Фастовец Н.О.,Тюлина А.К. Дифференциальные уравнения

11

шая систему из этих двух уравнений, получим

12

0.5CC==. Ответ:

3

0.5( )

x

yee=+.

Решить следующие задачи:

1.3.

2 0, (0) 3, (0) 2yy y y

′′ ′ ′

−= = =. Построить интегральную кривую

(так называется график решения).

1.4.

8160yy y

′′ ′

−+ =;

1.5.

2 0, (0) 3, (0) 2yyy y y

′′ ′ ′

−+= = =.

1.6.

250yyy

′′ ′

−+=;

1.7.

0, 1, 0

22

yy y y

ππ

⎛⎞ ⎛⎞

′′ ′

+= = =

⎜⎟ ⎜⎟

⎝⎠ ⎝⎠

. Построить интегральную кри-

вую.

2º.

Задачи для самостоятельного решения:

2.1.

40yy

′′ ′

−=;

2.2.

40yy

′′

−=;

2.3.

40yy

′′

+=;

2.4.

8160yy y

′′ ′

++ =;

2.5.

540, (0)(0)1yyy y y

′′ ′ ′

−+= = =

.

3º.

Дополнительные задания.

3.1. При каких а и b уравнение

0yayby

′

′′

+

+=

имеет хотя бы

одно решение

() 0yx ≡

/

, стремящееся к нулю при

x

→∞?

Ответ: Так как

2

1,2

24

aa

kb

=

−± −, то либо b < 0, либо а > 0 и

b ≥ 0 . (Привести примеры.)

3.2. При каких а и b все решения уравнения

0yayby

′′ ′

++=

огра-

ничены на всей числовой оси?

Ответ: а = 0; b > 0 (корни чисто мнимые).

12

Определителем Вронского (вронскианом) системы функций

12

(), (),... ()

n

yxy x y x называется определитель

12

(1) (1)

(1)

12

() () ... ()

()

... ... ... ...

() () ... ()

n

nn

n

yx y x y x

Wx

yxyx yx

−−

−

′′ ′

= .

Система решений линейного уравнения называется

линейно зависимой,

если существует нетривиальная линейная комбинация их, равная нулю. В

противном случае решения называются линейно независимыми.

Необходимым и достаточным условием линейной независимости системы

решений является неравенство нулю вронскиана ни при каком х. Наоборот,

если система линейно зависима, вронскиан тождественно равен нулю.

3.3. С помощью определителя Вронского проверить на линейную за-

висимость решения

уравнений из п. 2° (дать определение фундаментальной

системы решений).

4º. Неоднородные линейные уравнения.

4.1.

Структура общего решения неоднородного линейного уравнения.

Рассмотрим неоднородное линейное уравнение второго порядка

()ypyqyfx

′′ ′

++= (заметим, что здесь не требуется, чтобы p и q бы-

ли постоянными). Его общее решение

() () (),

o

y

x

y

x

y

x

∗

=+ где ()

o

yx -

общее решение соответствующего однородного уравнения

0ypyqy

′′ ′

++=, а ()

y

x

∗

- некоторое частное решение неоднородного

уравнения.

13

4.2. Метод вариации произвольных постоянных для решения неодно-

родного линейного уравнения второго порядка

(применимый и для линей-

ных уравнений и систем с переменными коэффициентами).

Пусть

(),

y

p

y

q

yf

x

′′ ′

++= а

1

()yx и

2

()yx - фундаментальная систе-

ма решений (ф. с. р.) однородного уравнения

0ypyqy

′

′′

+

+=, тогда об-

щее решение неоднородного уравнения определяется по формуле

11 2 2

() () () () ()yx C xy x C xy x=+

, где функции

1

()Cx

и

2

()Cx

определяют-

ся из системы уравнений (через квадратуры)

11 2 2

() () () () 0

() () () () ()

Cxyx C xy x

Cxyx C xy x fx

′′

+=

⎧

⎨

′′ ′′

+=

⎩

.

Это алгебраическая система двух уравнений относительно двух не-

известных

1

()Cx

′

и

2

()Cx

′

. Решив ее (например, с помощью формул

Крамера), получим выражения для

()

i

Cx

′

, а затем с помощью квадратур

найдем

()

i

Cx

, i = 1, 2. При вычислении квадратур получим

() () ()

ii ii

Cx C xdx x c

ϕ

′

==+

∫

. Подставляя эти значения в формулу общего

решения, получаем

11 2 2 11 22

()

() () () () () () ()

o

yx

y

xx

y

xx

y

xc

y

xc

y

x

ϕ

∗

=

+++

14444244443 144424443

5º.

