Ежков В.В., Зарудский Г.К., Зуев Э.Н. и др. Электрические системы и сети в примерах и иллюстрациях

Подождите немного. Документ загружается.

Матршцл-блокв в (3.56) — это квадратные матршщ четвер-

того порядка, элементы которых определяются следующим об-

разом:

"dWf

д6

'dW^

JU^

SWQ

dWq

awp,

dWp

8WQ,

ij esj'

dWQ,

и "щ'

(3.57)

(3.58)

(3.59)

(3.60)

где1.7=1, 2, 3, 4.

Элементы матриц-блоков (3.57) и (3.58) с учетом выражения

небаланса активной мощности Wp в (3.55) имеют вид

dWp, А

—Z UjyyC0siS,-Sj-ay)+UiU6yeC0siS,-ai6y,

(3.61)

dSi

SWp,

—=-U, Ujyycos (S,-Sj-Oj,).

aoj

fawp^ 4

—=2I/,j'esmof«+ Y. Ujyysm(S,-dj-a„)+

SWp,

+ UeyesiniSi-ttie);

(3.62)

—= [/,yt,sin(S,-Sj-ai,).

OUj

Элементы матриц-блоков (3.59) и (3.60) с учетом выражения

небаланса реактивной мощности Wq в (3.55) имеют вид

•awQ, А

-—=и, Х Ujy„dn(S,-Sj-af,)+U,U6yKsin(S,-ats);

SWQ,

'щ

(3.63)

= -U,

Ujy^sin

(S,-Sj- %);

110

дщ

=2C/,3'«cose«

dUi

8Wq,

8Vj '

X UjyyCosiS,-Sj-ag)-

(3.64)

-U,yyCos(Si-Sj-ay),

где1.7=1, ..., 4.

Таким образом, итерационная формула метода Ньютона

(3.15) при решении узлового уравнения в форме баланса мощ-

ностей в осях 5, и при задании генераторных узлов в форме

Рг-бг имеет вид

"aw.

SSNf~

awg

. Si

ш.

(3.65)

В качестве критерия окончания итерационного процесса реше-

ния системы нелинейных уравнений (3.33) методом Ньютона

используем так же, как при решении системы уравнений (3.32),

критерий шах

с последующим контролем по критерию

max|AI7f

2. Если в каком-либо узле т заданы активная мощность

Ру„ и модуль напряжения IJ„ (узел типа

Р^—

Щ, то в системе

уравнений (3.33) количество неизвестных напряжений уменьшает-

ся на единицу; следовательно, и количество ^шаемых уравнений

должно быть сокращено на единицу.

Тогда в (3.55) исключается уравнение баланса реактивных

мощностей для узла т, в котором задан модуль напряжения.

8SN SSN

Вследствие этого в блоках (3.59) и —- (3.60) матрицы Якоби

до 8U

(3.56) должна быть вычеркнута строка, соответствующая узлу

с заданным напряжением.

Например, для схемы рис. 3.2, если узел 1 задан в форме

Рт1 —

Uru в (3.55) будет семь уравнений: четыре уравнения баланса

активных мощностей и три уравнения баланса реактивных мощ-

ностей, т. е. отсутствует уравнение баланса реактивной мощности

aw,

в узле 1. Соответственно этому в матрицах-блоках

awp

8W„

(3.60) отсутствуют первые строки —- (j=

..., 4) и

° (3.59)

BW^x

д&,

dUj

dW dW

0=2,3,4). Вместе с тем в блоках.—- (3.58) и —^ (3.60) отсутству-

8V зи

111

ет столбец, соответствующий заданному напряжению U^, т. е.

diVQ.

отсутствует столбец (»=1. —, 4) и (»=2, 3, 4). Матрица

51/, 31/,

Якоби в этом случае имеет размерность 7x7, что на единицу

меньше, чем при задании узла 1 в ^рме

P^i —

gri или при записи

уравнений баланса мощностей в осях U'. U" (задача 3.10).

Таким образом, итерационная формула метода Ньютона

(3.1S) при решении узлового уравнения в форме баланса мощ-

ностей в осях S, и (3.33) при задании в узле 1 схемы рис. 3.2

величин

Рг\ — С/г1

имеет вид (3.65) с внесением указанных выше

кортективов.

