Цыпкин Я.З Основы теории автоматических систем

Подождите немного. Документ загружается.

432 ОПТИМАЛЬНЫЕ ИМПУЛЬСНЫЕ СИСТЕМЫ [ГЛ. 31

—

определитель Мизеса для уравнения

М»-0,

(31.21)

As+i

—

определитель,

получающийся из

заменой первой

строки на

Zgt,

2Eftg

+ 1

...,

2(gogs-i

gigs),

Zgogs).

(31.22)

-0

*=0

Выражения / для

= О и

1, 2, 3 приведены в табл. 31.1.

Чем меньше при данных значениях параметров неизменной ча-

сти величина /, тем выше качество импульсной системы.

31.3. Оптимальные параметры систем

В общем

случае

показатель оптимальности / является функ-

цией

неких конкретных параметров системы. Обозначим их че-

рез

v = 1, 2,

...,

ЛЛ

Тогда

(с

...,

(31.23)

Оптимальные параметры соответствуют таким значениям

— с*,

при

которых / достигает минимума. Предположим, что мини-

мум /

существует

и он единственный. Часто это предположение

вытекает из физических соображений. В этом

случае

условие ми-

нимума получается приравниванием частных производных / по

Си

• • •,

нулю, т. е.

i£fc^

= Oi

v=l,2,

....

ЛГ.

(31.24)

Вводя обозначение градиента

(^I

^f>

(31-25)

условие

(31.24)

можно записать в векторной форме:

W(£?)

= 0,

(31.26)

где

с =

(си

С2у

...,

)—

вектор параметров. Решение уравнения

(31.26)

и определяет оптимальные параметры системы.

31.4. Оптимальные характеристики

Найдем оптимальную характеристику ЦВУ

(p),

опреде-

ляющую закон управления, при котором достигается минимум

показателя качества вида

(31.27)

где

{тТ)

= х

(пгТ)

х*

{шТ)

(31.28)

31.4]

ОПТИМАЛЬНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ 433

— отклонение ошибки от вынужденной и

(тТ)

= и

(пгТ)

— и*

(пгТ)

(31.29)

—- отклонение управления от вынужденного. Будем предпола-

гать, что неизменная часть устойчива или нейтральна. Согласно

формуле Парсеваля (31.13) имеем

Сйо/2

{|£;(/со)|

Я2|£;(/с0)|

}Ж»,

(31.30)

~©о/2

где

Е*

(]®)

Е*

(/со) — спектры отклонений ошибки и управляю-

щего

воздействия.

Предположим для простоты, что как выну-

жденная ошибка

(тТ)

так и вынужденное управление равны

нулю:

(

тГ

)

и*

(тТ)

0. (31.31)

Тогда

е^

(тГ)

дс

(тТ),

(пгТ)

— и

{тТ),

Поэтому вместо (31.30) получаем

оо

[х

(щТ)

{тТ)\

ДГ

(/«о)

Я.

|СГ

(/«>)

Р>

г/ш,

(31.32)

~-©о/2

где

X*(j(o)

С/*

(Ы

— спектры ошибки и управляющего воздей-

ствия.

Но согласно структуре системы

X* (/со) = [1 -

К*

(/со)] F* (/со) (31.33)

(31.34)

Поэтому (31.32) можно представить в виде

G)o/2

-COg/2

ш.

(31.35)

434

ОПТИМАЛЬНЫЕ ИМПУЛЬСНЫЕ СИСТЕМЫ [ГЛ 31

Вводя обозначения энергетических спектров внешнего воздействия

(co)

|r(/(o)|

(31.36)

приведенного управляющего воздействия

(/со)

(31.37)

Г*

(/со)

запишем

показатель оптимальности окончательно в виде

(йо/2

-Оо/2

Если

(31.38)

подставить значения энергетических спектров

(31.36), (31.37), то мы придем к выражению (31.18), которое

было использовано для определения оптимальных параметров.

Для получения реализуемой характеристики можно было бы

поступить аналогично

тому,

как это было сделано в гл. 13 для

непрерывных систем. Однако такой

подход

не обеспечивает не-

которых дополнительных условий работоспособности импульс-

ной

системы. Поэтому изложим иной путь, который позволяет

эти

условия учесть.

Чтобы удовлетворить условию (31.31), предположим, что зна-

менатель изображения входного воздействия

В*(р)

содержится

знаменателе передаточной функции объекта

Q*(p)

т. е.

(р) = В* (р) •

(р).

(31.39)

Воспользуемся теперь соотношениями для допустимой пере-

даточной функции (30.18), (30.19), положив в них

= 0,

Q*__

(p)

1и

дополнив последнее требованием нулевой вынужден-

ной

ошибки

(31.31)

при отслеживании воздействия с изображе-

нием

F* (р) =

д,

, :

К*(Р)

L,*\

(31.40)

Здесь

Р*

(р) — числитель передаточной функции объекта, G* (р) —

характеристический многочлен замкнутой системы,

М*

(р) и

{p)

— неизвестные многочлены, удовлетворяющие полиномиаль-

ному уравнению

Р*

(Р)

М;

(р) + В* (р)

(р)

(р).

