Чернышев А.Ю., Дементьев Ю.Н., Чернышев И.А. Электропривод переменного тока

Подождите немного. Документ загружается.

• Максимальный момент двигателя

55,8825,402,2

н maxmax

⋅

⋅= MkM мН

⋅

•

Минимальный момент двигателя

4,6425,406,1

нminmin

⋅

= MkM

мН

⋅

Найденные координаты точек с номинальным, максимальным

и минимальным моментом нанесены на рассчитанный график (рис. 2.6) ес-

тественной механической характеристики асинхронного двигателя в виде

треугольников.

Вывод.

Анализ расчетов показывает, что контрольные точки, най-

денные в соответствии с каталожными данными двигателя, хорошо сов-

падают с рассчитанным графиком механической характеристики асин-

хронного двигателя, поэтому методику определения параметров схемы

замещения асинхронного двигателя по его каталожным данным можно

считать приемлемой.

Определим зависимость тока ротора

I , приведенного к обмотке

статора, от скольжения

кн

242,5

393,1

878,1

220

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

+±

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

+±

График электромеханической характеристики )(

sfI = , рассчитанный

по формуле (2.2) в математической системе MathCAD, приведен на рис. 2.7.

−

20 30 40

−

20 30 40

е. о.

−

20 30 40

−

20 30 40

е. о.

Рис. 2.7. График электромеханической характеристики

)(

sfI =

Электромеханическую характеристику )(

sfI

рассчитаем по вы-

ражению (2.4) с учетом тока

I , найденного по уравнению (2.2), тогда

sin046,42046,4sin2 ϕ⋅⋅⋅++=ϕ⋅⋅⋅++= IIIIIII

где

кн

242,5

393,1

878,1

242,5

sin

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

=ϕ

Электромеханическая характеристика )(

sfI

приведена на рис. 2.8.

10 20 30 40

−

10 20 30 40

−

е.о.

10 20 30 40

−

10 20 30 40

−

е.о.

Рис. 2.8. График естественной электромеханической характеристики

)(

sfI = асинхронного двигателя: – точка с номинальными

параметрами двигателя

Определим номинальный ток статора асинхронного двигателя

н1

при номинальном скольжении 051,0

s в соответствии с электромеха-

нической характеристикой.

Номинальный ток ротора двигателя при номинальном скольжении

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

кн

н2

А 7,42

242,5

051,0

393,1

878,1

220

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

Синус угла между вектором фазного напряжения

и сопряжен-

ным вектором тока ротора

I− (рис. 2.3)

00595,0

242,5

051,0

393,1

878,1

242,5

sin

кн

н2

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

=ϕ

Номинальный ток статора двигателя

=ϕ⋅⋅⋅++=

н2

0н1

sin2 IIIII

056,900595,042,7046,4242,7046,4

=⋅⋅⋅++= А.

Вывод.

Значение номинального тока статора асинхронного двига-

теля, определенное по его электромеханической характеристике, прак-

тически совпадает со значением, рассчитанным по каталожным данным:

А125,9

н1

=I (пример 2.1). Это подтверждает правильность методики

определения параметров схемы замещения асинхронного двигателя по

его каталожным данным.

2.4. Динамические процессы и характеристики

асинхронного двигателя

Выводы уравнений, описывающих асинхронный двигатель, произво-

дятся на основе модели обобщённой машины, которая является упрощен-

ной моделью реальной машины. В теории электропривода переменного

тока общепринятыми допущениями принято считать следующие:

•

считается, что машина симметрична с идеальными обмотками,

обеспечивающими синусоидальное распределение магнитодвижу-

щей силы и магнитного потока вдоль воздушного зазора;

•

не учитываются потери энергии в стале статора;

•

не учитывается влияние насыщения магнитной цепи, что позволяет

принять значения индуктивностей постоянными;

•

предполагается, что отсутствуют напряжения и токи нулевой после-

довательности, то есть мгновенные значения напряжений и токов фаз

CBA

UUU ;

CBA

iii

, (2.34)

где

CBA

UUU , , – мгновенные значения напряжений в фазах A, B, C;

CBA

iii , ,

– мгновенные значения токов в фазах A, B, C.

