Федоров Р.М., Канель-Белов А.Я., Ковальджи А.К., Ященко И.В. Московские математические олимпиады 1993-2005

Подождите немного. Документ загружается.

Основные факты 401

◦

. О д н о з н а ч н о с т ь р а з л о ж е н и я н а м н о -

ж и т е л и д л я м н о г о ч л е н о в.

Многочлен с рациональными коэффициентами, отлич-

ный от константы, называется неприводимым над раци-

ональными числами, если его нельзя представить в ви-

де произведения многочленов меньшей степени с рацио-

нальными коэффициентами. Например, многочлены x −4,

−2, x

+ x + 1 неприводимы, а многочлены x

−1, x

+ 4,

+ x + 1 приводимы.

Любой многочлен с рациональными коэффициентами

можно однозначно (с точностью до перестановки множи-

телей и домножения на константы) представить в виде

произведения неприводимых.

Например,

−1 = (x −1)(x + 1) = (2x −2)



x +



Аналогичная теорема верна для многочленов с целыми

коэффициентами, с действительными коэффициентами, с

комплексными коэффициентами и т. д. Теорема верна и

для многочленов от нескольких переменных.

Задачи: 97.11.3, 98.11.1, 03.11.1.

Литература: [48].

◦

. Р а з н о с т н о е д и ф ф е р е н ц и р о в а н и е.

Пусть c — ненулевая константа. Тогда степень много-

члена f(x+c)−f(x) на единицу меньше степени многочле-

на f(x). Более точно, если старший член f(x) равен ax

то старший член многочлена f(x + c) −f(x) равен acnx

n−1

Задачи: 95.11.4, 00.10.5.

Литература: [48].

Разные факты

◦

. Ч е т н о с т ь.

Число называется четным, если оно делится на два

(см. факт 5), в противном случае число называется нечет-

ным. Четные числа можно представить в виде 2n, а нечет-

ные — в виде 2n + 1.

Полезные соображения: а) сумма двух четных или двух

нечетных чисел четна; сумма четного и нечетного чисел

нечетна; аналогичные утверждения верны для разности;

402 Основные факты

б) сумма нескольких чисел четна тогда и только тогда, ко-

гда количество нечетных чисел в этой сумме четно; в) про-

изведение четного числа и любого числа четно, произведе-

ние двух нечетных чисел нечетно. Произведение несколь-

ких чисел четно, если хотя бы один из сомножителей

четный, и нечетно в противном случае.

Задачи: 93.8.3, 93.9.2, 95.10.6, 96.8.5, 97.8.4, 97.11.3,

98.11.4, 99.9.4, 00.9.2, 00.9.6, 01.10.5, 02.9.4,

03.10.1, 03.10.2, 04.8.4, 04.8.6, 04.9.1, 05.8.4.

Литература: [62].

◦

. И н д у к ц и я , п о л н а я и н д у к ц и я.

Математическая индукция — это метод доказательства

утверждений типа: «Для каждого натурального n верно,

что…». Такое утверждение можно рассматривать как це-

почку утверждений: «Для n = 1 верно, что…», «Для n = 2

верно, что…» и т. д.

Первое утверждение цепочки называется базой (или

основанием) индукции. Его обычно легко проверить. За-

тем доказывается индуктивный переход (или шаг индук-

ции): «Если верно утверждение с номером n, то верно

утверждение с номером n + 1». Индуктивный переход так-

же можно рассматривать как цепочку переходов: «Если

верно утверждение 1, то верно утверждение 2», «Если

верно утверждение 2, то верно утверждение 3» и т. д.

Если верна база индукции и верен индуктивный пере-

ход, то все утверждения верны (это и есть принцип мате-

матической индукции). Хорошими иллюстрациями прин-

ципа математической индукции являются задачи 94.10.3,

95.8.2 и 02.9.6.

Иногда для доказательства очередного утверждения це-

почки надо опираться на все предыдущие утверждения.

Тогда индуктивный переход звучит так: «Если верны все

утверждения с номерами от 1 до n, то верно и утвержде-

ние с номером n + 1». В качестве иллюстрации смотрите

задачи 93.8.5 и 93.9.2.

Иногда удобен индуктивный спуск или обратная ин-

дукция: если утверждение с номером n > 1 можно свести к

одному или нескольким утверждениям с меньшими номе-

рами и утверждение 1 верно, то все утверждения верны.

Основные факты 403

Часто спуск оформляется следующим образом: рассу-

ждают от противного, рассматривают наименьшее n, для

которого утверждение с номером n неверно, и доказывают,

что найдется такое m < n, что утверждение с номером m

неверно; см., например, задачи 95.9.5 и 96.10.4.

