Цыпкин Я.З Основы теории автоматических систем
Подождите немного. Документ загружается.
422
СИНТЕЗ
ИМПУЛЬСНЫХ АВТОМАТИЧЕСКИХ СИСТЕМ
[гл.
§
30.5. Компенсация
влияния запаздывания
Рассмотрим систему управления,
в
которой неизменная часть
обладает запаздыванием
т =
s
0
T.
Структура этой системы
/^JKL=
F(P)
i
L
ЩФ)
"~l
j
z(mT)
.
|
Рис.
30.2.
изображена
на рис. 30.2.
Передаточная функция такой системы
имеет
вид
(p)e
~ps
Q
T
или,
так как
то
Q*(p)
'
Р]
(р)
е~^
т
^
Q*(p)
+
P*
{
(p)e-^
T
'
Характеристический многочлен системы равен
(30.40)
(30.41)
Наличие
запаздывания часто приводит
к
неустойчивости либо
к
таким
процессам, которые
не
позволяют системе выполнить свое
назначение.
'
(р)
\Х(р)
гЕ
Щф)
-РЦТ
гШ
t(p)
Рис.
30.3.
Введем
в
систему
ЦВУ (рис.
30.3). Обозначим передаточную
функцию
ЦВУ
через
W*
K
(p). Тогда передаточная функция
зам-
кнутой системы
с ЦВУ
будет
равна
W*
(о)
W*
(о)
e~~
ps
°
T
*»
&
ff
Попытаемся
найти такую
W*
K
(p),
чтобы устранить влияние запаз-
дывания
на
процессы
в
системе. Предположим,
что
неизменная
§
30.61
КОМПЕНСАЦИЯ ВЛИЯНИЯ ЗАПАЗДЫВАНИЙ
Ш
часть системы устойчива. Это значит, что все полюсы
W\{p)
— ле-
вые, т. е.
Влияние запаздывания на динамические процессы
будет
устра-
нено,
скомпенсировано, если характеристический многочлен
G*(p) не
будет
от него зависеть, т. е. если
G*(p),
вместо (30.41),
будет
выражаться так
P*(p).
(30.43)
При
этом задаваемая передаточная функция
будет
иметь вид
к* <п\
р
*
{
Р
]
м
*
<Р>
Воспользуемся теперь вторым полиномиальным уравнением
(30.22):
Р* (р)
М\
(р) +
e»W
(р)
=
[Q;
(р) +
Р*
Щ
еР*>
т
,
(30.44)
или,
после умножения на
e~
ps
°
T
,
Р*
(р)
е->»*М*
(р) +
N*
(р)
=
Q;
(р) +
Р*
(р).
Отсюда находим многочлены наименьшей степени
и,
значит,
Подставляя
М\{р)
и N*(p) в выражение
(30.44)
и учитывая, что
в
нашем
случае
Q;+(P)-Q»,
получим выражение для передаточной функции
ЦВУ|
После
деления числителя и знаменателя на
Q*(p)
получаем
Передаточная функция
W\(p)
(30.45)
реализуется выбором со-
ответствующей программы ЦВУ. Можно
W*
K
(p)
реализовать со-
гласно
(30.45)
и несколько иным путем. Замечая, что
424
СИНТЕЗ
ИМПУЛЬСНЫХ АВТОМАТИЧЕСКИХ СИСТЕМ
[ГЛ
30
охватим импульсный элемент, входящий в систему (рис. 30 4),
обратной связью, состоящей из непрерывного элемента с переда-
точной функцией
W
{
(p) и параллельного соединения усилитель-
ного элемента с единичным
усилецием
и элемента запаздывания
f(mT)
w(mT)
Frpj
,
Рис
30.4.
на
So
тактов. Тогда такое соединение
будет
обладать передаточ-
ной
функцией
W*
K
(p)
(30.45).
Найдем передаточную функцию за-
мкнутой системы, в которой скомпенсировано влияние запазды-
вания.
Из
(30.42)
получаем
К*
(р)
=
«
Р
*^
р
\
—
e^
ps
"
T
t
или,
после деления числителя и знаменателя на
Q*(p),
(р)
(30.46)
Этот же результат нетрудно также получить, подставив
W*
K
(p)
из
(30.45)
в (30.42). При компенсации влияния запаздывания,
z(mp
Z*(p)
т.е. при выборе
W*
K
(p)
согласно (30.45), структурная схема
си*
стемы (рис. 30.3 или рис. 30.4) становится эквивалентной струк-
турной схеме, изображенной на рис 30.5. Структурная схема си-
стемы содержит в цепи внутренней обратной связи модель разо-
мкнутой системы без запаздывания и модель с запаздыванием.
Выходы этих моделей вычитаются
друг
из
друга
и тем самым
f(mT)
д[тТ)
F
(p)
JXft)
i
_L
Рис.
