Емельянов В.Ю. Методы моделирования стохастических систем управления

Подождите немного. Документ загружается.

103

 

 

jiji

xjxixxij

mXmXMK 

, i=1,2,...,n; j=1,2,...,n; i j,

причем 

=

, то есть матрица (3.41) - является симметричной.

Если закон распределения координат случайного вектора нормальный,

он полностью задается вектором математических ожиданий и матрицей мо-

ментов.

В частном случае, когда координаты случайного вектора статистически

независимы, их совместный закон распределения полностью определяется

индивидуальными законами распределения отдельных координат, а для ФРВ

и ПРВ имеют место соотношения:

,…x

)=F

)…F

,…x

)=f

)…f

Соответствующим образом упрощаются соотношения (3.37)-(3.40), а все

элементы матрицы (3.41), кроме расположенных на главной диагонали, об-

ращаются в ноль.

Рассмотрим некоторые наиболее известные методы моделирования

случайных векторов.

3.9.1. Метод условных распределений

На основе (3.37)-(3.39) совместная многомерная ПРВ статистически за-

висимых координат n-мерного случайного вектора может быть выражена

через одномерные ПРВ отдельных координат:

,…x

)=f



)…f



,…,x

i-1

)…f



,…,x

n-1

где безусловная ПРВ координаты x

определяется аналогично (3.37):

   

 











nnx

dxdxxxxfxf 

22111

,...,,

, (3.42)

условная ПРВ координаты x

определяется после выполнения (3.37), (3.42):

 

2112

xxf

xxf 

условные ПРВ остальных координат определяются по соотношениям:

 

111...1

1...1

,...







xxf

xxxf

, i=3,...n.

Процедура формирования реализаций случайного вектора включ ает в

себя следующие этапы:

104

1. В соответствии с безусловной ПРВ f

) одним из рассмотренных в

подразд. 3.5 способов генерируется значение x

2. На основе условной ПРВ f



) определяется конкретный вариант

закона распределения координаты x

, соответствующий x

 

xxfxxf

1212



3. В соответствии с ПРВ f



) генерируется значение x

4. На основе условной ПРВ f



) определяется конкретный вари-

ант закона распределения координаты x



5. В соответствии с ПРВ f



) генерируется значения x

и так

далее.

В результате получается одна псевдослучайная реализация вектора X -

xxx ,...,,

Рассмотренный метод универсален, но требует большой и тщательной

подготовительной работы. Чаще всего условные ПРВ не удается получить в

аналитическом виде и приходится использовать приближенные м етоды. То-

гда при реализации генератора на ЦВМ требуется большой объем оператив-

ной памяти для хранения многомерных массивов условных ПРВ и значитель-

ные затраты машинного времени на многократное выполнение процедур

интерполяции. Поэтому данный метод обычно применяют только для слу-

чайных векторов малой размерности.

3.9.2. Методы преобразования случайных координат

Большая группа методов моделирования случайных векторов преду-

сматривает формирование требуемых реализаций путем преобразования

некоторого исходного вектора со статистически независимыми координата-

ми. Рассмотрим подробно наиболее распространенный на практике метод

линейного преобразования. Данный метод обеспечивает выработку реализа-

ций случайного вектора X по заданным для его координат вектору матема-

тических ожиданий

и матрице моментов K

Линейное преобразование n-мерного вектора U в n-мерный вектор X

задается некоторой матрицей размерностью

nn

: X=AU.

105

Пусть координаты случайного вектора U - статистически независимые

случайные величины с нулевыми математическими ожиданиями и единич-

ными дисперсиями. Тогда его матрица моментов (3.41) представляет собой

единичную матрицу:

100

010

001







 IK

. (3.43)

Для получения из такого вектора U случайного вектора X с заданной

матрицей моментов K

и нулевыми математическими ожиданиями всех ко-

ординат обычно используют треугольную матрицу:

nnnnn

aaaa 





321

2221

000

. . .

