрезентативности опреде-
ляется разностью
А
=
и^
-/7.
Пусть значения признака X генеральной или выборочной
совокупности разбиты на несколько групп. Групповой средней
называется среднее арифметическое значение признака в груп-
пе.
Общая средняя совокупности равна средней арифметической
групповых средних, взвешенных по объемам групп.
Если варианты
х^
— большие числа, то с целью упрощения
расчета из каждой варианты следует вычесть некоторое число
256
Гпава
27
Хд,
близкое к среднему значению, т. е. перейти к условным вари-
антам
U
= X-'-XQ.B
ЭТОМ
случае среднее арифметическое выбор-
ки определяется по формуле
х=^^-^Н-х, (4)
п
Средним степенным к-го порядка искомого признака не-
которой выборки называется величина
x^=Vx\ (х,>0)
если к =
1
среднее степенное есть среднее арифметическое; к = 2
— среднее квадратическое; к =
3
— среднее кубическое и т. д.
При
А:
= -1 среднее степенное называется
средним
гармони-
ческим.
Среднее геометрическое
определяется по формуле
^Ф
5^«.=/!,
X.
>0
/
2.1.
Из генеральной совокупности взята выборка, определяемая
распределением
^'
1
"i
2
11
4
8
6
12
9
14
10
5
Найти ошибку репрезентативности, если генеральная сред-
няя равна X
=
6.
Решение. Находим выборочную среднюю
- Е^Л 11-2 + 8-4 + 12-6 + 14-9 + 510 ^ ^,
X = ^==
= = 6,04.
п 50
Ошибка репрезентативности равна
А = х-Х =
6,04-6
= 0,04.
2.2.
В цехе из 1000 рабочих 126 женщин. В выбороч-
ной совокупности из 100 человек их оказалось 14. Найти
ошибку репрезентативности.
ЭПЕМЕНТЫ MA ТЕМА ТИЧЕСКОЙ СТА ТИСТИКИ
257
Решение. Генеральная доля женщин в генеральной совокуп-
М 126 «,^^ „ ^ т
— = = 0,126. Выборочная доля w=
—
=
Л^
1000 п
= 0,14. Таким образом, ошибка репрезентативности будет
ности равна р
14
100
А =
0,14-0,126
= 0,014.
2.3.
Совокупность разбита на две группы
^,-
"'•
1
3
2
7
4
1
5
У1
nil
1
2
3
4
6
4
Найти общую среднюю совокупности.
Решение. Найдем групповые средние
__3-1 + 7-2 +
5-4_37
3
+
7
+
5
~15'
_
2-1
+
4-3 + 4-6 ._
У= = 3,8.
2 + 4
+
4
Общую среднюю находим по фупповым средним
37
15—+ 10-3,8
Z
=
—^ =
3.
15 + 10
2.4.
Пусть известно распределение роста мужчин
Рост, см
150-154
154-158
158-162
162-166
166-170
170-174
число мужчин
1
4
7
9
12
15
Рост,
см
174-178
178-182
182-186
186-190
190 и выше
число мужчин
13
10
5
2
2
258
гпава 27
Найти среднее арифметическое роста.
Решение. Считаем, что среднее значение искомого признака
примерно 170 см. Воспользуемся формулой (4), необходимые
вычисления по которой приведены в таблице
интервал
150-154
154-158
158-162
162-166
166-170
170-174
174-178
178-182
182-186
186-190
190 и выше
^
",•
1
4
7
9
12
15
13
10
5
2
2
80
середина интервала
152
156
160
164
168
172
176
180
184
188
192
",
-18
-14
-10
-6
-2
2
6
10
14
18
22
«.«,.
-18
-56
-70
-54
-24
30
78
100
70
36
44
136
J =
^^i^
+ Xo= —+
170
= 171,7сл.
п " 80
27.3. Дисперсия и среднеквадратическое
отклонение
1°. Генеральной дисперсией назьшается ср&цщя взвешенная квад-
ратовотклонений значений пршнака от их qxapero значения
Д =
\Y^N,(X,-X,A/N
(1)
Выборочной
дисперсией
называется средняя взвешенная квад-
ратов отклонений значений признака от их среднего значения в выборке
ЭПЕМЕНТЫ MA ТЕМА ТИЧЕСКОЙ СТА ТИСТИКИ
259
D =
2^и/д:,-х/
V
'
/п
(2)
(3)
J
Дисперсия равна разности среднего квадратов значений и
квадрата общей средней
п п
V
2^.
Выборочным средним квадратическим отклонением на-
зывается квадратный корень из выборочной дисперсии
G = 4D (4)
Исправленная выборочная дисперсия обозначается за
s^
и
определяется по формуле
Среднее квадратическое отклонение в этом случае равно
Если ;?>30, то формулы (2) и (5) практически совпадают.
Средним абсолютным отклонением
Ъ
называется среднее
арифметическое абсолютных отклонений
5=(5^А2.|х.-х|)/^А2..
(6)
Если первоначальные варианты большие числа, то
в
услов-
ных вариантах
U^-X^-XQ
И и.= Сх., где С =
10^,
исправленная
дисперсия равна
^1={j,^i^f -(L^i^if
^^)/{^--^)^
(7)
а сами дисперсии будут s^ =sl и s^ =sl /С^.
3°.
Коэффициентом вариации называется отношение сред-
него квадратического отклонения к средней величине признака
(в процентах):