Схема электрических цепей обобщенной асинхронной машины по-

казана на рис. 2.9.

Рис. 2.9. Обобщённая асинхронная машина

Обобщённая асинхронная машина содержит трехфазную обмотку на

статоре и трехфазную обмотку на роторе. Обмотки статора и ротора под-

ключены к симметричным трехфазным источникам напряжения. Матема-

тическое описание такой машины базируется на известных законах [10].

Уравнения равновесия ЭДС на обмотках статора и ротора записы-

ваются в соответствии со

вторым законом Кирхгофа.

Для статора Для ротора

⎪

⎩

⎪

⎨

⎧

+⋅=

;

iRu

CCC

BBB

AAA

⎪

⎩

⎪

⎨

⎧

+⋅=

;

iRu

ccc

bbb

aaa

(2.35)

где

CBA

uuu

111

, ,

– мгновенные значения напряжений фаз A, B, C стато-

ра;

CBA

iii

111

, , – мгновенные значения токов в фазах A, B, C статора;

CBA 111

ψ ,ψ ,ψ

– мгновенные значения потокосцеплений обмоток A, B, C

статора;

CBA

RRR , , – мгновенные значения активных сопротивлений

в фазах A, B, C статора;

cba

uuu

222

, , – мгновенные значения напряжений

фаз a, b, c ротора;

cba

iii

222

, , – мгновенные значения токов в фазах a, b,

c ротора;

cba 222

ψ ,ψ ,ψ – мгновенные значения потокосцеплений обмо-

ток a, b, c ротора;

cba

RRR , ,

– мгновенные значения активных сопро-

тивлений в фазах a, b, c ротора.

В уравнениях (2.35) фигурируют мгновенные напряжения, токи,

потокосцепления статора и ротора, а также активные сопротивления

обмоток. Обычно обмотки выполняются симметричными, поэтому:

RRRR

CBA

===

– активное сопротивление обмотки статора;

RRRR

cba

===

– активное сопротивление обмотки ротора.

Вторым используемым законом является закон Ампера, который свя-

зывает потокосцепления обмоток с токами, протекающим по обмоткам.

Для статора

⎪

⎭

⎪

⎬

⎫

⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+⋅=

cCcbCbaCaCCCBCBACAC

cBcbBbaBaCBCBBBABAB

cAcbAbaAaCACBABAAAA

iLiLiLiLiLiL

2221111

, (2.36)

где

CCBBAA

LLL , ,

– собственные индуктивности обмоток A, B, C статора;

IjIJ

LL ,

– взаимоиндуктивности между обмотками статора и ротора.

Для ротора

⎪

⎭

⎪

⎬

⎫

⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+⋅=

cccbcbacaCcCBcBAcAc

cbcbbbabaCbCBbBAbAb

cacbabaaaCaCBaBAaAa

iLiLiLiLiLiL

2221112

, (2.37)

где

ccbbaa

LLL , ,

– собственные индуктивности обмоток A, B, C ротора;

iJij

– взаимоиндуктивности между обмотками ротора и статора.

Симметричные уравнения для определения потокосцеплений пока-

зывают, что потокосцепление каждой обмотки зависит от токов во всех

обмотках; эти зависимости проявляются через взаимоиндукцию.

