Черненко В.Д. Высшая математика в примерах и задачах (том 3)

Подождите немного. Документ загружается.

70 Гпава 22

Напрмер, зная числа q^, Aq2, A^q^,

A^QQ

расположенные

выше пунктирной линии, по формуле (8) для п =

находим

1 5 3

Д^/з = ^3+ —Д^2+—Д^^1+-ДЧо . Затем вычисляем

2 12 о

у,=у,

+ Ау,; f(x,,yj и q^=hf(х,,уJ .R^tt походим

конечные разности А

^3'

^^Qi' А

^q'j,

расположенные совмест-

но с ^4 по новой диагонали.

Аналогично, полагая

= 4, вычисляем Ау^, у^, [(х^, у^),

и находим следующую диагональ Aq^, A^q^, A^q^y и т. д.

Если требуется получить решение у(х) (второй столбец) с

точностью до

10""",

то величину начального шага вычислений

определяют из неравенства /г^ <

10""".

В практических расчетах

шаг h выбирается таким, чтобы разности Д^^. и А^^-^, отлича-

лись между собой не более чем на одну-две единицы заданного

разряда.

7.1.

Пользуясь методом Эйлера, найти решение уравне-

ния

у^у^-х},

удовлетворяющее начальному условию

у(\) = 1, на отрезке

[1,2],

разбив его на

равных частей. Все

вычисления вести с точностью до

0,001.

Решение. Найдем сначала длину одного частичного от-

X - X 2-1

резка h - -^

= = 0,1

•

Решение уравнения предста-

п 10

вим в табличном виде. Для этого сначала находим точки

X, = 1,1; ^2 =

1,2,*...,

разбивающие заданный интервал на 10

равных частей. Затем из исходного уравнения у' = у^ - х^

определяем значение производной у' в точке х^ = 1, ^о =

т. е. ^YbU = 0. Далее по формуле (1) вычисляем

ЧИСПЕННЫЕ МЕТОПЫ ВЫСШЕГО АНАПИЗА

X,.

1,1

1,2

1,3

1,4

1,5

1,6

1,7

1,8

1,9

У1

0,979

0,929

0,840

0,703

0,513

0,270

-0,017

-0,341

-0,706

у'

-0,21

-0,502

-0,888

-1,367

-1,903

-2,428

-2,870

-3,24

-3,65

f^y'i

-0,021

-0,050

-0,089

-0,137

-0,190

-0,243

-0,287

-0,324

-0,365

Зная JCj,i/,,

из

заданного уравнения находим

y{(x^,yj

l-(\,l/ =-0,21 и по

формуле

(2)

вычисляем

//2

г/,

hy'^

0,979. Последующие значения

у.

находятся ана-

логично по формуле (3).

Приближенные значения частного интеграла уравнения зак-

лючены

столбцах

х.,у.

данной таблицы.

7.2.

Найти методом Эйлера численное решение системы

уравнений

~dt

у-х

dy_

хл-у

dt t

удовлетворяющее начальным условиям

x(l)

\, у(\)

[l, 2],

полагая /г

= 0,2.

Решение. Решение системы уравнений представим

таб-

личном виде.

Для

этого сначала находим значения

= 1,2;....

Затем

из

исходных уравнений определяем значения

производных

х\у' при

^0 =1,

XQ,

f/o и по

формулам, аналогич-

72 Гпава 22

НЫМ

формуле (1) Xj =

/ZXQ,

У1=Уо+

hy^,

вычисляем значения

^(^^Уо'^оХ

У\(^>Уо>^о)-

Далее из заданной системы уравнений

находим х{,у{ и по формулам, аналогичным формулам (2), оп-

ределяем значения ^2,^/2 и т. д. Все результаты расчета приве-

дены в таблице

1,2

1,4

1,6

1,8

2,0

Х,

1,067

1,172

1,302

1,450

У1

1,4

1,8

2,21

2,633

3,07

0,333

0,524

0,649

0,739

У1

2,048

2,114

2,186

hx'i

0,067

0,105

0,130

0,148

hy-

0,4

0,410

0,423

0,437

7.3.

Методом Рунге-Кутта проинтегрировать уравнение

у'

При

начальных условиях у(0) =

в промежутке [0,1]

с шагом /г = 0,25.

