Черненко В.Д. Высшая математика в примерах и задачах (том 3)

Подождите немного. Документ загружается.

Гпава

3.1.

Методом Ньютона найти действительные корни систе-

мы уравнений | ^з

Решение. Начальное приближение решений системы нахо-

дим графически (рис. 22.4).

Рис. 22.4

Координаты точек пересечения окружности и кубической

параболы дают начальные приближения, равные

XQ=1,4;

1/0=17.

Найдем сначала частные производные функций

f(x,y)

x^+y^-A

(р(х,у)

х'-у

//=2х, [у =2у,

(р^'=3х\ %=1 [(x„yj

0,85;

(p(x,,yj

\,(m; [Jx„yJ

2,S;

!у(Хо.Уо) =

^Л- (pJx,,yJ

5.SS; (p(x^,yj

Первое приближение х^—х^+а^, i/,

=Уо + Ро

находим из

решения системы линейных уравнений

|5,88ао + /5о=-1,044,

откуда «о =-0,157;

jS^

=-0,121;

х, =1,243; г/, =1,576.

Находим теперь значения функций и частных производных

в точке

x^,y^.

Получим [{Xi,yJ

0,029;

(p{x^,yJ

0,344;

ЧИСПЕННЫЕ МЕТОПЫ ВЫСШЕГО АНАПИЗА

Второе приближение находим из решения системы

Г2,486^1 +ЗД52Д =-0,029;

[4,635^1 + Д =-0,344.

Таким образом, ц =-0,087,- Д =0,059; х^ =1,156;

у2 =1,635. В силу симметрии относительно начала координат

два других корня будут равны х^ =-1,156; у^ =-1,635. Продол-

жая вычислительный процесс, нетрудно получить результат с

желаемой точностью.

3.2. Методом итераций найти действительные корни систе-

мы уравнений

Jx'

i/-4

\\пх-ул-\

Решение. Приведем функции к виду

4-^:^,

+ 1пхи

построим график (рис. 22.5).

Рис. 22.5

За начальное приближение возьмем координаты точки пе-

ресечения кривых

=1,6; у^ =1,2. Далее воспользуемся итера-

ционной процедурой (3), беря только положительные значения

корня, так как х всегда больше нуля.

52 Гпава 22

^1 =л/4-^ = 167;

i^j=l

+ lnXo=l,47;

^1 = V^-^i = 159; i/2 =

+ li^i = 1463;

^3 = л/4-^2

== Ь

592;

i/з =

1,466.

Поскольку первые два знака после запятой не меняются, то

результат найден

точностью до сотых.

22.4. Интерполирование функций

1°.

Интерполяционная формула Ньютона. Пусть дана таб-

лица значений

Уо

У\

Уг

Уп

с постоянным шагом

/г

Дх.

х.^^

-х. (i =

ОД,...,

п);

у^,

у^,...,

у^

—

соответствующие значения функции.

Требуется найти такой полином у = f(x), который при со-

ответствующих значениях х. принимал бы заданное значение

у.,

т. е. график этого полинома должен проходить через задан-

ные точки М^ (х-

,у.).

—

Введем обозначения:

Я =

——^;

у^-Уо-

А^/^;

у^-у^^

А^,,

..., Уп-Уп-! ^^Уп-\ — конечные разности первого порядка,

Af/i -

Аг/о =

Д^^о;

А^2""

Ai/j = А^

i/j;

...,

— конечные разности второ-

го порядка, А'^'у,-А'-'у,=А''у,; АГ-'у^-АГ-'у,^АГу,, ... —

разности п -го порядка.

В этом случае для любого промежуточного значения аргу-

мента X значение функции у приближенно дается интерполяци-

онной формулой Ньютона

ЧИСПЕННЫЕ МЕТОаЫ ВЫСШЕГО АНАЛИЗА

53^

/i!

При

имеет место линейное интерполирование; при

—квадратичное интерполирование, если

— многочлен

-й

степени, то формула

(1)

является точной.

На практике для удобства пользования интерполяционной

формулой

(1)

целесообразно составлять таблицу конечных раз-

ностей. Погрешность формулы Ньютона, если

f(x)

имеет не-

прерывную производную

f''^^^(x)

на

отрезке,

включающем

точ-

ки

, X,,..., х^, определяется выражением

где

—

некоторое промежуточное значение между х,

х, или

приближенным выражением

K(x)=^-—f-0(q-l)...(q-n).

