Евсюков В.Н. Нелинейные системы автоматического управления

Подождите немного. Документ загружается.

пользовать основное свойство реле – при малом входном сигнале практически

мгновенно выдавать мощный сигнал. А уменьшение перерегулирования и авто-

колебания надо проводить другим способом.

Вопросы для самоконтроля к подразделу 3.2.6

1 Основное преимущество вибрационной линеаризации релейной харак-

теристики.

2 Как определяется зависимость

ср

Y от величины поданного сигнала со-

гласно широтно-импульсной модуляции?

3 Как определяется зависимость

ср

Y от параметров вынужденных коле-

баний?

4 Как графически можно получить зависимость

ср

Y от величины подан-

ного сигнала

5 От какого параметра вынужденных колебаний зависит диапазон вы-

прямленной характеристики?

6 Чему равняется максимальное значение выпрямленной характеристи-

ки?

7 Как влияет зона нечувствительности реле на выпрямленную характе-

ристику?

8 Как влияет петля гистерезиса на выпрямленную характеристику?

9 Какими дополнительными средствами можно создать на входе нели-

нейного элемента вынужденные колебания?

3.2.7 Анализ релейных систем методом Гольдфарба

Это графо-аналитический способ определения амплитуды и частоты ав-

токолебаний. Он основан на критерии устойчивости Найквиста. Предваритель-

но структурную схему нелинейной системы преобразуют так, чтобы все линей-

ные элементы объединяют в одну частотную передаточную функции

л.н

(jω), а

нелинейный элемент представляют в виде гармонической частотной переда-

точной функцией W

н.э

(А) на входе системы. Тогда общая передаточной функ-

ция системы в разомкнутом состоянии

раз

(j ω,A) = W

н.э

(A)· W

л.ч

(jω)

Предположим, что замкнутая нелинейная система находится на границе

устойчивости и в ней возникли незатухающие колебания (автоколебания). То-

гда согласно критерию Найквиста амплитудно-фазовая характеристика разомк-

нутой системы

раз

(j ω,A) должна проходить через точку с координатами

(-1, j0). Отсюда условие существования автоколебаний в замкнутой системе.

н.э

(A)·W

л.ч

(jω)· = -1

Непосредственно построить эту амплитудно-фазовую характеристику на

комплексной плоскости трудно. В этом уравнении две переменных величины:

частота

ω, которую изменяем от 0 до ∞ и амплитуда входного сигнала на нели-

нейного элемента

А, который определяется по W

л.ч

(jω). Л.С. Гольдфарб пред-

ложил это уравнение представить в виде

)А(W

)j(W

э.н

ч.л

−

Автоколебания в системе возможны, если выполняются два условия гар-

монического баланса

)A(W

)j(W

э.н

ч.л

н.э

(А) + φ

л.ч

(ω) = -π

Первое условие. Отдельно построенная левая часть уравнения при изме-

нении частоты и отдельно построенная правая часть уравнения при изменении

амплитуды имеют общую точку пересечения (в некоторых случаях несколько

точек пересечения).

Второе условие. Точки пересечения соответствуют суммарному фазовому

сдвигу на угол

-π (радиан) или минус 180

Таким образом,

колебательный процесс в системе возможен, если есть

точки пересечения амплитудных характеристик и выполняется требование к

фазовым характеристикам (рисунок 3.19).

Полученные уравнения проще всего решать графо-аналитически. Оче-

видно, что если эти два годографы на комплексной плоскости не пересекаются,

то они не имеют общего решения и в исследуемой системе нет колебательного

процесса (рисунок

3.19 а). Если эти годографы пересекаются, то есть общее

решение в исследуемой системе и есть колебательный процесс (рисунок 3.19

б). Если эти годографы пересекаются в двух точках, то в исследуемой системе

есть два вида колебательных процесса. Из них один вид или с амплитудой

–

неустойчивый колебательный процесс, а второй вид или с амплитудой

– ус-

тойчивый колебательный процесс (рисунок 3.19

в).

