Цыпкин Я.З Основы теории автоматических систем

Подождите немного. Документ загружается.

412

СИНТЕЗ

ИМПУЛЬСНЫХ

АВТОМАТИЧЕСКИХ

СИСТЕМ

[ГЛ.

30.2.

Условия

осуществимости

Рассмотрим импульсную систему с ЦВУ, изображенную на

рис.

ЗОЛ. Передаточная функция замкнутой системы относитель-

но

выходной величины, как известно, равна

(р)

(ЗОЛ)

где

W*(p)—

передаточная функция неизменяемой части системы,

f(mT)

хШ)

(р)

\Х

(р)

TJ*

zffl

l*(p)

Рис.

ЗОЛ.

(p)

— передаточная функция ЦВУ, определяющая закон упра-

вления.

Предположим, что мы хотим реализовать некую задан-

ную передаточную функцию

путем выбора передаточной функции ЦВУ

Wl(p).

Подставляя

(ЗОЛ)

К*з{р)

вместо

К*(р)

и разрешая уравнение относитель-

но

(p),

найдем соответствующую передаточную функцию

ЦВУ:

(30.2)

Передаточную

функцию

(p)

можно

реализовать

лишь

тогда,

когда

ее

порядок

неотрицателен,

т. е.

разность

сте-

пеней

знаменателя

и числителя

неотрицательна.

Поскольку

порядок заданной передаточной функции

Kl(p)

совпадает с порядком дроби

Klip)/(l

—

fC(p))>

то из (30.2)

следует, что передаточная функция ЦВУ осуществима лишь

тогда, когда порядок заданной передаточной функции не мень-

ше порядка передаточной функции неизменной части, т. е.

Поскольку

передаточная функция неизменной части системы

равна

30.2]

УСЛОВИЯ

ОСУЩЕСТВИМОСТИ

413

то из

(30.2)

получаем выражение для передаточной функции

ЦВУ*

Если

неизменная часть импульсной системы содержит элемент

запаздывания с временем запаздывания т, которое для простоты

примем

кратным периоду повторения:

=l,

... ,

то передаточная функция неизменной части представится в виде

(р)

В этом случае вместо (30.3) будем иметь

Глр)=

^/°*

<У

(30.4)

Отсюда видно, что передаточная функция ЦВУ

Wl(p)

должна

обеспечить упреждение на

периодов повторения, что физиче-

ски

невозможно. Следовательно, передаточная функция ЦВУ

Wl(p)

(30.4) неосуществима при произвольно заданной переда-

точной функции

Кз(р)>

Каким же условиям должна удовлетво-

рять задаваемая передаточная функция

(р),

чтобы

(p)

была осуществима? Очевидно, условия осуществимости

{p)

сводятся к тому, чтобы

Кз

(р) включала в качестве сомножителя

e~P

SoT

т. е. чтобы

Kl(p)

K*s(p)e~

(30.5)

Действительно, в этом случае из (30.4) следует

WK(P)

Р*(Р)

\-К;

(р)е-™т-

Требование, выражаемое соотношением (30.5), означает, что

если

неизменная

часть

обладает

запаздыванием,

то по

меньшей

мере

таким же

запаздыванием

должна

обладать

и замкнутая

синтезируемая

импульсная

система.

Условия осуществимости предъявляют определенные требо-

вания

к заданной передаточной функции, а именно:

порядок

заданной

передаточной

функции

должен

быть

не

меньше

порядка

передаточной

функции

неизменной

части.

При

наличии же запаздывания в неизменной части переда-

точная функция должна учитывать это запаздывание.

414

СИНТЕЗ

ИМПУЛЬСНЫХ АВТОМАТИЧЕСКИХ СИСТЕМ [ГЛ. 30

30.3. Условия грубости

На

первый взгляд кажется, что при выполнении условий осу-

ществимости передаточная функция ЦВУ

(p),

полученная по

формулам

(30.3)

или (30.4), обеспечивает получение заданной

передаточной функции

Кз(р)-

В действительности это не всегда

так. Практически обеспечить точное равенство

(30.3)

или

(30.4)

невозможно из-за наличия погрешностей, вызванных возникаю-

щими

вариациями параметров неизменной части. Если при ма-

лых погрешностях изменения величин, характеризующих состоя-

ние

системы,

будут

также малы, то естественно такую систему

назвать

грубой.

Если же при малых погрешностях изменения ве-

личин,

характеризующих состояние системы,

будут

с течением

времени неограниченно возрастать, то такая система

будет

не-

грубой.