+…+a

. (3.44)

Элементы матрицы A (коэффициенты преобразования) могут быть

найдены следующим образом. Выразим с учетом (3.43), (3.44) дисперсии и

корреляционные моменты связи составляющих вектора X через коэффици-

енты преобразования:

 

 

111111

auaMDK 

= M[a

)] = a

 

 

222121222

aauauaMDK 

и так далее.

Отсюда

1111

Ka 

a 

106

212222

KaKa 

Аналогично могут быть получены элементы всей матрицы A для любой

размерности вектора X.

Если заданы ненулевые математические ожидания координат, для полу-

чения вектора X выполняется преобразование X=AU+

1111 x

muax 

2221212 x

muauax 

. . .

xnnnnnn

muauauax  

2211

При наличии соответствующего программного обеспечения можно ис-

пользовать тот факт, что матрица A является решением уравнения AA

[46].

Отметим, что на основе рассмотренного линейного преобразования

обеспечиваются только заданные математические ожидания и корреляцион-

ные связи координат. Этого достаточно для точного воспроизведения нор-

мального закона распределения, если для координат вектора U используется

генератор стандартизованного нормального закона. Однако область приме-

нения метода линейного преобразования не ограничивается только но р-

мальным законом распределения, что определяется следующими обстоя-

тельствами:

1. Определение многомерного закона распределения случайного векто-

ра является достаточно сложной вычислительной задачей, особенно при

использовании экспериментальных данных. Поэтому часто ограничиваются

определением только вектора математических ожиданий и матрицы момен-

тов. Очевидно, для последующего моделирования случайного вектора в таких

случаях рассмотренный метод вполне достаточен.

2. В рамках рассмотренного метода на законы распределения координат

исходного вектора U не накладываются никакие ограничения, кроме значе-

ний математических ожиданий и дисперсий. Поэтому метод в принципе мо-

жет применяться для воспроизведения отличных от нормального многомер-

ных законов распределения с точностью до заданных вектора математических

ожиданий и матрицы моментов.

107

Для точного воспроизведения многомерной ПРВ произвольного вида

может быть использован универсальный метод нелинейного преобразования

случайных координат, с которым можно познакомиться, например, по [2].

3.9.3. Метод Неймана

Метод Неймана (с. 76), обобщенный на многомерный случай, также

универсален, но в отличие от предыдущих, практически не требует подгото-

вительной работы:

1. С помощью стандартного генератора получают n+1 случайное число

с равномерным законом распределения в интервале [0;1]:



k+1

,

k+2

,…,

k+n+1

; k=(n+1)j.

2. Выполняют преобразования:

 

ikiiii

xxxx





minmaxmin

, i=1,2,...,n;

max





nkxj

где

maxmin

- границы диапазонов возможных значений координат слу-

чайного вектора;

max

- максимальное значение ПРВ моделируемого век-

тора f

,…x

3. Если условие

 

jjj

nxj

xxxfy ,...,,



выполняется, значения

i=1,2,...,n, дают реализацию случайного вектора

xxx ,...,,

. В против-

ном случае полученные числа отбрасывают, и пункты 1,2 повторяют.

Несмотря на известные недостатки, данный метод может оказаться

предпочтительным даже с точки зрения быстродействия, особенно при

большой размерности моделируемого случайного вектора.

4. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ

В СИСТЕМАХ УПРАВЛЕНИЯ

4.1. Основные формы описания непрерывных случайных процессов

Наиболее полной формой описания одномерного случайного процесса

X(t) является безусловная многомерная функция плотности распределения

вероятностей (ПРВ) f(x

,...,x

) его значений x

в моменты вре-

мени t

= t

i-1

+∆t, i=1,2,...,n, где n→∞. Однако практически реализуемые

методы получения многомерной ПРВ и применения ее для моделирования

систем отсутствуют в связи со сложностью используемого математического

108

аппарата. В большинстве практических приложений для описания одномер-

ного случайного процесса используются одномерная ПРВ и корреляционная

функция.

