Цыпкин А.Г., Пинский А.И. Справочное пособие по математике с методами решения задач для поступающих в вузы
Подождите немного. Документ загружается.
140 Г л а в а 5. Тригонометрия
Очевидно, что уравнение (***) не имеет решений в целых чис-
лах, посольу при любых n и k слева находится четное число,
а справа — нечетное. Таим образом, множества (*) и (**) не
имеют общих точе и исходное уравнение решения не имеет.
Решите уравнение:
131. sin x + sin 5x = 2.
132. sin x sin y = 1.
133. 3
lg tg x
+ 3
lg ctg x
= 2.
134. cos x + cos y – cos (x + y) = .
135. sin x + sin y = 2.
136. sin x + sin y + sin z = –3.
137. log
cos x
sin x + log
sin x
cos x = 2.
138. cos
2
x + cos x cos y + cos
2
y = 0.
139. (5 sin
2
x – 6 sin x cos x – 9 cos
2
x + 3 ) =
= arcsin
2
x + arccos
2
x – .
140. tg x = x – – x – .
141. Доажите, что уравнение (sin x + cos x)sin4x = 2
не имеет решений.
142. Найдите все значения x, удовлетворяющие уравнению
sin πx + 3 cos = 0.
143. Найдите все значения x, при оторых выражение
[1 – cos (2π(2x + 21x
2
))]
не обращается в нуль.
§ 26. Системы
тригонометрических уравнений
Систему уравнений, в оторой неизвестные являются ару-
ментами трионометричесих фунций, называют системой
трионометричесих равнений. При решении систем трионо-
метричесих уравнений используются методы решения систем
уравнений и методы решения трионометричесих уравнений.
3
2
---
2 y– 33
3
5π
2
4
--------- -
2
π
---
π
4
---
3π
4
------ -
3
49 4x–
πx
2
-------
4x
2
3– x
8
–
§ 26. Системы тригонометрических уравнений 141
П р и м е р 1. Решить систему уравнений
Р е ш е н и е. Сладывая уравнения системы, получаем урав-
нение
sin x sin y + cos x cos y = _ cos (x – y) = .
Вычитая из второо уравнения системы первое, приходим
уравнению
cos x cos y – sin x sin y = 0 _ cos (x + y) = 0.
Таим образом, исходная система равносильна системе
_ n Ý Z, k Ý Z,
отуда
Ответ. + (2n + k); + (k – 2n),
+ (2n + k); + (k – 2n), n Ý Z, k Ý Z.
Решите систему уравнений:
1. 2.
3. 4.
sin x sin y = ,
cos x cos y = .
3
4
-------
3
4
-------
3
2
-------
3
2
-------
cos (x – y) = ,
cos (x + y) = 0
3
2
-------
x – y = ä + 2πn,
x + y = + πk,
π
6
---
π
2
---
x = + (2n + k),
y = + (k – 2n),
π
3
---
π
2
---
π
6
---
π
2
---
x = + (2n + k),
y = + (k – 2n).
π
6
---
π
2
---
π
3
---
π
2
---
π
3
---
π
2
---
π
6
---
π
2
---
π
6
---
π
2
---
π
3
---
π
2
---
sin x cos y = –0,5,
cos x sin y = 0,5.
sin x cos y = 0,36,
cos x sin y = 0,175.
sin x sin y = ,
tg x tg y = 3.
3
4
---
cos x cos y = ,
ctg x ctg y = 3 + 2 .
12+
4
------------------
2
140 Г л а в а 5. Тригонометрия
Очевидно, что уравнение (***) не имеет решений в целых чис-
лах, посольу при любых n и k слева находится четное число,
а справа — нечетное. Таим образом, множества (*) и (**) не
имеют общих точе и исходное уравнение решения не имеет.
Решите уравнение:
131. sin x + sin 5x = 2.
132. sin x sin y = 1.
133. 3
lg tg x
+ 3
lg ctg x
= 2.
134. cos x + cos y – cos (x + y) = .
135. sin x + sin y = 2.
