Фастовец Н.О.,Тюлина А.К. Дифференциальные уравнения
Подождите немного. Документ загружается.
31
ленькими кружками с границами
1
γ
и
2
γ
, состоит из контура 4z = , прохо-
димого против часовой стрелки, и контуров
1
γ
и
2
γ
, проходимых по часо-
вой стрелке, поэтому по теореме Коши для многосвязной области имеем
12
222
222
4
0
333
zzz
z
eee
dz dz dz
zz zz zz
γγ
−−
=
+
+=
−−−
∫∫∫ССС
.
Здесь
1
γ
−
и
2
γ
−
обозначают контуры, проходимые по часовой стрелке. По-
этому, помня, что в интегральной формуле Коши обход контура против часо-
вой стрелки (область находится внутри), окончательно имеем
12
222 22
222
4
03
2
3
333
zzz zz
z
zz
eee ee
dz dz dz i
zz
zz zz zz
γγ
π
=
==
⎛⎞
⎜⎟
=
+= +=
−
⎜⎟
−−−
⎝⎠
∫∫∫ССС
6
1
2
3
e
i
π
−
=
.
6º.
Вычислить:
6.1.
2
2
sin
43
z
iz
dz
zz
=
−+
∫С
;
6.2.
2
15
(9)(9)
z
dz
zz
−=
++
∫С
.
7º.
Дополнительные задачи:
7.1.
22
11
sin
(1)
z
z
dz
z
π
−=
−
∫С
;
7.2.
2
0,5
1sin
z
z
dz
z
=
−
∫С
.
Занятие 10
РЯД ЛОРАНА, ОСОБЫЕ ТОЧКИ
1º.
Рядом Лорана по степеням ( z - a ) называется ряд вида
()
n
n
n
cza
∞
=
−∞
−
∑
32
Точка а называется центром разложения.
Этот ряд называется сходящимся в точке
0
z , если сходятся ряды
0
00
1
(), ()
nn
nn
nn
cz a cz a
∞
=−∞ =
−−
∑∑
.
Если функция f(z) является аналитической в кольце
rzaR<−<
, то она
представляется в этом кольце сходящимся рядом Лорана. Разложение в
ряд Лорана функции, аналитической в кольце
rzaR
<
−<,единственно,
поэтому коэффициенты разложения данной функции в ряд Лорана не зави-
сят от того, каким способом получено это разложение.
1.1. Пример: Найти особые точки функции
2
1
()
23
z
fz
zz
+
=
+−
и разло-
жить эту функцию в ряд по степеням z . (Заметим, что в случае, когда в зада-
нии не указано, в каких областях надо получить разложение, то предполага-
ется, что будут рассмотрены всевозможные случаи областей, в которых бу-
дут иметь место те или иные разложения.
Решение. Представим эту функцию
в виде суммы элементарных дро-
бей:
2
111
2( 1) 2( 3)
23
z
zz
zz
+
=+
−+
+−
. Особые точки
12
1, 3zz==−.
Определим области, в которых будут иметь место те или иные разложения:
на них вся плоскость разбивается окружностями, проходящими через особые
точки с центром в центре разложения (0 в данном примере).
а)
1z < . (Область А ).
2
00
11111
(1)
2(1 ) 2 6
23 3
61
3
n
nn
n
zz
z
z
z
zz
∞∞
+
=− + =− + −
−
⎛⎞
+−
+
⎜⎟
⎝⎠
∑∑
;
б)
13z<<.
21
00
11 1111
(1)
1
26
23 3
21 61
3
n
n
nn
zz
z
zz z
z
z
∞∞
+
+
=+=+−
⎛⎞⎛⎞
+−
−+
⎜⎟⎜⎟
⎝⎠⎝⎠
∑∑
33
в) 3z > .
211
00
11 11113
(1)
13
22
23
21 21
n
n
nn
z
zz z z
zz
zz
∞∞
+
+
+
=+=+−
⎛⎞⎛⎞
+−
−+
⎜⎟⎜⎟
⎝⎠⎝⎠
∑∑
.
2º.
