Чернышев А.Ю., Дементьев Ю.Н., Чернышев И.А. Электропривод переменного тока

Подождите немного. Документ загружается.

хронного двигателя, сопряженный с вектором

I в неподвижной сис-

теме координат, и его составляющие, разложенные по осям неподвиж-

ной системы координат.

Так как произведение двух векторов определяется значениями их

модулей и углом между векторами и не зависит от того, в какой системе

координат они представлены, то в общем случае

(

)

yyxx

iuiuIUp

111111

⋅+⋅=

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

⋅=

∗

. (2.53)

Подставим в (2.53) значения напряжений из первого уравнения

(2.50), разложив его по осям вращающейся системы координат

получим

()

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

⋅−⋅+

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

++⋅+

xyyx

Rii

1111кс

ψψω

, (2.54)

где

ψ – составляющая вектора потокосцепления обмотки статора,

ориентированная вдоль оси

вращающейся системы координат;

ψ – составляющая вектора потокосцепления обмотки статора,

ориентированная вдоль оси

вращающейся системы координат.

Анализ выражения (2.54) показывает, что первое слагаемое

в квадратных скобках есть тепловые потери в обмотках статора асин-

хронного двигателя. Второе слагаемое – изменение электромагнитной

энергии, запасенной в индуктивностях обмоток статора, которое при

const ψ

= равно нулю. Третье слагаемое – электромагнитная мощность

p ,

передаваемая со стороны статора в воздушный зазор.

Электромагнитный момент асинхронного двигателя

()

[]

xyyx

Izz

111111

ψψ

ψIm

⋅−⋅

⋅

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

∗==

∗

. (2.55)

Выражение (2.55), определяющее электромагнитный момент,

не единственное для асинхронного двигателя.

Используя уравнения связи между векторами потокосцеплений

и токов двигателя

⎪

⎩

⎪

⎨

⎧

⋅+⋅=

,ψ

;ψ

ILIL

момент асинхронного двигателя можно выразить через любую пару

векторов

2121

ψ ,ψ , , II .

Ниже даны другие равнозначные варианты уравнений электромаг-

нитного момента асинхронного двигателя в виде скалярных произведе-

ний векторов в их компактной и развернутой формах. Формулы приве-

дены для моделирования асинхронного двигателя в неподвижных коор-

динатах и позволяют в каждом конкретном случае выбирать наиболее

благоприятный вариант вычисления момента:

()

;ψψψψ

ψψIm

2121

baab

mpmp

M ⋅−⋅

σ⋅⋅⋅

⋅

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

∗

σ⋅⋅⋅

⋅⋅

∗

(2.56)

()

;ψψ

ψIm

2121

baab

mpmp

M ⋅−⋅

⋅

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

∗

⋅

∗

(2.57)

()

;

12121

abba

mpmp

iiii

M ⋅−⋅

⋅

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

∗

⋅⋅

∗

(2.58)

()

;ψψ

ψIm

1212

abba

mpmp

⋅−⋅

⋅

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

∗

⋅

⋅⋅

∗

(2.59)

()

,ψψ

ψIm

22222

baab

M ⋅−⋅

⋅

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

∗

⋅

∗

(2.60)

где

ψ – составляющая вектора потокосцепления обмотки статора,

ориентированная вдоль оси a неподвижной системы координат;

ψ –

составляющая вектора потокосцепления обмотки статора, ориентиро-

ванная вдоль оси

неподвижной системы координат;

– составляю-

щая вектора тока обмотки статора, ориентированная вдоль оси a не-

подвижной системы координат;

– составляющая вектора тока обмот-

ки статора, ориентированная вдоль оси b неподвижной системы коор-

динат;

ψ – составляющая вектора потокосцепления обмотки ротора,

ориентированная вдоль оси a неподвижной системы координат;

ψ –

составляющая вектора потокосцепления обмотки ротора, ориентиро-

ванная вдоль оси

неподвижной системы координат;

– составляю-

щая вектора тока обмотки ротора, ориентированная вдоль оси a непод-

вижной системы координат;

– составляющая вектора тока обмотки

ротора, ориентированная вдоль оси b неподвижной системы координат;

∗

I – вектор тока, комплексно сопряженный с вектором тока ротора

I ;

ψ – вектор потокосцепления обмотки статора;

∗

ψ – вектор потокосце-

пления, комплексно сопряженный с вектором потокосцепления обмотки

статора

ψ ;

ψ – вектор потокосцепления обмотки ротора;

∗

ψ – вектор

потокосцепления, комплексно сопряженный с вектором потокосцепле-

ния обмотки ротора

ψ .

