Цыпкин А.Г., Пинский А.И. Справочное пособие по математике с методами решения задач для поступающих в вузы
Подождите немного. Документ загружается.
130 Г л а в а 5. Тригонометрия
t = sinx + cosx. Для этоо следует воспользоваться трионо-
метричесим тождеством
(sin x + cos x)
2
= sin
2
x + cos
2
x + 2 sin x cos x =
= 1 + 2 sin x cos x,
из отороо следует равенство
sin x cos x = . (6)
Учитывая это равенство, уравнение (5) можно привести виду
Rt, = 0.
Аналоично уравнение вида
R(sin x – cos x, sin x cos x) = 0
подстановой sin x – cos x = t сводится уравнению
Rt, = 0.
Пример 5. Решить уравнение
sin x + cos x – 2 sin x cos x = 0.
Р е ш е н и е. Полаая sin x + cos x = t и используя равенст-
во (6), сведем исходное уравнение виду
t
2
– t – = 0.
Корнями этоо вадратноо уравнения являются числа t
1
= ,
t
2
= – .
Таим образом, решение исходноо уравнения сводится
решению двух трионометричесих уравнений
sin x + cos x = , sin x + cos x = – .
t
2
1–
2
---------------
t
2
1–
2
---------------
1 t
2
–
2
---------------
2
2 2
2
1
2
-------
2
1
2
-------
§ 25. Тригонометрические уравнения 131
Умножив обе части этих уравнений на число , сведем их
двум более простым уравнениям:
sin x + cos x = 1 _ cos sin x + sin cos x = 1 _
_ sin x + = 1;
sin x + cos x = – _ sin x + = – .
Остается решить уравнения sin x + = 1 и sin x + = – .
Ответ. x = + 2πk, x = – + πn, k Ý Z, n Ý Z.
Решите уравнение:
28. 5(sin x + cos x) + sin 3x – cos 3x = 2 (2 + sin 2x).
29. sin x + cos x + sin x cos x = 1.
30. sin x + cos x – 2 sin x cos x = 1.
31. Найдите решение уравнения
+ + = a
при всех действительных значениях a.
Использование формл понижения степени. Упрощение не-
оторых трионометричесих уравнений можно произвести с по-
мощью понижения их степени. Если поазатели степеней сину-
сов и осинусов, входящих в уравнение, четные, то понижение
степени выполняют по формулам половинноо арумента.
Пример 6. Решить уравнение
sin
10
x + cos
10
x = cos
4
2x.
Р е ш е н и е. Используя формулы половинноо арумента,
запишем данное уравнение в виде
+ = cos
4
2x.
1
2
-------
1
2
-------
1
2
-------
π
4
---
π
4
---
π
4
---
1
2
-------
1
2
-------
1
2
---
π
4
---
1
2
---
π
4
---
π
4
---
1
2
---
π
4
---
(–1)
n 1+
π
6
---
π
4
---
2
1
cos x
-------------
1
sin x
-------------
1
sin x cos x
----------------------------
29
16
------
1cos2x–
2
---------------------------
5
1cos2x+
2
--------------------------- -
5
29
16
------
130 Г л а в а 5. Тригонометрия
t = sinx + cosx. Для этоо следует воспользоваться трионо-
метричесим тождеством
(sin x + cos x)
2
= sin
2
x + cos
2
x + 2 sin x cos x =
= 1 + 2 sin x cos x,
из отороо следует равенство
sin x cos x = . (6)
Учитывая это равенство, уравнение (5) можно привести виду
Rt, = 0.
Аналоично уравнение вида
R(sin x – cos x, sin x cos x) = 0
подстановой sin x – cos x = t сводится уравнению
Rt, = 0.
Пример 5. Решить уравнение
sin x + cos x – 2 sin x cos x = 0.
Р е ш е н и е. Полаая sin x + cos x = t и используя равенст-
во (6), сведем исходное уравнение виду
t
2
– t – = 0.
Корнями этоо вадратноо уравнения являются числа t
1
= ,
t
2
= – .
Таим образом, решение исходноо уравнения сводится
решению двух трионометричесих уравнений
sin x + cos x = , sin x + cos x = – .
t
2
1–
2
---------------
t
2
1–
2
---------------
1 t
2
–
2
---------------
2
2 2
2
1
2
-------
2
1
2
-------
§ 25. Тригонометрические уравнения 131
Умножив обе части этих уравнений на число , сведем их
двум более простым уравнениям:
sin x + cos x = 1 _ cos sin x + sin cos x = 1 _
_ sin x + = 1;
sin x + cos x = – _ sin x + = – .