Третьим законом, лежащим в основе анализа, –

уравнение движе-

ния

, являющееся следствием второго закона Ньютона – уравнения рав-

новесия моментов на валу машины:

JMM

⋅=−

, (2.38)

где

J – момент инерции на валу машины, учитывающий инерцион-

ность как самой машины, так и приведенные к валу инерционности ра-

бочего органа механизма и передаточного устройства,

мкг ⋅

;

– момент рабочего механизма, приведенный к валу, в общем случае

он может быть функцией скорости и угла поворота, мН

⋅

Наконец, четвертым законом, лежащим в основе анализа работы

машины, является закон, сформулированный

Ленцем, как правило левой

руки

. Этот закон связывает векторные величины момента, потокосцеп-

ления и тока:

(

)

ikM ⋅⋅= ψ

. (2.39)

Основные трудности использования уравнений (2.35)–(2.39) для

исследования машины:

•

в уравнениях (2.38) и (2.39) фигурируют векторные величины, а в

уравнениях (2.35), (2.36) и (2.37) – скалярные;

•

количество взаимосвязанных уравнений равно 14, а количество ко-

эффициентов – 43;

•

коэффициенты взаимоиндукции между обмотками статора и ротора

в уравнениях (2.36) и (2.37) являются функцией угла поворота ро-

тора относительно статора, то есть они являются уравнениями с

переменными коэффициентами;

•

уравнение (2.39) является нелинейным, так как в нем перемножа-

ются переменные.

На пути упрощения математического описания асинхронной ма-

шины, да и вообще всех машин переменного тока, удачным и изящным

оказался

метод пространственного вектора [10], который позволил

существенно упростить и сократить вышеприведенную систему уравне-

ний; метод позволяет связать уравнения (2.35)–(2.39) в единую систему

с векторными переменными состояния.

Суть метода состоит в том, что мгновенные значения симметрич-

ных трехфазных переменных состояния (напряжения, токи, потокосце-

пления) можно математически преобразовать так, чтобы они были

представлены одним пространственным вектором. Это

математическое

преобразование имеет вид (например, для тока статора)

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

⋅+⋅+⋅=

CBA

iciciI

111

, (2.40)

где

jeecjec

jjj

−−===+−==

−

– векторы, учи-

тывающие пространственное смещение обмоток;

()

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

+⋅⋅=

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−⋅⋅=⋅⋅=

ωcos ,

ωcos ,ωcos

111

tIitIitIi

mCmBmA

–

мгновенные значения токов статора.

Подставив в уравнение (2.40) значение мгновенных токов, найдем

математическое описание пространственного вектора тока статора

eII

⋅= . (2.41)

На рис. 2.10 представлена геометрическая интерпретация про-

странственного вектора тока – это вектор на комплексной плоскости

с модулем (длиной)

, вращающийся с угловой скоростью ω в поло-

жительном направлении.

Imjb

aA,Re,

ic ⋅

Рис. 2.10. Пространственный вектор тока

Аналогично пространственными векторами можно представить все

напряжения, токи и потокосцепления, входящие в уравнения (2.36), (2.37).

2.5. Представление вектора тока

в неподвижной системе координат

ba,

и трехфазной

BA , ,

Вектор тока

можно разложить по осям системы координат

ba ,:

;Re

;

CBb

iiIi

iIi

ijiI

−

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−==

⋅+=

(2.42)

Обратные преобразования можно получить из совместного реше-

ния уравнений (2.34) и (2.42):

;

−−=

+−=

(2.43)

Такое взаимообразное преобразование токов двухкоординатной и

трехкоординатной системы говорит о том, что трехфазную электриче-

скую машину можно заменить двухфазной с обмотками a и b , распола-

гающимися вдоль координатных осей

ba, (рис. 2.11).

∗

Рис. 2.11. Обмотки статора эквивалентной двухфазной асинхронной машины

Очевидно, что для создания вращающегося электромагнитного поля

обмотки статора двухфазной асинхронной машины должны питаться от

двух источников синусоидального напряжения, сдвинутых на 90 эл. град.

2.6. Представление вектора тока

во вращающейся системе координат

Часто бывает удобным рассматривать процессы в асинхронном

двигателе не в неподвижной системе координат

ba,, а в системе коор-

динат

, вращающейся с произвольной скоростью

кс

ω . В соответст-

вии с основами векторной алгебры положение вектора тока

в любой

системе координат определяется углом между вектором

и веществен-

ной осью системы координат (рис. 2.12).

