Федоров Р.М., Канель-Белов А.Я., Ковальджи А.К., Ященко И.В. Московские математические олимпиады 1993-2005

Подождите немного. Документ загружается.

Размышления о московских олимпиадах 11

говорил, что если бы во времена его юности были ма-

тематические олимпиады, он, возможно, не сделался бы

математиком: его главные достижения в математике яви-

лись не плодом быстро работающей изобретательности,

а итогом длительного и углубленного созерцания».

Коротко об эволюции олимпиад. Если для проведения

первой олимпиады был образован организационный коми-

тет, возглавлявшийся крупными учеными и выдающими-

ся деятелями просвещения, то потом все упростилось. Мо-

сковское математическое общество стало выделять лишь

одного своего представителя в качестве председателя орга-

низационного комитета (увы, им, как правило, далеко за

сорок), а далее формируется команда энтузиастов из ста-

рых и молодых олимпиадников, а также студентов и ас-

пирантов, которые и проводят олимпиады. Московское ма-

тематическое общество принимало участие в организации

всех олимпиад, кроме тех, что проходили в 1981—1992

годах. Что послужило причиной отстранения Общества от

олимпиад на этот период, пусть объяснит кто-то другой,

я этого никогда не мог понять. Скажу только, что этот

исторический прецедент возымел неожиданное побочное и

положительное влияние на развитие олимпиадного движе-

ния. Вместе с Матобществом был отстранен от проведе-

ния олимпиад и Н. Н. Константинов, патриарх движения.

Но Николай Николаевич принадлежит к числу тех лич-

ностей, чей энтузиазм преодолевает все препятствия. Им

был организован Турнир городов, в котором Николай Ни-

колаевич постарался, среди прочего, приглушить «сорев-

новательную компоненту». Этот турнир стал разрастаться,

приобретя международный характер. Николай Николае-

вич стал желанным гостем во многих странах мира. Ему

принадлежат также идеи московского турнира Ломоносо-

ва, различных летних конференций и многого другого.

В 2005 году состоялась шестьдесят восьмая Москов-

ская математическая олимпиада (в трудные военные го-

ды — в 1942 и 1943 — часть университета была эвакуиро-

вана, и олимпиады в Москве не проводились). Олимпиада-

2005 была организована Департаментом образования горо-

да Москвы, Советом ректоров учебных заведений Моск-

вы и Московской области, Московским государственным

12 В. М. Тихомиров

университетом им. М. В. Ломоносова, механико-матема-

тическим факультетом, Московским математическим об-

ществом, Московским институтом открытого образования

и Московским центром непрерывного математического об-

разования. Мы видим, что число покровителей олимпиады

возросло.

Олимпиада проходила в один тур отдельно для 6

и 7 классов (это состязание, называемое «Математиче-

ский праздник», — новый вид соревнования, организу-

емый МЦНМО по инициативе Д. Ботина, А. Спивака

и И. Ященко, проводится в один день; в 2005 году

Матпраздник состоялся 13 февраля, в нем приняло уча-

стие около 1500 школьников), олимпиада 8—11 классов

проходила 27 февраля, показ и разбор задач состоялся

13 марта. В олимпиаде приняли участие около двух с

половиной тысяч школьников.

Еще некоторые сопоставления. К моменту проведения

первой математической олимпиады в Москве существовал

лишь один школьный математический кружок. Им руко-

водил 21-летний доцент И. Гельфанд. Ныне Израиль Мои-

сеевич Гельфанд — один из самых выдающихся математи-

ков современности. Сейчас в Москве действует множество

школьных кружков в разных местах. Интересно было бы

посмотреть через 70 лет, много ли среди нынешних руко-

водителей кружков окажется математиков, сравнимых с

И. М. Гельфандом.

Сразу же посде олимпиады 1935 года были организо-

ваны новые кружки в МГУ. Первое время доклады на

них делали руководители кружков и школьники. Реши-

тельная перестройка кружковой работы связана с именем

студента МГУ Д. Шклярского, бывшего в числе победите-

лей 2-й олимпиады 1936 года, талантливого математика и

блестящего преподавателя, руководившего работой круж-

ков в 1938—1941 годах. Друзья вспоминают, что Шкляр-

ский был фанатично предан математике. Он мог без конца

говорить о ней. Очень любил возиться со школьниками.

Шклярский изменил стиль работы кружков. Заменил до-

клады школьников на решение задач. С тех пор так и

повелось. Теперь такая форма кружковой работы стала

доминирующей.

Размышления о московских олимпиадах 13

Хочу сказать несколько слов о судьбах победителей

первых олимпиад. Все они стали студентами мехмата.