Остается решить уравнения sin x + = 1 и sin x + = – .
Ответ. x = + 2πk, x = – + πn, k Ý Z, n Ý Z.
Решите уравнение:
28. 5(sin x + cos x) + sin 3x – cos 3x = 2 (2 + sin 2x).
29. sin x + cos x + sin x cos x = 1.
30. sin x + cos x – 2 sin x cos x = 1.
31. Найдите решение уравнения
+ + = a
при всех действительных значениях a.
Использование формл понижения степени. Упрощение не-
оторых трионометричесих уравнений можно произвести с по-
мощью понижения их степени. Если поазатели степеней сину-
сов и осинусов, входящих в уравнение, четные, то понижение
степени выполняют по формулам половинноо арумента.
Пример 6. Решить уравнение
sin
10
x + cos
10
x = cos
4
2x.
Р е ш е н и е. Используя формулы половинноо арумента,
запишем данное уравнение в виде
+ = cos
4
2x.
1
2
-------
1
2
-------
1
2
-------
π
4
---
π
4
---
π
4
---
1
2
-------
1
2
-------
1
2
---
π
4
---
1
2
---
π
4
---
π
4
---
1
2
---
π
4
---
(–1)
n 1+
π
6
---
π
4
---
2
1
cos x
-------------
1
sin x
-------------
1
sin x cos x
----------------------------
29
16
------
1cos2x–
2
---------------------------
5
1cos2x+
2
--------------------------- -
5
29
16
------
132 Г л а в а 5. Тригонометрия
Полаая cos 2x = t, получим уравнение
+ = t
4
.
После расрытия собо и приведения подобных членов придем
бивадратному уравнению
24t
4
– 10t
2
– 1 = 0,
имеющему единственный действительный орень t
2
= . Воз-
вращаясь исходному неизвестному, получаем
cos
2
2x = _ 1 + cos 4x = 1 _ cos 4x = 0 _ x = + , k Ý Z.
Ответ. x = + , k Ý Z.
Решите уравнение:
32. sin
2
6x + 8 sin
2
3x = 0.
33. sin
2
x + a sin
2
2x = sin . Исследуйте решение.
34. sin
8
x + cos
8
x = .
35. cos 2x + 4 sin
4
x = 8 cos
6
x.
36. cos 4x – 2 cos
2
x – 22 sin
2
x + 1 = 0.
37. cos
2
3x + cos
2
4x + cos
2
5x = .
38. sin
2
3x + sin
2
4x = sin
2
5x + sin
2
6x.
39. cos
2
+ cos
2
– sin
2
2x – sin
2
4x = 0.
40. sin
4
x + cos
4
x = cos
2
2x + 0,25.
41. 2 + cos 4x = 5 cos 2x + 8 sin
6
x.
42. sin
4
x + cos
4
x = .
43. 8sin
2
x + 6 cos
2
x = 13 sin 2x.
44. sin
3
x (1 + ctg x) + cos
3
x (1 + tg x) = 2 .
Решите уравнение, применяя изложенные ранее методы:
45. 2cos2x = (cos x – sin x).
46. sin
3
x + cos
3
x = 1 – 0,5 sin 2x.
47. sin 3x + sin x + 2 cos x = sin 2x + 2 cos
2
x.
1 t–
2
------------
5
1 t+
2
------------ -
5
29
16
------
1
2
---
1
2
---
π
8
---
πk
4
------ -
π
8
---
πk
4
------ -
π
6
---
17
32
------
3
2
---
x
2
---
3x
2
-------
5
8
---
sin x cos x
6
§ 25. Тригонометрические уравнения 133
48. sin 5x sin 4x = –cos 6x cos 3x.
49. tg x + sin 2x = .
50. 2tgx + tg 2x = tg 4x.
51. cos 3x + sin 5x = 0.
52. sin x cos 5x = sin 9x cos 3x.
53. 1 + sin x + cos x + sin 2x + cos 2x = 0.
54. 1 + sin x + cos 3x = cos x + cos 2x + sin 2x.
55. sin
2
x (tg x + 1) = 3 sin x (cos x – sin x) + 3.
56. sin 2x sin 6x = cos x cos 3x.
57. cos (x + 1) sin 2(x + 1) = cos 3(x + 1) sin 4(x + 1).