Задача 3.14. Решить методом Ньютона узловое уравнение

(3.33) в форме баланса мощностей, записанное в полярной систе-

ме координат (осях 8, U), используя формулы (3.55) — (3.65)

задачи 3.13. Генераторные узлы заданы в форме

Р^— Qf,

т. е.

Pri

= 1100 МВт;

Qri

34,89

Мвар;

Рл=О МВт; Gri=282,6 Мвар.

Значение напряжения в балансирующем узле начальные

приближения напряжений и значения мощностей в узлах

(i=

2, 3, 4) берем из условия задачи 3.3.

В уравнениях (3.33), записанных в осях S, U, учтено, что

диагональные элементы матрицы

включают в себя проводимо-

сти подходящих к узлу i ветвей

jei Jel Jei Jei

a недиагональные элементы — это взятые с обратным знаком

проводимости соответствующих ветвей —

=y,j(—sm

ay+jcosUij).

Итак, значения у (См) и о (эл. град), полученные из (3.3),

следующие:

1=7,421.10-'; Oi, = 5,13°:

:Fi2=:>'2I = 8,142.10-'; «21=4,67»;

У1з=Уп S==0;

«13

= «31=«14 =

Я4»=в15

= в51=0;

:F23=:F32

= 7,128.10-2; а„=а„

= 0'';

У2* = У*2 = 0; 024=«42 = 0'';

Уг»

=:F52 = U83.10 - ^ 02,=052=6,26";

^33

= 0,1776;

033

= 1,33";

112

Уз*=У*З=2,Ъ44. 10-^ аз^=а„= 10,12°;

>'35 =>-53 = 0; аз5=а5з = 0">;

>-44=2,29.10-^ «44=10,36°;

>'45=:>'54 = 0; «43 = «54 = 0°;

:F55 = 1,233.10-^ «55 = 6,51°.

Решение. Определяем элементы вектора небалансов мощ-

ностей Wp и Wg на основании выражений (3.55) на первой

итерации (МВт, Мвар):

= sin«11 +

f/jyi2

sin((5i-S2-«12)-Pyi = 5252 X

X 7,421.10" ^ sin 5,13° + 525.500.8,142.10"^ sin (0° - 0°-4,67°)=

= -1091,3;

sin «22+^^2 [f^l>'21 Sin (^2 ""«2l) +

+ U^^y23 sin (<52 - (5з - «23)] - Ру2 + U^Usy2s sin (^2 -«2s) = - 8,288;

'^Рз = f^3>'33 sin «33 + t/з [СгУгг sin (^3 -^2-«з2)+

f/4>'34

sin

(^3

- <54 -

«34)]

-Руз

= 70;

ИР4= ^^4^44 51П«44+ t/4f^3>'43 «П (<$4 -

<$3

- «43)-= 230;

= (/j(/2>'i2Cos(^i-52-«i2)-Gy2= " 127,9;

f^^Cj ^^>22

COS «22

f/2 [f^l

J2I cos

(<$2

<5i

- «21) + f/j

>-23 COS (<$2

- ^3 - «23)] - Qn - и2 Us у25 COS (^2 - «25) = - 50,13;

I^Ca = ^

Гзз COS «3

- C/3 [(/2 >'32 COS («5з -

<52

- «32)+

+ f/4>'34Cos(^3-a4-«34)]-G,3= -609,7;

uiy^^cos «44 - C/^Uj у 43

COS

(^4-^3 - «43)- 6^4=93,86.

Определяем элементы матрицы Якоби (3.56) как элементы

матриц-блоков (3.57) — (3.60). Элементы матркцы-блока —'

(3.57) находим в соответствии с выражениями (3.61) (Мвар):

dJV

= COS (^1 - <52 - «12) = 525 - 500.8,142.10" ^ cos (0° -

_0°-4,67°)=2130,4;

- l/it/2:Fi2Cos(5i -52-«I2)= "2130,4;

ей,

113

^ = - l/i(/3:)'i3

COS

((5i-(5з-«13)=0;

аг.