Все участвовали в Великой Отечественной войне. Анна

Вениаминовна Мышкис и Давид Оскарович Шклярский

погибли, Игорь Николаевич Зверев и Николай Михайло-

вич Коробов вернулись с войны и всю жизнь потом были

связаны с мехматом.

Хотелось бы надеяться, что участникам олимпиад, ко-

торые проводились в прошлом и будут проводиться в на-

шем веке, не доведется испытать ужасов войны.

О задачах. На первой олимпиаде задачи были разде-

лены на три группы. Первую группу составляли геомет-

рические задачи, вторую — алгебраические, третью — ком-

бинаторные. Возможно, это было связано с пожеланием

А. Н. Колмогорова, который выделял три вида матема-

тических способностей, присоединяя к вообразительным

(геометрическим) и логическим способностям (соответству-

ющим разделению мозга на левую и правую половины)

еще и способности алгебраические (способности делать вы-

кладки и преобразования). Эксперимент с тремя группами

задач не был поддержан в дальнейшем, и в последние го-

ды олимпиадные задачи допускают, как мне кажется, та-

кую классификацию: простенькие головоломки, простень-

кие геометрические задачи, сложные головоломки, слож-

ные геометрические задачи и трудно разрешимые зада-

чи, часто берущиеся из каких-то серьезных исследований.

Всякий раз, когда я участвовал в организации олимпиад,

я предлагал вводить понемногу задачи анализа, и иногда

они включались в варианты. Я был очень рад, когда Ни-

колай Борисович Васильев — организатор и участник мно-

жества олимпиад и необыкновенно светлая личность, —

встретив меня как-то, сказал радостно, что, вспомнив мои

пожелания, он придумал красивую задачу из анализа (за-

дачу «о вишенке» на олимпиаде 1994 года, 11.3). Зада-

чи анализа способны приоткрыть необъятный мир порази-

тельной красоты, ибо анализ связан с объяснением окру-

жающей нас действительности, и олимпиадные задачи мо-

гут стимулировать интерес к изучению анализа в школе.

Среди олимпиадных задач я бы выделил особую груп-

пу — задач на все времена, задач, обладающих особой

14 В. М. Тихомиров

прелестью, которые можно предлагать кому угодно, и в

которых запрятано богатое содержание. Здесь все зависит

от личного вкуса. На первой олимпиаде такой задачей для

меня была задача о раскраске куба. Ее тогда не решил ни-

кто. Основываясь на одном воспоминании, я подозреваю,

что это задача Гельфанда.

В заключительной части дополнения А обсуждается

«задача о мухе», предложенная Игорем Федоровичем

Шарыгиным. Это тоже, по моему мнению, задача на все

времена. Сама же тема «олимпиадные задачи» далеко не

исчерпана.

Мальчики и девочки. На протяжении едва ли не всей

культурной истории мужчины стараются обосновать су-

ждение, что они умнее женщин. Один из аргументов: ведь

среди женщин нет великих математиков. Спор на эту тему

завел бы нас слишком далеко, скажу только, что особен-

но убедительных аргументов в пользу интеллектуального

превосходства мужчин над женщинами я лично не слы-

шал. То, что девочки в меньшем, чем мальчики, числе

участвуют в олимпиадах, можно объяснять социологиче-

скими причинами, не связанными с уровнем интеллекта.

Но в двух олимпиадах последних лет (в 1993 и 2005 го-

дах) оба раза первое место (в одном из классов) единолич-

но занимали именно девочки. Это Лена Бунина — лауреат

первой премии по 11 классам олимпиады 1993 года —

и Маша Илюхина — лауреат первой премии по девятым

классам олимпиады 2005 года. Хочу пожелать им и дру-

гим участницам олимпиадного движения счастливой на-

учной судьбы.

И последнее:

Несколько слов об этой книге. На протяжении семиде-

сяти лет было издано несколько книг, посвященных мо-

сковским олимпиадам. Назову три: это небольшая книжка

Р. Н. Бончковского «Московские математические олимпи-

ады 1935 и 1936 гг.» (ее автор погиб на войне), книга

А. А. Лемана [63] и книга Г. А. Гальперина и А. К. Тол-

пыго [58] (вышедшая невиданным по нашим временам

тиражом в 600 000 экземпляров и ставшая библиографи-

ческой редкостью). Возникла идея подвести итоги семи-

десятилетней истории московских математических олим-

Размышления о московских олимпиадах 15

пиад. Читатель держит сейчас в руках книгу, которой

мы начинаем реализацию этого замысла. В ней отражены

последние тринадцать олимпиад — от олимпиады-1993 до

олимпиады-2005.