Если известно промежуточное значение функции

г/, то

помощью формулы

(1)

можно находить соответствующее

значе-

ние

аргумента

(обратное

интерполирование).

Для

этого

мето-

дом последовательных приближений сначала определяем соот-

jo)_y-yo

чспш

^(Ш)

ч''

.4,11V

9^"^

'Ы'^-

jjiai

ал с/

f>(q">.

-\)...(q'^>-

п\

=ол,2,...;.

—

-IMVo

Ai/o

•П-1МЧ

Ai/o

(2)

Гпава

Отсюда x

—

x^-\-q-h

где q принимается равным общему

(т) JrnW)

значению двух соседних приближений с(

2°.

Интерполяционная формула

Лагранэюа,

Пусть по таб-

лице значений х,у требуется составить полином у = 1(х), при-

нимающий при х-х. заданное значение г/. (^/ =

0,1,...,AZ^.

В общем случае эта задача решается с помощью интерпо-

ляционной формулы Лагранжа

(x-x,)(x-x^)..,(x-xj

(x^-x,)(x^-x^)...(x^-xj

(x-xj(x-xj...(x~xj

(x,-xj(x,-x^)...(x^-xj

1/,+...

^ (x-xj(x-x,)...(x-x^_,)(x~x,^,)...(x-xj _^

(x,-xj(x^-x,)...(x,-x,_,)(x,-x,j...(x,-xj

(x„-xj(x„-xj...(x„-x„_,)

(3)

Абсолютная погрешность интерполяционной формулы Лаг-

ранжа вычисляется по формуле

\RJx)\<-^--^

\(x-xj(x-xj...(x-xj\,

(4)

l)\

где

M^,,=max\f"'''>(x)\,

хе

[a.b].

4.1.

Составить интерполяционный многочлен Ньютона для

функции, заданной таблицей

Найти у при х = 4,5.

Решение. Найдем конечные разности первого порядка

y,-y^=Ay,=l2'-4

i/2 ~i/, =Ai/, =28-12 = 16;

ЧИСПЕННЫЕ МЕТОаЫ ВЫСШЕГО АНАПИЗА

у,-у,_=Ау,_

=51-28 =

23;

У,-у, =Аг/з =84-51 =

33.

Разности второго порядка будут

Аг/,-Д^/о=А^о =16-8 = 8; Аг/^-Аг/, =A-f/i =23-16 = 7;

Аг/з

Аг/2

= А^2 = 33-23 = 10.

Разности высших порядков

A^y^

- А^г/о =

А^г/,,

-8 =

-1;

А-г/2-А^,=А^, =10-7

А'у,-А'у,=А'у,=3-(-1)

х-1

Из условия имеем, что: h

= х.^,

х,

=2; g = .

Подставляя все в формулу (1), получим

x-lfx-l

^ -^-1 о 2

г/ = 4 +

!lO +

x-lfx-l

л/

-1

х-1

-2

Y-U+

х-1 х-1

-1

х-1 х-1

-3

откуда

г/

= -S-f'x' -18x4 224х' - 318х + 495/

^ 96

Подставляя в полином значение х = 4,5, находим, что

г/= 24,68.

4.2.

Дана таблица значений

1,4

2,151

1,6

2,577

1,8

3,107

Гпава 22

Найти X, если у

2,3.

Решение. Принимая

=1,4; i/^

=2,151,

находим

Ai/o

=^1-^0

=0^426; Ay, =у^-у^= 0,53; Д'^о =

(/^-//о

=0,104;

го;

^iZ^^ 2,3^2,151^ ;^^ 0,2.

Ау,

0,426

' '

Подставляя найденные значения

формулу (2), получим

_ го;

q'"'a-q'"')^"yo_Q25 0.35fO,35-U

0,104 _Q 3^5

Аг/о ' 2

0,426

^'Y?^'^-и АЧ ^Q

0'322Г0,322-и 0,104

^^ ^.^

Аг/о ' 2

0,426

Принимая

за

0,376 общее значение двух соседних при-

ближений, получим

д:

Хо

•

/г

1,4 + 0,376

•

0,2

1,475.