58. sin x sin 7x = sin 3x sin 5x.
59. cos x sin 7x = cos 3x sin 5x.
60. sin x + sin 2x + sin 3x + sin 4x = 0.
61. cos 2x – cos 8x + cos 6x = 1.
62. sin x sin 2x sin 3x = sin 4x.
63. sin
3
x cos 3x + cos 3x cos
3
x = .
64. tg x + tg 2x = tg 3x.
65. (1 – tg x)(1 + sin2x) = 1 + tg x.
66. (1 + sin 2x)(cosx – sin x) = 1 – 2 sin
2
x.
67. tg (x + α) + tg (x – α) = 2 ctg x.
68. sin
2
2z + sin
2
3z + sin
2
4z + sin
2
5z = 2.
69. sin x cos x cos 2x cos 8x = sin 12x.
70. sin 2x sin 6x – cos 2x cos 6x = sin 3x cos 8x.
71. tg x + ctg 2x = 2 ctg 4x.
72. cos 3x – cos 2x = sin 3x.
73. 2sin3x – = 2 cos 3x + .
74. ctg
2
x – tg
2
x = 32 cos
3
2x.
75. tg 2x + ctg x = 8 cos
2
x.
76. sin
2
2x – tg
2
x = cos 2x.
77. sin 2x – tg x = 2 sin 4x.
78. = (sin x + cos x).
79. cos 3x tg 5x = sin 7x.
1
cos x
-------------
1
4
---
3
8
---
1
4
---
2
1
sin x
-------------
1
cos x
-------------
9
2
---
sin 4x
sin x
π
4
---
–
----------------------------- -
2
132 Г л а в а 5. Тригонометрия
Полаая cos 2x = t, получим уравнение
+ = t
4
.
После расрытия собо и приведения подобных членов придем
бивадратному уравнению
24t
4
– 10t
2
– 1 = 0,
имеющему единственный действительный орень t
2
= . Воз-
вращаясь исходному неизвестному, получаем
cos
2
2x = _ 1 + cos 4x = 1 _ cos 4x = 0 _ x = + , k Ý Z.
Ответ. x = + , k Ý Z.
Решите уравнение:
32. sin
2
6x + 8 sin
2
3x = 0.
33. sin
2
x + a sin
2
2x = sin . Исследуйте решение.
34. sin
8
x + cos
8
x = .
35. cos 2x + 4 sin
4
x = 8 cos
6
x.
36. cos 4x – 2 cos
2
x – 22 sin
2
x + 1 = 0.
37. cos
2
3x + cos
2
4x + cos
2
5x = .
38. sin
2
3x + sin
2
4x = sin
2
5x + sin
2
6x.
39. cos
2
+ cos
2
– sin
2
2x – sin
2
4x = 0.
40. sin
4
x + cos
4
x = cos
2
2x + 0,25.
41. 2 + cos 4x = 5 cos 2x + 8 sin
6
x.
42. sin
4
x + cos
4
x = .
43. 8sin
2
x + 6 cos
2
x = 13 sin 2x.
44. sin
3
x (1 + ctg x) + cos
3
x (1 + tg x) = 2 .
Решите уравнение, применяя изложенные ранее методы:
45. 2cos2x = (cos x – sin x).
46. sin
3
x + cos
3
x = 1 – 0,5 sin 2x.
47. sin 3x + sin x + 2 cos x = sin 2x + 2 cos
2
x.
1 t–
2
------------
5
1 t+
2
------------ -
5
29
16
------
1
2
---
1
2
---
π
8
---
πk
4
------ -
π
8
---
πk
4
------ -
π
6
---
17
32
------
3
2
---
x
2
---
3x
2
-------
5
8
---
sin x cos x
6
§ 25. Тригонометрические уравнения 133
48. sin 5x sin 4x = –cos 6x cos 3x.
49. tg x + sin 2x = .
50. 2tgx + tg 2x = tg 4x.
51. cos 3x + sin 5x = 0.
52. sin x cos 5x = sin 9x cos 3x.
53. 1 + sin x + cos x + sin 2x + cos 2x = 0.
54. 1 + sin x + cos 3x = cos x + cos 2x + sin 2x.
55. sin
2
x (tg x + 1) = 3 sin x (cos x – sin x) + 3.
56. sin 2x sin 6x = cos x cos 3x.
57. cos (x + 1) sin 2(x + 1) = cos 3(x + 1) sin 4(x + 1).