Часто индукция встречается в завуалированном виде:

например, слова «и так далее» часто означают скрытую

индукцию.

Задачи: индукция 93.8.5, 93.9.2, 93.11.4, 94.10.3,

94.11.6, 95.8.2, 95.9.1, 95.9.5, 95.10.6,

95.11.4, 95.11.6, 96.10.4, 97.10.3, 99.9.2,

99.9.6, 99.10.5, 99.11.4, 00.9.6, 00.10.5,

01.11.5, 02.9.6, 03.10.5, 05.10.6;

завуалированная индукция: 93.9.4, 97.8.6, 97.10.3,

99.10.6, 01.9.5, 02.10.4.

Литература: [62].

◦

. Л и н е й н о с т ь.

Аффинная функция на плоскости с координатами (x, y)

задается формулой f(x, y) = ax + by + c, а в n-мерном про-

странстве с координатами (x

, . . . , x

) — формулой

f(x

, . . . , x

) = a

+ . . . + a

+ C.

Если C = 0, то функция называется линейной.

Проекция точки на прямую или на плоскость — это

аффинная функция от координат точки. Ориентированное

расстояние f(x, y, z) от точки (x, y, z) до плоскости , за-

данной уравнением ax + by + cz + d = 0, является аффинной

функцией (проекцией на нормаль к ):

f(x, y, z) =

ax + by + cz + d

√

+ b

+ c

Вывод этой формулы основан на том, что скалярное про-

изведение вектора, лежащего на плоскости, с вектором,

лежащим на нормали, равно нулю. Полезное соображе-

ние: сумма (и линейная комбинация) аффинных функций

является аффинной функцией. Если аффинная функция

на плоскости отлична от константы, то множество ее ну-

лей есть прямая. Поэтому равенство аффинной функции

на плоскости константе (в частности, нулю) достаточно

404 Основные факты

проверить в трех вершинах некоторого треугольника. Ана-

логично, чтобы проверить равенство нулю (константе) аф-

финной функции в трехмерном пространстве, достаточно

проверить его в вершинах произвольного тетраэдра (см.

99.11.3).

Во многих задачах встречается линейн ое пространство над Z/2Z —

полем вычетов по модулю 2. Во втором решении задачи 95.10.6

используется следующий факт: любое собственное (отличное от всего

пространства) линейное подпространство содержится внутри множества

нулей некоторой линейной функции.

Решение задачи 98.9.6 основано на следующем соображении: если

система линейных уравнений с рациональными коэффициентами имеет

иррациональное решение (т. е. значение одной из переменных ирраци-

онально), то она имеет бесконечно много решений (параметрическое

семейство решений).

Задачи: 94.11.5, 95.10.6, 98.9.3, 99.11.3.

Литература: [72], [73].

◦

. Н е р а в е н с т в о м е ж д у с р е д н и м а р и ф м е -

т и ч е с к и м и с р е д н и м г е о м е т р и ч е с к и м.

В задачах часто используют неравенства 2ab 6 a

+ b

(верное для всех a и b), а также

√

ab 6

a + b

(верное для

неотрицательных a и b). Последнее неравенство имеет гео-

метрический смысл: квадрат имеет наибольшую площадь

среди прямоугольников с заданным периметром.

Обобщением этих неравенств служит классическое неравенство Ко-

ши, утверждающее что для неотрицательных a

, a

, . .. , a

выполня-

ется неравенство:

√

.. . a

+ a

+ . . . + a

Из этого неравенства для n = 3 следует, что куб имеет наибольший

объем среди параллелепипедов с заданной площадью боковой поверх-

ности.

Задачи: 93.10.5, 95.8.4, 02.10.2.

◦

. П р е д е л п о с л е д о в а т е л ь н о с т е й.

Бесконечная последовательность a

имеет предел L

(стремится к L, когда n стремится к бесконечности),

если для любого > 0 найдется такое k, что для всякого

n > k выполняется неравенство |a

−L |< . Обозначение:

lim

n→∞

= L.

Основные факты 405

Это определение есть формализация утверждения «a

очень близко к L, если n очень велико». Равносильное

определение: каждый интервал, содержащий L, содержит

все члены последовательности за исключением, быть мо-

жет, конечного числа.

Некоторые пределы, часто встречающиеся в решении

задач:

1) lim

n→∞

= 0, если |a|< 1.

2) lim

n→∞

= 0 при любом a.

3) Пусть P и Q — многочлены степеней k и l соответ-

ственно. Тогда предел

P(n)

Q(n)

при n, стремящемся к бес-

конечности, равен нулю, если l > k, и равен отношению

коэффициентов при членах старшей степени, если k = l.