(31.42)

31.4]

ОПТИМАЛЬНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ

435

В выражении

(31.41)

сомножитель

В*(р)

обобщает введенное

ранее

(30.28)

требование астатизма

v-ro

порядка.

Определение оптимальной частотной характеристики

К*(/со)

сводится

решению вариационной задачи

—

минимизации

/ при

учете

условий работоспособности замкнутой системы.

Для

этой

цели нужно

выражение

(31.38)

вместо

К*(/со)

подставить

/С*

пт

(/со)

т]

6/С*

(/со),

где

г|

—

произвольная постоянная,

6^*

(/со)—

вариация частотной характеристики, взятая

соот-

ветствии

(31.40)

при р =

/со. Тогда

будет

функцией пара-

метра

г].

Эта

функция достигает минимума

при

= 0, т. е. при

/С*

(/со)

/Сопт(/©).

Следовательно,

при

г)

= 0

\4Ц

=0.

(31.43)

Подставляя сюда выражение

из

(31.38), получим условие

ми-

нимума

/ в

виде

coo/2

°~(Оо/2

соо/2

(

/со)

(

)

- ^

/®))

((o)}6K4h)

rfco

о,

которое,

силу сопряженности подынтегральных выражений,

переписывается

виде

соо/2

—k

Юо/2

(1 -

/Г

(/со))

(со)}

6Г

(- /со)

dco

(31.44)

Вводя

обозначение

s»

(co)

s;»

(

(31.45)

из (31.44)

получаем

(Во/2

-J-

{r(/«)S>)-S;

H}d/C(-/co)dco

= 0.

(31.46)

-С0./2

Запишем

интеграл

(31.46) через переменную

/со,

учтя, что

Г,

Г{р)Г(-р)

(3L47)

(3L48)

436 ОПТИМАЛЬНЫЕ ИМПУЛЬСНЫЕ

СИСТЕМЫ

[ГЛ. 31

где

G]{p)

определяется уравнением

(p)

р)

Р*

(р)

Р*

р)

(p)

р).

(31.49)

Поскольку

в подынтегральном выражении

(31.46)

степень

числителя ниже степени знаменателя, то интегрирование по пря-

мой

от

—/-у-

ДО

+/-у-

на плоскости р можно заменить инте-

грированием по контуру

охватывающему

левую

полуполосу:

(31.50)

Интеграл

(31.50)

равен нулю, если его подынтегральное выра-

жение не содержит левых полюсов. Это условие определяет

выбор оптимальной передаточной функции

К*(р).

Учитывая (31.40), подынтегральное выражение из

(31.50)

можно переписать в виде

\*(

(р) М

{р) G

1 (р)

(

р)

{р) Р

{р)

(

р)

[Р)

(р) Р* (р)

Р*

(- р)

Яй^

р)

(3L51)

Выражение

(31.51)

позволяет просто найти характеристический

многочлен G*(p) замкнутой оптимальной системы При этом по-

требуем, чтобы характеристический многочлен G*(p) не зависел

от вида числителя

А*(р)

изображения входного воздействия.

Другими словами, свойства замкнутой системы не должны зави-

сеть от начальных условий входного воздействия, т. е, система

будет

оптимальной не для воздействия данного вида, а для

класса воздействий, характеризуемых одинаковыми знаменате-

лями

их изображений. Это требование означает запрет на со-

кращение

(31.51)

числителя А*(р) изображения входного

воздействия с сомножителями многочлена

G*(p).

Если такого

требования не наложить, то замкнутая система может

даже

не

оказаться устойчивой. Так, для сигнала, растущего с постоян-

ным

ускорением, замкнутая система в этом

случае

получилась

РТ

(е

РТ

бы

на

границе устойчивости, поскольку

F*(p)

)~±^~

)

—±^

\е

характеристический многочлен приобретает сомножитель

Конечно,

указанное ограничение, обеспечивающее работоспо-

собность системы, вместе с ограничениями (31.40),

(31.41)

уве-

личивает наименьшее значение функционала / по сравнению со

314]

ОПТИМАЛЬНЫЕ

ХАРАКТЕРИСТИКИ

437

случаем, когда эти ограничения

отсутствуют.

Покажем теперь,

что если выбрать

где

G\(p)

определяется уравнением (31.49), то все полюсы

выражения (31 51)

будут

правыми. Для этого, используя замену

(со) =

(со) —

(со), перепишем подынтегральное выражение

из

(31 46) в ином виде, содержащем 1 —

/С*(/<о):

Л* (/со) =

{Sl

(со) - (1 -

(/со))

(со)}

6Г

/со).