58. sin x sin 7x = sin 3x sin 5x.
59. cos x sin 7x = cos 3x sin 5x.
60. sin x + sin 2x + sin 3x + sin 4x = 0.
61. cos 2x – cos 8x + cos 6x = 1.
62. sin x sin 2x sin 3x = sin 4x.
63. sin
3
x cos 3x + cos 3x cos
3
x = .
64. tg x + tg 2x = tg 3x.
65. (1 – tg x)(1 + sin2x) = 1 + tg x.
66. (1 + sin 2x)(cosx – sin x) = 1 – 2 sin
2
x.
67. tg (x + α) + tg (x – α) = 2 ctg x.
68. sin
2
2z + sin
2
3z + sin
2
4z + sin
2
5z = 2.
69. sin x cos x cos 2x cos 8x = sin 12x.
70. sin 2x sin 6x – cos 2x cos 6x = sin 3x cos 8x.
71. tg x + ctg 2x = 2 ctg 4x.
72. cos 3x – cos 2x = sin 3x.
73. 2sin3x – = 2 cos 3x + .
74. ctg
2
x – tg
2
x = 32 cos
3
2x.
75. tg 2x + ctg x = 8 cos
2
x.
76. sin
2
2x – tg
2
x = cos 2x.
77. sin 2x – tg x = 2 sin 4x.
78. = (sin x + cos x).
79. cos 3x tg 5x = sin 7x.
1
cos x
-------------
1
4
---
3
8
---
1
4
---
2
1
sin x
-------------
1
cos x
-------------
9
2
---
sin 4x
sin x
π
4
---
–
----------------------------- -
2
134 Г л а в а 5. Тригонометрия
80. = cos x – cos .
81. sin x ctg 3x = cos 5x.
82. – = 8 sin x sin 3x.
83. – = –2 cos 2x.
84. + + = 0.
85. + = .
86. cos x – + cos x + = cos 2x.
87. 4sin3x + sin 5x – 2 sin x cos 2x = 0.
88. sin x + sin x – = sin x.
89. 3cosx + 2 cos 5x + 4 cos 3x cos 4x = 0.
90. 3sin5x = cos 2x – cos 8x – sin 15x.
91. cos 2x – sin 3x – cos 8x = sin 10x – cos 5x.
92. sin 2x – cos 2x = tg x.
93. cos 3x – sin 5x – cos 7x = sin 4x – cos 2x.
94. sin 2x + cos 2x = 2 tg x + 1.
95. 4sin
2
x + 3 tg
2
x = 1.
96. 4sinx sin 2x sin 3x = sin 4x.
97. = 0.
98. = cos x – .
99. cos 2x = (cos x + sin x).
100. ctg x – tg x = .
101. sin 7x + sin 3x + 2 sin
2
x = 1.
102. cos x – cos 17x = 1 + 2 sin 8x sin x – cos 16x.
103. sin x – cos x = 4 sin x cos
2
x.
104. 2cos2x (ctg x – 1) = 1 + ctg x.
105. tg x + 2 ctg 2x = sin x 1 + tg x tg .
cos
2
2x
cos x cos
π
4
---
+
----------------------------------
π
4
---
cos x
cos 3x
-----------------
cos 5x
cos x
-----------------
cos x
cos 3x
-----------------
cos 3x
cos x
-----------------
1
cos x cos 2x
---------------------------------
1
cos 2x cos 3x
------------------------------------
1
cos 3x cos 4x
------------------------------------
sin 3x
cos 2x
-----------------
cos 3x
sin 2x
-----------------
2
sin 3x
-----------------
π
4
---
π
4
---
2
3
---
π
3
---
π
3
---
sin 4x sin 2x 4sin3x–2cosx 4–++
sin x 1–
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------
1cos2x–
sin x
------------------------------- -
2
1
2
---
13+
2
------------------
cos x sin x–
1
2
--- sin 2x
---------------------------------
x
2
---
§ 25. Тригонометрические уравнения 135
106. 2ctg2x – ctg x = sin 2x + 3 sin x.
107. sin
4
x – cos
4
x = cos – x .
108. sin 2x + sin
4
= cos
4
.
109. cos x = sin x + 2 cos 3x.
110. = (sin x + cos x)
2
.
111. sin 3x + sin x = 4 sin
3
x.
112. tg cos x = ctg sin x .
