Цыпкин А.Г., Пинский А.И. Справочное пособие по математике с методами решения задач для поступающих в вузы
Подождите немного. Документ загружается.
120 Г л а в а 5. Тригонометрия
15. Вычислите cos (θ – ϕ), если cos θ + cosϕ = a, sin θ –
–sinϕ = b, a
2
+ b
2
− 0.
16. Сумма трех положительных чисел α, β, γ равна . Вы-
числите произведение ctg α ctg γ, если известно, что ctg α, ctg β,
ctg γ являются последовательными членами арифметичесой
прорессии.
17. Вычислите tg + tg , если sin α + sinβ = a, cos α +
+cosβ = b.
18. Найдите tg (α + 2β), если
sin (α + β) = 1, sin (α – β) = ,
де α Ý 0; , β Ý 0; .
19. Найдите отношение , если известно, что
= .
20. Найдите tg , если известно, что sin α + cos α = .
21. Вычислите tg , если = .
22. Составьте уравнение для нахождения cos , если
cos α = m.
23. Найдите tg , если известно, что
= .
24. Вычислите sin 2α, если tg α удовлетворяет соотношению
tg
2
α – a tg α + 1 = 0
и известно, что a > 0 и 0 < α < .
π
2
---
α
2
---
β
2
---
1
2
---
π
2
---
π
2
---
ctg β
ctg α
------------- -
sin αβ+()
sin αβ–()
----------------------------
p
q
-- -
α
2
---
1
5
---
α
2
---
sin 3α
sin α
-----------------
11
25
------
α
3
---
α
2
---
cos α
1sinα+
----------------------- -
1 m–
1 m+
---------------
π
4
---
§ 24. Вычисление значений тригонометрических функций 121
Вычисление значений трионометричесих фнций от зна-
чений обратных трионометричесих фнций.
П р и м е р 3. Вычислить значение tg arcctg 3 .
Решение. Положим α = arcctg 3. Тода ctg α = 3, 0 < α < .
Вычислим теперь значения sin α и cos α:
sin α = = = ,
cos α = = .
Далее, используя формулу tg = , получаем
tg = : 1 + = .
Ответ..
Вычислите:
25. sin 2 arccos . 26. cos arcsin – .
27. sin arcsin + arcsin . 28. tg 2 arcsin .
29. arcsin (sin 2).
30. tg arcsin + arccos . 31. sin (arctg 2 + arctg 3).
32. cos arcsin – arccos .
33. sin 2 arctg + cos (arctg 2 ).
Провера справедливости равенств, содержащих обратные
трионометричесие фнции. При решении этих задач следу-
ет иметь в виду, что сумма двух обратных трионометричесих
фунций, вычисленных от положительных величин, залюче-
на в промежуте [0; π], а разность — в промежуте – ; .
1
2
---
π
2
---
1
1ctg
2
α+
-------------------------------
1
13
2
+
-------------------- -
1
10
---------- -
ctg α
1ctg
2
α+
-------------------------------
3
10
---------- -
α
2
---
sin α
1cosα+
------------------------
α
2
---
1
10
---------- -
3
10
---------- -
1
10 3+
---------------------
1
10 3+
---------------------
1
4
---
1
2
---
3
5
---
8
17
------
2
3
---
1
3
---
1
4
---
1
3
---
2
3
---
1
3
---
3
π
2
---
π
2
---
120 Г л а в а 5. Тригонометрия
15. Вычислите cos (θ – ϕ), если cos θ + cosϕ = a, sin θ –
–sinϕ = b, a
2
+ b
2
− 0.
16. Сумма трех положительных чисел α, β, γ равна . Вы-
числите произведение ctg α ctg γ, если известно, что ctg α, ctg β,
ctg γ являются последовательными членами арифметичесой
прорессии.
17. Вычислите tg + tg , если sin α + sinβ = a, cos α +
+cosβ = b.
18. Найдите tg (α + 2β), если
sin (α + β) = 1, sin (α – β) = ,
де α Ý 0; , β Ý 0; .
19. Найдите отношение , если известно, что
= .
20. Найдите tg , если известно, что sin α + cos α = .
21. Вычислите tg , если = .
22. Составьте уравнение для нахождения cos , если
cos α = m.
23. Найдите tg , если известно, что
= .
24. Вычислите sin 2α, если tg α удовлетворяет соотношению
tg
2
α – a tg α + 1 = 0
и известно, что a > 0 и 0 < α < .
