Цыпкин Я.З Основы теории автоматических систем

Подождите немного. Документ загружается.

452

СТОХАСТИЧЕСКИЕ

ПРОЦЕССЫ [ГЛ. 32

Отсюда находим

(СО)

0>31

*(-/©)

1 —

O,819e-

2CD

после

чего

определяется

~* ,.

0,557

U1U

/U)2<0

— 0,261

Импульсная

передаточная функция неизменной части находится по таблицам

равна

0,019

(е°'

2р

0,895)

об

\Р*

0,2р

1Ч

_0,2р

по1п\

Теперь по формуле

(32.60)

определяется частотная характеристика оптималь-

ного управляющего устройства:

* ,. .

29,25

(е

2о)

-1)(е

2о)

-0,819)

"KOHTV»

/0,4(0

___

/0,20

___

-7Q

Задачи

32.1.

Доказать что из соотношения

при

тТ

следует

«о/2

со

-G)Q/2

где

оо

S*M

—

32.2. Пусть спектральные плотности сигнала и помехи, воздействующих

на

импульсную систему, изображеную на рис. 32.5, равны соответственно

-о.2)

1,8

-0.1

/<00,1

причем

(©)

= 0, а частотная

характеристика

идеальной системы

равна

(/со) =

е~

/0)0<1

Предполагая, что частотная характеристика неизмен-

ной

части импульсной системы равна

ЗАДАЧИ

453

показать,

что аптимальная частотная характеристика корректирующего устрой-

ства, при которой минимизируется среднеквадратическая ошибка, равна

141,4

(

0,905)

ю,1

0>975

)

Начертить схему, реализующую частотную характеристику

опт

(/со). Пока-

зать, что

min

М {е

(тОЛ)}

Ыб.

f(mT)+klmT)

z(mT)

Рис. 32.5.

32.3. Показать, что если факторизация проведена в

виде

¥•(/»)

V«>1

то полученный результат

опт

ЦТ*

(/(о)

(__

/(о)

будет

отличаться от (32.56) при

П\

и совпадать с (32.56) при

П2

ti\

Объяснить почему при

{

приведенное здесь выражение

К*

оит

(/со) не-

верно.

32.4. Показать что при

учете

ограничений замена в

(32.58)

(/со) и

Ф*

(/©)

на

(/со) и

(/со) не изменяет выражения

К*

от

(/со).

Б.

НЕЛИНЕЙНЫЕ

СИСТЕМЫ

Глава

УРАВНЕНИЯ

НЕЛИНЕЙНЫХ

ИМПУЛЬСНЫХ

СИСТЕМ

33.1. Блок-схема и

граф

нелинейной импульсной системы

Нелинейные

импульсные

системы,

содержащие один нелиней-

ный

элемент, отличаются большим разнообразием, чем соответ-

ствующие нелинейные непрерывные системы. Это связано с тем,

что нелинейный элемент может входить как в непрерывную

часть, так и в импульсный элемент. Из этого многообразия не-

линейных

импульсных систем мы выделим те системы, в которых

нелинейный

элемент

входит

в импульсный элемент и непосред-

ственно предшествует ему. Блок-схема такой нелинейной им-

пульсной системы изображена

на

рис. 33.1, а. Граф, соответствую-

щий

этой блок-схеме, приведен на рис.

33.1,6.

Нелинейную

z(m7)

импульсную систему подобной структуры можно рассматривать

как

соединение нелинейного элемента и линейной импульсной

части, представляющей собой некую разомкнутую линейную им-

пульсную систему. И подобно

тому,

как мы изучали свойства

нелинейной

непрерывной системы по характеристикам ее линей-

ной

части, так и свойства нелинейной импульсной системы мо-

гут быть изучены по характеристикам ее линейной импульсной

части.

Типовые нелинейные элементы, входящие в нелинейную им-

дульсную

систему, не отличаются от описанных в §

15.3.

Их

уравнения запишутся в следующем виде:

,33

ЛИНЕАРИЗАЦИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ ИМПУЛЬСНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ

455

для

нелинейных элементов

однозначной характеристикой

(рис.

33.2,

а)

*,(*)

<&(*),

(33.1)

для нелинейных элементов с неоднозначной характеристикой

(рис.

33.2,6)

Ф(хЩ)

(33.2)

или

*(/)

Ф,(*(0).

