Цыпкин Я.З Основы теории автоматических систем

Подождите немного. Документ загружается.

442 СТОХАСТИЧЕСКИЕ ПРОЦЕССЫ [ГЛ.

где

При

TVx

«^iffrj

^^х.л,

,~~

in\

ином случае

при

—

<тГ

т^Г

/оо

1о\

(oz.lo)

ином случае.

Напомним,

что

Го

Г.

Представляя

7?^**

(т)

(32.11)

(32.10)

изменяя порядок интегрирования

суммирования,

получим

(/СО)

)dx. (32.14)

JV>°o

Производя

интеграле замену переменной тТ

т на т,

получим

(/СО)

3-^

(x)dt.

(32.15)

Но

о)

(32.16)

есть

не что

иное,

как

спектральная функция усеченного непре-

рывного процесса

(т),

оо

представляет собой спектральную функцию усеченного решетча-

того процесса. Следовательно,

из

(32.15) получим выражение

для взаимной спектральной плотности выходной

входной вели-

чин

идеального импульсного элемента:

x*x

О'®)

= lim

(2N

\)Т

(~~

?о

У®)'

(32Л8)

или

так как

2Г

(2Л

1)Г,

то

(/со)

—

lirn^

-g^

/со)

(/СО).

(32.19)

(/со)

зависит

от

спектральных функций усеченных решетча-

того

непрерывного

процессов»

32.2J РЕШЕТЧАТЫЕ

ПРОЦЕССЫ

443

32.2.

Корреляционная

функция

спектральная

плотность

решетчатых процессов

Найдем

теперь характеристики случайного решетчатого про-

цесса. Полагая во взаимной корреляционной функции

(32.11)

аргумент т =

sT,

s = О,

..., получаем

(sT)

lim

{2N

l)T

x(mT)x{(m

s)T).

(32.20)

° m==

-N

Но,

как видно из правой части этого выражения,

(sT) пред-

ставляет собой корреляционную функцию случайного решетча-

того процесса

х(гпТ).

Обозначим такую

решетчатую

корреля-

ционную

функцию

{sT),

где теперь индекс

означает не не-

прерывную, а решетчатую функцию, так что

x§

(sT)=

\lrn

(32.21)

Таким

образом,

при

сдвигах, кратных периоду повторения

Г,

взаимная

корреляционная функция выходной

входной величин

идеального импульсного элемента

(sT)

совпадает

решет-

чатой корреляционной функцией

(sT).

Решетчатая корреля-

ционная

функция

(sT)

обладает, естественно, всеми свой-

ствами корреляционных функций

(см. § 14.2) и, в

частности,

(0)

{х*(пгТ)}

lim

{2N

])T

хЦпгТ).

(32.22)

{}

Начальное

значение

решетчатой

корреляционной

функции

равно

среднему

значению

квадрата

решетчатого

случай-

ного

процесса.

Если

среднее значение решетчатого случайного процесса

х(пгТ)

равно нулю,

т.е.

= 0, то

(0)

(32.22)

определяет

дисперсию решетчатого случайного процесса. Далее

будем

иметь

виду именно этот случай, если

не

будет

специальной

оговорки

об

обратном.

Для нахождения спектральной плотности соответствующей

решетчатой корреляционной функции, которую

мы

обозна-

чим через

(со), нужно

(см. § 23.3)

взаимную спектральную

плотность

(/со)

подвергнуть

©-преобразованию

Фурье,

т. е.

444 СТОХАСТИЧЕСКИЕ ПРОЦЕССЫ

1ГЛ.

©-преобразованию

(23.5) при р

/со:

Заменим

S***

(/ю)

ее значением из (32.18), получим

((о) =

(2ДГ+1)Г

(

^~/

ffl

)

r,(/«)}•

(32-24)

Но

так как

Х*(—

/со) периодично по со, а (см. § 23.3)

®{^

Го

(/0)}

Х;(/со),

(32.25)

то окончательно из

(32.23)

следует:

(со)=H™

{

2N+DT

*м

/®)

(/®)t

(

)

или

Спектральная плотность

S*(co)

удовлетворяет тем же свойствам,

что и

(со). Так, если

г (тТ) = х

(пгТ)

+ у

(тТ)

(32.28)

х(тТ) и

у(тТ)

не коррелированы, то

S>)

S»

S;(<o).