Рисунок 3.19 – Взаимное расположение АФЧ линейной части системы

л.ч.

(jω) и гармонически линеаризованной характеристики реле - 1/W

н.ч.

(A)

Об устойчивости или неустойчивости колебательного процесса судят

следующим образом. Пусть годографы пересекаются в точке

при частоте ω

и амплитуде

(рисунок 3.19 в). Зададим некоторые приращение ∆А . Для ус-

тойчивости автоколебаний требуется , чтобы при

+∆А колебания станови-

лись затухающие и амплитуда возвращалась к

При А

– ∆А колебания стано-

вились возрастающие и амплитуда тоже возвращается к

1 .

Если при

+∆А амплитуда начала возрастать, а при А

– ∆А она стала

убывать, то возникший предельный цикл неустойчивый.

Анализ устойчивости нелинейной системы по методу Л.С. Гольдфарба и

определение возникновения колебательного режима работы покажем на кон-

кретных примерах.

Пример 3.7 – Исследовать систему на возможность возникновения авто-

колебаний, структурная схема которой показана на рисунке 3.20.

Рисунок 3.20 – Структурная схема релейной системы к примеру 3.7

Параметры линейной части системы

k = 2, T

= 0,05с

-1

, T

= 0,02 с

-1

. Па-

раметры реле

a = 0,25, b = 110. Если автоколебательный режим работы систе-

мы возможен, то определить параметры этого режима

РЕШЕНИЕ

1 Определим параметры амплитудно-фазовой характеристики линейной

части системы по её ЧПФ

)jT1)(jT1(j

)j(W

ч.л

ωωω

Модуль этой характеристики

2222

ч.л

0004,010025,01

T1T1

)j(W)(A

ωωωωωω

ωω

Фаза этой характеристики

φ(ω) = - 90

– arctg T

ω - arctg T

ω= 90

– arctg 0,05ω – arctg 0,02 ω

Задаваясь значением ω от 0 до ∞ определяем параметры этой характери-

стики. Результаты вычисления показаны в таблице 3.5.

Таблица 3.5 – Расчёт АФЧХ к примеру 3.7

ω 15 20 30 32 40 60

А(ω) 0,102 0,066 0,032 0,0273 0,017 0,006

(ω) -142 º

-156 º -177 º -180 º -192º -211º

2 Гармонически линеаризованная передаточная функция реле с зоной не-

чувствительности

э.н

)A(W

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−=

Обозначим

)A(Z

)A(W

э.н

−

. После подстановки численных значений

реле

α = 0,25, b = 110

0625,0A440

)A(Z

−

Задаемся значениями

А от А > α = 0,25 до А→ ∞ и определяем параметры

этой характеристики. Результаты вычисления показаны в таблице 3.6

Таблица 3.6 – Расчёт Z

(A) к примеру 3.7

А 0,2501 0,2503 0,2505 0,35 3,85 10

Z(A) -0,63 -0,11 -0,028 -0,0035 -0,028 -0,071

Примечание – Однозначная характеристика реле с зоной нечувствитель-

ности не имеет фазового сдвига. Поэтому второе условие гармонического ба-

ланса выполняется за счёт амплитудно-фазовой характеристики линейной части

системы или

л.ч.

(ω) = - π.

3 По результатам расчёта построим амплитудно-фазовую характеристику

линейной части системы и

Z(A) реле на комплексной плоскости (рисунок 3.21).

Годограф

Z(A) проходит по отрицательной вещественной полуоси ком-

плексной плоскости. Для удобства анализа их взаимного расположения годо-

граф

Z(A) показан выше отрицательной полуоси при его возрастании и ниже

отрицательной полуоси при его убывании.