яцг

-t/i 1/4:^14

06^

а ж

- U^V^y^i cos(52-5i-a2i)= -2130,4;

= t/Jt/i

>-21

cos 02 -

<5i

- «21) + (/3

У23 cos

((52 -

«5з

«23)1 +

и г

Ун

cos

02 - «25) = 13158,2;

^ = -

JK23

cos 02 -

- «23) = - 7840,3;

a3j

-C/2(/4>'24COS02-54-a24) = O;

аг*

ds.

= -

t/sf^i

J'3iCos03-5,-a3i)=0;

- (/з1/2>'з2СО80з-г2-аз2)= -7840,3;

OOj

1^^2>'32 cos

03 -^2 -«32)+

U^y^^COS

0з -

-^4-a34)]=8957,l;

- и^и^Уз^сов 03 -54-«34)= -1116,8;

лиг

00,

dWf

ей.

cos

04 -

- 042)=0;

адЗ'4зСО804-гз-а4з)= -1116,8;

ЯШ

COS

04-^3 -«43)= 1116,8.

dSt

Элементы матрицы-блока — (3.58) находим в соответствии

dVJ

выражениями (3.62) (кА):

114

^=2

t/j >-11

sin a^i +

C/2>'i2

sin -52-ai2)=2-525.7,421.10-'X

dUi

sin

5,13°

500

•

8,142.10" ^ sin (0° -

0°

-4,67°)=0,3647;

dW,

SWf

= f^i

>-13

sin - - а^з)=0;

dW,

= i^i

sin (г

- - «14)=0;

dW,

= sin«21)= "0,332;

ally

bWf

-^=2

ИгУгг

sin

«22

t^i ^'21

sin

^ъУгъ

sin (^2-

-^3-«23)+f/s>'2ssin(52-a25)= 1.014;

bWf

= ^^2 >-23 Sin ((52

- -

«23)=0;

air,

f/2>'24sin(62-5^-O24)=0;

aU^

8W.

1^3^31

sin (53-5i-a3i)=0;

l/3>'32Sin(53-52-«32) = 0;

oUj

dWf

=21/3 33

sin O33 +

С/2У32

sin (^3 - ^2 -

O32)+

' +f/4>'34sin(53-5^-O3j=0,907;

diV,

С/зЗ'з^

sin (гз-г^-а,4)=-0,907;

dWf

ot/j

115

dfV

=2 sin +

C/3

sin - - a^j)=0,907.

oU^

Элементы матрицы-блока —- (3.59) находим в соответствии

шражениями (3.63) (МВт):

•

8,142.10"'X

xsinl

Элементы матрицы-блока (3.59) HaxoflHN

выражениями (3.63) (МВт):

^ = C/i

1/2:);I2

sin

(^1

- -

«12)=525 • 500 •

sin

(0°

0°

-4,67°) = -174,1;

1= - C/it/2:Vi2sin(<5i-<52-ai2)= 174,1;

- f^i

J'i3

sin (^1 - (5з - «13)=0;

t/jt/j >21

sin

(^2

«21)= 174,1;

- - «21) +

f/э>'23

sin

(«52

<5з

«23)]

K25

sin (^2 - «23) = - 523,6;

sin

(^2

«24)=0

sin (5,-a,,)=0

aSj '

дё^

aSi

ss.

aWg,

— •

as,

aiVg^

asj

as^

и 4.

>-34

sin

(^3

- - «34) =

-a4i)=0;

e«4

06,

116

dfV

=-U^U2 у

Sin

(<54 -62- a^2)=0;

diV

- U^U.y^, sin = 199,4;

аду

-199,4.

Элементы матрицы-блока —- (3.60) находим в соответствии

зи

с выражениями (3.64) (кА):

X 10-^ cos 5,13° - 500 • 8,142 -10"^ cos (0° -0° -4,67°) = 3,704;

-4,261;

at/j

aU^

dWo

du^

8Ut

diV

^'=-U2y2iCos(S2-S,-a2,)= -4,058;

diV

= 2 1/2

>22 COS «22

- f/i

>-21 COS

(($2 -

(5i

- «21) -

>-23 COS

(($2 -

COS

{82 - «23)=26,12;

= -

:>'23 COS

(^2 - - «23) = - 35,64;

OL/3

- f/2:>'24COS(<52-^4-«24)=0;

OL/4

- i^3>'32COs(53-^2-«32)= -15,68;

aUj

= 2

1/3 :КЗЗ

COS «33 - С;2:)'32

COS

(^3 - ^2 - «32)- cos (^3 -

«34)=37,38;

117

at;.

dfV,

dU^

-5,076;

dW,

at/,

dW,

7*= -

U^y^^

BW,

dV,

OU2

-5,076;

= 2

U^y^^cos a^- C/3cos(S^-83-а^з)=4,839.