2.9. Моделирование асинхронного двигателя

в неподвижной системе координат

При моделировании динамических процессов в неподвижной сис-

теме координат трехфазный асинхронный двигатель чаще всего сводят

к двухфазной машине, у которой две обмотки a и

b сдвинуты в про-

странстве на 90 градусов и совмещены с координатными осями

ba,.

Установлено, что при питании обмоток статора двухфазного асинхрон-

ного двигателя синусоидальными напряжениями, сдвинутыми на 90 эл.

град., удается обеспечить в зазоре электрической машины круговое

вращающееся электромагнитное поле.

Переходные процессы, а также уравнение динамической механиче-

ской характеристики короткозамкнутого двухфазного асинхронного

двигателя, получающего питание от сети или индивидуального преоб-

разователя, обладающего свойствами

источника напряжения, можно

получить из совместного решения системы дифференциальных уравне-

ний (2.49) и одного из уравнений электромагнитного момента двигателя

(2.55)–(2.60).

Из векторных уравнений (2.49) выделим их составляющие по осям

ba , неподвижной системы координат, то есть их вещественную

и мнимую части, и после преобразований получим

;ψψ

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−

σ⋅

−=

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−

σ⋅

−=

()

21 2

12 12

ψψ ψ;

ψψ.

aa b

bb a

ba ab

dt L L

Mii

⎛⎞

=− − −ω⋅

⎜⎟

⋅σ

⎝⎠

⎛⎞

=− − +ω⋅

⎜⎟

⋅σ

⎝⎠

⋅⋅

=⋅−⋅

⋅

(2.61)

⋅L

⋅⋅ LL

−

⋅L

⋅⋅ LL

−

⋅L

−

⋅

−

pJ ⋅

−

⋅L

⋅⋅ LL

−

1 a1

⋅⋅ LL

⋅L

⋅⋅ LL

−

⋅L

⋅⋅ LL

−

⋅L

−

⋅

−

pJ ⋅

−

⋅L

⋅⋅ LL

−

1 a1

⋅⋅ LL

Рис. 2.13. Структурная схема короткозамкнутого асинхронного двигателя

в неподвижной системе координат

′

В системе уравнений (2.61) приняты следующие обозначения:

– составляющая вектора напряжения обмотки статора, ориентиро-

ванная вдоль оси a неподвижной системы координат;

– составляющая вектора напряжения обмотки статора, ориентиро-

ванная вдоль оси b неподвижной системы координат;

LLL +=

σ11

– эквивалентная индуктивность обмотки статора, равная

индуктивности рассеяния обмотки статора и индуктивности от главного

поля;

LLL +=

– эквивалентная индуктивность обмотки ротора, приве-

денная к обмотке статора, равная индуктивности рассеяния обмотки ро-

тора и индуктивности от главного поля;

L – индуктивность от главного поля (контура намагничивания), созда-

ваемая суммарным действием токов статора;

1σ

⋅

−= – коэффициент рассеяния.

Электромеханические процессы в электроприводе описываются

уравнением движения. Для случая

const:J

JMM

c Σ

=− .

Структурная схема динамической модели короткозамкнутого асин-

хронного электродвигателя, соответствующая системе уравнений (2.61),

приведена на рис. 2.13.

Анализ динамических процессов преобразования энергии в асин-

хронном двигателе представляет собой сложную задачу в связи с суще-

ственной нелинейностью уравнений, описывающих асинхронный дви-

гатель, обусловленной произведением переменных. Поэтому исследова-

ние динамических характеристик асинхронного двигателя целесообраз-

но вести с применением средств вычислительной техники.

Пример 2.4. Для короткозамкнутого асинхронного двигателя типа

4А112МВ6У3 рассчитать и построить динамическую механическую ха-

рактеристику. Основные параметры двигателя:

0,4

кВт;

220

1н

В;

125,9

н1

=I А; 50=

Гц; 3

z ; 878,1

R Ом; 248,2

σ1

=X Ом;

393,1

Ом; 994,2

σ2

=X Ом;

98,47

Ом;

мкг 042,02 ⋅==

JJ .

Решение. Динамическую модель асинхронного двигателя составим

в соответствии с его структурной схемой, приведенной на рис. 2.13.

Моделирование асинхронного двигателя будем производить в относи-

тельных единицах. Введение относительных единиц позволяет перейти

в уравнениях (2.61) от индуктивностей

к индуктивным сопротивле-

ниям

без их пересчета, существенно сокращает время моделирова-

ния и позволяет устранить многие проблемы при моделировании, а диа-

пазон численных значений переменных, как правило, значительно

меньше, чем в системе с абсолютными значениями переменных – токов,

моментов, мощностей [7, 8, 9, 10].