Рассмотреть различные разложения в ряд Лорана
2.1
2
23
()
32
z
fz
zz
−
=
−+
а) по степеням (z-1);
б) в окрестности точки z=2;
в) в кольце
12z<<;
2.2 Разложить функцию
2
()
z
e
fz
z
=
в ряд Лорана в окрестности точки
z=0 .
2.3 Разложить данные функции в ряд Лорана в указанных кольцах:
а)
2
2
, 1 2 3
1
z
z
<+<
−
;
б)
2
1
, 0 2
1
zi
z
<−<
+
.
3º. Изолированные особые точки однозначной аналитиче-
ской функции.
Точка
0
z называется изолированной особой точкой однозначной анали-
тической функции f(z), если в некоторой окрестности этой точки функция
f(z) аналитична всюду, кроме самой точки
0
z . В зависимости от поведе-
ния функции вблизи точки
0
z различают следующие три типа особых то-
чек:
полюс, существенно особая точка и устранимая особая точка. Ха-
рактер особой точки f(z) можно определить по разложению этой функции
в ряд Лорана в окрестности точки
0
z .
Точка
0
z называется полюсом для функции f(z), если
0
lim ( )
zz
fz
→
=∞.
34
Ряд Лорана в окрестности полюса содержит конечное число отрицатель-
ных степеней
0
()zz− , т. е.
1
010010
() ( ) ... ( ) ( ) ...
n
n
fz a zz a zz a azz
−−
−−
=−++−++−+
Для определения порядка полюса пользуются понятием нуля функции:
Точка
0
z называется нулем k-го порядка для функции f(z), аналитической
в этой точке, если в
0
z
сама функция и первые ее (k - 1) производные об-
ращаются в нуль. Ряд Тейлора с центром в этой точке будет начинаться,
очевидно, с k-го члена.
Точка
0
z будет полюсом k-го порядка для функции f(z), если функция
1
()
f
z
имеет в этой точке нуль k-го порядка.
Точка
0
z называется существенно особой точкой для функции f(z), если
при
0
zz→ не существует предела f(z).
Ряд Лорана в окрестности полюса содержит бесконечное множество от-
рицательных степеней
0
()zz
−
.
Точка
0
z называется устранимой особой точкой для функции f(z), если
0
lim ( )
zz
f
z
→
существует и конечен.
Ряд Лорана в окрестности устранимой особой точки
0
z
не содержит от-
рицательных степеней
0
()zz
−
, т. е. является рядом Тейлора:
01 0 0
( ) ( ) ... ( ) ...
n
n
fz a a z z a z z=+ − ++ − +
4º.
Определить характер особых точек по лорановскому разложению в п.
2.1 а), 2.1 б), 2.2, 2.3 б).
5º.
Найти особые точки и определить их характер у следующих функций:
1
1
2
11cos
, , .
1sin
z
z
e
z
z
+
−
−
35
Решение. Рассмотрим, например, функцию
1
1sinz
−
. Так как выражение
состоит из аналитических функций, то особые точки могут появиться только
за счет обращения в нуль знаменателя. Поэтому все выражение будет стре-
миться в этих точках к бесконечности, таким образом, это будут полюсы.
Рассмотрим функцию
1
1sin
()
z
fz
=−
и определим ее нули и их порядки –
такие порядки будут у полюсов f(z). Решим уравнение
1sinz= . В комплекс-
ной плоскости у него те же корни, что и на действительной прямой. Убедим-
ся в этом:
sin
2
iz iz
ee
z
i
−
−
=
, поэтому, обозначив
iz
et
=
, получим уравнение:
1
2ti
t
−=
, или
22
210 ( ) 0tit ti ti−−=⇔−=⇔=. Далее,
Ln ln Arg 2 2
22
iz
e i iz i iz i i i iz i n z n
ππ
π
π
⎛⎞⎛⎞
=⇔ = ⇔ = + ⇔ = + ⇔ = +
⎜⎟⎜⎟
⎝⎠⎝⎠
.
Так мы убеждаемся, что все особые точки имеют вид
2
2
n
zn
π
π
⎛⎞
=+
⎜⎟
⎝⎠
.