π
2
---
α
2
---
β
2
---
1
2
---
π
2
---
π
2
---
ctg β
ctg α
------------- -
sin αβ+()
sin αβ–()
----------------------------
p
q
-- -
α
2
---
1
5
---
α
2
---
sin 3α
sin α
-----------------
11
25
------
α
3
---
α
2
---
cos α
1sinα+
----------------------- -
1 m–
1 m+
---------------
π
4
---
§ 24. Вычисление значений тригонометрических функций 121
Вычисление значений трионометричесих фнций от зна-
чений обратных трионометричесих фнций.
П р и м е р 3. Вычислить значение tg arcctg 3 .
Решение. Положим α = arcctg 3. Тода ctg α = 3, 0 < α < .
Вычислим теперь значения sin α и cos α:
sin α = = = ,
cos α = = .
Далее, используя формулу tg = , получаем
tg = : 1 + = .
Ответ..
Вычислите:
25. sin 2 arccos . 26. cos arcsin – .
27. sin arcsin + arcsin . 28. tg 2 arcsin .
29. arcsin (sin 2).
30. tg arcsin + arccos . 31. sin (arctg 2 + arctg 3).
32. cos arcsin – arccos .
33. sin 2 arctg + cos (arctg 2 ).
Провера справедливости равенств, содержащих обратные
трионометричесие фнции. При решении этих задач следу-
ет иметь в виду, что сумма двух обратных трионометричесих
фунций, вычисленных от положительных величин, залюче-
на в промежуте [0; π], а разность — в промежуте – ; .
1
2
---
π
2
---
1
1ctg
2
α+
-------------------------------
1
13
2
+
-------------------- -
1
10
---------- -
ctg α
1ctg
2
α+
-------------------------------
3
10
---------- -
α
2
---
sin α
1cosα+
------------------------
α
2
---
1
10
---------- -
3
10
---------- -
1
10 3+
---------------------
1
10 3+
---------------------
1
4
---
1
2
---
3
5
---
8
17
------
2
3
---
1
3
---
1
4
---
1
3
---
2
3
---
1
3
---
3
π
2
---
π
2
---
122 Г л а в а 5. Тригонометрия
П р и м е р 4. Проверить справедливость равенства
arcsin + arccos = arcctg .
Р е ш е н и е. Вычислим отаненс от левой и от правой
частей равенства:
ctg arcsin + arccos =
= = = ,
ctg arcctg = .
Ита,
ctg arcsin + arccos = ctg arcctg .
Та а уол arcsin + arccos принадлежит промежуту
(0; π), т. е. промежуту монотонности отаненса, то из равен-
ства отаненсов следует равенство значений арументов, что и
требовалось доазать.
Проверьте справедливость равенства:
34. arcsin + arccos = .
35. arctg 1 + arctg 2 = π – arctg 3.
36. arccos – arccos = .
37. Доажите, что если
arctg α + arctg β + arctg γ = π,
то α + β + γ = αβγ.
38. Доажите, что arctg – arctg = .
39. Доажите, что arctg 3 – arcsin = .
4
5
---
2
5
-------
2
11
------
4
5
---
2
5
-------
ctg arcsin
4
5
---
ctg arccos
2
5
-------
1–
ctg arcsin
4
5
---
ctg arccos
2
5
-------
+
----------------------------------------------------------------------------------------------
3
4
---
21–⋅
3
4
---
2+
---------------------
2
11
------
2
11
------
2
11
------
4
5
---
2
5
-------
2
11
------
4
5
---
2
5
-------
3
2
-------
3
2
-------
π
2
---
2
3
---
61+
23
------------------
π
6
---
21+
21–
------------------
2
2
-------
π
4
---
5
5
-------
π
4
---
§ 24. Вычисление значений тригонометрических функций 123
40. Доажите, что arcsin + arcsin = .
41. Доажите, что
+ arcsin = arcsin + arccos – .
42. Проверьте, справедливо ли равенство
arccos x + arccos + = при x Ý ; 1.
43. Проверьте, справедливо ли равенство
arcsin x + – arcsin x = .
Нахождение смм трионометричесих фнций. Суммиро-
вание онечноо числа трионометричесих фунций
S
n
= u
1
+ u
2
+ u
3
+ ... + u
n
(1)
часто удается осуществить с помощью подбора та называемой
производящей фнции, т. е. фунции, обладающей свойством
f(k + 1) – f(k) = u
k
.
Если фунция f(k) найдена, то сумма (1) представляется в виде
S
n
= f(n + 1) – f(1). (2)
П р и м е р 5. Найти сумму
S
n
= sin α + sin (α + h) + sin (α + 2h) + ... + sin (α + nh).
