Федоров Р.М., Канель-Белов А.Я., Ковальджи А.К., Ященко И.В. Московские математические олимпиады 1993-2005

Подождите немного. Документ загружается.

Избранные задачи 1935—1992 г. 441

144. Четырехугольник ABCD вписан в окружность с

центром O. Диагонали AC и BD четырехугольника вза-

имно перпендикулярны. Доказать, что длина перпендику-

ляра OH, опущенного из центра окружности на сторону

AD, вдвое меньше длины стороны BC. (1979.8.3.)

145. Имеется несколько камней, масса каждого из ко-

торых не превосходит 2 кг, а общая масса равна 100 кг.

Из них выбирается несколько камней, суммарная масса

которых отличается от 10 кг на наименьшее возможное

для данного набора число d. Какое максимальное значе-

ние может принимать число d для всевозможных наборов

камней? (1979.9.1.)

146. На химической конференции присутствовало k

ученых химиков и алхимиков, причем химиков было

больше, чем алхимиков. Известно, что на любой вопрос

химики всегда отвечают правду, а алхимики иногда гово-

рят правду, а иногда лгут. Оказавшийся на конференции

математик про каждого ученого хочет установить, химик

тот или алхимик. Для этого он любому ученому может

задать вопрос: «Кем является такой-то: химиком или

алхимиком?» (В частности, может спросить, кем явля-

ется сам этот ученый.) Доказать, что математик может

установить это за 2k −3 вопросов. (1979.9.5.)

147. На отрезке длины 1 отмечено несколько интерва-

лов. Известно, что расстояние между любыми двумя точ-

ками, принадлежащими одному или разным отмеченным

интервалам, не равно 0,1. Доказать, что сумма длин от-

меченных интервалов не превосходит 0,5. (1979.10.2.)

Рис. 203

148. Три прямолинейных коридора одина-

ковой длины l образуют фигуру, изображенную

на рис. 203. По ним бегают гангстер и полицей-

ский. Максимальная скорость полицейского в 2

раза больше максимальной скорости гангстера.

Полицейский сможет увидеть гангстера, если

он окажется от него на расстоянии, не боль-

шем r. Доказать, что полицейский всегда может поймать

гангстера, если: а) r > l/5; б) r > l/7. (1980.9.4.)

149. На сфере радиуса 1 расположено несколько дуг

больших окружностей (большая окружность — это пересе-

чение сферы с плоскостью, проходящей через ее центр).

442 Дополнение В

Сумма длин всех этих дуг меньше . Доказать, что най-

дется плоскость, проходящая через центр сферы, которая

не пересекается ни с одной из дуг. (1980.10.5.)

150. На двух равных круглых листах бумаги художник

нарисовал одинаковых драконов. Оказалось, что на пер-

вом листе глаз дракона совпал с центром круга, а на вто-

ром — не совпал. Доказать, что второй лист бумаги можно

разрезать на такие две части, чтобы из них удалось сло-

жить круг того же радиуса с тем же драконом, но чтобы

его глаз уже находился в центре круга. (1981.7.3.)

151. В квадрате ABCD находятся 5 точек. Доказать,

что расстояние между какими-то двумя из них не пре-

восходит AC/2. (1982.7.2.)

152. Внутри правильного шестиугольника находится

другой правильный шестиугольник с вдвое меньшей сто-

роной. Доказать, что центр большого шестиугольника

лежит внутри малого шестиугольника. (1982.10.5.)

153. Двум друзьям необходимо попасть в соседний го-

род. У них есть один велосипед, на котором может ехать

только один человек. Каково минимальное время, за кото-

рое оба могут добраться до города (считая по последнему

прибывшему), если скорости пешеходов u

и u

, их ско-

рости на велосипеде v

и v

, расстояние до города равно

S (они могут возвращаться и оставлять велосипед друг

другу)? (1983.7.4.)

154. Докажите, что сумма расстояний от центра пра-

вильного семиугольника до всех его вершин меньше сум-

мы расстояний до них от любой другой точки. (1984.8.3.)

155. За дядькой Черномором выстроилось чередой бес-

конечное число богатырей. Доказать, что он может при-

казать части из них выйти из строя так, чтобы в строю

осталось бесконечно много богатырей и все они стояли по

росту (не обязательно в порядке убывания роста).

(1985.8.4.)

156. В некоторой стране 1985 аэродромов. С каждог о

из них вылетел самолет и приземлился на самом удален-

ном от места старта аэродроме. Могло ли случиться, что

в результате все 1985 самолетов оказались на 50 аэродро-

мах? (Землю можно считать плоской, а маршруты прямы-

ми.) (1985.9.2.)

Избранные задачи 1935—1992 г. 443

157. Квадратное поле разбито на 100 одинаковых участ-

ков, 9 из которых поросли бурьяном. Известно, что бу-

рьян за год распространяется на те и только те участки,

у каждого из которых не менее двух соседних участков

уже поражены бурьяном (участки соседние, если они име-

ют общую сторону). Докажите, что полностью все поле

бурьяном не зарастет. (1986.8.4.)