136. sin x + sin y + sin z = –3.
137. log
cos x
sin x + log
sin x
cos x = 2.
138. cos
2
x + cos x cos y + cos
2
y = 0.
139. (5 sin
2
x – 6 sin x cos x – 9 cos
2
x + 3 ) =
= arcsin
2
x + arccos
2
x – .
140. tg x = x – – x – .
141. Доажите, что уравнение (sin x + cos x)sin4x = 2
не имеет решений.
142. Найдите все значения x, удовлетворяющие уравнению
sin πx + 3 cos = 0.
143. Найдите все значения x, при оторых выражение
[1 – cos (2π(2x + 21x
2
))]
не обращается в нуль.
§ 26. Системы
тригонометрических уравнений
Систему уравнений, в оторой неизвестные являются ару-
ментами трионометричесих фунций, называют системой
трионометричесих равнений. При решении систем трионо-
метричесих уравнений используются методы решения систем
уравнений и методы решения трионометричесих уравнений.
3
2
---
2 y– 33
3
5π
2
4
--------- -
2
π
---
π
4
---
3π
4
------ -
3
49 4x–
πx
2
-------
4x
2
3– x
8
–
§ 26. Системы тригонометрических уравнений 141
П р и м е р 1. Решить систему уравнений
Р е ш е н и е. Сладывая уравнения системы, получаем урав-
нение
sin x sin y + cos x cos y = _ cos (x – y) = .
Вычитая из второо уравнения системы первое, приходим
уравнению
cos x cos y – sin x sin y = 0 _ cos (x + y) = 0.
Таим образом, исходная система равносильна системе
_ n Ý Z, k Ý Z,
отуда
Ответ. + (2n + k); + (k – 2n),
+ (2n + k); + (k – 2n), n Ý Z, k Ý Z.
Решите систему уравнений:
1. 2.
3. 4.
sin x sin y = ,
cos x cos y = .
3
4
-------
3
4
-------
3
2
-------
3
2
-------
cos (x – y) = ,
cos (x + y) = 0
3
2
-------
x – y = ä + 2πn,
x + y = + πk,
π
6
---
π
2
---
x = + (2n + k),
y = + (k – 2n),
π
3
---
π
2
---
π
6
---
π
2
---
x = + (2n + k),
y = + (k – 2n).
π
6
---
π
2
---
π
3
---
π
2
---
π
3
---
π
2
---
π
6
---
π
2
---
π
6
---
π
2
---
π
3
---
π
2
---
sin x cos y = –0,5,
cos x sin y = 0,5.
sin x cos y = 0,36,
cos x sin y = 0,175.
sin x sin y = ,
tg x tg y = 3.
3
4
---
cos x cos y = ,
ctg x ctg y = 3 + 2 .
12+
4
------------------
2
142 Г л а в а 5. Тригонометрия
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
sin x – sin y = 0,5,
cos x + cos y = 0,5 .3
sin 2x + sin 2y = 3(sin x + sin y),
cos 2x + cos 2y = cos x + cos y.
sin x ctg y = 0,5 ,
tg x cos y = 0,5 .
6
3
tg x = sin y,
sin x = 2 ctg y.
sin y = 5 sin x,
3cosx + cos y = 2.
3tg + 6sinx = 2 sin (y – x),
tg – 2 sin x = 6 sin (y + x).
y
2
---
y
2
---
sin
2
x + cos x sin y = cos 2y,
cos 2x + sin 2y = sin
2
y + 3 cos y sin x.
2sin
2
y + sin 2y = cos (x + y),
cos
2
x + 2 sin 2y + sin
2
y = cos (x – y).
sin
2
(–2x) – (3 – ) tg 5y = ,
tg
2
5y + (3 – ) sin (–2x) = .
2
32 1–
2
---------------------
2
32 1–
2
---------------------
sin
2
3x + (4 – ) ctg (–7y) = 2 – ,
ctg
2
(–7y) + (4 – ) sin 3x = 2 – .