Р е ш е н и е. Воспользуемся тем, что
cos α + h – cos α + h = –2 sin (α + kh)sin .
Тода в ачестве производящей фунции можно взять
f(k) = – cos α + h .
Соласно равенству (2), получаем
S
n
= – cos α + h – cos α – .
5
13
------
12
13
------
π
2
---
π
2
---
77
85
------
8
17
------
3
5
---
x
2
---
1
2
---
33x
2
–
π
3
---
1
2
---
2
2
-------
22x
2
–
2
------------------------
π
4
---
2k 1+
2
-----------------
2k 1–
2
-----------------
h
2
---
1
2 sin
h
2
---
------------------
k 1–
2
-------------
1
2sin
h
2
---
------------------
2n 1+
2
------------------
h
2
---
122 Г л а в а 5. Тригонометрия
П р и м е р 4. Проверить справедливость равенства
arcsin + arccos = arcctg .
Р е ш е н и е. Вычислим отаненс от левой и от правой
частей равенства:
ctg arcsin + arccos =
= = = ,
ctg arcctg = .
Ита,
ctg arcsin + arccos = ctg arcctg .
Та а уол arcsin + arccos принадлежит промежуту
(0; π), т. е. промежуту монотонности отаненса, то из равен-
ства отаненсов следует равенство значений арументов, что и
требовалось доазать.
Проверьте справедливость равенства:
34. arcsin + arccos = .
35. arctg 1 + arctg 2 = π – arctg 3.
36. arccos – arccos = .
37. Доажите, что если
arctg α + arctg β + arctg γ = π,
то α + β + γ = αβγ.
38. Доажите, что arctg – arctg = .
39. Доажите, что arctg 3 – arcsin = .
4
5
---
2
5
-------
2
11
------
4
5
---
2
5
-------
ctg arcsin
4
5
---
ctg arccos
2
5
-------
1–
ctg arcsin
4
5
---
ctg arccos
2
5
-------
+
----------------------------------------------------------------------------------------------
3
4
---
21–⋅
3
4
---
2+
---------------------
2
11
------
2
11
------
2
11
------
4
5
---
2
5
-------
2
11
------
4
5
---
2
5
-------
3
2
-------
3
2
-------
π
2
---
2
3
---
61+
23
------------------
π
6
---
21+
21–
------------------
2
2
-------
π
4
---
5
5
-------
π
4
---
§ 24. Вычисление значений тригонометрических функций 123
40. Доажите, что arcsin + arcsin = .
41. Доажите, что
+ arcsin = arcsin + arccos – .
42. Проверьте, справедливо ли равенство
arccos x + arccos + = при x Ý ; 1.
43. Проверьте, справедливо ли равенство
arcsin x + – arcsin x = .
Нахождение смм трионометричесих фнций. Суммиро-
вание онечноо числа трионометричесих фунций
S
n
= u
1
+ u
2
+ u
3
+ ... + u
n
(1)
часто удается осуществить с помощью подбора та называемой
производящей фнции, т. е. фунции, обладающей свойством
f(k + 1) – f(k) = u
k
.
Если фунция f(k) найдена, то сумма (1) представляется в виде
S
n
= f(n + 1) – f(1). (2)
П р и м е р 5. Найти сумму
S
n
= sin α + sin (α + h) + sin (α + 2h) + ... + sin (α + nh).
Р е ш е н и е. Воспользуемся тем, что
cos α + h – cos α + h = –2 sin (α + kh)sin .
Тода в ачестве производящей фунции можно взять
f(k) = – cos α + h .
Соласно равенству (2), получаем
S
n
= – cos α + h – cos α – .
5
13
------
12
13
------
π
2
---
π
2
---
77
85
------
8
17
------
3
5
---
x
2
---
1
2
---
33x
2
–
π
3
---
1
2
---
2
2
-------
22x
2
–
2
------------------------
π
4
---
2k 1+
2
-----------------
2k 1–
2
-----------------
h
2
---
1
2 sin
h
2
---
------------------
k 1–
2
-------------
1
2sin
h
2
---
------------------
2n 1+
2
------------------
h
2
---
124 Г л а в а 5. Тригонометрия
Остается преобразовать выражение в вадратных собах
в произведение.
Ответ. S
n
= .
Найдите сумму:
44. sin α sin 2α + sin 2α sin 3α + sin 3α sin 4α + ...
... + sin nα sin (n + 1)α.
45. cos 3α + cos 5α + cos 7α + ... + cos (2n + 1)α.