4 Годографы

л.ч

(jω) и Z(A) пересекаются в двух точках. Значит автоко-

лебательный режим работы системы возможен. Система имеет два периодиче-

ских решения:

(t) = A

sin ω

t, x

(t) = A

sin ω

Рисунок 3.21 – АФЧХ линейной части системы и Z(A) к примеру 3.7

Согласно рисунка 3.21 при ω

= 32 с

-1

, А

=0,2505 или А

= 3,85

Тогда x

(t) =0,2505 sin 32t, x

(t) = 3,85 sin 32 t

5 Определим устойчивость полученного периодического решения.

t32sin2505,0)t(x

Зададим

некоторое приращение ± ∆А = 0,0003 к значению А

= 0,2505 и

определим устойчивость системы по критерию Найквиста.

При

+ ∆А = 0,2505 + 0,0003= 0,2508

567,440798,043,558

2508,0

25,0

2508,014,3

1104

)2508,0A(W

=⋅=

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−

⋅

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−==

л.ч

(32)· W

н.э

(0,2508) = - 0,028·44,567 = - 1,2478

При А

+ ∆А = 0,2505 разомкнутая система охватывает точку (-1; j

)). Ампли-

туда периодических колебаний будет продолжать возрастать.

При

- ∆А = 0,2505- 0,0003 = 0,2502

377,2203997,077,559

2502,0

25,0

2502,014,3

1104

)2502,0A(W

э.н

=⋅=

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−

⋅

л.ч

(j32)· W

н.э

(0,2502) = - 0,028·22,377 = -0,6265

При А

- ∆А = 0,2502 разомкнутая система становится устойчивой (не охваты-

вает точку (-1; j

)). Амплитуда периодических колебаний будет продолжать

уменьшаться.

ВЫВОД При любом отклонении от

= 0,2505 процесс будет расходя-

щийся. Периодическое решение

x (t) = 0,2505 sin32 t - неустойчивое.

6 Определим устойчивость полученного периодического решения при

=3,85. Зададим некоторое приращение + ∆А = 0,1 к значению А

=3,85 и оп-

ределим устойчивость по критерию Найквиста.

При

+ ∆А =3,85+ 0,1= 3,95,

386,359977,0457,35

95,3

25,0

95,314,3

1104

)95,3(W

э.н

=⋅=

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−

⋅

л.ч

(j32)· W

н.э

(3,95) = - 0,028·35,386 = - 0,990

При А

+ ∆А = 3,95 система устойчивая и амплитуда периодических ко-

лебаний будет уменьшаться и приближаться к

= 3,85

При А

- ∆А =3,85- 0,1= 3,75,

264,379977,0348,37

75,3

25,0

75,314,3

1104

)75,3(W

э.н

=⋅=

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−

⋅

л.ч

(j32)· W

н.э

(3,75) = -0,028·37,264 = -1,043

При А

- ∆А = 3,75 система неустойчивая и амплитуда периодических

колебаний будет возрастать и приближаться обратно к

=3,85.

ОБЩИЙ ВЫВОД Данная система имеет два периодических решений

- при А

=0,2505; x

(t) =0,2505 sin 32t - неустойчивый колебательный режим

при А

= 3,85 ; x

(t) = 3,85 sin 32 t - устойчивый автоколебательный режим

Пример 3.8 – Исследовать систему на возможность возникновения авто-

колебаний по условиям примера 3.7 при

k = 0,14 (коэффициент усиления

л.ч

(р) ).

РЕШЕНИЕ

1 Фазовая характеристика линейной части системы не зависит от коэф-

фициента

k. Поэтому в данном примере φ(32) = - 180

. Определим амплитуд-

ную характеристику при

ω = 32 и k = 0,14.

(

)

(

)

00195,0

1187,11886,132

14,0

000432,01320025,0132

14,0

)32(А

≈

⋅⋅

+⋅⋅+

′

2 Параметры реле не зависят от k . Поэтому характеристика Z(A) примера

3.7 соответствует условию примера 3.8.

Значение

Z(A) достигает минимум по абсолютному значению

при

А = α√2 = 0,25·1,41 = 0,3525.

