Федоров Р.М., Канель-Белов А.Я., Ковальджи А.К., Ященко И.В. Московские математические олимпиады 1993-2005

Подождите немного. Документ загружается.

Список литературы 451

[63] Л е м а н А. А. Сборник задач московских математических олим-

пиад. — М.: Просвещение, 1965.

[64] Международные математические олимпиады / Сост. А. А. Фомин,

Г. М. Кузнецова. — М.: Дрофа, 1998.

[65] М о р о з о в а Е. А., П е т р а к о в И. С., С к в о р ц о в В. А.

Международные математические олимпиады. — М.: Просвещение,

1976.

[66] Московские математические олимпиады. 60 лет спустя / Сост.

А. Я. Канель-Белов, А. К. Ковальджи. Под ред. Ю. С. Ильяшенко,

В. М. Тихомирова. — М.: Бюро Квантум, 1995. (Приложение к

журналу «Квант», № 6, 1995).

[67] Р у к ш и н С. Е. Математические соревнования в Ленинграде —

Санкт-Петербурге. — Ростов-на-Дону: «Март», 2000.

[68] Ф о м и н Д. В. Санкт-Петербургские математические олимпиа-

ды. — СПб.: Политехника, 1994.

Д л я с т а р ш и х ш к о л ь н и к о в и с т у д е н т о в

[69] А л е к с а н д р о в П. С. Курс аналитической геометрии и линей-

ной алгебры. — М.: Наука, 1979.

[70] А р н о л ь д В. И. Обыкновенные дифференциальные уравне-

ния. — Ижевск: РХД, 2000.

[71] В е р е щ а г и н Н. К., Ш е н ь А. Начала теории множеств. — М.:

МЦНМО, 2002.

[72] В и н б е р г Э. Б. Курс алгебры. — М.: Факториал Пресс, 2002.

[73] Г е л ь ф а н д И. М. Лекции по линейной алгебре. — М.: Добро-

свет, МЦНМО, 1998.

[74] Г р и ф ф и т с Ф., Х а р р и с Д ж. Принципы алгебраической гео-

метрии: В 2 т. — М.: Мир, 1982.

[75] З о р и ч В. А. Математический анализ: В 2 т. М.: МЦНМО, 2002.

[76] К а р т а н А. Элементарная теория аналитических функций одно-

го и нескольких комплексных переменных. — М.: ИЛ, 1963.

[77] К о р н ф е л ь д И. П., С и н а й Я. Г., Ф о м и н С. В. Эргодиче-

ская теория. — М.: Наука, 1980.

[78] М и л н о р Д ж., У о л л е с А. Дифференциальная топология. На-

чальный курс. — М.: Мир, 1972.

[79] Ф о м е н к о А. Т., Ф у к с Д. Б. Курс гомотопической тополо-

гии. — М.: Наука, 1989.

[80] Ш а ф а р е в и ч И. Р. Основы алгебраической геометрии: В 2 т. —

М.: Наука, 1988.

Р а з л и ч н ы е с т а т ь и

[81] Б е л о в А., С а п и р М. «И возвращается ветер...», или перио-

дичность в математике // Квант. — 1990. — № 4. — C. 6—10, 56.

[82] И л ь я ш е н к о Ю., К о т о в а А. Подкова Смейла // Квант. —

1994. — № 1. — С. 15—19.

[83] К а м н е в Л. Н. Иррациональность суммы радикалов // Квант. —

1972. — № 2. — С. 26—27.

452 Список литературы

[84] К а н е л ь - Б е л о в А. Я. Решение задачи 1.5 // Математическое

просвещение. Третья серия. — 2002. — Вып. 6. — С. 139—140.

[85] Математическое просвещение. Третья серия. — 2001. — Вып. 5. —

С. 65—138.

[86] Ф у к с Д. Можно ли из тетраэдра сделать куб? // Квант. —

1990. — № 11. — С. 2—11.