46. tg α + tg + tg + ... + tg .
47. cos + cos + cos + cos + cos + cos .
48. cos
2
α + cos
2
α + + cos
2
α + + ...
... + cos
2
α + .
49. cos + cos + cos + ... + cos .
50. cos + cos + cos + ... cos .
51. .
§ 25. Тригонометрические уравнения
Простейшие трионометричесие равнения. Решения про-
стейших трионометричесих уравнений приведены в таблице:
Уравнение Решение уравнения (k Ý Z)
sin x = a (| a | m 1)
x = (–1)
k
arcsin a + πk
cos x = a (| a | m 1) x = äarccos a + 2πk
tg x = ax = arctg a + πk
ctg x = ax = arcctg a + πk
sin α
n
2
---
h+
sin
n 1+
2
--------------
h
sin
h
2
---
---------------------------------------------------------------------
1
2
---
α
2
---
1
4
---
α
4
---
1
2
n
------
α
2
n
------
π
13
------
3π
13
------ -
5π
13
------ -
7π
13
------ -
9π
13
------ -
11π
13
----------
π
n
---
2π
n
------ -
n 1–()π
n
----------------------
π
19
------
3π
19
------ -
5π
19
------ -
17π
19
----------
πm
n
-------- -
3πm
n
------------
5πm
n
------------
2n 1–()πm
n
------------------------------- -
sin α sin 2α ... sin nα+++
cos α cos 2α ... cos nα+++
-----------------------------------------------------------------------------
§ 25. Тригонометрические уравнения 125
Уравнения вида
P(sin x) = 0, P(cos x) = 0, P(tg x) = 0, P(ctg x) = 0,
де P— мноочлен уазанных арументов, решают сначала а
алебраичесие уравнения относительно уазанных арументов,
а затем а простейшие трионометричесие уравнения.
П р и м е р 1. Решить уравнение
cos 2x – 3 sin x + 1 = 0.
Р е ш е н и е. Та а cos 2x = 1 – 2 sin
2
x, то данное уравне-
ние можно переписать следующим образом:
1 – 2 sin
2
x – 3 sin x + 1 = 0,
или
2sin
2
x + 3 sin x – 2 = 0.
Полаая y = sin x, получим вадратное уравнение 2y
2
+ 3y –
– 2 = 0, имеющее орни y
1
= , y
2
= –2. Последний орень не
одится, та а |sin x| m 1. Ита, остается решить простейшее
трионометричесое уравнение sin x = , отуда x = +
+ πn, n Ý Z.
Ответ. x = + πn, n Ý Z.
Решите уравнение, сведя ео алебраичесому уравнению
относительной одной трионометричесой фунции:
1. 2sin
2
x + sin x – 1 = 0.
2. tg
3
x + 2 tg
2
x + 3 tg x = 0.
3. 4sin
4
x + cos 4x = 1 + 12 cos
4
x.
4. 6cos
2
x + cos 3x = cos x.
5. + = .
Однородные трионометричесие равнения. Уравнение вида
a
0
+ a
1
cos x + a
2
cos
2
x + ... + a
n
= 0,
(1)
де a
0
, a
1
, a
2
, ..., a
n
— действительные числа и сумма поазате-
лей степеней при sin x и cos x в аждом слааемом равна n, на-
1
2
---
1
2
---
(–1)
n
π
6
---
(–1)
n
π
6
---
1
16
------
cos
4
x
1
2
---
cos
2
x–+
9
16
------
cos
4
x
3
2
---
cos
2
x–+
1
2
---
sin
n
x sin
n 1–
x sin
n 2–
x cos
n
x
124 Г л а в а 5. Тригонометрия
Остается преобразовать выражение в вадратных собах
в произведение.
Ответ. S
n
= .
Найдите сумму:
44. sin α sin 2α + sin 2α sin 3α + sin 3α sin 4α + ...
... + sin nα sin (n + 1)α.
45. cos 3α + cos 5α + cos 7α + ... + cos (2n + 1)α.
46. tg α + tg + tg + ... + tg .
47. cos + cos + cos + cos + cos + cos .
48. cos
2
α + cos
2
α + + cos
2
α + + ...
... + cos
2
α + .
49. cos + cos + cos + ... + cos .
50. cos + cos + cos + ... cos .
51. .