3
3
3
4
---
3 3
3
4
---
4siny – 6 cos x = 5 + 4 cos
2
y,
cos 2x = 0.
2
1 + 2 cos 2x = 0,
cos y – 4 sin x = 2 (1 + sin
2
y).6 3
§ 26. Системы тригонометрических уравнений 143
17.
18.
19.
20.
21.
22. 23.
24.
25. 26.
27. Найдите решения системы
удовлетворяющие условиям x Ý (0; 2π); y Ý (π; 2π).
Если одно из уравнений системы рационально относительно
арументов трионометричесих фунций, то решение системы
обычно сводится решению трионометричесоо уравнения
для одноо из неизвестных.
2cosx + 6 sin y = 3 + 12 sin
2
x,
4cosx + 2 sin y = 7.
3
3
y + ctg x = 4,
2 y – ctg x = 1.
2 12
2 27
3tg3y + 2 cos x = 2 tg 60°,
2tg3y – 3 cos x = – cos 30°.
5
3
---
sin (y – 3x) = 2 sin
3
x,
cos (y – 3x) = 2 cos
3
x.
sin (x – y) = 3 sin x cos y – 1,
sin (x + y) = –2 cos x sin y.
tg
2
x + ctg
2
x = 2 sin
2
y,
sin
2
y + cos
2
z = 1.
x + y = ,
= .
π
3
---
tg x
tg y
---------- -
3
4
---
+ 3 · = 3,
+ 5 · = 5,5.
4
sin x
9
cos y
4
–sin x
81
cos y 0,5+
x + y + z = π,
tg x tg y = 2,
tg x + tg y + tg z = 6.
= 2,
= 3,
x + y + z = π.
tg x
tg y
---------- -
tg y
tg z
----------
|sinx |siny = – ,
cos (x + y) + cos (x – y) = ,
1
4
---
3
2
---
142 Г л а в а 5. Тригонометрия
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
sin x – sin y = 0,5,
cos x + cos y = 0,5 .3
sin 2x + sin 2y = 3(sin x + sin y),
cos 2x + cos 2y = cos x + cos y.
sin x ctg y = 0,5 ,
tg x cos y = 0,5 .
6
3
tg x = sin y,
sin x = 2 ctg y.
sin y = 5 sin x,
3cosx + cos y = 2.
3tg + 6sinx = 2 sin (y – x),
tg – 2 sin x = 6 sin (y + x).
y
2
---
y
2
---
sin
2
x + cos x sin y = cos 2y,
cos 2x + sin 2y = sin
2
y + 3 cos y sin x.
2sin
2
y + sin 2y = cos (x + y),
cos
2
x + 2 sin 2y + sin
2
y = cos (x – y).
sin
2
(–2x) – (3 – ) tg 5y = ,
tg
2
5y + (3 – ) sin (–2x) = .
2
32 1–
2
---------------------
2
32 1–
2
---------------------
sin
2
3x + (4 – ) ctg (–7y) = 2 – ,
ctg
2
(–7y) + (4 – ) sin 3x = 2 – .
3
3
3
4
---
3 3
3
4
---
4siny – 6 cos x = 5 + 4 cos
2
y,
cos 2x = 0.
2
1 + 2 cos 2x = 0,
cos y – 4 sin x = 2 (1 + sin
2
y).6 3
§ 26. Системы тригонометрических уравнений 143
17.
18.
19.
20.
21.
22. 23.
24.
25. 26.
27. Найдите решения системы
удовлетворяющие условиям x Ý (0; 2π); y Ý (π; 2π).
Если одно из уравнений системы рационально относительно
арументов трионометричесих фунций, то решение системы
обычно сводится решению трионометричесоо уравнения
для одноо из неизвестных.
2cosx + 6 sin y = 3 + 12 sin
2
x,
4cosx + 2 sin y = 7.
3
3
y + ctg x = 4,
2 y – ctg x = 1.
2 12
2 27
3tg3y + 2 cos x = 2 tg 60°,
2tg3y – 3 cos x = – cos 30°.