[87] L a c z k o v i c h M. Equidecomposability and discrepancy: a solution

to Tarski’s circle squaring problem // Journal f ¨ur die Reine aud

Angewandte Mathematik. — 1990. — № 404. S. 77—117.

[88] W a g o n S. Partitioning intervals, spheres and balls into congruent

pieces // Canadian Mathematical Bulletin. — 1983. — № 26. —

P. 337—340.

[89] http://www.livejournal.com/community/ru math/112913.html

[90] http://www.livejournal.com/community/ru math/114368.html

Д л я у ч и т е л я и р у к о в о д и т е л я к р у ж к а

[91] А д а м а р Ж. Исследование психологии процесса изобретения в

области математики. — М.: МЦНМО, 2001.

[92] Г е н к и н С. А., И т е н б е р г И. В., Ф о м и н Д. В. Ленинград-

ские математические кружки. — Киров: АСА, 1994.

[93] К а ц М., У л а м С. Математика и логика. — М.: Мир, 1971.

[94] П о й а Д. Математическое открытие. — М.: Наука, 1976.

[95] С о й е р У. Прелюдия к математике. — М.: Мир, 1972.

[96] С т р о й к Д. Я. Краткий очерк истории математики. — М.: Нау-

ка, 1990.

АВТОРЫ ЗАДАЧ

Задачи, несомненно, определяют уникальное лицо Московской ма-

тематической олимпиды — одной из немногих олимпиад мира, на ко-

торой большинство задач оригинальны. Многие замечательные зада-

чи впервые появились именно на Московской математической олим-

пиаде.

Окончательные условия задач и сами варианты рождаются после

долгих раздумий и обсуждений. И в результате иногда трудно устано-

вить, кто же конкретно является автором той или иной задачи. Тем не

менее, мы решились привести список авторов задач — в тех случаях,

где это «удалось установить». Приносим свои извинения за возможные

неточности. Будем рады любым замечаниям и исправлениям.