§ 25. Тригонометрические уравнения
Простейшие трионометричесие равнения. Решения про-
стейших трионометричесих уравнений приведены в таблице:
Уравнение Решение уравнения (k Ý Z)
sin x = a (| a | m 1)
x = (–1)
k
arcsin a + πk
cos x = a (| a | m 1) x = äarccos a + 2πk
tg x = ax = arctg a + πk
ctg x = ax = arcctg a + πk
sin α
n
2
---
h+
sin
n 1+
2
--------------
h
sin
h
2
---
---------------------------------------------------------------------
1
2
---
α
2
---
1
4
---
α
4
---
1
2
n
------
α
2
n
------
π
13
------
3π
13
------ -
5π
13
------ -
7π
13
------ -
9π
13
------ -
11π
13
----------
π
n
---
2π
n
------ -
n 1–()π
n
----------------------
π
19
------
3π
19
------ -
5π
19
------ -
17π
19
----------
πm
n
-------- -
3πm
n
------------
5πm
n
------------
2n 1–()πm
n
------------------------------- -
sin α sin 2α ... sin nα+++
cos α cos 2α ... cos nα+++
-----------------------------------------------------------------------------
§ 25. Тригонометрические уравнения 125
Уравнения вида
P(sin x) = 0, P(cos x) = 0, P(tg x) = 0, P(ctg x) = 0,
де P— мноочлен уазанных арументов, решают сначала а
алебраичесие уравнения относительно уазанных арументов,
а затем а простейшие трионометричесие уравнения.
П р и м е р 1. Решить уравнение
cos 2x – 3 sin x + 1 = 0.
Р е ш е н и е. Та а cos 2x = 1 – 2 sin
2
x, то данное уравне-
ние можно переписать следующим образом:
1 – 2 sin
2
x – 3 sin x + 1 = 0,
или
2sin
2
x + 3 sin x – 2 = 0.
Полаая y = sin x, получим вадратное уравнение 2y
2
+ 3y –
– 2 = 0, имеющее орни y
1
= , y
2
= –2. Последний орень не
одится, та а |sin x| m 1. Ита, остается решить простейшее
трионометричесое уравнение sin x = , отуда x = +
+ πn, n Ý Z.
Ответ. x = + πn, n Ý Z.
Решите уравнение, сведя ео алебраичесому уравнению
относительной одной трионометричесой фунции:
1. 2sin
2
x + sin x – 1 = 0.
2. tg
3
x + 2 tg
2
x + 3 tg x = 0.
3. 4sin
4
x + cos 4x = 1 + 12 cos
4
x.
4. 6cos
2
x + cos 3x = cos x.
5. + = .
Однородные трионометричесие равнения. Уравнение вида
a
0
+ a
1
cos x + a
2
cos
2
x + ... + a
n
= 0,
(1)
де a
0
, a
1
, a
2
, ..., a
n
— действительные числа и сумма поазате-
лей степеней при sin x и cos x в аждом слааемом равна n, на-
1
2
---
1
2
---
(–1)
n
π
6
---
(–1)
n
π
6
---
1
16
------
cos
4
x
1
2
---
cos
2
x–+
9
16
------
cos
4
x
3
2
---
cos
2
x–+
1
2
---
sin
n
x sin
n 1–
x sin
n 2–
x cos
n
x
126 Г л а в а 5. Тригонометрия
зывают однородным относительно sin x и cos x. Уравнение (1)
при cos x − 0 эвивалентно уравнению
a
0
+ a
1
+ a
2
+ ... + a
n
= 0.
П р и м е р 2. Решить уравнение
3sin
2
x – 5 sin x cos x + 8 cos
2
x = 2.
Р е ш е н и е. Чтобы свести данное уравнение однородно-
му, воспользуемся основным трионометричесим тождеством
sin
2
x + cos
2
x = 1. Записав уравнение в виде
3sin
2
x – 5 sin x cos x + 8 cos
2
x = 2(sin
2
x + cos
2
x)
и приведя подобные члены, получаем
sin
2
x – 5 sin x cos x + 6 cos
2
x = 0.
Разделив обе части последнео уравнения на cos
2
x, приходим
вадратному уравнению относительно y = tg x:
y
2
– 5y + 6 = 0.
Корнями полученноо вадратноо уравнения являются
числа y
1
= 2 и y
2
= 3.
Следовательно, исходное трионометричесое уравнение
сводится двум простейшим трионометричесим уравнениям
tg x = 2 и tg x = 3, решения оторых имеют вид x = arctg 2 +
+ πk, x = arctg 3 + πn, k Ý Z, n Ý Z.
Ответ. x = arctg 2 + πk, x = arctg 3 + πn, k Ý Z, n Ý Z.
Решите уравнение сведением ео однородному:
6. 2sinx cos x + 5 cos
2
x = 4.