4.3,

Дана таблица величин

х и г/

Я^"=Я

q<'>=q''>

-5

135

288

Составить интерполяционный многочлен Лагранжа и най-

ти значение у при

л:

= 1,5 .

Решение. Подставляя табличные значения в интерполяци-

онную формулу Лагранжа

(3),

получим

(х-\)(х-3)(х-5)(х-6) ^^(х-0)(х-3)(х-5)(х-6)

(-\)(-3)(-5)(-^)

\.(-2)(-А)(-5)

Jx-0)(x-\)(x-5)(x-6) ^^Гх-0)(х-\)(х-3)(х-6)

•20+-

3-2Y-2X-3;

5-4-2-f-i;

(х-0)(х-\)(х-3)(х-5)

135+

6-5-31

•288.

ЧИСПЕННЫЕ МЕТОаЫ ВЫСШЕГО АНАПИЗА

После упрощений будем иметь

у(х)

О,

Оббх^

- 0,087х' - 3,216x4

6,807х

+ 0,99;

г/а5>) = 6,764.

4.4.

Для функции у

2''

найти интерполяционный много-

член Лагранжа по точкам х^ =0, Xj =1,

Х2

=2,

Х3

=3. Вычис-

лить значение у при х = 2,5 и оценить погрешность.

Решение. Найдем значения функции в точках х^

1 ^

Пользуясь формулой (3) и учитывая, что степень многочлена

п = 3, будем иметь

(х-1)(х-2)(х-3) ^

х{х-2)(х-3) 2^

(-\)(-2)(-Ъ)

\(-\)(-2)

, xf^x-l^x-S; . , х(х-\)(х-2) - 1 . ,

•4+-

8 = -('x'+5x + 6;.

2-1Y-U 3-2-1

Значение функции у при х = 2,5 будет

y(2,5)

-(2S +5-2.5

5,в%1.

Абсолютную погрешность найдем по формуле (4)

p'^^'>(x)

2'\n'2; М„^, =max|rV^.>| = 2Mn'2 =

8-0,21

= l68;

\RJx)\<-^^\(x-xJ(x-x,)(x-x,)(x-x,)\ =

(п-\-\)\

1,68

(п

\)\

\(2,5-0)(2,5-\)(2.5-2)(2,5-Ъ)\

0,066.

Гпава

22.5.

Численное дифференцирование

функций

1"^.

Дифференцируя интерполяционные формулы, получим

формулы численного дифференцирования. Так для случая рав-

ноотстоягцихузлов h -

х.-х._^

-const будем иметь

п 2 6

^l-(2q'-^9q'+nq-3)A'y,+.„); (1)

y''^^(A'y,+(q^\)A'y,+-l^(6q'-\Sq-^n)A'y,+ (2)

где

q =

'-(x-xj.

2°.

случае произвольных узлов

y'^Ay(xQ,xJ

((x-xJ

(x-xJ)Ay(xQ,x^,xJ

+((X-XQ)(X-X^)

+ (X-XQ)(X'-'X2)+ (3)

•i-(x-xJ(x-X2))Ay(xQ,x^,X2,x^)

...,

где

Ау(х,.х,)=У'

^^'

Ar/K,x„xJ

MVfJzM^^L^.

Ау(х^,х^,Х2уХ^)=

"—•—— "^-^—^—-—^—•

5.1.

функция y

f(x) задана таблицей

ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОаЫ ВЫСШЕГО АНАПИЗА

1 ^

253

547

Найти значения производных f(x) и f'(x)

точке х = 3,5.

Решение. Расчет проведем в табличном виде

253

547

АМ

167

294

AV,.

101

127

A^i/,

AV,

-25

A'i/,-

-39

Учитывая, что /г = 1, производные

(1),

(2) примут вид

^ г^^;=Ауо+^^Ауо

^—АХ+

Z о

+ :lf29^-994ll9-3M4

H-f^S*?"

- 40q' +105<7' -100^ +

24;

^-^;

+(^20^'-120^4

210<7

-1ОО;

АЧ

Частные значения производных в точке

д;

= 3,5 при

= 3,5-1 = 2,5 равны

г/УЗ,5;

+ 35,458-0,583-0,183 = 61,692;

г/73,5;

= 13+ 55,5+

4,083+

4,062

= 76,645.