Тогда

00503,0

1102

3525,014,3

)A(Z

min

⋅

3 По фазовой характеристике условие возникновения автоколебаний вы-

полняется

φ(32) = - 180

. По соотношению амплитудной характеристики ли-

нейной части системы при

ω = 32 и значение | Z(A)|

min

условие возникновения

автоколебания не выполняется

Z(A) |

min

>|A´(32)|, 0,00503 > 0,00195

Значит, эти две характеристики не пересекаются. Взаимное расположение

этих двух годографов на комплексной плоскости показано на рисунке 3.22. Ха-

рактеристика

W(jω) при k = 0,14 показана пунктирной линией.

ОТВЕТ Автоколебаний в данной системе не возникнет. Система перехо-

дит в устойчивое равновесие в пределах зоны нечувствительности реле.

Пример 3.9 – Исследовать систему на возможность возникновения авто-

колебаний по условию примера 3.7 при идеальном реле с

b = 110.

РЕШЕНИЕ

1 Параметры АФХ линейной части системы остаются такие же, как в

примере 3.7 (смотри таблицу 3.5)

2 Параметры

Z(A) для идеального реле определяются по формуле

1104

А14,3

)A(Z

min

⋅

−

⋅

−

Результаты вычисления показаны в таблице 3.7

Таблица 3.7 – Расчёт Z

(A) к примеру 3.9

0 0,2736 1 2 3 3,92 6 10 15

Z(A)

0 0,000195 0,00714 0,01428 0,02142 0,028 0,00357 0,0714 0,107

3 По результатам расчёта (таблицы 3.5 и 3.7) построим амплитудно-

фазовую характеристику линейной части системы и

Z(A) идеального реле на

комплексной плоскости (рисунок 3.22).

Рисунок 3.22 – АФЧХ линейной части системы

и Z(A) к примеру 3.9

4 Годографы

л.ч

(jω) и Z(A) пересекаются в одной точке. Значит автоко-

лебательный режим возможен при

= 32 с

-1

и А

= 3,92

5 Определим устойчивость полученных периодических колебаний

При

+ ∆А =3,92+ 0,1= 4,02, 75,34

02,414,3

1104

)A(Z =

⋅

л.ч

(j32)· W

н.э

(3,75) = 0,028·34,75 = 0,973

Амплитуда периодических колебаний будет уменьшаться и возвращаться

= 3,92.

При А

- ∆А =3,92 - 0,1= 3,82,

66,36

82,314,3

1104

)A(Z =

⋅

л.ч

(j32)· W

н.э

(3,82) = 0,028·36,66 = 1,026

Амплитуда периодических колебаний будет возрастать и возвращаться к

= 3,92.

ОТВЕТ В системе может возникнуть автоколебательный режим с

= 32 с

-1

, А

= 3,92.

Примечание – По условию примера 3.8 и при идеальном реле автоколеба-

тельный режим, возможен при

= 32 с

-1

, А

= 0,02736 при коэффициенте уси-

ления

л.ч

(jω) = 0,14. Таким образом, при идеальном реле всегда будет устой-

чивый автоколебательный режим если фазовая характеристика линейной части

системы имеет

φ(ωi) < - 180

Пример 3.10 – Исследовать систему на возможность возникновения авто-

колебаний по условию примера 3.7 при гистерезисном реле (без зоны нечувст-

вительности) с

α = 0,25 , b = 110.

РЕШЕНИЕ

1 Параметры АФХ линейной части системы остаются такие же, как в

примере 3.7 (смотри таблицу 3.5).