S. Wolfram 98.11.2

С. М. Агеев 98.10.3

А. В. Акопян 04.8.5

И. А. Акулич 93.8.6, 01.8.2

А. В. Анджанс 93.11.3

С. С. Анисов 98.10.1

, 98.10.4

98.11.5

Р. Е. Анно 00.10.1

Б. И. Бегун 96.10.4

А. Д. Блинков 02.8.2, 04.8.1

04.10.2, 05.9.1

И. И. Богданов 02.8.5, 03.11.6

П. А. Бородин 04.11.2, 04.11.4

Д. А. Ботин 93.8.4, 94.8.5,

95.8.4

В. О. Бугаенко 96.10.1

А. И. Буфетов 99.10.5, 99.11.4

А. А. Бучин 02.8.4

Н. Б. Васильев 94.9.3, 94.11.3,

94.11.6

А. А. Владимиров 93.10.4

М. А. Волчкевич 97.8.5, 98.9.5

А. И. Галочкин 93.9.3, 94.9.5,

95.8.2, 95.9.1, 95.11.5,

95.11.7, 96.9.1, 96.9.2,

04.11.3

Г. А. Гальперин 93.9.5, 94.11.4,

97.11.5

98.11.3, 00.10.3,

01.9.5, 02.9.6, 02.10.6

С. Б. Гашков 93.10.1, 93.10.2

А. А. Герко 99.9.6

Т. И. Голенищева-Кутузова

04.8.1

, 05.11.1

А. Н. Горбачев 02.8.6, 02.9.5

М. В. Горелов 00.8.6

Е. А. Горский 05.10.2

А. В. Грибалко 95.10.5

П. В. Грозман 01.10.6

В. М. Гуровиц 01.11.6, 02.8.1

С. М. Гусейн-Заде 93.11.4

Д. В. Дерягин 99.10.6

В. Л. Дольников 97.9.2

В. В. Доценко 00.10.5

, 01.8.3

М. А. Евдокимов 97.10.3,

97.11.3, 99.9.5, 00.10.2

А. А. Егоров 95.9.4, 96.10.1

Л. А. Емельянов 02.11.5

В. С. Жгун 02.9.3

Р. Г. Женодаров 00.8.4

С. А. Зайцев 05.8.2

А. А. Заславский 97.11.1, 99.9.3,

99.10.2

, 00.11.3, 01.9.3,

01.11.3, 02.8.3, 02.10.1,

02.11.1, 03.10.2, 03.10.4,

03.11.3, 03.11.5

, 04.10.5,

05.8.3, 05.9.3, 05.9.6,

05.10.1

Л. И. Звавич 03.8.1

С. А. Злобин 99.10.3, 00.8.1,

00.11.1, 02.10.2

в соавторстве.