Аналогично предыдущему убедимся, что sin z и в комплексной плоско-
сти имеет действительный период 2πп (так как множитель
2
1
ni
e
π
= ), поэто-
му и исходная функция периодическая, и во всех точках та же особенность,
что и в
0
2
z
π
= . Так же, по определению синуса и косинуса, в комплексном
случае можно проверить справедливость формулы
cos( 2) sinzz
π
−=, тогда
разложение по степеням (2)tz
π
≡− знаменателя примет вид
2
1sin 1cos( 2) 1cos 11 ...
2
t
zz t
π
− =− − =− =−+ − Мы видим, что
0
2
z
π
=
–
нуль второго порядка. (Другой способ определения порядка нуля, без разло-
жения в ряд, состоит в нахождении производных в этой точке до той, которая
будет отлична от нуля. Порядок этой производной и есть порядок нуля функ-
36
ции в этой точке.) Поэтому во всех точках 2
2
n
zn
π
π
⎛⎞
=+
⎜⎟
⎝⎠
функция имеет
полюсы второго порядка.
Занятие 11
ВЫЧЕТЫ
1º.
Пусть функция f(z) регулярна в точке
0
z или имеет там изолирован-
ную особую точку однозначного характера.
Вычетом функции f(z) в точке
0
z (
0
z
≠
∞ ) называется величина
0
0
1
res ( ) ( )
2
zz
f
z
f
zdz
i
ρ
π
−=
=
∫
,
для достаточно малого ρ > 0/,
вычетом функции f(z) в точке ∞ называ-
ется
1
res ( ) ( )
2
zR
ff
zdz
i
π
=
∞=−
∫
при достаточно большом R.
В обоих случаях обход контура против часовой стрелки.
2º.
Вычислять вычеты, исходя из их определения, довольно сложно. Осно-
вой для практического вычисления служит следующая
Теорема.
Пусть при
0
0 zz
ρ
<
−< функция представлена рядом Лорана:
0
() ( )
n
n
n
f
zczz
∞
=
−∞
=−
∑
.
Тогда
01
res ( )
f
zc
−
= .
Если же при
zR>
0
() ( )
n
n
n
f
zczz
∞
=
−∞
=−
∑
,
37
то
1
res ( )
f
c
−
∞=− .
Для
0
z
- простого полюса
[
]
0
() lim ()( )
oo
zz
res
f
z
f
zz z
→
=−; (*)
Для
0
z - полюса порядка п
1
1
1
() lim ()( )
(1)!
o
n
n
oo
n
zz
d
resf z f z z z
n
dz
−
−
→
⎡
⎤
=−
⎣
⎦
−
. (**)
3º.
Вычислить вычет относительно простого полюса:
2
2
() ; ()
1
z
ze
fz fz
z
z
+
==
−
а) по формуле (*),
б) с помощью лорановского разложения.
4º.
Вычислить вычет относительно кратного полюса:
4.1.
3
()
(1)
z
e
fz
z
=
+
, используя формулу (**);
4.2.
2
sin 2
()
z
fz
z
=
а) по одной из формул (*), (**), б) используя ло-
рановское разложение.
5º.
Найти вычеты относительно
0
o
z
=
:
1
1
; cos
z
e
z
.
6º.
Найти вычеты в особых точках
1
3
2
11
sin , ,
(4)
z
z
ze
z
zz
+
+
.
7º. Вычисление интегралов с помощью вычетов:
Пусть функция f ( z ) аналитическая в области D, за исключением конечно-
го числа точек
12
, , ...
k
zz z, являющихся изолированными особыми точ-
ками однозначного характера, и непрерывна вплоть до границы С области
D, за исключением тех же точек. Граница С области D предполагается
состоящей из конечного числа кусочно-гладких замкнутых кривых. Тогда
38
1
() 2 ( )
n
k
k
C
f
zdz i res
f
z
π
=
=
∑
∫С
, если направление обхода границы таково, что
область остается слева (положительное направление).
Найти:
7.1.
2
4
1
z
z
e
dz
zz
=
−
+
∫С
;
7.2.