Решить следующие задачи:

5.1.

2

x

e

yyy

x

′′ ′

−+=

;

5.2.

1

sin

yy

x

′′

+=

;

5.3.

42yytgx

′′

+=

;

5.4.

2

44 ln

x

yyy

ex

−

′′ ′

++=

;

5.5.

, (0) ln 27, (0) 1 ln 9

2

x

e

yy y y

e

′′ ′ ′

+= = =−

+

;

5.6.

1

, (0) 1, (0) 0

cos

yy y y

x

′′ ′

+= = =

.

14

Занятие 4

МЕТОД НЕОПРЕДЕЛЕННЫХ КОЭФФИЦИЕНТОВ ОТЫСКАНИЯ

ЧАСТНОГО РЕШЕНИЯ

y

∗

УРАВНЕНИЯ

()ypyqyfx

′

′′

+

+=

(специальная правая часть)

1º.

Пусть () ()

n

f

xPx= . Корни характеристического уравнения для соот-

ветствующего однородного уравнения по-прежнему обозначаем

12

,kk.

а) Если

1,2

0,k ≠ то частное решение ()

n

y

Qx

∗

= , где

()

n

Qx

- многочлен

степени п с неопределенными коэффициентами. Эти коэффициенты на-

ходятся подстановкой

y

∗

в уравнение и приравниванием коэффициентов

при одинаковых выражениях в левой и правой частях уравнения.

б) Если

12

0, 0kk=≠, то ()

n

y

xQ x

∗

= . (Заметим, что частный случай

12

0kk== решается непосредственным интегрированием).

Примеры:

1.1.

26yy y x

′′ ′

+− = ;

1.2.

2

yy

x

′′ ′

−=−;

1.3.

21

yy

x

′′

+= +.

2º.

Пусть () ();

x

n

f

xePx

α

=

а) если

1,2

,k

α

≠

то ()

x

n

y

eQx

α

∗

= ,

б) если один из корней равен

,

α

а другой не равен, ()

sx

n

y

xe Q x

α

∗

= .

Примеры:

2.1.

2

x

yy

e

′′

−= ;

2.2.

23

x

yyy

xe

′′ ′

+−=;

2.3.

2

44

x

yyy

e

′′ ′

−+=.

15

3º.

Пусть

[]

() ()cos ()sin

x

nm

f

xe Px xRx x

α

ββ

=+

а) если

1,2

ki

α

β

≠

± , то

[

]

()cos ()sin

x

ll

yeMx xNx x

α

β

∗

=+, где

{}

max ,lnm= ;

б) если

1,2

ki

α

β

=

± , то

[

]

()cos ()sin

x

ll

yxeMx xNx x

α

β

∗

=+, где

{}

max ,lnm= ;

Примеры:

3.1.

25 sin

x

yyy

ex

′′ ′

−+= ;

3.2.

cos 2yy x

′′

+=

;

3.3.

2

45 cos

x

yyy

ex

′′ ′

−+= .

4º.

Написать частные решения с неопределенными коэффициентами (чи-

словые значения коэффициентов не находить):

4.1.

23 ()

yyyf

x

′′ ′

−−= ;

3

а) ( ) (2 1) , б) ( ) (1 ) , в) ( ) cos

xx

f

xxe

f

xxe

f

xx x

−

=+ =− = ;

4.2 . 2 10 ( )yy yfx

′′ ′

−+ = ; а) ( ) ( 3) ,

x

f

xxe=−

2

б) ( ) sin 3 , в) ( ) (cos 3sin ), г) ( ) cos3

xx

f

xx x fxe x x fxex x==+=;

4.3.

816 ()

yy yf

x

′′ ′

−+ = ,

524

1

а) ( ) , б) ( ) ( 3)

2

x

f

xxe

f

xx e==+

;

4.4.

2

56

x

yyy

ee

−

′′ ′

++= +

;

4.5.

33

6103 2cos

xx

yy y

xe e x

−

′′ ′

++ = −

.

16

СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С

ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ

Занятие 5

ЛИНЕЙНЫЕ ОДНОРОДНЫЕ СИСТЕМЫ (n = 2)

1º.