Щ1Р)
30.5.
>
|
r
-DS
s
T
S
§
30
6]
СИСТЕМА С КОНЕЧНОЙ ДЛИТЕЛЬНОСТЬЮ ПРОЦЕССА
425
создают корректирующий сигнал, компенсирующий влияние за-
паздывания.
Применение
ЦВУ с
передаточной
функцией
W*
K
(p)
(30.45)
приводи!
как бы к
вынесению
элемента
запаздывания
за
замкнутый
контур.
Иногда целесообразно не полностью, а частично устранять
влияние запаздывания. Как мы видели ранее, при наличии
f(mT)ss[mT)
Щ(р)
Щ(Р)
1*(р)
Рис.
30.6.
запаздывания коэффициент усиления может быть увеличен по
сравнению со случаем отсутствия запаздывания. Для этой цели
достаточно в
(30.45)
заменить
s
0
на
s\
<
s
0
,
и тогда вместо
(30.46) будем
иметь
W\
(p)
(30.47)
Структурная схема этой системы изображена на рис. 30.6.
Здесь заменена лишь модель системы без запаздывания на мо-
дель системы с запаздыванием.
§
30.6.
Система
с
конечной
длительностью
процесса
Для синтеза импульсной системы с конечной длительностью
процесса воспользуемся наиболее общим, вторым полиномиаль-
ным уравнением синтеза (30.22). Полагая в нем G*(p) —
e^
nT
,
получим
Р*
(р)
М[
(р) +
<3;„
(р)е^
т
ЛГ
(р) =
е*>
{n+s
*
)T
.
(30.48)
426 СИНТЕЗ ИМПУЛЬСНЫХ АВТОМАТИЧЕСКИХ СИСТЕМ [ГЛ.
30
Как
следует
из
(30.20)
и
(30.21), минимальная длительность
процесса, возникающего
в
системе, определяется выражением
n~=n
p
+
n
Q
__
+
s
0
-l.
(30.49)
Отсюда
следует,
что
Wi
=
пТ,
т. е.
минимальная
длительность
процесса
в
импульсной
систе-
ме
равна
произведению
периода
повторения
на
сумму
чис-
ла
нулей,
правых
полюсов
неизменной
части
системы
и
времени
запаздывания.
Пример.
Рассмотрим импульсную систему. Пусть передаточная функ-
ция
W*
(р) ее
неизменной импульсной части равна
1Г(р)-
Р
*
(р)
-
1
>84(еР
г
+
0,718)
x
"
Q*(P)
(eP
T
-\)(e"
r
-
0,368)-
Здесь
P*
(p)
=
1,84
(б
рГ
+
0,718)
и,
значит,
п = 2.
Поэтому
уравнение
(30 48)
запишется
так:
1,84
(е
рТ
+
0,718)
М*
(р)
+
(е
рТ
-
l)
N* (р)
=
е
2рТ
.
(30.50)
Многочлены
М
1
(р)
и N (р)
будем
искать
в
виде
М*(р)
=
а
0
,
Ы*(р)
=
Ь
х
е
рТ
+
Ь
й
.
(30.51)
Подставляя
эти
многочлены
в
(30.50)
и
приравнивая коэффициенты
при оди-
наковых степенях
е
рт
,
получаем систему уравнений
1,84
-0,71а
0
—
&о
=
О,
1,84а
0
—
b
Q
—
hi
=*0,
откуда находим
а
о
=*
0,316,
г?
0
=
0,418,
&!
= 1.
Следовательно,
М\
(
р
)
=
0,316,
N*
(р)
=
е
рт
+
0,418.
Подставляя значения этих многочленов,
а
также
Q
1+
(p) в
еоотношение
*
Q\+{p)M\(p)
кКР)
N*(p)
найдем передаточную функцию
ЦВУ,
реализующего процесс конечной
дли-
тельности:
г
0316^-0368),
к
е
рТ
+ 0,418
ЗАДАЧИ
427
Оптимальная
передаточная функция замкнутой системы найдется по формуле
(30,23)
при
s
-
0 и G* (р)
=
е
2рТ
:
Подставляя
сюда значения Р* (р) и
N
{
(p), получим
К*
Л
Ч
0.718)
или
Временная
характеристика
,
!
ри
этом равна
0,
щ
=
О,
0,582,
w=l,
1,
m
=
2,
0,
m
> 2,
что свидетельствует о конечной длительности процесса.
Задачи
30.1.
Показать, что при частичной компенсации запаздывания в импульсной
системе (рис. 30.2) передаточная функция ЦВУ имеет вид
к
80.2.
Показать, что передаточная функция ЦВУ, осуществляющего ко-
нечную длительность процесса в системе (рис. 30.7), равна
W*
K
(p)
«
1
еРТ-е-т/Tt
е"
т
-
-,
где
Г
(1~^
7
XI
Zip)
Рис.