5
3
---
sin (y – 3x) = 2 sin
3
x,
cos (y – 3x) = 2 cos
3
x.
sin (x – y) = 3 sin x cos y – 1,
sin (x + y) = –2 cos x sin y.
tg
2
x + ctg
2
x = 2 sin
2
y,
sin
2
y + cos
2
z = 1.
x + y = ,
= .
π
3
---
tg x
tg y
---------- -
3
4
---
+ 3 · = 3,
+ 5 · = 5,5.
4
sin x
9
cos y
4
–sin x
81
cos y 0,5+
x + y + z = π,
tg x tg y = 2,
tg x + tg y + tg z = 6.
= 2,
= 3,
x + y + z = π.
tg x
tg y
---------- -
tg y
tg z
----------
|sinx |siny = – ,
cos (x + y) + cos (x – y) = ,
1
4
---
3
2
---
144 Г л а в а 5. Тригонометрия
П р и м е р 2. Решить систему уравнений
Р е ш е н и е. Преобразуем второе уравнение системы виду
sin x = 2 sin y.(*)
Используя первое уравнение системы, ислючим из уравне-
ния (*) неизвестное y:
sin x = 2 sin – x _ sin x = cos x + sin x.
Полученное уравнение эвивалентно трионометричесому урав-
нению
cos x = 0. (**)
Подставляя орни уравнения (**) в первое уравнение систе-
мы, получим значения для неизвестноо y.
Ответ. x = + πk, y = – πk, k Ý Z.
Решите систему:
28.
29. 30.
31.
32. Выясните, при аих значениях a решения системы
существуют, и найдите эти решения.
x + y = ,
= 2.
2π
3
------ -
sin x
sin y
-------------
2π
3
------ -
3
π
2
---
π
6
---
x – y = ,
sin x + sin y + = .
π
18
------
π
18
------
π
9
---
1
2
---
= tg y,
x – y = .
1tgx–
1tgx+
---------------------
π
6
---
tg x + ctg y = 3,
| x – y | = .
π
3
---
sin x + sin y = sin (x + y),
| x | + | y | = 1.
8cosx cos y cos (x – y) + 1 = 0,
x + y = a
§ 27. Уравнения, содержащие обратные тригоном. функции 145
§ 27. Уравнения, содержащие
обратные тригонометрические функции
Решения простейших уравнений, содержащих обратные три-
онометричесие фунции, приведены в таблице:
Уравнения вида
R (y (x)) = 0,
де R— неоторая рациональная фунция, а y(x)— одна из
арфунций, сводятся простейшим уравнениям
y (x) = y
i
,
де y
i
— орни уравнения R (y) = 0.
П р и м е р 1. Решить уравнение
2 arcsin
2
x – arcsin x – 6 = 0.
Р е ш е н и е. Введя новое неизвестное y = arcsin x, получим
уравнение
2y
2
– y – 6 = 0,
имеющее орни y
1
= 2, y
2
= –1,5. Следовательно, решение ис-
ходноо уравнения сводится решению двух простейших урав-
нений
arcsin x = 2, arcsin x = –1,5.
Та а 2 > , а |–1,5| < , то единственным решением яв-
ляется x = –sin 1,5.
Ответ. x = –sin 1,5.
Уравнение Решение уравнения
arcsin x = a | a | m x = sin a
arccos x = a (0 m a m π) x = cos a
arctg x = a | a | < x = tg a
arcctg x = a (0 < a < π) x = ctg a
π
2
---
π
2
---
π
2
---
π
2
---
144 Г л а в а 5. Тригонометрия
П р и м е р 2. Решить систему уравнений
Р е ш е н и е. Преобразуем второе уравнение системы виду
sin x = 2 sin y.(*)
Используя первое уравнение системы, ислючим из уравне-
ния (*) неизвестное y:
sin x = 2 sin – x _ sin x = cos x + sin x.
Полученное уравнение эвивалентно трионометричесому урав-
нению
cos x = 0. (**)
Подставляя орни уравнения (**) в первое уравнение систе-
мы, получим значения для неизвестноо y.