Негрубая система неработоспособна, так как она не мо-

жет нормально функционировать. Для определения условий гру-

бости замкнутой системы найдем вариацию передаточной функ-

ции

замкнутой системы. По определению вариации

Дифференцируя

выражение

(30.1)

по

(p),

получим

дК*

(р) _

(

)

Следовательно,

6/Г () wl {р)

(30

После

подстановки в

(30.6)

Wl(p)

из

(30.2)

имеем

6К*

(р) = [1 -

К1

(Р)]

(р)

Ш*

(р).

Вариация

6W*

(p)

как видно из (30.3), вызывается вариацией

многочленов Р*{р) и

Q*{p),

определяющих передаточную функцию

неизменной

части системы, и она равна

Но

из

(30.3)

следует

dW*

(p)

dQ*(p)

P*(P)

I-Klip)

dW*

(p)

Q* (p)

дР*(р)

[P*(p)f

l-Kl

30.3]

УСЛОВИЯ

ГРУБОСТИ

' 415

Подставляя

(30.8)

в (30.7), получаем

(P)

/&Q*(P)

6Р*

(Р)

(30

Заменяя

6W*

{p)

В выражении для б/С (р) его значением из (30.9),

находим окончательное выражение для вариации б/С*(р):

Вариация б/С*(р) характеризует влияние неточностей в реализа-

ции

передаточной функции

(p),

а значит, и

/С

(р). Если все

полюсы и нули передаточной функции

IF*(p)

неизменной части

левые, то, как видно из (30.10), все полюсы вариации

будут

так-

же левыми, что свидетельствует об устойчивости вариации

(тТ),

а значит, и об устойчивости замкнутой системы при ма-

лых отклонениях параметров от желаемых или оптимальных.

Если

же передаточная функция неизменной части W*(p) имеет

правые полюсы, т. е. неустойчива, и (или) правые нули, т. е.

неминимально-фазовая,

то вариация

б/С*(р),

как видно из (30.10),

будет

иметь правые полюсы, что свидетельствует о неустойчиво-

сти

(тТ),

т.е. о неустойчивости замкнутой импульсной систе-

мы,

как бы ни малы были отклонения параметров. Это обстоя-

тельство свидетельствует о негрубости замкнутой системы, ибо

она

становится неустойчивой при сколь угодно малой неточности

реализации передаточной функции ЦВУ

(p).

Для того чтобы

замкнутая система была грубой, нельзя допускать сокращения

правых нулей и полюсов передаточной функции неизменной ча-

сти системы W*(p) при помощи передаточной функции ЦВУ

(p).

При наличии неточностей такого сокращения и появля-

ется неустойчивость. Таким образом,

условие

грубости

требует,

чтобы

передаточная

функция

ЦВУ

(p)

не

содержала

нулей

полюсов,

близких к

правым

полюсам

нулям

передаточной

функции

неизмен-

ной

части

системы

W*(p).

А для этого, как

следует

из (30.3), необходимо и

достаточно,

чтобы заданная передаточная функция

/Сз(р)

содержала пра-

вые нули

Р*(р),

т. е. правые нули

W*(p),

и 1

—

(р) содер-

жала бы правые нули

Q*(p)

т. е. правые полюсы

W*(p).

При

выполнении

этих условий, как видно из выражения для вариа-

ции

6К*(р)

последняя не

будет

иметь правых полюсов и, следо-

вательно, замкнутая система

будет

грубой. Если непрерывная

часть системы устойчива, то и неизменная часть системы

будет

также устойчивой, а все полюсы

W*(p)

будут

левыми. Что же

416

СИНТЕЗ

ИМПУЛЬСНЫХ АВТОМАТИЧЕСКИХ СИСТЕМ [ГЛ 30

касается нулей

W*(p)

то

даже

для тех случаев, когда непрерыв-

ная

часть системы минимально-фазовая, эти нули

могут

быть

как

левыми, так и правыми.

Наряду с передаточной функцией замкнутой системы

К*(р)

(ЗОЛ) относительно выходной величины рассмотрим передаточ-

ную функцию замкнутой системы

Ки(р)

относительно управляю-

щего воздействия

U(р)

(рис. ЗОЛ):

или,

после подстановки

W(p),

Отсюда

следует,

что соответствующая временная характеристи-

ка

(mT)

будет

определяться не только полюсами

Кз(р),

но и

нулями

W*(p),

т. е. нулями многочлена Р*(р) неизменной части

системы, что вызывает дополнительные переходные процессы в

управляющем воздействии. Для устранения этих дополнитель-

ных процессов нужно, чтобы задаваемая передаточная функция

Klip)

содержала не только правые нули

Р*(р),

но и левые нули

Р*(р),

т.е.