Рассмотрим систему дифференциальных уравнений:

1111122

2211222

x

ax ax

x

ax ax

=+

⎧

⎨

=+

⎩

&

или в матричной форме

X

AX

=

&

. (1)

Решение ищется в виде

11

22

tt

xb

X

ebe

xb

λ

⎛⎞⎛⎞

== =

⎜⎟⎜⎟

⎝⎠⎝⎠

.

Общее решение находим, если известна ф. с. р.

1

()

X

t и

2

()

X

t :

11 2 2

() ()

об

X

CX t C X t=+ .

Для отыскания ф. с. р. решаем характеристическое уравнение

det( ) 0AE

λ

−

= .

Найденные λ называются

собственными значениями матрицы A . Под-

ставляя каждое собственное значение λ в алгебраическую систему урав-

нений

11 1 12 2

21 1 22 2

() 0

()0

abab

ab a b

λ

−

+=

⎧

⎨

+

−=

⎩

и решая эту систему, находим вектор b ,

который называется

собственным вектором матрицы A , отвечающим

собственному значению λ . Соответствующее частное решение системы

(1) имеет вид

11

22

tt

xb

X

ebe

xb

λ

⎛⎞⎛⎞

== =

⎜⎟⎜⎟

⎝⎠⎝⎠

. (2)

Различным собственным значениям

12

λ

≠

соответствуют линейно не-

зависимые частные решения

1

()

X

t и

2

()

X

t , образующие ф. с. р.

2º.

Собственные значения

12

λ

≠

(действительные).

2.1 Пример:

112

212

2

34

xxx

x

xx

=+

⎧

⎨

=+

⎩

&

.

17

Решение. Имеем

12

21

0 1, 5.

34

λ

λλ

λ

−

=

⇒= =

−

Находим собственные векторы, решая для каждого λ однородную систему

уравнений

1

2

21 0

.

34 0

b

λ

−

⎛⎞

⎛⎞⎛⎞

=

⎜⎟

⎜⎟⎜⎟

−

⎝⎠⎝⎠

⎝⎠

Так как определитель этой системы

равен нулю, для определения решения

1

2

b

⎛⎞

⎜⎟

⎝⎠

достаточно одного уравнения:

для

11112

1 + =0bb

λ

= . Полагая

11

1b

=

, получаем

12

1b =− и собствен-

ный вектор

1

⎛⎞

⎜⎟

−

⎝⎠

. Тогда первое частное решение

1

()

1

t

X

te

⎛⎞

=

⎜⎟

−

⎝⎠

. Для

12122

5 3 + =0bb

λ

=− . Полагая

21

1b

=

, получаем собственный вектор

1

3

⎛⎞

⎜⎟

⎝⎠

и второе частное решение

5

2

1

()

3

t

X

te

⎛⎞

=

⎜⎟

⎝⎠

. Общее решение имеет вид

5

12

11

13

tt

об

X СеCe

⎛⎞ ⎛⎞

=+

⎜⎟ ⎜⎟

−

⎝⎠ ⎝⎠

.

Решить следующие задачи:

2.2.

112

212

4

xxx

x

xx

=−

⎧

⎨

=

−+

⎩

&

;

2.3.

11 2

212

80

0

xx x

xxx

+

−=

⎧

⎨

−

−=

⎩

&

;

2.4.

11 2

12

212

3

, (0) 3, (0) 1

5

xx x

xx

xxx

=+

⎧

=

⎨

=− +

⎩

&

.

3º.

Собственные значения

i

λ

αβ

=

±

(комплексные взаим-

но-сопряженные).

Для комплексных взаимно-сопряженных собственных значений λ находят-

ся комплексные взаимно-сопряженные решения системы – собственные

18

вектора b . В качестве ф. с. р. следует взять

()

1

Re

t

X

be

λ

= и

()

2

Im

t

X

be

λ

= .

3.1. Пример:

112

212

23

xxx

x

xx

=+

⎧

⎨

=− +

⎩

&

.

Решение. Имеем

1,2

11

0, 2

23

i

λ

−

=

=±

−−

. При 2 i

λ

=+ полу-

чим систему

1

2

11 0

21 0

b

i

b

i

−−

⎛⎞

⎛⎞⎛⎞

=

⎜⎟

⎜⎟⎜⎟

−−

⎝⎠⎝⎠

⎝⎠

. Достаточно взять одно

уравнение:

12

(1 ) 0bib−++=

. Положим

1

1, b

=

тогда

2

1bi=+

. Имеем

(2 ) 2

110

() (cos sin )

111

it t

X

teeitit

i

+

⎡⎤

⎛⎞ ⎛⎞⎛⎞

==++

⎢⎥

⎜⎟ ⎜⎟⎜⎟

+

⎝⎠ ⎝⎠⎝⎠

⎣⎦

.