Ответ. x = + πk, y = – πk, k Ý Z.
Решите систему:
28.
29. 30.
31.
32. Выясните, при аих значениях a решения системы
существуют, и найдите эти решения.
x + y = ,
= 2.
2π
3
------ -
sin x
sin y
-------------
2π
3
------ -
3
π
2
---
π
6
---
x – y = ,
sin x + sin y + = .
π
18
------
π
18
------
π
9
---
1
2
---
= tg y,
x – y = .
1tgx–
1tgx+
---------------------
π
6
---
tg x + ctg y = 3,
| x – y | = .
π
3
---
sin x + sin y = sin (x + y),
| x | + | y | = 1.
8cosx cos y cos (x – y) + 1 = 0,
x + y = a
§ 27. Уравнения, содержащие обратные тригоном. функции 145
§ 27. Уравнения, содержащие
обратные тригонометрические функции
Решения простейших уравнений, содержащих обратные три-
онометричесие фунции, приведены в таблице:
Уравнения вида
R (y (x)) = 0,
де R— неоторая рациональная фунция, а y(x)— одна из
арфунций, сводятся простейшим уравнениям
y (x) = y
i
,
де y
i
— орни уравнения R (y) = 0.
П р и м е р 1. Решить уравнение
2 arcsin
2
x – arcsin x – 6 = 0.
Р е ш е н и е. Введя новое неизвестное y = arcsin x, получим
уравнение
2y
2
– y – 6 = 0,
имеющее орни y
1
= 2, y
2
= –1,5. Следовательно, решение ис-
ходноо уравнения сводится решению двух простейших урав-
нений
arcsin x = 2, arcsin x = –1,5.
Та а 2 > , а |–1,5| < , то единственным решением яв-
ляется x = –sin 1,5.
Ответ. x = –sin 1,5.
Уравнение Решение уравнения
arcsin x = a | a | m x = sin a
arccos x = a (0 m a m π) x = cos a
arctg x = a | a | < x = tg a
arcctg x = a (0 < a < π) x = ctg a
π
2
---
π
2
---
π
2
---
π
2
---
146 Г л а в а 5. Тригонометрия
Решите уравнение:
1. arctg
2
– 4 arctg – 5 = 0.
2. arctg
2
(3x + 2) + 2 arctg (3x + 2) = 0.
3. 2arcsinx = + .
4. 3arctg
2
x – 4π arctg x + π
2
= 0.
5. Найдите решения уравнения
2 arccos x = a +
при действительных значениях a.
Если в уравнение входят выражения, содержащие разные
арфунции, или эти арфунции зависят от разных арумен-
тов, то ео сводят алебраичесому уравнению вычислением
неоторой трионометричесой фунции от обеих частей дан-
ноо уравнения. Получающиеся при этом посторонние орни
отделяют проверой. Если в ачестве трионометричесой фун-
ции выбирают таненс или отаненс, то решения, не входя-
щие в области определения этих фунций, моут быть потеря-
ны. Поэтому перед вычислением значений таненса или отан-
енса от обеих частей уравнения следует убедиться в том, что
среди точе, не входящих в область определения этих фун-
ций, нет орней исходноо уравнения.
П р и м е р 2. Решить уравнение
arcsin 6x + arcsin 6 x = – . (*)
Р е ш е н и е. Перенесем arcsin 6x в правую часть уравнения
и вычислим значения синуса об обеих частей полученноо
уравнения:
sin (arcsin 6x) = sin –arcsin 6 x – .
Преобразуя правую часть этоо уравнения по формулам приве-
дения, приходим алебраичесому уравнению, являющемуся
следствием уравнения (*):
6x = – .
x
3
---
x
3
---
π
3
---
π
2
9
----- -
arcsin x
--------------------- -
a
2
arccos x
----------------------
3
π
2
---
3
π
2
---
1108x
2
–
§ 27. Уравнения, содержащие обратные тригоном. функции 147
Возведя обе части уравнения в вадрат и приведя подобные
члены, получаем уравнение
144x
2
= 1,
орнями отороо являются числа и – .
