Фастовец Н.О.,Тюлина А.К. Дифференциальные уравнения
Подождите немного. Документ загружается.
41
б) найти оригинал по изображению и таким образом получить решение
дифференциального уравнения с данными граничными условиями.
Решение. а) Имеем:
)()0()()( ),()( ppFxppFtxpFtx
=
−
→
′
→ ,
1)()0()0()()(
22
−=
′
−−→
′′
pFpxpxpFptx .
4
2
2sin
2
+
→
p
t
. Уравнение в изображениях будет
1
4
2
)(4)(
2
2
+
+
=+
p
pFpFp
. Решая его, получаем изображение для x (t) :
(
)
(
)
2
2
2
2
2
2
4
6
4
2
4
1
)(
+
+
=
+
+
+
=
p
p
p
p
pF .
б) По полученному изображению
(
)
2
2
2
4
6
)(
+
+
=
p
p
pF найдем оригинал
x(t).
Знаменатель 4
2
+p имеет корни ±2i кратности 2 , поэтому
() ()
=
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
−
+
+
=
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
+
+
=
→
2
2
2
2
2
2
2
2
2
)2(
4
6
limRe2
4
6
Re2)( ipe
p
p
dp
d
e
p
p
restx
pt
ip
pt
i
()
=
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
+
+
=
→
pt
ip
e
ip
p
dp
d
2
2
2
2
6
limRe2
=
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
⎪
⎭
⎪
⎬
⎫
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
+
+
+
+
+
−
+
=
→
ptptpt
ip
te
ip
p
e
ip
p
e
ip
p
2
2
3
2
2
2
)2(
6
)2(
)6(2
)2(
2
limRe2
tttteie
itit
2cos
4
1
2sin
8
5
8
1
16
5
Re2
22
−=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−−= .
6º.
Аналогично решаются системы линейных дифференциальных уравне-
ний.
Пример:
⎩
⎨
⎧
−==
=+
′
=+
′
1)0( ,1)0( ,
0
0
yx
xy
yx
.
42
Решение.
,1)()( ),()(
−
→
′
→ ppXtxpXtx
1)()( ),()(
+
→
′
→ ppYtypYty .
В операторной форме имеем
01)()(
01)()(
⎩
⎨
⎧
=++
=
−
+
pXppY
pYppX
. Решая эту систе-
му, найдем
1
1
)( ,
1
1
)(
−
−=
−
=
p
pY
p
pX
. Возвращаясь к оригиналам, имеем
)(
1
1
),(
1
1
tye
p
txe
p
tt
=−→
−
−=→
−
−
. Таким образом, решение исходной
задачи:
() , () .
tt
x
te
y
te
−
==−
7º.
Решить следующие задачи Коши:
7.1. 0)0()0( ,1
=
=
=
+
x
x
x
x
&&&
;
7.2. 0)0( ,
2
==+
−
xexx
t
&
;
7.3. 0)0( ,1)0( ,2 ===+ xxexx
t
&&&
;
7.4. 0)0( ,0)0()0( ,
2
0
===
⎩
⎨
⎧
=−
=−
yxx
tyx
yx
&
&&
&&
.
43
Занятие 13
РАЗЛОЖЕНИЕ ФУНКЦИЙ В РЯД ФУРЬЕ
1º.Вспомогательные задачи.
1.1. Показать на примере, что если f(x) имеет период Т, то при
α
∀
2
0
2
() () ()
T
TT
T
f
xdx f xdx f xdx
α
α
+
−
==
∫∫∫
.
Можно взять, например,
() sin2
f
xx
=
, T=
π
.
1.2. Показать на примере, что
0
() 2 ()
ll
l
f
xdx
f
xdx
−
=
∫∫
, если f ( x) – чет-
ная функция и
() 0
l
l
fxdx
−
=
∫
, если f ( x) – нечетная функция.
2º. Теорема о разложении в ряд Фурье.
Если периодическая функция f(x) с периодом Т=2l кусочно-непрерывна и
имеет кусочно-непрерывную производную f′(x), причем все точки разрыва ξ
регулярны (то есть
()
1
() ( 0) ( 0)
2
ff f
ξξξ
=−++
), то функция f (x) мо-
жет быть представлена рядом Фурье
0
1
() cos sin
2
nn
n
a
nx nx
fx a b
ll
ππ
∞
=
⎛⎞
=+ +
⎜⎟
⎝⎠
∑
,
где
1
( )cos , ( 0, 1, 2... )
l
n
l
nx
afx dxn
ll
π
−
==
∫
и
1
()sin ( 1, 2... )
l
n
l
nx
bfx dxn
ll
π
−
==
∫
.