158. Али-Баба и 40 разбойников решили разделить

клад из 1987 золотых монет следующим образом: первый

разбойник делит весь клад на две части, затем второй

разбойник делит одну из частей на две части и т. д. После

40-го деления первый разбойник выбирает наибольшую из

частей, затем второй разбойник выбирает наибольшую

из оставшихся частей и т. д. Последняя, 41-я часть

достается Али-Бабе. Для каждого из 40 разбойников

определить, какое наибольшее количество монет он может

себе обеспечить при таком дележе независимо от действий

других разбойников. (1987.7.5.)

159. На плоскости даны две перпендикулярные прямые.

С помощью кронциркуля укажите на плоскости три точ-

ки, являющиеся вершинами равностороннего треугольника.

Кронциркуль — это инструмент, похожий на циркуль, но на

концах у него две иголки. Он позволяет переносить одинако-

вые расстояния, но не позволяет рисовать (процарапывать)

окружности, дуги окружностей и делать засечки. (1988.9.3.)

160. Имеется линейка без делений и эталон длины,

позволяющий откладывать некоторое фиксированное рас-

стояние на любой уже проведенной прямой от произволь-

ной точки этой прямой. Как с помощью этих инструмен-

тов и карандаша провести какой-нибудь перпендикуляр к

данной прямой? (1988.10.4.)

161. Проведя наименьшее количество линий (окружно-

стей и прямых с помощью циркуля и линейки), постройте

перпендикуляр к данной прямой, проходящей через дан-

ную точку а) вне этой прямой; б) на ней. (1989.8.3.)

162. Табло, состоящее из 64 лампочек, управляется 64

кнопками; каждая лампочка — с воей кнопкой. За одно

включение можно одновременно нажать любой набор кно-

пок и записать, какие лампочки при этом зажглись. За

какое наименьшее количество включений можно узнать

444 Дополнение В

о всех лампочках табло, какая лампочка какой кнопкой

включается? (1990.8.5.)

163. Имеется шесть одинаковых с виду гирек массой 1,

2, 3, 4, 5 и 6 г соответственно. На гирьках сделали надписи

«1 г», «2 г», «3 г», «4 г», «5 г» и «6 г». Как двумя взве-

шиваниями на чашечных весах без других гирек проверить

правильность всех шести надписей? (1991.8.4.)

164. В клетках таблицы 15 ×15 расставлены ненулевые

числа так, что каждое из них равно произведению всех

чисел, стоящих в соседних клетках (соседними называем

клетки, имеющие общую сторону). Докажите, что все чис-

ла в таблице положительны. (1991.9.5.)

165. Куб размером 10 ×10 ×10 сложен из 500 черных и

500 белых кубиков в шахматном порядке (кубики, примы-

кающие друг к другу гранями, имеют различные цвета).

Из этого куба вынули 100 кубиков так, чтобы в каждом

из 300 рядов размером 1 ×1 ×10, параллельных какому-

нибудь ребру куба, не хватало ровно одного кубика. Дока-

жите, что число вынутых черных кубиков делится на 4.

(1991.10.4.)

166. На прямоугольном экране размером m ×n, разби-

том на единичные клетки, светятся более (m −1)(n −1)

клеток. Если в каком-либо квадрате 2 ×2 не светятся три

клетки, то через некоторое время погаснет и четвертая.

Докажите, что тем не менее на экране всегда будет све-

титься хотя бы одна клетка. (1991.11.5.)

167. Каждый участник двухдневной олимпиады в пе р-

вый день решил столько же задач, сколько все остальные

в сумме — во второй день. Докажите, что все участники

решили поровну задач. (1992.8.3.)

168. В центре квадратного пирога находится изюминка.

От пирога можно отрезать треугольный кусок по линии,

пересекающей в точках, отличных от вершин, две сосед-

ние стороны; от оставшейся части пирога — следующий

кусок (таким же образом) и т. д. Можно ли отрезать изю-

минку? (1992.9.3.)

169. Всегда ли ребра выпуклого многогранника можно

раскрасить в два цвета так, чтобы у каждой грани коли-

чества ребер разных цветов отличались не более чем на 1?

(1992.11.5.)

ДОПОЛНЕНИЕ Г

Задачи LXIX олимпиады (2006 г.)

8 к л а с с

1. В олимпиаде участвовали 2006 школьников. Оказалось, что

школьник Вася из всех шести задач решил только одну, а число

участников, решивших

— хотя бы 1 задачу, в 4 раза больше, чем решивших хотя бы 2;

— хотя бы 2 задачи, в 4 раза больше, чем решивших хотя бы 3;

— хотя бы 3 задачи, в 4 раза больше, чем решивших хотя бы 4;

— хотя бы 4 задачи, в 4 раза больше, чем решивших хотя бы 5;

— хотя бы 5 задач, в 4 раза больше, чем решивших все 6.

Сколько школьников не решили ни одной задачи?

2. В клетках таблицы 3 ×3 расставлены числа так, что сумма чисел

в каждом столбце и в каждой строке равна нулю. Какое наименьшее

количество чисел, отличных от нуля, может быть в этой таблице, если

известно, что оно нечетно?