Решение. Промежуток интегрирования от х

0 до х =

разобьем на четыре части длиной

0,25,

соответственно, точками

X. (i

0X2,3A)

•

Значения у находим по формулам (4) в таб-

личном виде. Вычисления у^ приведем более подробно:

Хо=0,у^=1к = 0,25,

у'^

= f(x^,yj

K^hf(x,^^^ ^о+—>> = 0,25 ^'^^^ =0,2;

' '^ ' 2 ^' 2 1,125 + 0,125

ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОПЫ ВЫСШЕГО АНАПИЗА

hf(x,^, ,„ + ^; = 0,25l±^^b^:i^ = 0.199;

° '' ° 2 ^^ 2

1,1

+ 0,125

1 199-0 25

d.=hf(x.+h,

y.+cj

= 0,25 ' ' =0.164;

0/(0 f/o о/ 1J99 + 0.25

Дг/о =-(^00+ 26о+

2Со+^о>>

= -("0,25 + 0,4+0,398+0,164; = 0,202;

6 6

г/, =

г/о

Аг/о

= 1,5 +

0,202

1,702.

Аналогично вычисляются значения t/j.i/a и у^ (см. табл.).

Так значение у^ равно:

, ,у ^ ,4^^1702-0,25 ^,о^

а, = hf(x.,y.; = 0,25 ^ ^— = 0,186;

^ ' ' 1,702 + 0,25

UZ. h а, ^ ^ ^Л,702+0,093-Г0,25+0,125; ^,^,

6, =/z/(^x +-, у, +-!-) = 0,25 • ^ = 0,164;

' " ' 2 ' 2

1,795+0,375

UW ^^ Л^ лос1>702+0,082-Г0,25+0,125; ..,.

c.=hf(x,+—, у,+—) = 0,25 ^ ^ = 0,163;

' " ' 2 ' 2

1,784+0,375

с. , . ^^^1,702 + 0,163-0,375 ^,^^

di=hf(x^+h,

y^+c^)

0,25-—

= 0,166;

1,865 +

0,375

Аг/,=-Г0,186+0,328

0,326+0,16б; = 0,168;

г/2 =1,702+ 0,168 = 1,870

0,25

0,50

0,75

1,00

У1

1,702

1,870

1,998

2,099

0,25

0,186

0,144

0,113

6,-

0,2

0,164

0,178

0,101

е.-

0,199

0,113

0,128

0,100

0,164

0,166

0,113

0,089

hi'

0,202

0,168

0,128

0,101

74 Гпава 22

1.4.

Методом Милна проинтегрировать уравнение у'

х-\-у

при начальном условии у(0)

\ в промежутке [ОД] с шагом

h = 0,2.

Решение. Интервал интегрирования разобьем на пять частей

точками деления х,. (^/ =

0,1,2,3,4,5

Первые три приближения

найдем методом Эйлера: х^ = 0, у^=1, у'(х^,уд) =

и по фор-

муле(1) t/, =1 + 0,21 = 1,2. Находим г/,Ух,,г/,; = 0,2 + 1,2 = 1,4

и по формуле (2)//2 =l,2 +

('0,4-0,2;i,4

= 1,48 . Далее

i/2('x2,i/2

= 0,4 + 1,48 = 1,88 и по формуле (3)

Уз

= t/2 +

Г-^з

-^2^('^2'l/2^ = l'48 + f0,6-0,4; 1,88 =

1,856.

i/з'=0,6+

1,856 = 2,456.

Последующие значения вычисляем по формулам (6)

^4 = г/о+—Г2г/;-г/; +

2г/з';

= 1+—Г2•l,4-l,88+2•2,456; = 2,555,•

Д=X4+^4=0,8+2,555=3,355,•

E = г/2+—("Д+4г/з+i/2^ =

1.48+—Д

355+4-2,456+1,88; = 2,484;

г/4 =

г/4

0,8+2,484

= 3,284;

у,

=г/,

+—(2у1

-y;+2yJ=l.2+—(2-1.88-2,456+2-

3,284;

= 3

299;

J = ^5+^5

3,299

= 4,299;

Е =г/з+—Г|+4г/;+

г/2;

= 1856+—Г4,299+4-3,284+2,45б; = 3,182

Поскольку шаг задан, то уменьшать его не будем и за у^

возьмем

^5 •

7.5.

Методом Адамса проинтегрировать уравнение у'

при начальном условии у(0) =

в промежутке [0,1] с шагом

ЧИСПЕННЫЕ МЕТОПЫ ВЫСШЕГО АНАПИЗА

/г = 0,2 и сравнить результат

предыдущим решением (7.4.).