30.7.
80.3. Показать, что в системе, рассмотренной в
задаче
25.3, передаточная
функция ЦВУ, реализующая конечную длительность процесса /
=
2, равна
Т
! '
-о!
~>
г
Д
е
a
i
sss
-
'
TIT,
Г
•
Предло-
К(р)
1_
в
-г/г,
1+а1в
жить возможные реализации передаточной функции ЦВУ.
Глава
31
ОПТИМАЛЬНЫЕ ИМПУЛЬСНЫЕ СИСТЕМЫ
§
31.1. Показатели качества
Как
и для непрерывных систем, вводя отклонение ошибки си-
стемы х(тТ) от установившейся ошибки
х
в
(тТ):
е
(тТ)
= х
(пгТ)
-
х»
(шТ),
(31.1)
можно сформировать различные типы показателей качества.
Максимальное
отклонение:
/
=
тах|е(тГ)|,
0<т<оо,
(31.2)
m
Суммарное
абсолютное
отклонение:
оо
/=£
\е(шТ)\.
(31.3)
Суммарное
квадратическое
отклонение:
/=Ее
2
(тГ).
(31.4)
Для
оптимальных
импульсных
систем
показатели должны до-
стигать минимального значения. Часто
при
оптимизации
им-
пульсных систем необходимо принимать
во
внимание различные
ограничения:
|в(тГ)|<а
(31.5)
и
или
Е
[(Ле((т-~1)Г)]
2
<с.
(31.7)
§
31.2]
КВАДРАТИЧЕСКОЕ СУММАРНОЕ ОТКЛОНЕНИЕ
429
Иногда
целесообразно использовать обобщенные показатели
качества, например:
оо
/
=
£
(е
2
(тТ)
+
х\
[Де
((ш
- 1)
Т)]
2
}.
(31.8)
Этот функционал
в
некотором смысле эквивалентен минимиза-
ции
критерия (31.4)
при
ограничении типа (31.6).
§
31.2.
Квадратическое суммарное отклонение
Для устойчивой импульсной системы показатель
качества
—
суммарное квадратическое отклонение
оо
/=£
г
2
(пгТ)
(31.9)
— существует
и
конечен. Выразим
/
через спектральные функ-
ции.
Для
этого воспользуемся соотношением
еоо/2
г
(
т
Т)
= — \
E*(h)e^
mT
d(o.
(31.10)
CDo
J
-Сйо/2
Умножая
(31.10)
на
е(пгТ)
и
суммируя
обе
части
по
m от 0 до оо,
получим после изменения очередности интегрирования
и
сумми-
рования
оо
Сйо/2
г-
оо
-|
/
= V
8
2
(щГ)
= — \
Е*
(/©)
У
8
(пгТ\
е^
тТ
\
d®.
(31.11)
^-—i
COQ
J
I
Z—i
i
w=0
-Сйо/2
L
/i=0
J
Ho
E
%
(-j<i>).
(31.12)
Поэтому
из
(31.11)
получаем
оо
®о/2
/
=
^
е
2
(АПГ)
=
J-
J
|
£*
(/со)
р
do.
(31.13)
m=0
—Сйо/2
Соотношение
(31.13)
устанавливает соответствие между
энер-
гией отклонения ошибки
от
установившейся ошибки
и
площадью
квадрата модуля спектра.
Это
соотношение называется
форму-
лой
Парсеваля.
Оно
является дискретным аналогом формулы
Парсеваля (13.10). Введем понятие энергетической спектраль-
ной
функции
S;»
=
|£*(/co)p.
(31.14)
430 ОПТИМАЛЬНЫЕ ИМПУЛЬСНЫЕ СИСТЕМЫ
Тогда (31.13) можно представить
в
виде
/i
т.
е.
со
0
[ГЛ
Ж
81
(31.15)
~(0
0
/2
суммарное
квадратическое
отклонение
равно
площади
энергетической
спектральной
функции,
поделенной
на
частоту
повторения.
Представим изображение отклонения Е* (р)
в
виде дробной
функции
от
е
рТ
:
УР)
Ml
—
е
(Р)
d
o
-{-
die
pT
-\-
d
2
e
2pT
+
... +
d
s
e
spT
(31.16)
Тогда энергетическая спектральная функция представится
в
виде
(31.17)
f
e
(/©)
и,
следовательно, показатель оптимальности (31.15) запишется
в
виде
Юв/2
^
(/со)
(/со)
da.
(31.18)
Этот интеграл вычисляется
на
основе методов теории функций
комплексного
переменного
и
выражается непосредственно через
коэффициенты
Е*(р)
(31.16). Приведем окончательные резуль-
таты:
(31.19)
где
§
31.2]
КВАДРАТИЧЕСКОЕ
СУММАРНОЕ ОТКЛОНЕНИЕ
431