Задачи: 98.10.6, 99.10.5, 00.11.5, 01.10.6, 04.11.5,

04.11.6.

Литература: [75], гл. 3.

◦

. С в о й с т в а о п р е д е л е н н о г о и н т е г р а л а.

Пусть f(x) — функция, определенная на отрезке [a; b].

Тогда при некоторых ограничениях на функцию f(x) (на-

пример, если f(x) непрерывна) определен определенный

интеграл f(x) по отрезку [a; b], который обозначается

]

f(x) dx.

Если f(x) непрерывна, то это площадь фигуры, ограничен-

ной осью абсцисс, вертикальными прямыми x = a и x = b

и графиком функции f(x). При этом площади участков,

где f отрицательна, считаются с отрицательным знаком.

Графики функций f (x) и f(a −x) симметричны относи-

тельно прямой x = a/2, поэтому

]

f(x) dx =

]

f(a −x) dx (см.

задачу 97.11.2).

Интеграл обычно вычисляют, пользуясь формулой Нью-

тона—Лейбница: если F(x) — первообразная функции f(x)

на отрезке [a; b] (т. е. F

(x) = f(x) на интервале (a; b) и

406 Основные факты

F(x) непрерывна в точках a и b), то

]

f(x) dx = F(b) −F(a).

Первообразная непрерывной функции всегда существует,

но не всегда выражается через элементарные функции.

Некоторые свойства определенного интеграла:

а)

]

(x) + c

(x) dx = c

]

(x) dx + c

]

(x) dx;

б)

]

f(x) dx =

]

f(x) dx +

]

f(x) dx;

в) если k 6= 0, то

]

f(kx + l) dx =

kb+l

]

ka+l

f(x) dx

(см. задачу 00.11.2).

Задачи: 95.11.4, 97.11.2, 00.11.2.

Литература: [75], гл. 4.

ДОПОЛНЕНИЕ A

О геометрических олимпиадных задачах

В. М. Тихомиров

Этим маленьким заключительным фрагментом мне хо-

телось бы способствовать (с помощью олимпиадных задач)

совершенствованию геометрического школьного образова-

ния.

Школьный курс геометрии может преследовать несколь-

ко целей, среди которых назову две: развитие вообра-

жения, с одной стороны, и развитие способности точно

формулировать свои мысли — с другой. Где еще, кроме

как на уроках геометрии, человек может научиться уста-

навливать непременную истинность суждений, логически

выводимых из фундаментальных фактов, не подвергаемых

сомнению? И мне хочется, во-первых, предложить неболь-

шой список таких основных геометрических фактов, до-

статочный для решения множества задач, а во-вторых,

привести несколько «формализованных» доказательств,

когда каждый логический ход обосновывается ссылкой

либо на один из основных фактов, либо на нечто уже

доказанное.

Но сначала несколько слов об обозначениях. Мне труд-

но заставить себя употреблять один и тот же символ и для

геометрического объекта и для его величины, и потому,

следуя А. Н. Колмогорову, далее отрезок AB обозначается

[A; B], а его длина |AB |, угол A обознается ∠A, а его

величина

Теоремы, на которые будем далее опираться, за исклю-

чением теорем синусов и косинусов, восходят к истокам

нашей науки и приписываются обычно Фалесу, школе Пи-

фагора или Евклиду.

Основные геометрические факты

1. Треугольник ABC является равнобедренным (|AC|=

= |BC |) тогда и только тогда, когда

A =

В отличие от основного текста книги, где используются принятые

в настоящее время в школе обозначения.

408 Дополнение A

2. Сумма углов треугольника равна 180

◦

3. Два треугольника ABC и A

равны (более точно

следовало бы употребить другое слово, скажем, «наложи-

мы друг на друга» или «конгруэнтны»),

1) если |AB|= |A

|, |AC |= |A

| и

A =

, или

2) если |AB|= |A

A =

B =

, или

3) если |AB|= |A

|, |AC|= |A

| и |BC|= |B

4. Треугольник ABC является прямоугольным тогда и

только тогда, когда |AB|

= |AC |

+ |BC |

5. Два треугольника ABC и A

подобны, если либо

их углы равны, либо их стороны пропорциональны.

6. Величина вписанного в окружность угла равна по-

ловине величины центрального угла, опирающегося на ту

же хорду, либо дополняет ее до 180

◦

7. Теоремы синусов и косинусов. В треугольнике ABC

выполнены следующие соотношения:

|BC|

= |AB|

+ |AC|

−2 |AB ||AC|cos

|AB |

sin

|AC |

sin

|BC |

sin

Приведем несколько тривиальных следствий из этих

теорем.