2
1
2
3
2
1
z
zi
e
dz
z
−=
+
∫С
.
Решение: В области
3
2
zi−<
функция
2
1
2
1
z
e
z
+
имеет две особые
точки:
zi=− простой полюс и 0 z
=
− существенно особая точка.
2
1
1
() lim ( )
()() 2
z
zi
ee
resf i z i
zizi i
−
→
⎡⎤
⎢⎥
=−=
⎢⎥
+−
⎢⎥
⎢⎥
⎣⎦
. А (0) 0resf = , так как в лора-
новском разложении функции ()
f
z в окрестности точки 0z = будут только
четные степени
1
1
и ( 0)zc
z
−
=
.
Занятие 12
ОПЕРАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
1º.
Преобразованием Лапласа от функции f(t) называется
[]
∫
∞
−
+=>==
0
0
, ,)()()(
σ
ispssdtetfpFtfL
pt
.
Функция F(p) также называется
изображением функции f(t).
Функция f (t), называемая
оригиналом, должна удовлетворять следующим
требованиям:
1) кусочно-непрерывна со своими производными,
39
2) f (t) = 0 при t < 0 ,
3)
ts
MetfsM
0
)( : ,
0
<∃
.
2º.Элементарные свойства оператора Лапласа.
Линейность:
[] [ ]
[
]
)()( )()( ),()(
21212211
pFpFffLpFtfLpFtfL
β
α
β
α
+
=
+
⇒
=
=
;
Подобие:
[] [ ]
1
)( 0 ),()(
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=⇒>=
a
p
F
a
atfLapFtfL ;
Смещение:
[]
[
]
)()( )()( apFtfeLpFtfL
at
+=⇒= ;
Запаздывание:
[]
[
]
)()( )()(
0
0
pFettfLpFtfL
pt
−
=−⇒= ;
Изображение производных:
[] [ ]
)0()()( )()( fppFtfLpFtfL
−
=
′
⇒= ,
[
]
)0()0()()(
2
fpfpFptfL
′
−−=
′′
;
Дифференцирование изображения:
[]
[
]
)()( )()( ttfLpFpFtfL
−
=
′
⇒
=
.
3º.
Для нахождения оригинала x (t) можно воспользоваться следующей
теоремой.
Теорема.
Если изображение F(p) является правильной дробно-рациональной функци-
ей
)(
)(
)(
pB
pA
pF =
и знаменатель имеет корни
n
ppp ... , ,
21
, то оригинал
равен
pt
n
k
p
e
pB
pA
restx
k
∑
=
=
1
)(
)(
)( .
Если корни
n
ppp ... , ,
21
простые, то
tp
n
k
k
k
k
e
pB
pA
tx
∑
=
′
=
1
)(
)(
)( .
Замечание.
Если корни знаменателя комплексно сопряжённые: p = α ± iβ ,
то
() () 2Re ()
pt pt pt
ii i
res F p e res F p e res F p e
αβ αβ αβ
+− +
⎡
⎤
+=
⎢
⎥
⎣
⎦
. ( Re f (z) – дейст-
40
вительная часть f (z) ). То есть их сумма равна удвоенной действительной
части каждого из них.
4º.
При переходе от оригиналов к изображениям и наоборот можно поль-
зоваться таблицей:
№ Оригинал Изображение
1. 1 1/p
2. exp (bt) 1/(p–b)
3. sin at
22
ap
a
+
4. cos at
22
ap
p
+
5.
n
t
1
!
+n
p
n
6.
a
t
e
bt
sin
22
)( abp
a
+−
7.
a
t
e
bt
cos
22
)( abp
bp
+−
−
8. t sin at
(
)
2
22
2
ap
ap
+
9. t cos at
(
)
2
22
22
ap
ap
+
−
10.
nbt
t
e
()
1
!
+
−
n
bp
n
5º.
Пример.
Дано дифференциальное уравнение
4sin2
x
xt
′
′
+
= с граничными усло-
виями
(0) 0, (0) 1xx
′
==,
а) найти изображение x (t) ;