Кз{р)

в этом

случае

должна содержать все нули

Р*(р). Заметим, что при этом в синтезируемой системе возможен

процесс конечной длительности. Действительно, как

следует

из

результатов § 29.3, для этого характеристический многочлен

G*(p) должен иметь вид

так

что

«•

(

">-?Sr=i^-

П)

Следовательно,

Ки(Р)

Р*(р)

«"""

Для того чтобы

К1(р)

имело форму

(30Л1),

нужно, чтобы мно-

гочлен

Н*(р)

включал в себя многочлен

Р*(р),

или, иначе,

нужно, чтобы передаточная функция

(р)

включала в себя

многочлен

Р*(р).

Таким образом,

чтобы

синтезируемая

импульсная

система

обладала

конеч-

ной

длительностью

процесса,

задаваемая

передаточная

функция

должна

включать

себя

числитель

передаточ-

ной

функции

неизменной

части

системы,

а ее

знаменатель

должен

иметь

вид

одночлена

Часто может оказаться нежелательным, чтобы при отклоне-

нии

параметров ЦВУ от расчетных в системе возникали допол-

§30 4] ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ

СИНТЕЗА

417

нительные переходные процессы, определяемые вариацией вре-

менной

характеристики

(тТ). В этом

случае

задаваемая пе-

редаточная функция синтезируемой системы

(р),

как

следует

из

выражения вариации (30 10), должна содержать все нули

Р*(р),

а 1

—

К*

(р) — все нули

Q*(p).

При этом, разумеется,

условия грубости

будут

заведомо выполняться.

30.4. Основные уравнения синтеза

Уравнения синтеза должны обеспечить синтез осуществимой

работоспособной импульсной системы. Для составления урав-

нений

синтеза представим числитель Р*(р) и знаменатель

У*(р)

передаточной функции

W*(p)

неизменной части системы в виде

РЧР)

Р*

(Р)Р1(Р),

P),

(30Л2)

где

Р*

(р) и соответственно

(p) — многочлены по

рт

—

вклю-

чают в себя все

пр

левых нулей и соответственно все

левых полюсов W* (р), а

Р*_

(р) и соответственно

Q*__

(p) — все

правых нулей и соответственно все

rtq_

правых полюсов

W*(p).

При

наличии в неизменной части системы запаздывания

(30.12)

заменяется на

Такое разбиение Р* (р) и

(р) или

Q*(p)

называется

фактора-

зацией.

Согласно условиям осуществимости и работоспособности за-

даваемая передаточная функция синтезируемой системы

К*

(р)

должна содержать в качестве сомножителей член

e~~

соот-

ветствующий запаздыванию в неизменной части системы, и

Р-

(р), определяющий правые нули передаточной функции

W*(p)

неизменной

части системы, а 1 —

/С*

(р)

должна содержать сомно-

житель

Q^_

(p), определяющий правые полюсы передаточной

функции

W*(p)

неизменной части системы. Таким образом,

/С*

(р) и

—

К*

(р) осуществимой и грубой системы должны

иметь вид

(30.13)

]4 Я 3 Цыпкин

418

СИНТЕЗ

ИМПУЛЬСНЫХ АВТОМАТИЧЕСКИХ СИСТЕМ [ГЛ. 30

где

М*(р),

N*{p),

G* (р) — многочлены по

Остепени

, п

и п

соответственно, которые при синтезе подлежат выбору. Из усло-

вия

осуществимости

/С*(р)

(30.13) следует, что

SQ—

(30.16)

Кроме

того, очевидно из (30.14), что

(30.16)

Исключая

из (30.13) и (30.14)

К*

(р),

получаем

первое

полино-

миальное

уравнение

синтеза:

(Р)

М*

(р) +

(#_

(р)

eP^N*

(p)

G* (р)

е***,

(30.17)

определяющее многочлены

М*(р)

N*(p).

Если наряду с осуще-

ствимостью и грубостью нужно обеспечить устранение дополни-

тельного переходного процесса в управляющем воздействии, то,

как

было указано в § 30.2, задаваемая передаточная функция

К*(р)

должна включать в себя многочлен Р*(р). И значит, вме-

сто (30.13) должно иметь место равенство

^~ (30.18)

по-прежнему

\-K(P)

Q;_(P)P$.

(ЗО.19)

Из

условия осуществимости (30.18) следует

ПР

п +

—

(30.20)

и для (30.19) по-прежнему

_+n

n. (30.21)

Исключая

из (30.18) и (30.19)

К*

{р),

получаем

второе

полино-

миальное

уравнение

синтеза:

Р* (р)

М\

(р) +

Q;_

(p)

eP'J

ЛГ

(р)

еР*>

(30.22)

Если

нужно устранить также дополнительные переходные про-

цессы,

вызванные вариацией параметров неизменной части, т. е.

как

вариацией числителя, так и вариацией знаменателя переда-

точной функции неизменной части, то задаваемая передаточная

функция

Кз

(р) должна содержать в качестве сомножителей все

нули

W*(p),

т. е. многочлен

Р*(р),

а 1 —

/С*

(р)

— все полюсы

W*(p),

т. е. многочлен

Q*(p).