2 Параметры для

Z(A) гистерезисного реле определяем по формуле

)A(qj)A(q

)A(Z

πααπ

−

−−

′

Поскольку мнимая часть не зависит от амплитуды входного сигнала А, то

её можно вычислить заранее

00178,0j

1104

25,014,3

j −=

⋅

−=−

πα

Вещественная часть зависит от амплитуды входного сигнала А и опреде-

ляется по формуле

0625,0A00714,025,0A

1104

14,3

222

−−=−

⋅

−

−−

απ

Изменение вещественной части

Z(A) показано в таблице 3.10

Таблица 3.8 – Расчёт

Z(A) к примеру 3.10

А 2 4 6 7,25 8 10

Z(A)

-0,0141 -0,028 -0,022 -0,0518 -0,0573 - 0,0714

3 По результатам расчёта видно, что обе части Z(A) имеют отрицатель-

ное значение, поэтому график этой характеристики есть прямая в третьем квад-

ранте параллельно оси абсцисс (рисунок 3.23).

Рисунок 3.23 – АФЧХ линейной части системы и

Z(A) к примеру 3.10

Годографы

л.ч

(jω) и Z(A) пересекаются в одной точке. Значит автоколеба-

тельный режим возможен при

= 23 с

-1

, А

= 7,25. При пересечении двух го-

дографов в одной точке проверку на устойчивость автоколебаний не делают.

4 Гистерезисная релейная характеристика вносит отставание по входному

сигналу из реле. С учётом этого определим выполнение второго условия воз-

никновения автоколебаний в данной системе

φ(ω) = - 90

– arctg T

- arctg T

- arctg

)А/(1А

−

= 90

– arctg 0,05·23 – arctg 0,02· 23 – arctg

)25,7/25,0(125,7

25,0

−

-90

- 48,9

- 24,7

- 16,1

≈ - 180

Условие по суммарному фазовому углу выполняется.

Примечание – По методу Л.С. Гольдфарба можно определять возмож-

ность возникновения колебательного режима для любого вида нелиней-

ной характеристики. В примерах 3.7 – 3.10 в качестве нелинейного звена

взято реле.

4 Устойчивость нелинейных систем

4.1 Введение

Одной из основных задач теории автоматического регулирования явля-

ется изучение динамических процессов, происходящих в САУ при нарушении

её равновесия каким-либо воздействием. Это может быть управляющее воздей-

ствие, изменение нагрузки или различные виды помех. САУ должна поддержи-

вать заданный режим работы, быть малочувствительной к посторонним воз-

мущениям. Иными словами

, САУ должна быть работоспособной, несмотря на

действие на неё различных возмущений или быть устойчиво [1,3,12].

Под устойчивостью понимается свойство системы возвра-

щаться к состоянию установившегося равновесия после уст-

ранения всех возмущений.

Устойчивость нелинейных систем зависит от величины возмущающего

воздействия. Например, при малом (бесконечно малом) значении возмущаю-

щего воздействия система может

быть устойчива, или устойчива «в малом».

При большом (конечным по величине) значении возмущающего воздействия

система может быть неустойчива, или неустойчива «в большом». Но может

быть и наоборот: неустойчива «в малом» и устойчива «в большом».

Если динамика линейной системы описывается дифференциальным

уравнением с постоянными коэффициентами, то её устойчивость «в малом»

обеспечивает

неограниченную устойчивость «в большом» благодаря принципу

суперпозиции. При этом считается, что она устойчива «в общем». Её устойчи-

вость можно определить по первой теореме (по первому методу) А.М. Ляпуно-

ва.

Линейная система устойчива, если все вещественные корни

характеристического уравнения отрицательные.

Определение устойчивости нелинейной системы связано с преодолением

значительной трудности. Это связано

со следующим:

- устойчивость «в малом» и устойчивость «в большом» требует отдель-

ного определения;

- установившейся режим работы системы может быть в виде устойчивого

равновесия, а так же в виде автоколебаний;

- в зависимости от вида нелинейности система может быть устойчива при

одних начальных условиях и неустойчива при других или при других

воздей-

ствиях.

В отдельных случаях, если можно линеаризировать нелинейное диффе-

ренциальное уравнение, то устойчивость такой системы можно определить по

критериям устойчивости линейной системы (критерий Рауса, Гурвица, Михай-