454 Авторы задач

А. В. Иванищук 02.8.4

К. А. Игнатьев 94.9.6

Р. Н. Измайлов 93.10.4

И. В. Изместьев 99.9.2

Д. А. Калинин 03.9.2

А. Я. Канель-Белов 93.8.3,

93.11.1, 93.11.2, 93.11.5,

95.10.6, 95.11.5, 95.11.7

96.9.6, 97.10.1, 97.10.6,

98.8.2, 98.10.4

, 98.10.6

99.9.1, 99.11.4

, 99.11.7,

00.11.6, 01.10.1, 01.11.1,

01.11.5, 04.9.3, 04.9.4,

05.9.5, 05.10.5

Т. В. Караваева 03.8.4

В. А. Кириченко 00.10.1

В. А. Клепцын 01.9.4, 01.10.2,

03.10.1

А. К. Ковальджи 94.8.2, 94.8.4,

94.10.1, 94.11.1

, 97.9.4,

98.9.1, 98.9.2

В. К. Ковальджи 95.8.1, 95.8.5

П. А. Кожевников 99.10.2

Г. В. Кондаков 93.10.3, 94.11.1

95.11.4

, 96.11.6

Н. Н. Константинов 96.10.5

С. В. Конягин 93.9.2, 05.8.6,

05.10.6

О. Н. Косухин 04.11.6, 05.11.5,

05.11.6

О. Ф. Крыжановский 94.8.6,

94.10.6

Р. М. Кузнец 00.9.1

Б. Н. Кукушкин 93.8.1, 96.11.2

Е. Ю. Куликов 05.8.4

А. А. Кустарев 04.8.2

В. Н. Латышев 98.10.6

М. А. Макаров 04.8.3

С. В. Маркелов 94.8.3, 95.8.3,

95.9.2, 95.10.1, 95.10.2,

95.10.3, 95.11.7

, 96.11.5,

04.10.3, 05.8.5, 05.9.4

И. В. Межиров 03.10.5

А. Ю. Митягин 01.9.1

И. П. Нагель 94.9.4

Е. Н. Осьмова 99.9.4

М. Ю. Панов 00.9.3

Д. А. Пермяков 05.11.3

О. К. Подлипский 03.11.5

В. В. Произволов 94.10.5, 95.8.6,

96.8.2, 96.8.4, 96.10.3,

96.11.3, 97.8.1, 97.8.3,

97.9.3, 97.11.4, 98.8.1,

98.9.6, 98.10.1

, 98.10.2,

98.11.1, 99.8.2, 99.8.3

99.8.5, 99.10.4, 99.11.2

П. Е. Пушкарь 03.8.3

В. А. Сендеров 95.11.6, 96.10.6,

96.11.4, 97.9.6, 98.11.4

99.8.3

, 99.11.1, 99.11.2

99.11.6

, 01.10.3, 02.9.2,

02.9.4, 03.11.7

И. Н. Сергеев 04.11.1, 04.11.5,

05.11.2

А. Б. Скопенков 98.9.4, 05.11.3

М. Б. Скопенков 04.10.1

В. В. Слитинский 93.8.2

А. Н. Смоляков 97.11.5

М. В. Смуров 97.11.6, 98.8.3

А. В. Спивак 93.8.5, 96.8.5,

00.9.6

, 02.11.2

, 03.10.5

Д. А. Терешин 93.10.5, 99.11.3

С. И. Токарев 93.9.4, 96.8.6,

05.8.4

А. К. Толпыго 95.9.6, 97.9.1,

99.8.4, 01.9.6

А. В. Устинов 05.11.4

В. А. Уфнаровский 94.10.3

Р. М. Федоров 96.8.1, 03.8.5,

03.9.1

К. Э. Фельдман 97.10.4

В. П. Филевич 96.9.4

Б. Р. Френкин 97.9.5, 97.10.5,

98.9.3, 99.8.6, 99.10.6

02.10.5, 02.11.6, 03.10.3,

03.11.2, 04.8.4, 04.9.1

А. В. Хачатурян 01.8.1,

02.11.2

, 03.8.2, 03.9.4,

05.10.3

А. С. Чеботарев 03.8.1

, 03.8.6,

03.9.3, 03.10.6

Ю. В. Чеканов 94.9.2, 95.9.3

Г. Р. Челноков 99.11.6

, 03.11.4

Н. Л. Чернятьев 99.11.5

Г. Б. Шабат 94.10.2

А. И. Шапиро 94.9.1

Авторы задач 455

А. В. Шаповалов 95.9.5, 95.10.4,

96.10.2, 97.8.4, 97.8.6,

00.8.3, 00.8.5, 00.9.4,

00.9.6

, 00.10.5

, 00.10.6,

00.11.4, 01.10.5, 01.10.6

02.10.4, 02.11.3, 02.11.4,

05.10.4

Д. И. Шаповалов 01.10.6

И. Ф. Шарыгин 93.9.1, 93.9.6,

93.10.6, 93.11.6, 94.10.4,

95.11.3, 96.8.3, 96.9.3,

96.9.5, 00.9.5, 03.9.5

А. Шень 98.10.5, 01.8.3

С. А. Шестаков 00.9.2, 02.10.3

А. Ю. Эвнин 98.11.4

И. В. Ященко 93.11.4

, 94.8.1,

97.8.2, 00.8.2, 04.8.1

04.9.2, 05.11.1

ОГЛАВЛЕНИЕ

Предисловие . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

Размышления о московских олимпиадах . . . . . . . . . 7

УСЛОВИЯ ЗАДАЧ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

ОТВЕТЫ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

УКАЗАНИЯ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

РЕШЕНИЯ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

Основные факты . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 390

Д о п о л н е н и е А. О геометрических олимпиадных

задачах . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 407

Д о п о л н е н и е Б. Решение задачи 3б для 10 класса

олимпиады 1993 г. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 413

Д о п о л н е н и е В. Избранные задачи Московских

математических олимпиад 1935—1992 г. . . . . . . 421

Д о п о л н е н и е Г. Задачи LXIX олимпиады (2006 г.) 445

Список литературы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 448

Авторы задач . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 453

Федоров Роман Михайлович

Канель-Белов Алексей Яковлевич

Ковальджи Александр Кириллович

Ященко Иван Валериевич

МОСКОВСКИЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОЛИМПИАДЫ

1993—2005 г.

Редактор А. В. Семенов

Корректор Ф. И. Кизнер

Технический редактор В. Ю. Радионов

Подписано в печать 26.2.2006 г. Формат 60 × 90

. Бумага офсетная №1.

Печать офсетная. Печ. л. 28.5. Тираж 5000 экз. Заказ № 2708

Издательство Московского центра непрерывного математического образования.

119002, Москва, Большой Власьевский пер., 11. Тел. 241—74—83.

Отпечатано с готовых диапозитивов в ППП «Типография „Наука“».

121099, Москва, Шубинский пер., 6.