Решение трионометричесих равнений, довлетворяющих
неоторым дополнительным словиям. Инода решение трио-
нометричесих уравнений предполаает последующую провер-
у условий, оторым должны удовлетворять найденные орни.
Если эти условия залючаются в том, что орни уравнения
должны принадлежать заданному промежуту, то задача выде-
ления этих орней сводится решению неотороо неравенст-
ва в целых числах.
П р и м е р 7. Найти все решения уравнения
(tg
2
x – 1)
–1
= 1 + cos 2x,
удовлетворяющие неравенству 2
x + 1
– 8 > 0.
Р е ш е н и е. Приведем исходное трионометричесое урав-
нение виду
(1 + cos 2x)1 + = 0.
Найдем решения этоо уравнения:
x = – + πk, x = ä + πn, k Ý Z, n Ý Z.
По условию среди этих значений x необходимо отобрать таие,
оторые удовлетворяют требованиям 2
x + 1
– 8 > 0, cosx − 0.
Исомыми значениями являются
x = ä + πn, n Ý N.
Ответ. x = ä + πn, n Ý N.
3π
2
------ -
x
2
---
x
2
---
3
1tgx+
1tgx–
---------------------
π
2
---
π
2
---
1
2cos2x
----------------------
π
2
---
π
3
---
π
3
---
π
3
---
134 Г л а в а 5. Тригонометрия
80. = cos x – cos .
81. sin x ctg 3x = cos 5x.
82. – = 8 sin x sin 3x.
83. – = –2 cos 2x.
84. + + = 0.
85. + = .
86. cos x – + cos x + = cos 2x.
87. 4sin3x + sin 5x – 2 sin x cos 2x = 0.
88. sin x + sin x – = sin x.
89. 3cosx + 2 cos 5x + 4 cos 3x cos 4x = 0.
90. 3sin5x = cos 2x – cos 8x – sin 15x.
91. cos 2x – sin 3x – cos 8x = sin 10x – cos 5x.
92. sin 2x – cos 2x = tg x.
93. cos 3x – sin 5x – cos 7x = sin 4x – cos 2x.
94. sin 2x + cos 2x = 2 tg x + 1.
95. 4sin
2
x + 3 tg
2
x = 1.
96. 4sinx sin 2x sin 3x = sin 4x.
97. = 0.
98. = cos x – .
99. cos 2x = (cos x + sin x).
100. ctg x – tg x = .
101. sin 7x + sin 3x + 2 sin
2
x = 1.
102. cos x – cos 17x = 1 + 2 sin 8x sin x – cos 16x.
103. sin x – cos x = 4 sin x cos
2
x.
104. 2cos2x (ctg x – 1) = 1 + ctg x.
105. tg x + 2 ctg 2x = sin x 1 + tg x tg .
cos
2
2x
cos x cos
π
4
---
+
----------------------------------
π
4
---
cos x
cos 3x
-----------------
cos 5x
cos x
-----------------
cos x
cos 3x
-----------------
cos 3x
cos x
-----------------
1
cos x cos 2x
---------------------------------
1
cos 2x cos 3x
------------------------------------
1
cos 3x cos 4x
------------------------------------
sin 3x
cos 2x
-----------------
cos 3x
sin 2x
-----------------
2
sin 3x
-----------------
π
4
---
π
4
---
2
3
---
π
3
---
π
3
---
sin 4x sin 2x 4sin3x–2cosx 4–++
sin x 1–
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------
1cos2x–
sin x
------------------------------- -
2
1
2
---
13+
2
------------------
cos x sin x–
1
2
--- sin 2x
---------------------------------
x
2
---
§ 25. Тригонометрические уравнения 135
106. 2ctg2x – ctg x = sin 2x + 3 sin x.
107. sin
4
x – cos
4
x = cos – x .
108. sin 2x + sin
4
= cos
4
.
109. cos x = sin x + 2 cos 3x.
110. = (sin x + cos x)
2
.
111. sin 3x + sin x = 4 sin
3
x.
112. tg cos x = ctg sin x .
Решение трионометричесих равнений, довлетворяющих
неоторым дополнительным словиям. Инода решение трио-
нометричесих уравнений предполаает последующую провер-
у условий, оторым должны удовлетворять найденные орни.
Если эти условия залючаются в том, что орни уравнения
должны принадлежать заданному промежуту, то задача выде-
ления этих орней сводится решению неотороо неравенст-
ва в целых числах.