(32.29)

Взаимная корреляционная функция

/?*•*

(т) выражается через

соответствующую спектральную плотность

(/со) с помощью

соотношения (14.4) при

у^=х*\

(/со) da.

(32.30)

Полагая

sT,

получаем согласно

(32.21)

решетчатую корре-

ляционную функцию

Разбивая интервал интегрирования на интервалы, равные ча-

стоте повторения

со

-у-,

будем

иметь

оо

e>«>

(j(i>)d<i>.

(32.32)

32 2] РЕШЕТЧАТЫЕ ПРОЦЕССЫ 445

Производя

(32.32)

замену переменной со на со +

тщ

и учиты-

вая,

что

получим

«a/2

•

(sT)

)

e^M-^-

(/(«>

й(Оо))[^.

(32.33)

-(Do/2

/г=-оо

Но,

как видно из (32.33), выражение в фигурных скобках оп-

ределяет собой

©-преобразование

взаимной спектральной плот-

ности

и оно равно спектральной плотности

S*(co),

соответст-

вующей решетчатой функции

x(sT).

Поэтому окончательно

(32.33)

представится в виде

сйо/2

e/^S;(0)dco.

(32.34)

-соо/2

При

5 = 0 получаем из

(32.34)

выражение для среднего значе-

ния

квадрата решетчатого процесса:

со

5»Л».

(32.35)

-СОо/2

Среднее

значение

квадрата

решетчатого

процесса

пропор-

ционально

площади

спектральной

функции

(©)

основ-

ной

полосе

частот

—

-у-,

—-)

Если

среднее значение решетчатого процесса равно нулю

то соотношение

(32.35)

определяет и дисперсию:

Сйо/2

(0)

S»rfa>.

(32.36)

-0)о/2

Связь

между дискретными корреляционными функциями

(sT) и спектральными плотностями

(со), устанавливаемая

Двустороним дискретным преобразованием Фурье, аналогична

связи

между дискретными временными и частотными характери-

стиками,

устанавливаемой односторонним преобразованием

446 СТОХАСТИЧЕСКИЕ ПРОЦЕССЫ [ГЛ. 32

32.3.

Статистические

характеристики

импульсной

системы

Рассмотрим замкнутую импульсную систему (рис. 32.2).

Уравнение этой системы относительно изображения непрерыв-

ной

выходной величины, как было показано в § 24.3, имеет вид

(р

)

Г(р)

(32-37)

Передаточная функция, определяемая отношением изображения

Z(p) непрерывной выходной величины z(t) к изображению F*(p)

решетчатого внешнего воздействия

f(mT),

устанавливает связь

между

непрерывной выходной величиной и дискретной входной

величиной. Обозначая ее через

F(P)

/Ov

W(p)

Z(P)

Кди{р),

получаем из (32.37)

КР)

—

Рис.

32.2. Передаточная функция

Кдн(р)

зависит как от передаточной

функции

разомкнутой импульсной системы

W*(/?),

так и от ее

непрерывной части

W(p)

и, значит, является как функцией

так и р. При р =

/о

получаем частотную характеристику

Полагая

основных

соотношениях

(14.13), (14.16) х =

х*,

по-

лучим

*z(JG>)

K(j<*)S

.(G>)

(32.38)

(/со) =

/С

/со)

(/со).

(32.39)

Подвергая

(32.38)

©-преобразованию,

будем иметь

(j(o)

K*№S

.(a),

(32.40)

где

(/0)

дн

(/0)}

1 + г

(/со)

(32

41)

— передаточная

функция

импульсной системы, связывающая

решетчатые

выходную и входную

величины.

Но из (32.39) сле-

дует:

(/со) =

К(-

/со)

(/со) (32.42)

или,

после

исключения

S^*

(/co),

(со)

(- /со)

i(*

(/со)

S^*

(со).

(32.43)

§ 32 4]

СРЕДНЕКВАДРАТИЧЕСКОЕ ОТКЛОНЕНИЕ

447

Применяя

©-преобразование

к соотношению (32.43), оконча-

тельно получим

5;(co)=k*(/(o)|

S;*(co).

(32.44)

Спектральная

плотность

решетчатой

выходной

величины

равна

спектральной

плотности

решетчатой

входной

вели-

чины,

умноженной

на квадрат

модуля

частотной

характе-

ристики

импульсной

системы

/С*(/со).