Выполним проверу. Подставив в уравнение (*) значение
x = – , имеем
arcsin – + arcsin – = – – = – .
Таим образом, x = – является орнем исходноо уравнения.
Подставив в уравнение (*) значение x = , замечаем, что ле-
вая часть полученноо соотношения положительна, а правая —
отрицательна. Поэтому значение x = — посторонний орень
уравнения (*).
Ответ. x = – .
Пример 3. Решить уравнение
2 arctg (2x + 1) = arccos (–x). (*)
Р е ш е н и е. Вычисляя значения осинуса от обеих частей
уравнения, получаем
cos(2arctg(2x + 1)) = –x.
Левую часть этоо уравнения можно преобразовать виду
cos (2 arctg (2x + 1)) = = – .
Таим образом, приходим алебраичесому уравнению, яв-
ляющемуся следствием уравнения (*):
= x _ 2x
3
– x = 0;
оно имеет орни 0, , – . Чтобы выяснить, аие из этих
чисел удовлетворяют исходному уравнению, выполним провер-
1
12
------
1
12
------
1
12
------
1
2
---
3
2
-------
π
6
---
π
3
---
π
2
---
1
12
------
1
12
------
1
12
------
1
12
------
12x 1+()
2
–
12x 1+()
2
+
------------------------------------
2x
2
2x+
12x 2x
2
++
-----------------------------------
2x
2
2x+
12x 2x
2
++
-----------------------------------
2
2
-------
2
2
-------
146 Г л а в а 5. Тригонометрия
Решите уравнение:
1. arctg
2
– 4 arctg – 5 = 0.
2. arctg
2
(3x + 2) + 2 arctg (3x + 2) = 0.
3. 2arcsinx = + .
4. 3arctg
2
x – 4π arctg x + π
2
= 0.
5. Найдите решения уравнения
2 arccos x = a +
при действительных значениях a.
Если в уравнение входят выражения, содержащие разные
арфунции, или эти арфунции зависят от разных арумен-
тов, то ео сводят алебраичесому уравнению вычислением
неоторой трионометричесой фунции от обеих частей дан-
ноо уравнения. Получающиеся при этом посторонние орни
отделяют проверой. Если в ачестве трионометричесой фун-
ции выбирают таненс или отаненс, то решения, не входя-
щие в области определения этих фунций, моут быть потеря-
ны. Поэтому перед вычислением значений таненса или отан-
енса от обеих частей уравнения следует убедиться в том, что
среди точе, не входящих в область определения этих фун-
ций, нет орней исходноо уравнения.
П р и м е р 2. Решить уравнение
arcsin 6x + arcsin 6 x = – . (*)
Р е ш е н и е. Перенесем arcsin 6x в правую часть уравнения
и вычислим значения синуса об обеих частей полученноо
уравнения:
sin (arcsin 6x) = sin –arcsin 6 x – .
Преобразуя правую часть этоо уравнения по формулам приве-
дения, приходим алебраичесому уравнению, являющемуся
следствием уравнения (*):
6x = – .
x
3
---
x
3
---
π
3
---
π
2
9
----- -
arcsin x
--------------------- -
a
2
arccos x
----------------------
3
π
2
---
3
π
2
---
1108x
2
–
§ 27. Уравнения, содержащие обратные тригоном. функции 147
Возведя обе части уравнения в вадрат и приведя подобные
члены, получаем уравнение
144x
2
= 1,
орнями отороо являются числа и – .
Выполним проверу. Подставив в уравнение (*) значение
x = – , имеем
arcsin – + arcsin – = – – = – .
Таим образом, x = – является орнем исходноо уравнения.
Подставив в уравнение (*) значение x = , замечаем, что ле-
вая часть полученноо соотношения положительна, а правая —
отрицательна. Поэтому значение x = — посторонний орень
уравнения (*).
Ответ. x = – .