Решение. Первые три последовательные значения функ-

ции, найденные методом Эйлера, берем из решения (7.4.):

у^=\,2;

^2=148; i/з =1,856,

По формулам (7) находим значения

(7о

=0,2

= 0,2;

^^=0,21,4 = 0,28; ^^ =0.2 1,88 = 0,376; ^з =0>2-2,456 = 0,491

и составим диагональную таблицу

0,2

0,4

0,6

0,8

У1

1,2

1,48

1,856

2,413

0,2

0,28

0,376

]

0,557

f(x.y)

1,4

1,88

2,456

3,213

y'h

0,2

0,28

0,376

0,491.

0,642

Aq =

0,08

0,096

0,lj5.-

-*•

0,016

0,01,9^ -

' '0,037

о,раЗ' '

''0,018

Зная числа ^j

=0.491;

А<72

=0,115,- Д^<7,

=0,019,

А^<7о

=0,003,

расположенные выше пунктирной линии,

по

формуле (8) для п

= Ъ

находим

А^з =

ЧУ

+^^^2 + —А

<7|

+ g^ 9о =

= 0,491 + -0,115

—0,019

-0,003 =

0,5575

2 12 8

и вычисляем

1/^=

Уу+ ^Уъ

=2,413.

Полагая п = 4, вычисляем

15 3

Гпава 22

0,642

-0Д52

+—0,037

+ ^0,018 = 0,740.

2 12 8

Находим ^/з

=^4+Д^4

=2,413 +

0,740

= 3,153.

Сравнивая

результатом предыдущего примера, нетрудно

заметить, что расхождение во втором знаке после запятой. С

целью улучшения сходимости решений необходимо

том и дру-

гом случае уменьшить вдвое шаг.

22.8.

Метод коллокации

Метод коллокации является приближенным методом реше-

ния дифференциальных уравнений и заключается

сведении ре-

шения к системе алгебраических уравнений. Решение задачи

методом коллокации сводится к отысканию искомой функции в

узловых точках сетки, удовлетворяющей заданому уравнению

и граничным условиям.

8.1.

Найти решение уравнения изгиба балки (рис. 22.9) при

произвольно распределенной нагрузке q(x)

EJw''^

^q(x)^

(1)

удовлетворяющее граничным условиям

оу

= ш' =

при

О,

ш^'

при х-1,

(2)

q(x)

V V у у у

-L -1 -2L

^'~4 '^'~2 ^'~4

J^ ^

Рис. 22.9

ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОаЫ ВЫСШЕГО АНАЛИЗА

Решение. Разобьем балку на четыре участка Ах =

—

точка-

ми 1,2,3 и представим решение уравнения изгиба в виде

u)=Y,^k

/v\

, k = 0,\X...,n.

(3)

Число членов ряда определяется числом граничных ус-

ловий (2) и числом узловых точек, в которых должно быть

удовлетворено уравнение (1). Поскольку мы имеем четыре

граничных условия и три точки коллокации, то в (3) будет

семь членов

w(x) =

aQ+a^-'+a2

«3

+а

/^V

а,

+ а,

(4)

Подставляя (4) в граничное условие (2), будем иметь

=0, aj = 0;

«о

а,

^2 + ^3

«4

«5

а^

= 0;

а2+За^-{-6а^-{-\0а^-\-\5а^

=0.

Подставляя (4) в уравнение

(1),

получим уравнение

(5)

24^4 +120а5 -

бОа^

— =

д(х)1'

I I 31

которое при X, =

—,

Xj =

—,

Xj = — дает алгебраические

урав-

нения

24а.+30а,+22,5а.=

24а. + 60а, + 90а. =-^^^^

xj/

(6)

78 Гпава 22

24а4+90а,+202,5а,

q(h)l'

Коэффициенты а. (i

0,\>''.6)

находятся из совместного

решения системы алгебраических уравнений (5) и (6). В случае

равномерной нагрузки

коэффициенты имеют вид

q^l"^

-Sq^l"^

qj"^

' ' ' ' ' \6EJ ^ 48£/ ' 24EJ

Решение (4) в этом случае будет

w(x)

SEJ

/ г V

+ -

Глава 23

ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ

23.1.

Конечно-разностный метод

(метод сеток)

1°.

Суть метода конечных разностей состоит в том, что

точные значения производных заменяются их приближенны-

ми значениями через дискретные значения функций на конеч-

ных интервалах. Точное значение производной равно

du ^ 7

— = tg а , где а — угол наклона касательной в точке / к

оси Ох (рис. 23.1). Приближенное значение производной

точ-

ке / будет

Х -ч \ / -ч \

и,-и,

или \-г- \ -— -. (1)

Ах I дх h Ах

где

Ах

— конечный интервал аргумента, и^-и^ — первая пра-

вая разность, Ui-u^ —первая левая разность.

Лналогргчно вычисляются производные

направлении

оси

Оу