.
3º.
Разложить в ряд Фурье периодическую функцию f (x) с периодом T.
Построить графики первых частичных сумм
012
(), (), ()Sx Sx Sx и
3
()Sx.
Найти значение суммы S (x) полученного ряда в точке
0
x
:
44
3.1.
0
0 , 0
( ) , 2 ,
2 , 2
x
fx T x
x
π
π
π
ππ
≤
<
⎧
===
⎨
≤≤
⎩
;
3.2.
,0 1
()
1, 1 4
x
x
fx
x
≤
≤
⎧
=
⎨
<
≤
⎩
, T=2l, l = 2 ,
0
1x
=
.
4º.
Разложить в ряд Фурье периодическую функцию, заданную графиче-
ски:
4.1. T = 6 ,
4.2. T = 4 ,
5º.
Дополнительная задача.
Используя ряд Фурье, полученный в п. 3.1, найти сумму числового
ряда
0
1
(1)
21
n
n
n
∞
=
−
+
∑
.
Решение. Разложение функции f (x) из п. 3.1 в ряд Фурье имеет вид
1
1
() 1 4 sin(2 1)
(2 1)
k
f
xkx
k
π
∞
=
=− −
−
∑
.
Полагая
2
x
π
=
, имеем по условию 0
2
f
π
⎛⎞
=
⎜⎟
⎝⎠
и, так как в этой точке f (x)
непрерывна, получаем
1
1
1
014 (1)
(2 1)
k
k
k
π
∞
−
=
=− −
−
∑
, откуда
1
1
1
(1)
214
k
k
k
π
∞
−
=
−=
−
∑
, т.е.
0
1
(1)
214
n
n
n
π
∞
=
−
=
+
∑
.
О
y
x
-1 -2
-3 1 2
3
1
x
y
1 2
1
2
-1
-2
-1
-2
45
Занятие 14
РАЗЛОЖЕНИЕ В РЯД ФУРЬЕ ФУНКЦИЙ,
ЗАДАННЫХ НА ОТРЕЗКЕ
(продолжение)
1º.
Разложить в ряд Фурье функцию y = x ,
(1, 2)x
∈
, разными способами,
используя разные способы продолжения функции. Построить графики соот-
ветствующих функций y = S (x), найти значения S (x) в точках x = 1 и
x = 2 . Можно рассмотреть следующие варианты доопределения функции:
1.1. По периодичности с
Т = 1, так, что S (1) = S (2) = 1,5:
1.2. Доопределим на отрезке
[0, 2]
x
∈ по формуле y = x ,
затем продолжим на [–2,0] чет-
ным образом, затем по периодич-
ности с периодом T = 4, так, что
S(1) = f(1) = 1,
S(2) = f(2) = 2:
1.3. Доопределим на (0,1)
нулем, затем продолжим на
[–2,0] четным образом, затем
по периодичности с периодом
T = 4,
таким образом
S(2) = f(2) = 2,
S(1) = f(1) = 0,5:
y
2
x
1 2 4 -1 -2
S(x)
x
y
..
. .
.
S(x)
1 2 3 4-1-2
2
1
y
x
S(x)
1-1
. . .
2
1
2
3
46
1.4. T = 4,
S(1) = f(1) = 1,
S(2) = 0:
1.5. Т = 6,
S(1) = f(1) = 1,
S(2) = f(2) = 2:
2º.
Доопределить
2
() ( 2), 2 3fx x x=− ≤≤, четным и нечетным образом
так, чтобы
(2)(2); (3)(3)S
f
S
f
== и выписать коэффициенты ряда Фурье
(можно не вычислять). Рассмотреть разные варианты.
Занятие 15
ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ
1º.