Пример 3. Решить уравнение
2 arctg (2x + 1) = arccos (–x). (*)
Р е ш е н и е. Вычисляя значения осинуса от обеих частей
уравнения, получаем
cos(2arctg(2x + 1)) = –x.
Левую часть этоо уравнения можно преобразовать виду
cos (2 arctg (2x + 1)) = = – .
Таим образом, приходим алебраичесому уравнению, яв-
ляющемуся следствием уравнения (*):
= x _ 2x
3
– x = 0;
оно имеет орни 0, , – . Чтобы выяснить, аие из этих
чисел удовлетворяют исходному уравнению, выполним провер-
1
12
------
1
12
------
1
12
------
1
2
---
3
2
-------
π
6
---
π
3
---
π
2
---
1
12
------
1
12
------
1
12
------
1
12
------
12x 1+()
2
–
12x 1+()
2
+
------------------------------------
2x
2
2x+
12x 2x
2
++
-----------------------------------
2x
2
2x+
12x 2x
2
++
-----------------------------------
2
2
-------
2
2
-------
148 Г л а в а 5. Тригонометрия
у. При x = 0 обе части уравнения (*) равны . При x =
правая и левая части уравнения (*) равны соответственно и
2 arctg ( + 1). Но
tg (2arctg ) = =
= = = = –1
и, следовательно, 2 arctg = . Значит, x = явля-
ется орнем исходноо уравнения.
При x = – правая и левая части уравнения (*) равны со-
ответственно и 2 arctg Имеем
tg (2 arctg ) = =
= = = = –1
и, значит, x = – не является орнем исходноо уравнения.
Ответ. x = 0, x = .
Решите уравнение:
6. arccos = 2 arctg (x – 1).
7. arccos x – π = arcsin .
8. arctg x + + arctg x – = .
9. arctg 2x + arctg 3x = .
10. arcsin x + arccos (x – 1) = π.
11. 2 arccos x + arcsin x = .
12. 2 arccos – = arccos (x + 3).
π
2
---
2
2
-------
3π
4
------ -
2
(2 1+)
2tg(arctg( 2 1+)
1tg
2
(arctg( 2–1+))
---------------------------------------------------------------
2( 2 1+)
1(2–1)
2
+
------------------------------------
2( 2 1)+
13–22–
-------------------------------
2( 2 1)+
–2( 2 1)+
------------------------------
(2 1)+
3π
4
------ -
2
2
-------
2
2
-------
π
4
---
(1 2).–
(1 2)–
2tg(arctg(1 2))–
1tg
2
– (arctg(1 2))–
---------------------------------------------------------------
2(1 2)–
1(1–2)
2
–
----------------------------------- -
2(1 2)–
13–22+
--------------------------------
2(1 2)–
2( 2 1)–
--------------------------
2
2
-------
2
2
-------
x
2
---
4x
3
-------
1
2
---
1
2
---
π
4
---
3π
4
------ -
11π
6
----------
x
2
---
§ 27. Уравнения, содержащие обратные тригоном. функции 149
13. 2 arcsin x = arcsin x.
14. arctg + arctg = arctg x.
15. arccos x – arcsin x = .
16. arcsin x + arcsin = .
17. arcsin 2x = 3 arcsin x.
18. arccos x – arcsin x = arccos x.
19. arcsin x – arccos x = arcsin (3x – 2).
Неоторые уравнения, содержащие неизвестное под знаом
арфунции, представляют собой тождества на общей области
определения левой и правой частей уравнения. Процесс реше-
ния таоо уравнения залючается в нахождении этой области.
П р и м е р 4. Решить уравнение
2arccosx = arcsin (2x ). (*)
Р е ш е н и е. Соласно определению фунции y = arccos x,
имеем
x = cos y,де0 m y m π,|x | m 1.
Подставляя это выражение в правую часть уравнения (*), полу-
чаем
arcsin (2 cos y sin y) = arcsin (sin 2y).
Далее, в силу определения фунции y = arcsin x находим
arcsin (sin 2y) = 2y при – m y m .