Полагая

здесь /со = р, принимая во внимание

(31.47)

и заме-

чая,

что

is*

t*л

Б*

(р) N* (р)

—

(р) = ~—

(р)

получим

Я,У

(р)

р)

С7

(Р) -

В*

(р)

(p)

р)

' (-

р)

бГ

,_ ,

'(-р)

[ Р)

Р)

iv*

(р)

р;

(р)

Р*

(р)

Р*

р)

В последнем преобразовании использованы условия (31.39),

(31.52). Приравнивая числители выражений

(31.51)

(31.53)

при

G*(p)

G\(p),

получаем, что числитель

(31.51)

предста-

вим

в виде произведения четырех сомножителей

(р)

(p)

(Ml

(р)

О]

(- р) - Р* (- р))

В*

(р)

(P)

(- Р) - N* (p)

(- р)) =

P*(p)B*(p)G\(p)L*(p),

(31.54)

где

L*(p)—некоторый

многочлен. При записи последнего равен-

ства предполагалось, что В*(р) и Р*(р) не имеют общих сомно-

жителей. Если учесть, что при фиксированном

G(p)=

Gi(p)

ва-

риация

равна

438 ОПТИМАЛЬНЫЕ ИМПУЛЬСНЫЕ СИСТЕМЫ [ГЛ.

то убеждаемся,

что все

полюсы выражения

P*(p)B*{p)G\{

)L*(p)A*(p)A*(-p)

xtrt

. .

Л {Р) ЬК (р)

)

(

)P\)B\

)

Л {Р)

G\i

(

p)P\-

)B\

{

)

ЬК (р)

-^fm^^i-P)

01.55)

— правые.

Это и

доказывает оптимальность передаточной

функции

Р'(Р)М*

(Р)

™

{р)=

GUP)

где

G^ip)

М*(р)

определяются соответственно уравнениями

(31.49)

(31.42)

при

G*(p)==

Gj(p).

Оптимальная передаточная

функция

последовательного управляющего устройства вычисля-

ется обычным образом:

(

<ПТ(Р)

Q*(P)M*

(

)

учетом (31.39),

(31.40)

при

р =

/со

(31.46)

выражение

для

минимального значения функционала

(31.38)

можно предста-

вить

виде

Ш./2

(/©)

-J-

iV*

(/со)

1M*

(/со)

Задачи

31.1.

Показать,

что

суммарная

квадратическая

ошибка

импульсной

си-

стемы

(mT)

(тТ)}\

передаточная функция которой равна

е~

е*

представим

виде

/=ЯК

(/е

гр

—

k)k

где

—

cth -^~ .

Исследовать зависимость

/ от

к.

Показать,

что /

достигает минимума

при

-f

TITx

ЗАДАЧИ

439

31.2. Показать,

что

суммарная квадратическая ошибка импульсной

си-

стемы рассмотренной

задаче

25.2, равна

/==

(2k

T-k

)(2-k

при

скачкообразном входном воздействии

равна

(2kiT

—

)

(2 -

kj)

при

линейном входном воздействии.

Исследовать поведение

/ в

плоскости

{k\T

T).

Найти оптимальные

па-

раметры

к\

для

заданного

Т,

при котором

минимально.

г(тТ)

ГФ)

Рис.

31.1.

31.3.

Ко

входу

системы, изображенной на рис.

31.1,

приложено единичное

воздействие

при

^ О,

при

m < 0.

Показать,

что

оптимальная передаточная функция корректирующего

уст-

ройства

(/?),

при которой достигается минимум

U(mT)-z(mT)V

при

условии

равна

Т.

е.

представляет собой усилитель.

Глава

СТОХАСТИЧЕСКИЕ

ПРОЦЕССЫ

32.1.

Статистические

характеристики

импульсного

элемента

Найдем вначале статистические характеристики идеального

импульсного элемента

(рис.

32.1). Выходная величина идеаль-

ного импульсного элемента х* (t) представляет собой модулиро-

ванную последовательность мгновенных

импульсов (см. § 23.3):

(t)

x (t)

(/)

2Li

x(t)6(t

— mT).

Рис.

32.1 (32.1)

Среднее

значение

выходной величины идеального импульсного

элемента

будет

равно

г,

Нт

^г-

x*(t)dt.

(32.2)

-Го

Разобьем интервал интегрирования (—Го, Го) на интервалы,

равные периоду повторения Г, так что

2Г

= (2N

1)^\

Тогда

т„*

(32.2) можно представить в виде

Но

в силу свойств

б-функции

x*{t)dt=

Ж(/)4(/

—

«Л

х(тТ).

(32.4)

32 1] ХАРАКТЕРИСТИКИ ИМПУЛЬСНОГО ЭЛЕМЕНТА 441

Следовательно, среднее значение выходной величины идеального

импульсного элемента определяется выражением

Найдем

взаимную

корреляционную

функцию

выходной

входной

величин

идеального импульсного элемента. Согласно

определению

(

)

{х*

х (t + т)}, (32.6)

или

(т)

Iim

-sjr-

(t)

x(t

dt.

(32.7)

-Г,

Подставим в правую часть (32.7) х*

(I)

из (32.1). Производя

преобразования,

аналогичные проделанным выше, используя

вместо (32.4) равенство

получим выражение взаимной корреляционной функции

выход-

ной

и входной величин идеального импульсного элемента:

т).

(32.9)

Для определения взаимной спектральной плотности восполь-

зуемся соотношением

(14.32)

при у =

х*:

(32.10)

Запишем

(т) (32.9) в равносильной форме:

т),

(32.11)

ЛГ->оо