П р и м е р 7. Найти все решения уравнения
(tg
2
x – 1)
–1
= 1 + cos 2x,
удовлетворяющие неравенству 2
x + 1
– 8 > 0.
Р е ш е н и е. Приведем исходное трионометричесое урав-
нение виду
(1 + cos 2x)1 + = 0.
Найдем решения этоо уравнения:
x = – + πk, x = ä + πn, k Ý Z, n Ý Z.
По условию среди этих значений x необходимо отобрать таие,
оторые удовлетворяют требованиям 2
x + 1
– 8 > 0, cosx − 0.
Исомыми значениями являются
x = ä + πn, n Ý N.
Ответ. x = ä + πn, n Ý N.
3π
2
------ -
x
2
---
x
2
---
3
1tgx+
1tgx–
---------------------
π
2
---
π
2
---
1
2cos2x
----------------------
π
2
---
π
3
---
π
3
---
π
3
---
136 Г л а в а 5. Тригонометрия
113. Найдите все решения уравнения
= ,
удовлетворяющие условию x Ý [0; 2π].
114. Найдите все решения уравнения
cos
4
x – 3 cos 3x = 3 cos x – cos
3
x cos 3x,
принадлежащие промежуту –π; .
115. Найдите все решения уравнения
sin – cos = 1 – sin x,
удовлетворяющие условию
– m .
116. Найдите все решения уравнения
(cos 5x + cos 7x) – cos
2
2x + sin
2
3x = 0,
удовлетворяющие условию | x | < 2.
Решите уравнение:
117. tg x
2
= ctg 5x. 118. sin = cos 3x.
119. sin x = cos .
120. Доажите, что уравнение sin (cos x) = cos (sin x) не име-
ет орней.
Решите уравнение:
121. sin cos x = cos sin x .
122. sin (π ctg x) = cos (π tg x).
123. Найдите орни уравнения sin (x – 2) = sin (3x – 4), при-
надлежащие промежуту (–π; π).
В тех случаях, ода дополнительные условия представле-
ны неравенством, содержащим трионометричесие фунции,
выделение нужных орней производится на промежуте, рав-
ном наименьшему общему ратному периодов трионометриче-
сих фунций, входящих в уравнение и неравенство.
sin 1 x–()
cos x
π
2
---
x
2
---
x
2
---
x
2
---
π
2
---
3π
4
------ -
1
2
---
5
x
---
x
2π
5
------ -
2π
5
------ -
§ 25. Тригонометрические уравнения 137
П р и м е р 8. Найти все решения уравнения
1 + (sin x – cos x)sin = 2cos
2
,(*)
удовлетворяющие условию
sin 6x < 0. (**)
Р е ш е н и е. Упростим исходное уравнение:
1 + (sin x – cos x) sin = 2 cos
2
_
_ 1 + (sin x – cos x) = 1 + cos5x _
_ cos 5x + cos x + = 0 _
_ 2cos 3x + cos 2x – = 0.
Таим образом, уравнение (*) эвивалентно уравнениям
cos 3x + = 0, cos 2x – = 0,
имеющим соответственно следующие решения:
x = + , n Ý Z,
x = + , n Ý Z.
Наименьшее общее ратное периодов трионометричесих
фунций, входящих в уравнение (*) и неравенство (**), равно 2π.
Из найденных решений уравнения, принадлежащих промежут-
у [0; 2π), неравенству (**) удовлетворят числа и + π. Все
решения исходноо уравнения получаются прибавлением аж-
дому из найденных решений чисел, ратных 2π.
Ответ. x = + πk, k Ý Z.
124. Найдите все решения уравнения
5 – 8 cos x – = 2 sin 2x – ,
удовлетворяющие неравенству cos x > 0.
π
4
---
5x
2
-------
π
4
---
5x
2
-------
2
2
-------
π
4
---
π
8
---
π
8
---
π
8
---
π
8
---
π
8
---
πn
3
-------
5π
16
------ -
πn
2
-------
5π
16
------ -
5π
16
------ -
5π
16
------ -
3π
2
------ -
7π
2
------ -
136 Г л а в а 5. Тригонометрия
113. Найдите все решения уравнения
= ,
удовлетворяющие условию x Ý [0; 2π].
114. Найдите все решения уравнения
cos
4
x – 3 cos 3x = 3 cos x – cos
3
x cos 3x,
принадлежащие промежуту –π; .
115. Найдите все решения уравнения
sin – cos = 1 – sin x,
удовлетворяющие условию
– m .