Для описания моделей асинхронных двигателей будем использовать

следующую систему относительных единиц, приняв в качестве базисных:

•

амплитудное значение номинального фазного напряжения обмотки

статора

б 1max. н 1н

2UU U

=⋅;

•

амплитудное значение номинального фазного тока обмотки статора

б 1max. н 1н

II==⋅;

•

сопротивление

Z = ;

•

безразмерное время t

⋅

ωτ ;

•

номинальное значение угловой частоты напряжения обмотки ста-

тора

н1нб

2ωω f⋅π⋅== ;

•

потокосцепление

= ;

•

мощность

ббб

IUP ⋅= ;

•

энергию τ

бб

⋅

PW ;

•

электромагнитный момент, момент сопротивления

бб

ω2

⋅

= ;

•

момент инерции

J = .

Так как в дальнейшем будут использоваться уравнения, записанные

в основном в относительных единицах, то в них обозначения токов, на-

пряжений, потокосцеплений, сопротивлений оставим прежними.

Уравнения для электромагнитного момента асинхронного двигате-

ля в относительных единицах получим после деления (2.55)–(2.60) на

базисный момент

M :

()

baab

2121

ψψμ ⋅−⋅= ; (2.62)

()

baab

2121

ψψψψμ ⋅−⋅

σ⋅⋅

; (2.63)

(

)

abba

1111

ψψμ

⋅

−

⋅

= ; (2.64)

(

)

abbam

iiiiX

1212

⋅

−

⋅

= ; (2.65)

()

abba

1212

ψψμ ⋅−⋅=

; (2.66)

(

)

baab

2222

ψψμ

⋅

−

⋅

. (2.67)

Уравнение движения асинхронного двигателя в относительных

единицах получим, разделив (1.7) на

M :

μμ

cд

=− , (2.68)

где

ω⋅

– эквивалентный момент инерции в относительных

единицах.

Имитационное моделирование динамических процессов в асинхрон-

ном двигателе произведем в соответствии со структурной схемой

(рис. 1.11) в программной среде WINDORA. С целью упрощения набора

имитационной модели выделим повторяющуюся часть (рис. 2.14) струк-

турной схемы короткозамкнутого асинхронного двигателя и создадим

«Суперблок» (рис. 2.15), который моделирует повторяющуюся часть, что

значительно упрощает набор имитационной модели.

⋅X

⋅⋅ XX

−

Вход1

Вход2

Вход3

Выход1

Выход2

Рис. 2.14. Повторяющаяся часть структурной схемы

короткозамкнутого асинхронного двигателя

Выход 1

Выход 2 Вход 1

Вход 2

Вход 3

Рис. 2.15. Модуль суперблока имитационной модели

короткозамкнутого асинхронного двигателя:

1 – условное графическое обозначение; 2 – структурная схема

Определим значения безразмерных коэффициентов структурной

схемы асинхронного двигателя с учетом принятой системы базисных

величин.

•

Базисное сопротивление 11,24

125,92

2202

1н

⋅

Z о. е.

•

Относительное активное сопротивление обмотки статора

0779,0

11,24

878,1

===

∗

R о. е.

• Относительное активное сопротивление обмотки ротора, приве-

денное к обмотке статора:

0578,0

11,24

393,1

===

∗

R о. е.

•

Относительное эквивалентное индуктивное сопротивление обмот-

ки статора

043,2

11,24

98,47248,2

σ1

∗

о. е.

• Относительное эквивалентное индуктивное сопротивление обмот-

ки ротора, приведенное к обмотке статора:

114,2

11,24

98,47994,2

σ2

∗

о. е.

• Коэффициент рассеяния

1009,0

974,50228,50

98,47

11σ

⋅

−=

⋅

−=

о. е.

Рис. 2.16. Схема имитационной модели короткозамкнутого асинхронного двигателя

в неподвижной системе координат

• Вспомогательные коэффициенты

85,4

1009,0043,2

⋅

∗

о. е.;

688,4

1009,0114,2

⋅

∗

о. е.;

566,4

1009,0114,2043,2

99,1

⋅⋅

∗∗

∗

о. е.

•

Базисный момент

52,57

15,314

125,92202

ω2

бб

⋅

о. е.

•

Эквивалентный момент инерции в относительных единицах

06,72

52,57

15,314042,0

⋅

ω⋅

ΣΣ

о. е.

Полная схема имитационной модели короткозамкнутого асинхронного

двигателя, составленная в соответствии со структурной схемой рис. 2.13.

в неподвижной системе координат, приведена на рис. 2.16.

Так как динамическую механическую характеристику асинхронно-

го двигателя можно получить только по результатам расчетов переход-

ных процессов, то вначале приведем графики переходных процессов

скорости рис

. 2.17 и момента рис. 2.18 при пуске двигателя прямым

включением в сеть.

е. о.

Рис. 2.17. Переходный процесс скорости при пуске

короткозамкнутого асинхронного двигателя прямым включением

в сеть при моделировании в неподвижной системе координат