Я с большим удовольствием вспоминаю олимпиа ды, в

организации которых я принимал участие, особенно олим-

пиаду 1993 года. Как я уже сказал, она проводилась после

двенадцатилетнего периода, когда Математическое обще-

ство было отстранено от участия в олимпиадах. Многие

истосковались по олимпиадам. В проведении той олимпи-

ады по моей просьбе приняло участие много моих кол-

лег старшего поколения (в их числе победители олимпиад

разных лет — профессора университета Ю. С. Ильяшен-

ко, А. А. Кириллов, В. П. Паламодов), очень активное

участие в составлении задач принял Игорь Федорович Ша-

рыгин (в частности, задачи 9.1, 9.6, 10.6 и задача о мухе

принадлежат ему). Олимпиады хороши, в частности, и

тем, что объединяют очень хороших людей и оставляют

самые теплые воспоминания.

УСЛОВИЯ ЗАДАЧ

1993 год (LVI олимпиада)

8 к л а с с

1. Обозначим через S(x) сумму цифр натурального чис-

ла x. Решить уравнения:

а) x + S(x) + S(S(x)) = 1993;

б)* x + S(x) + S(S(x)) + S(S(S(x))) = 1993.

2*. Известно, что число n является суммой квадратов

трех натуральных чисел. Показать, что число n

тоже

является суммой квадратов трех натуральных чисел.

3. На прямой стоят две фишки, слева — красная, спра-

ва — синяя. Разрешается производить любую из двух опе-

раций: вставку двух фишек одного цвета подряд в лю-

бом месте прямой и удаление любых двух соседних одно-

цветных фишек. Можно ли за конечное число операций

оставить на прямой ровно две фишки: красную справа, а

синюю — слева?

4. Придворный астролог царя Гороха называет время

суток хорошим, если на часах с центральной секундной

стрелкой при мгновенном обходе циферблата по ходу ча-

сов минутная стрелка встречается после часовой и перед

секундной. Какого времени в сутках больше: хорошего

или плохого?

К о м м е н т а р и й. Стрелки часов движутся с постоянной скоро-

стью.

5. Существует ли конечное слово из букв русского ал-

фавита, в котором нет двух соседних одинаковых подслов,

но таковые появляются при приписывании (как справа,

так и слева) любой буквы русского алфавита.

К о м м е н т а р и й. Словом мы называем любую последовательность

букв русского алфавита, не обязательно осмысленную, подсловом назы-

вается любой фрагмент слова. Например, АБВШГАБ — слово, а АБВ,

Ш, ШГАБ — его подслова.

6. Окружность с центром D проходит через точки A, B

и центр O вневписанной окружности треугольника ABC,

касающейся его стороны BC и продолжений сторон AB и

AC. Доказать, что точки A, B, C и D лежат на одной

окружности.

20 Условия задач. 1993 год

9 к л а с с

1. Для двух данных различных точек плоскости A и

B найдите геометрическое место таких точек C, что тре-

угольник ABC остроугольный, а его угол A — средний по

величине.

К о м м е н т а р и й. Под средним по величине углом мы понимаем

угол, который не больше одного из углов, и не меньше другого. Так,

например, мы считаем, что у равностороннего треугольника любой

угол — средний по величине.

2. Найдите x

1000

, если x

= 4, x

= 6, и при любом нату-

ральном n > 3 x

— наименьшее составное число, большее

n−1

−x

n−2

3. Бумажный треугольник с углами 20

◦

, 20

◦

, 140

◦

раз-

резается по одной из своих биссектрис на два треуголь-

ника, один из которых также разрезается по биссектрисе,

и так далее. Может ли после нескольких разрезов полу-

читься треугольник, подобный исходному?

4. У Пети всего 28 одноклассников. У каждых двух из

28 различное число друзей в этом классе. Сколько друзей

у Пети?

5. Каждой паре чисел x и y поставлено в соответствие

некоторое число x * y. Найдите 1993 * 1935, если известно,

что для любых трех чисел x, y и z выполнены тождества:

x * x = 0 и x * (y * z) = (x * y) + z.

6. Дан выпуклый четырехугольник ABMC, в котором

AB = BC, ∠BAM = 30

◦

, ∠ACM = 150

◦

. Докажите, что AM —

биссектриса угла BMC.

10 к л а с с

1. При разложении чисел A и B в бесконечные деся-

тичные дроби длины минимальных периодов этих дробей

равны 6 и 12 соответственно. Чему может быть равна

длина минимального периода числа A + B?

2. Дед барона К. Ф. И. фон Мюнхгаузена построил

квадратный замок, разделил его на 9 квадратных залов и

в центральном разместил арсенал. Отец барона разделил

каждый из 8 оставшихся залов на 9 равных квадратных

холлов и во всех центральных холлах устроил зимние

сады. Сам барон разделил каждый из 64 свободных