(33.3)

Неоднозначность характеристики нелинейного элемента

требует

знания

входной величины x(t) не только в дискретные моменты

Рис.

33.2.

времени t —

тТ,

но и в интервалах

между

ними. Характеристи-

ки

(33.1)

—

(33.3)

задаются в графической или аналитической

форме.

33.2. Линеаризация

нелинейных

импульсных

элементов

Совокупность нелинейного и импульсного элементов образует

нелинейный

импульсный

элемент.

Линеаризация нелинейного им-

пульсного элемента сводится к замене его некоторым эквива-

лентным линейным импульсным элементом. Если эта замена не

зависит от конкретного вида входного воздействия, то линеари-

зация

нелинейного импульсного элемента сводится к линеариза-

ции

нелинейного элемента. Если же эта замена производится

для определенного вида воздействия, например гармонического

или случайного,

тогда

удобно осуществлять линеаризацию

совокупности нелинейного и импульсного элементов как единого

нелинейного импульсного элемента. Таким образом, при

стати-

ческой

дифференциальной

линеаризации

мы можем

воспользо-

ваться уже готовыми результатами § 15.4 и представить уравне-

ния

линеаризованных нелинейных элементов в виде

kW(x)x

(33.4)

456

УРАВНЕНИЯ

НЕЛИНЕЙНЫХ

ИМПУЛЬСНЫХ

СИСТЕМ

[ГЛ. 33

где

(х) =

—А^-

—-

коэффициент статической линеаризации, и

#*>(*)*,

(33.5)

где

(А)

(л:)

—^^р—

коэффициент дифференциальной линеа-

ризации.

Если в непрерывных системах нас интересовало пове-

дение

k^(x)

kW(x)

при непрерывных функциях

x(t),

то в дис-

кретных системах нас

будет

интересовать поведение

№

Цх)

kW()

при решетчатых функциях х(тТ).

Для определения коэффициентов

гармонической

стохасти-

ческой

линеаризации

рассмотрим нелинейный импульсный эле-

мент. Выходная величина его x*(t) может быть представлена

в виде (см. § 23.2)

где

(t)=

b(t-mT).

Предположим, что

xi(t)

изменяется по гармоническому закону

(t) = A sin

(at

ср),

причем

2л

а>о

СО

<S)

—

2NT

NT 2N

Это значит, что полупериод гармонического колебания равен NT.

Тогда

х*

{t)

zz=

х* (t)

будет

периодической функцией того же полу-

периода:

х*

(/)

(Л sin

(®

ф))

(/). (33.6)

Определим коэффициенты гармонической линеаризации

[

]

из условия наилучшего квадратического приближения

x*(t)

(33.6) гармонически изменяющейся величиной

= Л

ikT

sin

сод,/

+ fe

(

}

cos

щ{]

(0, (33.7)

т. е. из условия

[

[Г(0-£*(*)]

Л->

min

или,

в раскрытой

форме,

[AW

(о

^(г^

cos 0

л|2

y min в

^г)

(г)

33.2] ЛИНЕАРИЗАЦИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ ИМПУЛЬСНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ 457

Подставляя в левую часть (33.8) выражение

(t)

и меняя оче-

редность суммирования и интегрирования, получим, учитывая

свойства

б-функций,

оо

—

— A

(fcp

sin

k®

cos

t)]

—

mT)

dt =

N-l

]Г

[Ф

(Л

sin

(со^тГ

ф)) — Л

(A£>

sin

0^тГ

+ ^^

г)

cos

co^

(33.9)

Таким

образом, задача (33.8), согласно (33.9), сводится

задаче

min

. (33.10)

u(T)

с(г)

Дифференцируя

левую часть (33.10)

по

{

и fe? и приравни-

вая

получаемые результаты нулю, будем иметь

-1

- А

(&<

г)

sin

-J.

от

г>

cos

|- от)]

sin-J-«

—

Л(

sin-дг

т + feccosj

cos

-jj-m

=0.