Таким образом, система линейных алгебраических уравнений

на первом шаге метода Ньютона (3.65) в матричной записи

имеет вид

2130,4 - 2130,4 О О

-2130,4 13158,2 -

7840,3

О -7840,3 8957,1 -1116,8

О О

174,1 +174,1

174,1 -523,6

О О

L О О

-1116,8

-199,4

1116,8

199,4

199,4 -199,4

0,3647 - 0,348

-0,332 1,014

О О

3,704 -4,261

-4,058 26,12

О -15,68

О О

0,907

-0,907

-35,64

37,38

-5,076

-0,907

0,907

-5,076

4,839

"дг"'

"-1091,3"

дг" -8,288

дг^ 70

Д5Р)

—• _

230

-127,9

-50,13

-609,7

93,86

В результате решения этой системы на ПЭВМ методом Гаус-

са определяем поправки на первой итерации метода Ньютона:

АгУ>=9,508%

Лгу)=-1Д98%

297,6 кВ

AU^=20S,4 кВ

А1/У>=

117,8

кВ

АС/У>=96,47 кВ.

После этого находим значения переменных после первой итера-

ции по (3.16):

118

о" 40,08 40,08

11,7

0 9,508

9,508

-1,298 -1,298

525

297,6 822,6

500 208,4 708,4

220 117,8

337,8

220

96,47

316,47

Дальнейший расчет напряжений в узлах выполнен на ПЭВМ.

Изменение элементов вектора переменных от итерации (А;—1)

к нтераши к представлено в табл. 3.7.

Таблица 3.7. Значения мо/1улей • фаз яаоряжевий

в узлах схемы рнс. 3.2 в втерацнонном цикле

Номер

Sf.

«Г.

t/<*>,

кЬ

t/W

кЬ

Vf,

кВ

нгерадии

эл. град эл. град эл. град эл. град

t/<*>,

кЬ кЬ

Vf,

кВ

40,08

11.7

9,508 -1,298 822,6 708,4

337,8

316,47

33,49 10,63

8,90 0,30 662,4 600,2

28U

259,0

36,24 11,69

9,90 1,00 578,0

547,1

530,3

255,2

228,2

4 39,00 12Д4

10,35

0,81

550,2

547,1

530,3 247,1

243,5

217,6

40,54 12,49

10,53 0,61 537,3 522,6

247,1

243,5 212,9

41,33 12,62

10,63

0,50 530,6

518,6 241,6

210,5

41,73 12,68

10,67 0,45 527,3

516,6

240,7

209,3

41,92 12,71 10,7 0,43

0,42

525,7 515,7

240,2 208,7

41,99

12,72 10,7

0,43

0,42 525,1 515,3

240,0 208,5

10 42,01 12,73

10,71

0,41 525,0

515,2

240,0 208,4

42,01 12,73

10,71

0,41 525,0

515,2

240,0 208,4

12 42,01 12,73 10,71 0,41 525,0

515,2 240.0

208,4

В качестве критерия окончания итерационного процесса рас-

чета напряжений принят критерий тах|А5<*'|<Е,. Решение полу-

чено за 12 итераций при Е,= 10~' MB А. Проверка точности

расчета по напряжению в узлах схемы показала, что в этом

случае E»=max|A(7}*'|=10~' кВ. Результаты расчета полностью

совпадают с результатами расчета в задачах 3.8, 3.11 и 3.12

и представлены в табл. 3.8.

Таблица 3.8. Нащмжевяя в узлах схемы рис. 3.2

ара решешн узлового ураввевая в форме баланса

мощностей в осях Ъ, U методом Ньютона

Номф

V,.

И-;.

узла/

эл. град

кВ кВ

ХВ

42,01 525 390,1 351,3

12,73

515,2

502,6 113,5

10,71 240

235,8

44,58

0,41

208,4

1.507

119