Одномерная, или первая, ПРВ случайного процесса описывает распр е-

деление его значений для фиксированного момента времени t. Формально

она определяется через функцию распределения (ФРВ) F(x,t) значений

процесса в момент времени t

))((),(,

),(

),( xtXPtxF

txF

txf 





или многомерную ПРВ

  















nnn

dxdxdxtxtxtxftxf 

32221111

),,...,,,,(),(

На основе одномерной ПРВ для рассматриваемого момента времени

могут быть определены любые средние характеристики, или моменты рас-

пределения, в частности, математическое ожидание

 







 dxtxxftXMtm

),()()(

(4.1)

и дисперсия

 

dxtxftmxtXMtXDtD





















 ),())(()()()(



, (4.2)

где

     

tmtXtX





- центрированный случайный процесс.

Корреляционная функция одномерного случайного процесса K

)

характеризует взаимную зависимость его значений, соответствующих раз-

личным моментам времени, и формально определяется через двумерную

ПРВ:

     

















2121

, tXtXMttK



       

dxdxtxtxftmxtmx

,,,,

2122112211

 











(4.3)

причем при t

= t

= t имеем

(t,t)= D

(t). (4.4)

В частном случае стационарного случайного процесса:

109

(t)=m

=const, D

(t)=D

=const,

а корреляционная функция становится функцией одного аргумента:

)=K

– t

)=K

(τ), τ=t

– t

, K

(0)=D

Смысл соотношений (4.1)-(4.3) состоит в определении характеристик

случайного процесса усреднением по множеству реализаций.

Если стационарный случайный процесс обладает свойством эргодично-

сти (среднее по множеству реализаций совпадает со средним по времени),

перечисленные его характеристики могут быть найдены всего по одной реа-

лизации и без использования плотности распределения:









dttx

m )(

lim

, (4.5)

       

lim









dtmτtxmtx

τK

(4.6)

 

,)(

lim)0(









dtmtx

(4.7)

где x(t) - детерминированная реализация случайного процесса X(t). Соотно-

шения (4.5)-(4.7), очевидно, более удобны для практики. Следствием их явля-

ются, в частности, оценки (3.11)-(3.12).

Для стационарного случайного процесса вводится также весьма удоб-

ная для построения расчетного аппарата функция спектральной пло тности

   









 deKS

τj

(4.8)

характеризующая распределение мощности, или интенсивности, случайных

колебаний X(t) по различным частотам. Соответственно имеют место соот-

ношения:

   













 deSK

   











 dSKD

xxx

. (4.9)

Таким образом, для одномерного случайного процесса X(t) вместо

многомерной ПРВ используются две группы характеристик, описывающих

его с двух взаимно дополняющих точек зрения:

- с точки зрения распределения значений X(t) в конкретный момент

времени (f(x,t), m

(t), D

(t)...);

110

- с точки зрения зависимости значений X(t) в разные моменты времени

, t

) или K

(τ), S

(ω) для стационарного процесса).

Связь между этими двумя группами характеристик сводится только к

формальному совпадению значений дисперсии, определяемых по (4.2) и

через K

(τ) или S

(ω).

Отметим важный для ряда практических задач частный случай - белый

шум. Корреляционная функция белого шума имеет вид:

, t

) = G(t

)δ(t

- t

где G(

) - интенсивность белого шума.

Для стационарного белого шума G(t)=G=const и может быть опреде-

лена спектральная плотность:

   









 constGdeGS

При построении модели системы на основе D-схемы (2.1) приходится

рассматривать многомерный случайный процесс X(t)=(X

(t),X

(t),...,X

(t)),

составляющими которого являются случайные фазовые переменные систе-

мы.