7. 8sin2x – 3 cos
2
x = 4.
8. 4cos
2
+ sin x + 3 sin
2
= 3.
9. sin
4
x – cos
4
x = 0,5.
10. 2sin
3
x + 2 cos x sin
2
x – sin x cos
2
x – cos
3
x = 0.
11. 3 – 7 cos
2
x sin x – 3 sin
3
x = 0.
12. 2sin
3
x – sin
2
x cos x + 2 sin x cos
2
x – cos
3
x = 0.
13. sin
4
x + cos
4
x = sin 2x – 0,5.
14. sin
6
2x + cos
6
2x = (sin
4
2x + cos
4
2x) + (sin x + cos x).
tg
n
x tg
n 1–
x tg
n 2–
x
x
2
---
1
2
---
x
2
---
3
2
---
1
2
---
§ 25. Тригонометрические уравнения 127
15. cos
6
x + sin
6
x – cos
2
2x = .
16. sin
8
x + cos
8
x = cos
2
2x.
17. Найдите решение уравнения
sin
6
x + cos
6
x = a(sin
4
x + cos
4
x)
при всех действительных значениях a.
Метод введения дополнительноо ла. Уравнение вида
a cos x + b sin x = c (2)
эвивалентно трионометричесому уравнению
sin (x + ϕ) = ,
де ϕ находится из системы
sin ϕ = , cos ϕ = .
Пример 3. Решить уравнение
3sinx + 4 cos x = 5.
Р е ш е н и е. Та а = 5, то данное уравнение э-
вивалентно уравнению sin (x + ϕ) = 1, де ϕ определяется из
системы уравнений
sin ϕ = , cos ϕ = .
Посольу sin ϕ и cos ϕ положительны, в ачестве ϕ можно взять
ϕ = arcsin , и решение данноо уравнения запишется в виде
x = –arcsin + + 2πn.
Ответ. x = –arcsin + + 2πn (n Ý Z).
Заметим, что уравнение из примера 3 можно свести одно-
родному относительно sin и cos , если воспользоваться фор-
мулами
sin x = 2 sin cos , cos x = cos
2
– sin
2
.
1
16
------
c
a
2
b
2
+
-----------------------
b
a
2
b
2
+
-----------------------
a
a
2
b
2
+
-----------------------
3
2
4
2
+
4
5
---
3
5
---
4
5
---
4
5
---
π
2
---
4
5
---
π
2
---
x
2
---
x
2
---
x
2
---
x
2
---
x
2
---
x
2
---
126 Г л а в а 5. Тригонометрия
зывают однородным относительно sin x и cos x. Уравнение (1)
при cos x − 0 эвивалентно уравнению
a
0
+ a
1
+ a
2
+ ... + a
n
= 0.
П р и м е р 2. Решить уравнение
3sin
2
x – 5 sin x cos x + 8 cos
2
x = 2.
Р е ш е н и е. Чтобы свести данное уравнение однородно-
му, воспользуемся основным трионометричесим тождеством
sin
2
x + cos
2
x = 1. Записав уравнение в виде
3sin
2
x – 5 sin x cos x + 8 cos
2
x = 2(sin
2
x + cos
2
x)
и приведя подобные члены, получаем
sin
2
x – 5 sin x cos x + 6 cos
2
x = 0.
Разделив обе части последнео уравнения на cos
2
x, приходим
вадратному уравнению относительно y = tg x:
y
2
– 5y + 6 = 0.
Корнями полученноо вадратноо уравнения являются
числа y
1
= 2 и y
2
= 3.
Следовательно, исходное трионометричесое уравнение
сводится двум простейшим трионометричесим уравнениям
tg x = 2 и tg x = 3, решения оторых имеют вид x = arctg 2 +
+ πk, x = arctg 3 + πn, k Ý Z, n Ý Z.
Ответ. x = arctg 2 + πk, x = arctg 3 + πn, k Ý Z, n Ý Z.
Решите уравнение сведением ео однородному:
6. 2sinx cos x + 5 cos
2
x = 4.
7. 8sin2x – 3 cos
2
x = 4.
8. 4cos
2
+ sin x + 3 sin
2
= 3.
9. sin
4
x – cos
4
x = 0,5.
10. 2sin
3
x + 2 cos x sin
2
x – sin x cos
2
x – cos
3
x = 0.
11. 3 – 7 cos
2
x sin x – 3 sin
3
x = 0.
12. 2sin
3
x – sin
2
x cos x + 2 sin x cos
2
x – cos
3
x = 0.