Принимая

во внимание тождества

N -1

sin

-|r

«t

cos

-i-

= 0,

7V-1

Z-J

N 2

m=0

ЛГ-1

(

N=l,

458 УРАВНЕНИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ ИМПУЛЬСНЫХ СИСТЕМ [ГЛ. 33

находим коэффициенты гармонической линеаризации:

JV-3

kf=

еЧД

Ф)-^г

(Лsin(-2.m

+ ф))

sin-J-m,

(33.11)

Выходную величину

J^i

(mT)

гармонически линеаризованного

элемента

(33.11)

можно представить в несколько иной,

экви-

валентной форме:

(

Т)

Ak^

(Д

)

sin

(~-m

(Л,

JV,

))

(33.12)

где

Ф)]

Используя комплексную форму записи входной величины

запишем (33.12) в комплексной форме:

ж,(тГ)

^)(Д

Л^)(

где

(л,

yv,

Ф)

&<'•>

(Л,

yv,

или,

с учетом

(33.11),

*«

(Л,

iV,

)

(^sin

))

;

т+Ф

)

(33.13)

—

комплексный

коэффициент

гармонической

линеаризации.

Ком-

плексный коэффициент гармонической линеаризации представ-

ляет собой отношение комплексной амплитуды первой гармо-

ники

разложения периодической решетчатой выходной величины

нелинейного элемента к комплексной амплитуде входной гармо-

нической решетчатой функции.

Для однозначных нелинейностей

N~\

k?(A,

N, Ф)

33.2] ЛИНЕАРИЗАЦИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ ИМПУЛЬСНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ 459

и,

значит,

(Л,

ф) =

N-1

т=0

Представим непрерывную выходную величину нелинейного

элемента

в виде ряда Фурье:

(33.14)

Назовем

коэффициентом

{

гармонической

линеаризации

по

r-й

гармонике

или

г-ж

коэффициентом

гармонической

линеариза-

ции отношение амплитуды r-й гармоники к амплитуде первой

гармоники, т. е.

(

ЗЗЛ5

)

Подставляя

(33.14)

при t = пгТ в (33.15), получим

Но

так как

г=1

гФ\+2Ы1,

где

/ —

целое число, то окончательно получаем

ir)

(A,N,

2г

лг(Л,

16)

т. е.

коэффициент

гармонической

линеаризации

нелинейного

элемента

равен

сумме

обычных

непрерывных

коэффициен-

тов

гармонической

линеаризации

по

всем

гармоникам

2mN)

-го

порядка.

Предположим, что х — стационарный случайный процесс.

Тогда

= Ф

(А:)

будет

также стационарным случайным

процес-

460

УРАВНЕНИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ ИМПУЛЬСНЫХ СИСТЕМ [ГЛ. 33

сом. Определим коэффициент стохастической линеаризации из

условия наилучшего среднеквадратического приближения

Х[

ве-

личиной

т.

е. из

условия

{[*i

Jfi]

}

min,

fe(CT)

или,

в раскрытой форме,

{[Ф

(х)

k^x]

}

min.

(33.17)

fe(CT)

Дифференцируя левую часть

(33.17)

и приравнивая результат

нулю, получим

М {[Ф (х) —

k^x]

х)

= 0.

(33.18)

Учитывая, что

оо

{Ф

(*)

х)

(0)

(х)

хр

(х)

dx,

{х

} =

(0)

(х) dx

—

оо

получим

из (33.18)

(0)

ft(cT)

fe(cx)

(

)

^1_

±.

^ф(

)хр

(х)

dx,

(33.19)

что совпадает

выражением

ст)

(а

)

при

непрерывных случай-

ных воздействиях. Представляя

^(0)

(0) в

виде

О AT

iV-»oo

lim

ОЛГ

т Е

найдем выражение коэффициента стохастической линеаризации

(33.19)

в несколько иной форме:

/е(ст)

{Ох) =

Нт

—i—

Ф(х(тГ))х(тГ).

(33.20)

33.2] ЛИНЕАРИЗАЦИЯ

НЕЛИНЕЙНЫХ

ИМПУЛЬСНЫХ

ЭЛЕМЕНТОВ

4б1

Таблица

33.1

Характеристика

нелинейного

элемента

Фш

Ф(Х)

А*

Коэффициенты

гармонической

линеаризации

ai=£J-

Ко

(ai

+ a

оШ

2/V

sin-

—

arccos

зх

-тт-

(ttj

зх

фМ

(

sin

а-а

(Xi~

•>]

ЧУ

РФ,)}.

ч/

£<

(Л,

//0,75

\/7,5

0,5

Ык

(п

А-0,15^-

-f

-J..S

0,5

"^^-^

f)5

0,5

S&k