Рис. 2.12. Представление вектора

в неподвижной и вращающейся

системах координат

В неподвижной системе координат

ba, вектор тока может быть

представлен в алгебраической и показательной форме

⋅=+=

mba

eIjiiI

, (2.44)

где

I – вектор тока в неподвижной системе координат; ϕ – угол между

вектором

и вещественной осью a неподвижной системы координат;

I – модуль вектора тока

Во вращающейся системе координат этот же самый вектор

мо-

жет быть найден в следующем виде:

myx

eIjiiI ⋅=+= , (2.45)

где

I – вектор тока во вращающейся системе координат;

δ – угол между вектором

и вещественной осью

вращающейся

системы координат.

С учетом того, что

θδ

−

, (2.46)

можно получить уравнения перехода из неподвижной системы коорди-

нат во вращающуюся

0ω

eII

−

⋅=

; θsinθcos

bax

iii

⋅

= ; θcosθsin

bay

iii

⋅

−

(2.47)

и наоборот – из вращающейся системы координат в неподвижную

ω0

eII ⋅=

; θsinθcos

yxa

iii

−

⋅= ; θcosθsin

yxb

iii

⋅

. (2.48)

При исследовании процессов в асинхронных машинах в большин-

стве случаев применяют обе системы координат, как неподвижную

0ω

кс

= , так и систему координат, вращающуюся синхронно с магнит-

ным полем двигателя,

0кс

ωω =

2.7. Уравнения напряжений и потокосцеплений в векторной форме

Для преобразования уравнений (2.35)–(2.37) в мгновенных значе-

ниях к уравнениям в пространственных векторах умножим их на выра-

жения: первые уравнения на

, вторые на

c⋅

, третьи на

c⋅ , –

и сложим раздельно для статора и ротора.

Тогда получим

⎪

⎩

⎪

⎨

⎧

⋅+⋅=

⋅⋅−+⋅=

+⋅=

,ψ

;ψ

;ψω

;

1020

2010

ILIL

IRU

(2.49)

где

, LL

– собственные индуктивности статора и ротора;

– взаим-

ная индуктивность между статором и ротором.

Таким образом, вместо двенадцати уравнений (2.35)–(2.37) получе-

но лишь четыре уравнения (2.49).

Метод пространственного вектора позволяет записать уравнения

(2.35)–(2.37) в системе координат, вращающейся с произвольной скоро-

стью

кс

ω . В этом случае уравнения (2.49) преобразуются к виду

()

⎪

⎩

⎪

⎨

⎧

⋅−⋅−+⋅=

⋅⋅++⋅=

;ψωω

;ψω

кс

IRU

⎪

⎩

⎪

⎨

⎧

⋅+⋅=

,ψ

;ψ

ILIL

(2.50)

где

z⋅= ωω

кс

– скорость вращения координатной сетки;

z – число пар полюсов в машине.

В уравнениях (2.49) и (2.50) все коэффициенты являются величи-

нами постоянными, имеют четкий физический смысл и могут быть оп-

ределены по паспортным данным двигателя либо экспериментально.

2.8. Уравнения электромагнитной мощности

и момента асинхронного двигателя

Мгновенная мощность трехфазного асинхронного двигателя, вы-

раженная через мгновенные значения токов и напряжений фаз:

CCBBAA

iuiuiup

111111

⋅

. (2.51)

Подставим в (2.51) составляющие токов фаз и фазных напряжений,

разложенные по осям неподвижной системы координат

ba ,, получим

,Re

10101

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

⋅=

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−−⋅

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−−+

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

+−⋅

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

+−+⋅=

∗

IUi

iup

(2.52)

где

ujuU

1110

⋅+= – вектор фазного напряжения в неподвижной сис-

теме координат и его составляющие, разложенные по осям неподвиж-

ной системы координат;

ijiI

1110

⋅−=

∗

– вектор фазного тока асин-