13. sin
4
x + cos
4
x = sin 2x – 0,5.
14. sin
6
2x + cos
6
2x = (sin
4
2x + cos
4
2x) + (sin x + cos x).
tg
n
x tg
n 1–
x tg
n 2–
x
x
2
---
1
2
---
x
2
---
3
2
---
1
2
---
§ 25. Тригонометрические уравнения 127
15. cos
6
x + sin
6
x – cos
2
2x = .
16. sin
8
x + cos
8
x = cos
2
2x.
17. Найдите решение уравнения
sin
6
x + cos
6
x = a(sin
4
x + cos
4
x)
при всех действительных значениях a.
Метод введения дополнительноо ла. Уравнение вида
a cos x + b sin x = c (2)
эвивалентно трионометричесому уравнению
sin (x + ϕ) = ,
де ϕ находится из системы
sin ϕ = , cos ϕ = .
Пример 3. Решить уравнение
3sinx + 4 cos x = 5.
Р е ш е н и е. Та а = 5, то данное уравнение э-
вивалентно уравнению sin (x + ϕ) = 1, де ϕ определяется из
системы уравнений
sin ϕ = , cos ϕ = .
Посольу sin ϕ и cos ϕ положительны, в ачестве ϕ можно взять
ϕ = arcsin , и решение данноо уравнения запишется в виде
x = –arcsin + + 2πn.
Ответ. x = –arcsin + + 2πn (n Ý Z).
Заметим, что уравнение из примера 3 можно свести одно-
родному относительно sin и cos , если воспользоваться фор-
мулами
sin x = 2 sin cos , cos x = cos
2
– sin
2
.
1
16
------
c
a
2
b
2
+
-----------------------
b
a
2
b
2
+
-----------------------
a
a
2
b
2
+
-----------------------
3
2
4
2
+
4
5
---
3
5
---
4
5
---
4
5
---
π
2
---
4
5
---
π
2
---
x
2
---
x
2
---
x
2
---
x
2
---
x
2
---
x
2
---
128 Г л а в а 5. Тригонометрия
Решите уравнение методом введения дополнительноо ула:
18. sin 8x – cos 6x = (sin 6x + cos 8x).
19. sin 11x + sin 7x + cos 7x = 0.
20. sin 10x + cos 10x = sin 15x.
21. 4cos
2
x = 2 + cos 2x + .
22. 4sin3x + 3 cos 3x = 5,2.
23. Найдите все решения уравнения
– cos 3x = 0,
залюченные между π и .
Универсальная трионометричесая подстанова. Пусть да-
но трионометричесое уравнение вида
R(sin kx, cos nx, tg mx, ctg lx) = 0, (3)
де R— рациональная фунция уазанных арументов (k, n, m
и l — натуральные числа). Используя формулы для триономет-
ричесих фунций суммы улов (в частности, формулы двой-
ноо и тройноо улов), уравнение (3) можно свести рациональ-
ному уравнению относительно sin x, cos x, tg x и ctg x, а затем
рациональному уравнению относительно t = tg . Подстанов-
а t = tg , оторую называют ниверсальной трионометри-
чесой подстановой, позволяет выразить sin x, cos x, tg x и
ctg x а рациональные фунции от tg следующим образом:
sin x = ; cos x = ;
tg x = ; ctg x = .
3
3
2
-------
1
2
---
2
1
2
---
3
cos 2x
-----------------
1
sin 2x
-----------------
1sin2x+
2
3π
2
------ -
x
2
---
x
2
---
x
2
---
(4)
2tg
x
2
---
1tg
2
x
2
---
+
------------------------
1tg
2
x
2
---
–
1tg
2
x
2
---
+
------------------------
2tg
x
2
---
1tg
2
x
2
---
–
----------------------- -
1tg
2
x
2
---
–
2tg
x
2
---
----------------------- -
§ 25. Тригонометрические уравнения 129
П р и м е р 4. Решить уравнение
(cos x – sin x)2tgx + + 2 = 0.
Р е ш е н и е. Полаая t = tg и используя формулы (4), за-
пишем уравнение в виде
= 0; (*)
оно имеет орни t
1
= , t
2
= – . Таим образом, решение
уравнения (*) сводится решению двух простейших уравнений
tg = , tg = – . (**)
Выполнив проверу, убеждаемся что числа (2n + 1)π (орни
уравнения cos = 0) не являются орнями данноо уравнения,
и, следовательно, все решения исходноо уравнения находятся
а решения уравнений (**).