В этом случае, как и для (30.18),

ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ СИНТЕЗА

419

будем иметь

К(Р)-

*(Р)е~

°*

1Г^>

(30.23)

вместо (30.19)

l-r

(p)^Q4p)|~}.

(30.24)

Из

условий осуществимости следует

для

(30.23)

-l

(30.25)

для

(30.24)

n. (30.26)

Исключая

из

(30.23)

(30.24)

К*

{р),

получим

третье

полино-

миальное

уравнение синтеза:

Р* (р)

(р)

(p)

(р)

е^

(30.27)

Наконец,

когда

импульсной системе предъявляются еще

тре-

бования

нулевой вынужденной ошибки, как следует

из

результа-

тов

26.4,

—

К*

(р)

должна содержать

качестве сомножителя

(е

рТ

—

где

—

индекс астатизма.

Это

будет заведомо

иметь место, если

Тогда

Если

же

где

то

тогда

для

обеспечения астатизма

-ro

порядка

нужно,

чтобы

(р)

{в?*

»-

|^y

(30.28)

Полагая

(30.24)

получаем

четвертое

полиномиальное

уравнение

синтеза

системы

нулевой вынужденной ошибкой:

Р* (р)

М;

(р)

е^

{еР

(p)

(р)

е?**.

(30.29)

При

этом по-прежнему

$о-

(

°)

14*

420

СИНТЕЗ

ИМПУЛЬСНЫХ АВТОМАТИЧЕСКИХ СИСТЕМ [ГЛ. 30

а из (30.28) теперь следует, что

«-Q

Vo-Vt+n^n.

(30.31)

Очевидно, если положить во втором

(30.22),

третьем (30.27) и

четвертом (30.29) полиномиальных уравнениях

то мы придем к полиномиальным уравнениям, определяющим

системы с конечной длительностью процесса при отсутствии до-

полнительных переходных процессов. Вынужденная ошибка в

этих системах равна нулю.

Уравнения синтеза (30.17), (30 22), (30.27)

(30.29)

опре-

деляют неизвестные многочлены

М*(р),

N*(p),

N\(p)

М*(р),

N* (р). Для разрешимости уравнений синтеза нужно, чтобы чис-

ло уравнений, получаемых из уравнений синтеза относительно

коэффициентов

искомых многочленов, было бы не меньше числа

этих коэффициентов. Число уравнений равно степени многочлена

G*(р)

увеличенной на единицу, т.е.

So+l.

Число

коэффициентов

многочленов М*(р), N*(p) равно их степени, уве-

личенной

на единицу, т. е.

+ 1,

1. Следовательно, усло-

вия

разрешимости первого уравнения синтеза (30.17) запишутся

виде

п +

+ 1

{п

+ 1) +

+ 2,

или

1. (30.32)

Отсюда нетрудно определить степени многочленов

М*(/?),

N*(p).

Подставив в (30.32) значения п из (30.15) и (30.16), получим

n +

+ 1

откуда следует

>п

__,

—

Условия разрешимости второго уравнения синтеза (30.22) полу-

чаются из (30.32) заменой

на

n +

+ l. (30.33)

Подставляя в (30.33) п из (30.20) и (30.21), получим

30.4] ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ СИНТЕЗА

421

Условия разрешимости третьего полиномиального уравнения син-

теза

(30.27)

получаются

из

(30.33)

заменой

на

n +

+l.

(30.34)

Подставляя

(30.34)

п из

(30.25)

(30.26), получим

Наконец,

условия разрешимости четвертого уравнения синтеза

(30.29)

получаются

из

(30.32)

заменой

на

(30.35)

Подставляя

(30.35)

п из

(30.30)

(30.31), получим

Р>

}

—

Определяя

тем или

иным путем многочлены

М*(/?),

N*(p)

на-

ходим

К*

(р)

и 1 —

/Сз

(р)-

Используя

эти

выражения, получаем

передаточные функции

ЦВУ:

(зо

зб)

обеспечивающие условия осуществимости

грубости;

Г,»-^*.

(30.37,

обеспечивающие

еще

устранение дополнительных переходных

процессов;

в)

K(P)

wf>

(30-38)

обеспечивающие

еще и

устранение дополнительных переходных

процессов,

вызванных вариацией неизменной части;

г)

^-^Iw

(30

39)

обеспечивающие

еще и

нулевую вынужденную ошибку.

Ответим,

что при

выборе

уравнениях синтеза G*(p)

передаточные функции

(p)

(30.36)

—

(30.39)

позволяют осуще-

ствить

синтезируемых системах процессы конечной длитель-

ности.