116. Найдите все решения уравнения
(cos 5x + cos 7x) – cos
2
2x + sin
2
3x = 0,
удовлетворяющие условию | x | < 2.
Решите уравнение:
117. tg x
2
= ctg 5x. 118. sin = cos 3x.
119. sin x = cos .
120. Доажите, что уравнение sin (cos x) = cos (sin x) не име-
ет орней.
Решите уравнение:
121. sin cos x = cos sin x .
122. sin (π ctg x) = cos (π tg x).
123. Найдите орни уравнения sin (x – 2) = sin (3x – 4), при-
надлежащие промежуту (–π; π).
В тех случаях, ода дополнительные условия представле-
ны неравенством, содержащим трионометричесие фунции,
выделение нужных орней производится на промежуте, рав-
ном наименьшему общему ратному периодов трионометриче-
сих фунций, входящих в уравнение и неравенство.
sin 1 x–()
cos x
π
2
---
x
2
---
x
2
---
x
2
---
π
2
---
3π
4
------ -
1
2
---
5
x
---
x
2π
5
------ -
2π
5
------ -
§ 25. Тригонометрические уравнения 137
П р и м е р 8. Найти все решения уравнения
1 + (sin x – cos x)sin = 2cos
2
,(*)
удовлетворяющие условию
sin 6x < 0. (**)
Р е ш е н и е. Упростим исходное уравнение:
1 + (sin x – cos x) sin = 2 cos
2
_
_ 1 + (sin x – cos x) = 1 + cos5x _
_ cos 5x + cos x + = 0 _
_ 2cos 3x + cos 2x – = 0.
Таим образом, уравнение (*) эвивалентно уравнениям
cos 3x + = 0, cos 2x – = 0,
имеющим соответственно следующие решения:
x = + , n Ý Z,
x = + , n Ý Z.
Наименьшее общее ратное периодов трионометричесих
фунций, входящих в уравнение (*) и неравенство (**), равно 2π.
Из найденных решений уравнения, принадлежащих промежут-
у [0; 2π), неравенству (**) удовлетворят числа и + π. Все
решения исходноо уравнения получаются прибавлением аж-
дому из найденных решений чисел, ратных 2π.
Ответ. x = + πk, k Ý Z.
124. Найдите все решения уравнения
5 – 8 cos x – = 2 sin 2x – ,
удовлетворяющие неравенству cos x > 0.
π
4
---
5x
2
-------
π
4
---
5x
2
-------
2
2
-------
π
4
---
π
8
---
π
8
---
π
8
---
π
8
---
π
8
---
πn
3
-------
5π
16
------ -
πn
2
-------
5π
16
------ -
5π
16
------ -
5π
16
------ -
3π
2
------ -
7π
2
------ -
138 Г л а в а 5. Тригонометрия
125. Найдите все решения уравнения
+ =
а) на промежуте [0; π]; б) на всей числовой прямой.
126. Решите уравнение
– = .
127. Найдите все решения уравнения
sin x – – cos x + = 1,
удовлетворяющие неравенству >
128. Найдите все решения уравнения
sin x + = ,
удовлетворяющие неравенству (1 + cos (2x + 4)) < cos 4x.
129. Найдите все решения уравнения
sin 4x + + cos 4x + = ,
удовлетворяющие неравенству >
130. Найдите все решения уравнения
sin 2x – = sin
2
x,
удовлетворяющие неравенству (1 + sin (7x + 5)) < sin 8x.
Использование оцено обеих частей трионометричесоо
равнения. Неоторые трионометричесие уравнения удается
решить, используя оцени левой и правой частей уравнения.
П р и м е р 9. Решить уравнение
tg + x + tg – x = 2. (*)
tg x sin x+
tg x sin x– 3tgx
2tgx cos
2
x–+
16
9
------
tg x+
2
9
---
cos
2
x–
π
4
---
3π
4
------ -
2cos7x
cos3 sin3+
--------------------------------- -
2
cos 2x
·
.
π
4
---
1
22cosx
--------------------------
log
sin
2
3
π
4
---
5π
4
------ -
2
cos 2x
cos2 sin2–
---------------------------------
2
–sin 4x
.
π
4
---
2
log
cos
2
3
π
4
---
π
4
---
§ 25. Тригонометрические уравнения 139
Р е ш е н и е. Воспользовавшись формулой приведения, по-
лучаем
tg + x = ctg – – x = ctg – x .