Ответ. x = ä + 2πk, k Ý Z.
Решите уравнение с помощью универсальной триономет-
ричесой подстанови:
24. sin x + ctg = 2.
25. ctg – x = 5 tg 2x + 7.
26. 3sin4x = (cos 2x – 1) tg x.
27. (1 + cos x) – 2 + sinx = 2 cos x.
Трионометричесие равнения вида
R(sin x +cosx, sin x cos x) = 0 и R(sin x – cos x, sin x cos x) = 0.
Уравнение вида
R(sin x + cos x, sin x cos x) = 0, (5)
де R— рациональная фунция записанных в собах ару-
ментов, можно свести уравнению относительно неизвестноо
1
cos x
-------------
x
2
---
3t
4
6t
3
8t
2
2t–3–++
t
2
1+()1 t
2
–()
---------------------------------------------------------------- -
1
3
-------
1
3
-------
x
2
---
1
3
-------
x
2
---
1
3
-------
x
2
---
π
3
---
x
2
---
π
4
---
tg
x
2
---
128 Г л а в а 5. Тригонометрия
Решите уравнение методом введения дополнительноо ула:
18. sin 8x – cos 6x = (sin 6x + cos 8x).
19. sin 11x + sin 7x + cos 7x = 0.
20. sin 10x + cos 10x = sin 15x.
21. 4cos
2
x = 2 + cos 2x + .
22. 4sin3x + 3 cos 3x = 5,2.
23. Найдите все решения уравнения
– cos 3x = 0,
залюченные между π и .
Универсальная трионометричесая подстанова. Пусть да-
но трионометричесое уравнение вида
R(sin kx, cos nx, tg mx, ctg lx) = 0, (3)
де R— рациональная фунция уазанных арументов (k, n, m
и l — натуральные числа). Используя формулы для триономет-
ричесих фунций суммы улов (в частности, формулы двой-
ноо и тройноо улов), уравнение (3) можно свести рациональ-
ному уравнению относительно sin x, cos x, tg x и ctg x, а затем
рациональному уравнению относительно t = tg . Подстанов-
а t = tg , оторую называют ниверсальной трионометри-
чесой подстановой, позволяет выразить sin x, cos x, tg x и
ctg x а рациональные фунции от tg следующим образом:
sin x = ; cos x = ;
tg x = ; ctg x = .
3
3
2
-------
1
2
---
2
1
2
---
3
cos 2x
-----------------
1
sin 2x
-----------------
1sin2x+
2
3π
2
------ -
x
2
---
x
2
---
x
2
---
(4)
2tg
x
2
---
1tg
2
x
2
---
+
------------------------
1tg
2
x
2
---
–
1tg
2
x
2
---
+
------------------------
2tg
x
2
---
1tg
2
x
2
---
–
----------------------- -
1tg
2
x
2
---
–
2tg
x
2
---
----------------------- -
§ 25. Тригонометрические уравнения 129
П р и м е р 4. Решить уравнение
(cos x – sin x)2tgx + + 2 = 0.
Р е ш е н и е. Полаая t = tg и используя формулы (4), за-
пишем уравнение в виде
= 0; (*)
оно имеет орни t
1
= , t
2
= – . Таим образом, решение
уравнения (*) сводится решению двух простейших уравнений
tg = , tg = – . (**)
Выполнив проверу, убеждаемся что числа (2n + 1)π (орни
уравнения cos = 0) не являются орнями данноо уравнения,
и, следовательно, все решения исходноо уравнения находятся
а решения уравнений (**).
Ответ. x = ä + 2πk, k Ý Z.
Решите уравнение с помощью универсальной триономет-
ричесой подстанови:
24. sin x + ctg = 2.
25. ctg – x = 5 tg 2x + 7.
26. 3sin4x = (cos 2x – 1) tg x.
27. (1 + cos x) – 2 + sinx = 2 cos x.
Трионометричесие равнения вида
R(sin x +cosx, sin x cos x) = 0 и R(sin x – cos x, sin x cos x) = 0.
Уравнение вида
R(sin x + cos x, sin x cos x) = 0, (5)
де R— рациональная фунция записанных в собах ару-
ментов, можно свести уравнению относительно неизвестноо
1
cos x
-------------
x
2
---
3t
4
6t
3
8t
2
2t–3–++
t
2
1+()1 t
2
–()
---------------------------------------------------------------- -
1
3
-------
1
3
-------
x
2
---
1
3
-------
x
2
---
1
3
-------
x
2
---
π
3
---
x
2
---
π
4
---
tg
x
2
---