Таим образом, левая часть уравнения (*) равна ео правой
части при всех y Ý 0; . Возвращаясь исходному неизвест-
ному, залючаем, что x Ý ; 1.
Ответ. x Ý ; 1.
Решите уравнение:
20. arcsin x = arccos .
21. arccos x = π – arcsin .
2
x
3
---
x
2
---
π
6
---
x
3
-------
π
2
---
3
1 x
2
–
π
4
---
π
4
---
π
4
---
2
2
-------
2
2
-------
1 x
2
–
1 x
2
–
148 Г л а в а 5. Тригонометрия
у. При x = 0 обе части уравнения (*) равны . При x =
правая и левая части уравнения (*) равны соответственно и
2 arctg ( + 1). Но
tg (2arctg ) = =
= = = = –1
и, следовательно, 2 arctg = . Значит, x = явля-
ется орнем исходноо уравнения.
При x = – правая и левая части уравнения (*) равны со-
ответственно и 2 arctg Имеем
tg (2 arctg ) = =
= = = = –1
и, значит, x = – не является орнем исходноо уравнения.
Ответ. x = 0, x = .
Решите уравнение:
6. arccos = 2 arctg (x – 1).
7. arccos x – π = arcsin .
8. arctg x + + arctg x – = .
9. arctg 2x + arctg 3x = .
10. arcsin x + arccos (x – 1) = π.
11. 2 arccos x + arcsin x = .
12. 2 arccos – = arccos (x + 3).
π
2
---
2
2
-------
3π
4
------ -
2
(2 1+)
2tg(arctg( 2 1+)
1tg
2
(arctg( 2–1+))
---------------------------------------------------------------
2( 2 1+)
1(2–1)
2
+
------------------------------------
2( 2 1)+
13–22–
-------------------------------
2( 2 1)+
–2( 2 1)+
------------------------------
(2 1)+
3π
4
------ -
2
2
-------
2
2
-------
π
4
---
(1 2).–
(1 2)–
2tg(arctg(1 2))–
1tg
2
– (arctg(1 2))–
---------------------------------------------------------------
2(1 2)–
1(1–2)
2
–
----------------------------------- -
2(1 2)–
13–22+
--------------------------------
2(1 2)–
2( 2 1)–
--------------------------
2
2
-------
2
2
-------
x
2
---
4x
3
-------
1
2
---
1
2
---
π
4
---
3π
4
------ -
11π
6
----------
x
2
---
§ 27. Уравнения, содержащие обратные тригоном. функции 149
13. 2 arcsin x = arcsin x.
14. arctg + arctg = arctg x.
15. arccos x – arcsin x = .
16. arcsin x + arcsin = .
17. arcsin 2x = 3 arcsin x.
18. arccos x – arcsin x = arccos x.
19. arcsin x – arccos x = arcsin (3x – 2).
Неоторые уравнения, содержащие неизвестное под знаом
арфунции, представляют собой тождества на общей области
определения левой и правой частей уравнения. Процесс реше-
ния таоо уравнения залючается в нахождении этой области.
П р и м е р 4. Решить уравнение
2arccosx = arcsin (2x ). (*)
Р е ш е н и е. Соласно определению фунции y = arccos x,
имеем
x = cos y,де0 m y m π,|x | m 1.
Подставляя это выражение в правую часть уравнения (*), полу-
чаем
arcsin (2 cos y sin y) = arcsin (sin 2y).
Далее, в силу определения фунции y = arcsin x находим
arcsin (sin 2y) = 2y при – m y m .
Таим образом, левая часть уравнения (*) равна ео правой
части при всех y Ý 0; . Возвращаясь исходному неизвест-
ному, залючаем, что x Ý ; 1.
Ответ. x Ý ; 1.
Решите уравнение:
20. arcsin x = arccos .
21. arccos x = π – arcsin .
2
x
3
---
x
2
---
π
6
---
x
3
-------
π
2
---
3
1 x
2
–
π
4
---
π
4
---
π
4
---
2
2
-------
2
2
-------
1 x
2
–
1 x
2
–