Та а
tg – x = ,
то левая часть уравнения (*) представляет собой сумму двух
взаимно обратных величин. Известно, что при a > 0 справедли-
во неравенство
a + l 2.
Таим образом, равенство (*) достиается тольо при условии
tg + x = 1. (**)
Множество решений уравнения (**) имеет вид x = πn, n Ý Z.
Ответ. x = πn, n Ý Z.
П р и м е р 10. Решить уравнение
sin x + sin 3x = 2.
Р е ш е н и е. Та а |sin x| m 1, |sin3x| m 1, то исходное
уравнение эвивалентно системе
sin x = 1, sin 3x = 1.
Множества решений этих уравнений соответственно имеют вид
x = + 2πk, k Ý Z (*)
и
x = + , n Ý Z. (**)
Решением системы, а следовательно, и исходноо уравнения,
моут быть тольо те значения x, оторые принадлежат а
первому, та и второму множеству. Приравнивая правые части
равенств (*) и (**), получаем уравнение
+ 2πk = + ,
оторое после тождественных преобразований приводится виду
2n – 6k = 1. (***)
π
4
---
π
2
---
π
4
---
π
4
---
π
4
---
1
ctg
π
4
---
x–
------------------------------- -
1
a
---
π
4
---
π
2
---
π
6
---
2πn
3
-----------
π
2
---
π
6
---
2πn
3
-----------
138 Г л а в а 5. Тригонометрия
125. Найдите все решения уравнения
+ =
а) на промежуте [0; π]; б) на всей числовой прямой.
126. Решите уравнение
– = .
127. Найдите все решения уравнения
sin x – – cos x + = 1,
удовлетворяющие неравенству >
128. Найдите все решения уравнения
sin x + = ,
удовлетворяющие неравенству (1 + cos (2x + 4)) < cos 4x.
129. Найдите все решения уравнения
sin 4x + + cos 4x + = ,
удовлетворяющие неравенству >
130. Найдите все решения уравнения
sin 2x – = sin
2
x,
удовлетворяющие неравенству (1 + sin (7x + 5)) < sin 8x.
Использование оцено обеих частей трионометричесоо
равнения. Неоторые трионометричесие уравнения удается
решить, используя оцени левой и правой частей уравнения.
П р и м е р 9. Решить уравнение
tg + x + tg – x = 2. (*)
tg x sin x+
tg x sin x– 3tgx
2tgx cos
2
x–+
16
9
------
tg x+
2
9
---
cos
2
x–
π
4
---
3π
4
------ -
2cos7x
cos3 sin3+
--------------------------------- -
2
cos 2x
·
.
π
4
---
1
22cosx
--------------------------
log
sin
2
3
π
4
---
5π
4
------ -
2
cos 2x
cos2 sin2–
---------------------------------
2
–sin 4x
.
π
4
---
2
log
cos
2
3
π
4
---
π
4
---
§ 25. Тригонометрические уравнения 139
Р е ш е н и е. Воспользовавшись формулой приведения, по-
лучаем
tg + x = ctg – – x = ctg – x .
Та а
tg – x = ,
то левая часть уравнения (*) представляет собой сумму двух
взаимно обратных величин. Известно, что при a > 0 справедли-
во неравенство
a + l 2.
Таим образом, равенство (*) достиается тольо при условии
tg + x = 1. (**)
Множество решений уравнения (**) имеет вид x = πn, n Ý Z.
Ответ. x = πn, n Ý Z.
П р и м е р 10. Решить уравнение
sin x + sin 3x = 2.
Р е ш е н и е. Та а |sin x| m 1, |sin3x| m 1, то исходное
уравнение эвивалентно системе
sin x = 1, sin 3x = 1.
Множества решений этих уравнений соответственно имеют вид
x = + 2πk, k Ý Z (*)
и
x = + , n Ý Z. (**)
Решением системы, а следовательно, и исходноо уравнения,
моут быть тольо те значения x, оторые принадлежат а
первому, та и второму множеству. Приравнивая правые части
равенств (*) и (**), получаем уравнение
+ 2πk = + ,
оторое после тождественных преобразований приводится виду
2n – 6k = 1. (***)
π
4
---
π
2
---
π
4
---
π
4
---
π
4
---
1
ctg
π
4
---
x–
------------------------------- -
1
a
---
π
4
---
π
2
---
π
6
---
2πn
3
-----------
π
2
---
π
6
---
2πn
3
-----------