2

1

2

11 2 2

10

Re ( ) cos sin ,

11

01

Im ( ) cos sin ,

11

.

t

об

X

Xt e t t

X

Xt e t t

XCXCX

⎡

⎤

⎛⎞ ⎛ ⎞

== −

⎢

⎥

⎜⎟ ⎜ ⎟

⎝⎠ ⎝ ⎠

⎣

⎦

⎡

⎤

⎛⎞ ⎛⎞

== +

⎢

⎥

⎜⎟ ⎜⎟

⎝⎠ ⎝⎠

⎣

⎦

=+

Можно выписать

12

() и ()

x

txt – координаты вектора

об

X

:

[]

2

112

2

21221

() ( cos sin),

() ( )cos ( )sin .

t

xt e C t C t

x

te CC tCC t

=+

=+ +−

Найти общее или частное решение следующих задач:

3.2.

11 2

212

3

x

xx

x

xx

=−

⎧

⎨

=

+

⎩

&

;

3.3.

32

,

41

XAXA

−

⎛⎞

==

⎜⎟

−

⎝⎠

&

;

19

3.4.

112

12

212

32

, (0) 1, (0) 0

47

xxx

xx

xxx

=−

⎧

=

⎨

=+

⎩

&

.

4º.

Собственные значения кратные:

12

λ

=

.

В этом случае решение ищется в виде

11

22

()

t

bdt

X

te

bdt

λ

+

⎛⎞

=

⎜⎟

+

⎝⎠

4.1. Пример:

112

212

2

4

x

xx

x

xx

=+

⎧

⎨

=− +

⎩

&

.

Решение. Имеем

1,2

21

0, 3

14

λ

−

=

−−

.

11

3

22

()

t

bdt

X

te

bdt

+

⎛⎞

=

⎜⎟

+

⎝⎠

подставляем в систему и сокращаем на

3t

e :

111 1122

222 1122

22

3

44

dbdtbdtbdt

++++

⎛⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞

+=

⎜⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟

+−−++

⎝⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠

.

Приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях t слева и справа:

11 12

112

22 12

212

32

3 2

34

3 4

dbbb

ddd

db bb

ddd

+=+

⎧

⎪

=+

⎪

⎨

+=−+

⎪

=− +

⎩

или

112

12

212

12

0

dbb

dd

dbb

dd

+− =

⎧

⎪

−=

⎪

⎨

+− =

⎪

−=

⎩

.

Полагая

11 12

и bC dC== , получаем

212 2 2

, bCC dC

=

+=.

Решить системы:

4.2.

112

212

3

4

x

xx

x

xx

=−

⎧

⎨

=−

⎩

&

;

20

4.3.

112

212

2

46

x

xx

x

xx

=−

⎧

⎨

=+

⎩

&

.

Занятие 6

ИССЛЕДОВАНИЕ НА УСТОЙЧИВОСТЬ ТОЧКИ ПОКОЯ СИСТЕМЫ

ДВУХ ЛИНЕЙНЫХ ОДНОРОДНЫХ УРАВНЕНИЙ С ПОСТОЯННЫ-

МИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ

1º

. Для исследования на устойчивость точки покоя системы

1111122

2211222

x

ax ax

x

ax ax

=+

⎧

⎨

=+

⎩

&

надо найти корни характеристического уравнения

11 12

21 22

0

aa

λ

−

=

−

.

В зависимости от корней получаем следующие основные случаи положения

траекторий вблизи точки покоя (0,0) (так называемые фазовые портре-

ты):

1. устойчивый узел:

121 2

, 0, 0

λ

λλ λ

≠<< ; (заметим,

что приведенный фазовый портрет

соответствует случаю

12

λ

> )

второй рисунок соответствует слу-

чаю, когда корни кратности 2, то

есть совпадают:

121

, 0

λ

λλ

=<.

2. неустойчивый узел:

121 2

, 0, 0

λ

λλ λ

≠>> ;

в случае кратных положительных

корней фазовый портрет отличает-

ся от второго рисунка предыдущего

пункта направлением стрелок от на-

чала координат.

Фастовец Н.О.,Тюлина А.К. Дифференциальные уравнения

Подождите немного. Документ загружается.