Распределение мгновенных значений такого процесса для определенно-

го момента времени t описывается одномерной ФРВ (3.35) или ПРВ (3.36)

векторной случайной величины X=(X

,...,X

). На практике обычно огра-

ничиваются использованием только моментов распределения первого и

второго порядка.

Средние значения фазовых переменных описываются их математиче-

скими ожиданиями

Взаимная зависимость значений фазовых переменных описывается

матрицей корреляционных функций:

nnnn

xxxxxx

KKK

...

............

...

22212

12111



. (4.10)

Главную диагональ матрицы (4.10) образуют корреляционные функции фа-

зовых переменных (автокорреляционные функции)

 

,ttKK

iii

xxx



, опре-

деляемые по (4.3). Остальные элементы (i≠j) - взаимные корреляционные

функции фазовых переменных:

111

     

















2121

, tXtXMttK



       

dxdxtxtxftmxtmx

,,,,

2122112211

 











(4.11)

где f(x

) - совместная ПРВ значений процесса X

, наблюдаемых в

момент времени t

, и значений процесса X

, наблюдаемых в момент време-

ни t

При t

=t матрица (4.10) превращается в матрицу корреляционных

моментов связи, или матрицу моментов, аналогичную (3.41):

nnnn





...

............

...

22221

11211

(4.12)

Диагональные элементы матрицы (4.12) представляют собой дисперсии

фазовых переменных

     

tDtXtXM



















Остальные элементы - ковариации

       

ijji

tXtXMtXtXM 































то есть матрица (4.12) симметричная.

Совокупность случайных входных воздействий системы также рассмат-

ривается как векторный случайный процесс G(t)=(G

(t),G

(t),...,G

(t)), для

которого используются аналогичные характеристики.

Если все входные сигналы - белые шумы, элементы матрицы (4.10) име-

ют вид

     

12121

, tttGttK

ijxx



и вместо (4.12) задается матрица интен-

сивностей

GGG

nnnn

...

............

...

22221

11211



(4.13)

112

где G

- интенсивности составляющих входного сигнала, G

- вза-

имные интенсивности составляющих входного сигнала.

Элементы матрицы (4.13) могут зависеть от времени или быть постоян-

ными для стационарных входных сигналов.

4.2. Спектральный метод расчета установившегося случайного

процесса в линейной стационарной системе

Данный аналитический метод, называемый также методом передаточ-

ных функций, детально развит в рамках теории автоматического управления

[2, 3, 32] и основан на использовании структурно-динамических схем систем

и спектральных плотностей случайных процессов. Непосредственное исполь-

зование спектральных плотностей возможно только для стационарных про-

цессов. Поэтому данный метод позволяет строить модели процессов, соот-

ветствующих некоторым установившимся режимам в стационарных систе-

мах при стационарных воздействиях.

Применение данного метода основано на использовании двух свойств

линейных систем:

1. Реакция линейной системы на совокупность входных воздействий

может быть определена как сумма ее реакций на каждое из них в отдельности

(принцип суперпозиции).

2. Случайный сигнал на выходе физически реализуемого линейного ди-

намического звена имеет закон распределения, близкий к нормальному

(свойство фильтра).

Второе свойство, строго говоря, имеет место при следующем соотно-

шении между порядком знаменателя n и числителя m передаточной функции

звена или системы: n – m ≥ 2. Однако его обычно используют во всех случа-

ях, когда выполняется условие физической реализуемости n–m ≥ 1.

Благодаря указанным свойствам оказывается возможным изолированно

рассматривать преобразование линейной системой детерминированных и

центрированных случайных составляющих входных сигналов и ограничивать-

ся для выходного сигнала или ошибки системы нахождением только матем а-

тического ожидания и дисперсии, полностью определяющих нормальный

закон распределения. Для оценки корреляционных свойств выходных сигна-

лов используются корреляционные функции и спектральные плотности.

Каждый случайный входной сигнал преобразуется в сумму:

     

tGtmtG