Преобразованием Фурье абсолютно интегрируемой на R функции
f(t) называется
1
() ()
2
it
Fftedt
α
α
π
+
∞
−
−∞
=
∫
. (1)
Формула
1
() ( )
2
ix
f
xFed
α
α
α
π
+
∞
−∞
=
∫
(2)
задает
обратное преобразование Фурье, а интеграл
x
y
S(x)
-2 -1 1 2
1
2
3 4 5 6
S(x)
y
x
-3 -2 -1
1 2 3 4
1
2
47
1
ˆ
() ( )
2
ix
f
xFed
α
α
α
π
+∞
−∞
=
∫
, где
ˆ
() ()
it
Fftedt
α
α
+
∞
−
−∞
=
∫
, называется инте-
гралом Фурье
.
0
2
() ()cos
c
Ffttdt
α
α
π
+
∞
=
∫
называется косинус-преобразованием Фурье.
0
2
() ()sin
s
Ffttdt
α
α
π
+
∞
=
∫
,
называется синус-преобразованием Фурье.
Примеры.
1.1. Найти преобразование Фурье для функции
2
()
x
fx e
−
= .
Решение.
0
2
(2 )
11 1
() ()
22 2
t
it it i t
F
f
t e dt e e dt e dt
ααα
α
ππ π
+∞ +∞
−
−−−
−∞ −∞ −∞
===+
∫∫ ∫
0
(2 ) (2 )
(2 )
0
0
11
2(2)
22
it it
it
ee
edt
ii
αα
α
αα
ππ
+∞
+∞
−−+
−+
−∞
⎡
⎤
⎢
⎥
+=+=
⎢
⎥
−−+
⎢
⎥
⎣
⎦
∫
()
2
11 1 4
22
2
24
ii
αα
π
π
α
⎛⎞
=+=
⎜⎟
−+
⎝⎠
+
.
1.2. Представить функцию f (x) из п. 1.1 интегралом Фурье .
Решение:
()
2
2
114
()
22
24
x
ix ix
e F ed ed
αα
α
αα
ππ
πα
+∞ +∞
−
−∞ −∞
== =
+
∫∫
()
2
14
2
4
ix
ed
α
α
π
α
+
∞
−∞
=
+
∫
.
48
1.3. Построить график амплитудного спектра, т. е. ()F
α
функции из
п. 1.1.
1.4. Дана функция
1, 0 10
()
0, 10
x
fx
x
≤
≤
⎧
=
⎨
>
⎩
.
Доопределив ее соответствующим образом, найти косинус- и синус- преоб-
разование Фурье.
Решение.
а) Доопределим f(x) четным образом:
10
10
0
00
2 2 2sin 2sin10
( ) ( ) cos 1 cos
c
t
Ffttdt tdt
α
α
ααα
πππαπα
+∞
==⋅==
∫∫
.
б) Доопределим f(x) нечетным образом:
10
10
0
00
222cos
() ()sin 1sin
s
t
Ffttdt tdt
α
ααα
πππα
+∞
==⋅=−=
∫∫
21
(1 cos10 )
α
πα
=−.
1.5. Построить графики амплитудного спектра функции из п. 1.4.
1.6. Найти преобразование Фурье следующих функций:
y
-10 10
x
1
y
x
1
-1
10
-10
49
а)
,1
()
1, 1
xx
fx
x
⎧
≤
=
⎨
>
⎩
;
б)
,0
()
0, 0
x
ex
fx
x
−
⎧
⎪
≥
=
⎨
<
⎪
⎩
.
1.7. Показать, что для четной функции преобразование Фурье равно ее
же косинус-преобразованию Фурье.
Решение.
11
( ) () ()(cos sin )
22
ix
Ffxedxfxxixdx
α
ααα
ππ
+∞ +∞
−
−∞ −∞
==−=
∫∫
1
()cos ()sin
22
i
f
xxdx fxxdx
αα
ππ
+∞ +∞
−∞ −∞
=−
∫∫
.
В силу четности f(x)
0
12
()cos ()cos ( )
2
c
fx xdx fx xdx F
α
αα
ππ
+∞ +∞
−∞
==
∫∫
,
а
1
()sin 0
2
f
xxdx
α
π
+∞
−∞
=
∫
.
50
Подписано в печать Формат
60х90/16
Объем Тираж
Заказ
119991, Москва, Ленинский просп., 65
Государственное унитарное предприятие
Издательство «Нефть и газ» РГУ им. И.М.Губкина
Тел.: 135-84-06, 930-97-16. Факс: 135-74-16