С л е д с т в и е 1 (о биссектрисе). Прямая, соединяющая

вершину треугольника с центром вписанного круга, явля-

ется его биссектрисой.

С л е д с т в и е 2 (о средней линии). Если B

и C

—

середины сторон AB и AC, то треугольники ABC и AB

подобны с коэффициентом 2.

С л е д с т в и е 3 (о серединном перпендикуляре). Для

того чтобы |AB |= |AC |, необходимо и достаточно, чтобы

точка C лежала на серединном перпендикуляре к отрезку

[A; B].

С л е д с т в и е 4 (об угле, опирающемся на диаметр).

Вписанный угол, опирающийся на диаметр, — прямой.

Рассмотрим теперь для примера геометрические задачи

олимпиады 1993 года и порешаем их.

8 класс, задача 6. Окружность с центром D проходит

через точки A, B и центр O вневписанной окружности

треугольника ABC, касающейся его стороны BC и продол-

жений сторон AB и AC. Доказать, что точки A, B, C и D

лежат на одной окружности.

О геометрических олимпиадных задачах 409

Р е ш е н и е. Обозначим

A = ,

B = ,

C = и соединим A и

B с O. Тогда AO — биссектриса

угла A, BO — биссектриса внеш-

него угла B (см. следствие о бис-

сектрисе). Значит,

[

ABO = +

180

◦

−

. (i)

Тогда по теореме о сумме углов

треугольника

[

BOA = 180

◦

−

[

ABO

(i)

180

◦

− −

. Угол

BOA — вписанный в окружность по условию и, следова-

тельно, по теореме о вписанном угле

[

ADB = , а значит,

по теореме, обратной к теореме о вписанном угле, A, B,

C и D лежат на одной окружности.

9 класс, задача 1. Для двух данных различных точек

плоскости A и B найдите геометрическое место таких то-

чек C, что треугольник ABC остроугольный, а его угол

A — средний по величине.

Р е ш е н и е. Пусть O — середина отрезка [A; B], пря-

мые I, II, III перпендикулярны AB и проходят через A,

I II III

O и B соответственно, O — окружность с цен-

тром в O радиуса

|AB |

, O

— окружность с

центром в B радиуса |AB |. Тогда: 1) Углы

A и B острые тогда и только тогда, когда

C лежит между I и III. 2) Угол C тупой

тогда и только тогда, когда C лежит вну-

три O (по следствию 4). 3) Угол A равен

углу B на серединном перпендикуляре II и

больше B между I и II; угол A равен углу C

(по теореме о равнобедренном треугольнике)

на окружности O

и меньше угла C внутри

этой окружности. Отсюда вытекает, что для того чтобы

треугольник был остроугольным и при этом

B 6

A 6

необходимо и достаточно, чтобы точка C лежала левее II

и между окружностями, а для того чтобы треугольник

был остроугольным и при этом

C 6

A 6

B, необходимо и

достаточно, чтобы точка C лежала правее II и вне O

410 Дополнение A

9 класс, задача 6. Дан выпуклый четырехугольник

ABMC, в котором |AB|= |BC|,

BAM = 30

◦

ACM = 150

◦

Докажите, что AM — биссектриса угла BMC.

Р е ш е н и е. Обозначим

BMA = ,

AMC = , |AB|=

= |BC |= a, |BM |= b. По теореме синусов в треугольнике

◦

150

◦

a b

ABM получим:

sin

sin 30

◦

= 2b. (i)

В силу теоремы о рав-

нобедренном треугольнике

[

BCA =

[

BAC. Но по теореме

о сумме углов треугольника

[

BAC = 30

◦

+ 180

◦

−150

◦

− = 60

◦

− , откуда из теоремы

синусов в треугольнике BCM получаем:

sin( + )

sin(150

◦

−60

◦

+ )

cos

(i)

2 sin cos

откуда, используя формулу

sin( + ) = sin cos + sin cos ,

получаем: tg = tg , т. е. = .

10 класс, задача 6. На стороне AB треугольника ABC

внешним образом построен квадрат с центром O. Точки M

и N — середины сторон AC и BC соответственно, а длины

этих сторон равны соответственно a и b. Найти максимум

суммы |OM|+ |ON|, когда угол ACB меняется.

Р е ш е н и е. Обозначим

B = ,

C = ,

|AB|= |BB

|= c. По теореме косинусов

в треугольникаx CBB

и ABC имеем:

|CB

= b

+ c

−2bc cos( + 90

◦

), c

= a

+ b

−2ab cos . По теореме синусов в

треугольнике ABC получаем:

sin

т. e. c sin = a sin и, значит,

|CB

= a

+ 2b

+ 2ab(sin −cos ).