Зная

спектральную плотность выходной величины импульс-

ной

системы, по формуле, аналогичной (32.36), находим её дис-

персию:

0о/2

D,=™

s;(<D)d©

(32.45)

-coo/2

или, учитывая (32.44),

(32.46)

)

-СОо/2

При

этом предполагается, что

32.4.

Среднеквадратическое

отклонение

Предположим, что ко

входу

импульсной системы (рис. 32.3)

приложено внешнее воздействие

f(mT),

представляющее собой

сумму полезного сигнала s(mT) и помехи

1(шТ):

(tnT)

= s

{mT)

(шТ).

(32.47)

Сигнал и помеха независимы, так что

М {s

{mT)

{tnT)}

0. (32.48)

Желаемая величина

Zo(mT)

представляет собой результат пре-

образования полезного сигнала

s(mT),

осуществляемого опера-

тором Л, так что

(mT)

A{s(mT)}.

(32.49)

Этот оператор может быть в общем и физически нереализуемым,

z(mT)+MmT)

$(mT)\

К*(Р)

s(mT)

Рис.

32.3.

Рис.

32.4.

Например,

в случае упреждений. Структурная схема образова-

ния

отклонения изображена на рис. 32.4. Она аналогична схеме

448

СТОХАСТИЧЕСКИЕ

ПРОЦЕССЫ

[ГЛ. 32

(рис.

14.2) для непрерывных систем. Обозначим через

/<*(/оз)

Ко

{fa)

частотные характеристики реальной и идеальной систем.

Тогда, преобразуя

структурную

схему,

находим спектральную

плотность

ошибки г{тТ)=

Zo(mT)—

z(mT):

(со)

(/со)

(/со) |

(со) +

(/со)

S\(со).

(32.50)

Оценивая

качество работы системы

среднеквадратическим

откло-

нением

или, что то же, дисперсией:

соо/2

M{B

(mT)}

Re(0)=~

S*e(co)dco,

(32.51)

-CDo/2

получим после подстановки

(со) из

(32.50)

м {е

{тТ)}

)

^о

(/©)

К"

(/со)

(со)

11С

(/со)

(со)}

rfco.

(32.52)

-соо/2

Если

К* (/со), 5* (со) и

(со) известны, то /

(32.52)

приводится

виду

COo/2

(/to)

М* (/со)

~0)"о/2

rfco,

(32.53)

где

N*(j&)

М*(/со)—многочлены

по

е^

Можно для вычисле-

ния

/ воспользоваться формулами в табл. 31.1. Оптимальные па-

раметры определяются, как и в

случае

непрерывных систем, из

уравнения,

получаемого приравниванием нулю градиента / по

параметрам.

32.5. Оптимальные импульсные системы

Синтез

оптимальных

импульсных

систем

состоит в таком под-

боре их характеристик, при котором среднеквадрагическое от-

клонение

/ достигает минимума. Поскольку такое / отличается

от рассмотренных в §§ 14.4, 14.5 лишь тем, что вместо обычных

частотных характеристик и спектральных плотностей в него

входят

дискретные частотные характеристики и спектральные

плотности,

то достаточно воспользоваться готовыми

результа-

тами § 14.5 и произвести соответствующие замены, учитывая

специфику

дискретных характеристик при операциях фактори-

зации

и расщепления. В частности, при проведении факториза-

ции

надо так представить сомножители функции

*(/со),

опре-

деляемой соотношением

S;(co)

S;(co),

(32.54)

32.5]

ОПТИМАЛЬНЫЕ

ИМПУЛЬСНЫЕ СИСТЕМЫ

449

чтобы все ее полюсы и нули лежали в верхней полуполосе со

(в

левой полуплоскости р). Этому требованию можно удовлетво-

рить, если записать функцию

¥*

(/со) по отрицательным степе-

ням

е^

Дело в том, что полюсы сомножителей

\/(е^

—а

|Яг|<1,

входящих в числитель и знаменатель выражения

*F*(/co),

находятся в верхней полуполосе со,

тогда

как нули

этих сомножителей, равные (—/со), находятся в нижней полу-

полосе со. Если же соответствующие сомножители записать

виде 1/(1

—аге-№

)

то не только их полюсы, но и нули

будут

находиться в верхней полуполосе со.

Обозначим функцию, содержащую только сомножители вида

1/(1 —

^е-ДО

через

Ф*(/со).

Заметим, что |

¥*

(/со)

(/со) |

Функцию

Ф*(/со)

можно записать в виде

ф*

(/со)

-£1

___.

(32.55)

(/Г

Теперь по аналогии с

(14.30)

можно записать выражение

для

физически

реализуемой частотной характеристики оптимальной

импульсной системы:

Величина

{•}+

находится с помощью расщепления, т. е. в резуль-

тате

выделения той части разложения на простые дроби, кото-

рая

имеет полюсы в верхней полуполосе со и которая является

правильной

дробью относительно переменной

е~^

*.(_,„)

/ -

-/-г

(

)

причем

сумма берется

по

всем

для

которых

\П{\

<С

Пример.

Пусть спектральные плотности полезного сигнала и

помехи

равны соответственно (Т — 1)

Ae-~

alm

>e~

Ipm

—

оо

(со)

В,

Причем

сигнал

помеха

не

коррелиройаны,

т. е.

(/со)

О,

Я 3

Цы..М1н

450 СТОХАСТИЧЕСКИЕ ПРОЦЕССЫ

{ГЛ.

Найдем

оптимальную частотную характеристику системы, предназначенной

для воспроизведения сигнала В этом

случае

/fj(/©)

= l. Производя факто-

ризацию

суммы

(со) +

(ш),

получаем

>Р*

(/©)

где С и

с*]

определяются из уравнений

Далее находим

SU<O)

,. _

е-'*

/со)

• (-

/ш)

J С (1 -

-(«+«-))

(1 -

е-

е~

1а

)

Подстановка соответствующих выражений в формулу

(32.56)

дает

частотную

характеристику оптимальной импульсной системы:

32.6.

Учет

ограничений

Поскольку

характеристики управляемого объекта являются

заданными,

то при синтезе реализуемой оптимальной импульс-

ной

системы необходимо учитывать ограничения, связанные с

неминимально-фазовостью объекта, запаздыванием и т. д.

Как

было показано в § 14.6, для получения устойчивой опти-

мальной реализуемой системы необходимо, чтобы передаточная

функция

замкнутой системы включала в себя числитель

переда-

точной функции объекта и передаточную функцию элемента за-

паздывания.

Поступая так же, как это было сделано в §

14Д

нетрудно получить выражение для оптимальной частотной ха-

рактеристики замкнутой импульсной системы при

учете

ограни-

чений

и замечания относительно операции факторизации (см.

32.5) в виде

(/со) **

(/соГ

(

-ФГР/СО)

(- /со)

где функции

Ф*(/ю)

(jm)

определяются соотношениями

Ф*

(/со) |

(ш)

(со),

32.6]

УЧЕТ

ОГРАНИЧЕНИЙ

451

функции

Ф*

(/со)

Ч^(/ю),

как и

ранее, записываются

по

степе-

ням

е~~^

этом случае, когда импульсная передаточная функ-

ция

неизменной части устойчива

минимально-фазова,

имеем

Тогда

из

выражения

(32.58)

получаем

Частотная характеристика управляющего устройства нахо-

дится

по

частотной характеристике замкнутой импульсной систе-

мы обычным образом:

(1,Л

(/СО)

/QOAA\

опт

(/©)

.. .

~*—ТГТ"

•

(32.60)

(/со) 1

/С

опт

(/со)

По

этой частотной характеристике можно определить

структуру

оптимального управляющего устройства.

Пример

Найдем управляющее устройство, обеспечивающее управление

по

минимуму дисперсии ошибки,

для

системы, содержащей неизменную часть

виде

Пусть

/Со

(/со) = 1,

полезный сигнал

помеха

не

коррелированы,

а их

спект-

ральные плотности равны соответственно

Так

как

импульсная передаточная функция объекта устойчива

минимально-

фазова,

то

оптимальную передаточную функцию замкнутой системы находим

по

формуле (32.59). Имеем

о*

0,31

2о)

0,261

S.(,)+

^(а»-

|е/

о,

2ю

а8Д9|

•

Используя результаты факторизации

ф#/

. ,

1-0,2бЬ

в/02о)

(/со)=

—

(- /со)

•

получаем

(со)

295

0,261)

15*