3. Треугольники ABC и A

— равнобедренные прямоугольные

(стороны AB и A

— гипотенузы). Известно, что C

лежит на BC,

лежит на AB, а A

лежит на AC. Докажите, что AA

= 2CC

4. Девять одинаковых по виду монет расположены по кругу. Пять

из них настоящие, а четыре — фальшивые. Никакие две фальшивые

монеты не лежат рядом. Настоящие монеты весят одинаково, и фаль-

шивые — одинаково (фальшивая монета тяжелее настоящей). Как

Рис. 204

за два взвешивания на чашечных ве-

сах без гирь определить все фальши-

вые монеты?

5. Серёжа придумал фигуру, ко-

торую легко разрезать на две части

и сложить из них квадрат (рис. 204).

Покажите как по-другому разре-

зать эту фигуру на две части, из ко-

торых тоже можно сложить квадрат.

6. Каждую неделю Ваня получает ровно одну оценку («3», «4»

или «5») по каждому из семи предметов. Он считает неделю удачной,

если количество предметов, по которым оценка улучшилась, превыша-

ет хотя бы на два количество предметов, по которым оценка ухудши-

лась. Оказалось, что N недель подряд были удачными, и в последнюю

из них оценка по каждому предмету в точности совпала с оценкой пер-

вой недели. Чему могло равняться число N? (Найдите все варианты.)

9 к л а с с

1. Васе на 23 февраля подарили 777 конфет. Вася хочет съесть все

конфеты за n дней, причем так, чтобы каждый из этих дней (кроме

первого, но включая последний) съедать на одну конфету больше, чем

в предыдущий. Для какого наибольшего числа n это возможно?

446 Дополнение Г

2. На олимпиаде m > 1 школьников решали n > 1 задач. Все школь-

ники решили разное количество задач. Все задачи решены разным

количеством школьников. Докажите, что один из школьников решил

ровно одну задачу.

3. Дан остроугольный треугольник ABC. На сторонах AB и BC во

внешнюю сторону построены равные прямоугольники ABMN и LBCK

так, что AB = KC. Докажите, что прямые AL, NK и MC пересекаются

в одной точке.

4. В выражении (x

+ x

−3x

+ x + 2)

2006

раскрыли скобки и приве-

ли подобные слагаемые. Докажите, что при некоторой степени пере-

менной x получился отрицательный коэффициент.

5. Назовем тропинкой замкнутую траекторию на плоскости, состо-

ящую из дуг окружностей и проходящую через каждую свою точку

ровно один раз. Приведите пример тропинки и такой точки M на ней,

что любая прямая, проходящая через M, делит тропинку пополам, то

есть сумма длин всех кусков тропинки в одной полуплоскости равна

сумме длин всех кусков тропинки в другой полуплоскости.

6. Учитель заполнил клетчатую таблицу 5 ×5 различными целыми

числами и выдал по одной ее копии Боре и Мише. Боря выбирает

наибольшее число в таблице, затем вычеркивает строку и столбец,

содержащие это число, затем выбирает наибольшее число из остав-

шихся, вычеркивает строку и столбец, содержащие это число, и т. д.

Миша производит аналогичные операции, каждый раз выбирая наи-

меньшие числа. Может ли учитель так заполнить таблицу, что сумма

пяти чисел, выбранных Мишей, окажется больше суммы пяти чисел,

выбранных Борей?

10 к л а с с

1. Один из двух приведенных квадратных трехчленов имеет два

корня меньших тысячи, другой — два корня больших тысячи. Может

ли сумма этих трехчленов иметь один корень меньший тысячи, а

другой — больший тысячи?

2. Может ли сумма тангенсов углов одного треугольника равнять-

ся сумме тангенсов углов другого, если один из этих треугольников

остроугольный, а другой тупоугольный?

3. Можно ли замостить все пространство равными тетраэдрами, все

грани которых — прямоугольные треугольники?

4. В коробке лежат карточки, занумерованные натура льными чис-

лами от 1 до 2006. На карточке с номером 2006 лежит карточка

с номером 2005 и т. д. до 1. За ход разрешается взять одну верхнюю

карточку (из любой коробки) и переложить ее либо на дно пустой

коробки, либо на карточку с номером на единицу больше. Сколько

пустых коробок нужно для того, чтобы переложить все карточки в

другую коробку?

5. Натуральное число n таково, что 3n + 1 и 10n + 1 являются квад-

ратами натуральных чисел. Докажите, что число 29n + 11 — составное.

6. Дан треугольник ABC и точки P и Q, лежащие на его описанной

окружности. Точку P отразили относительно прямой BC и получили

Задачи LXIX олимпиады (2006 г.) 447

точку P

. Точку пересечения прямых QP

и BC обозначим A

. Точки

и C

строятся аналогично. Докажите, что точки A

, B

и C

лежат

на одной прямой.

11 к л а с с

1. Какие значения может принимать разность возрастающей ариф-

метической прогрессии a

, a

, . .. , a

, все члены которой принадлежат

отрезку [0; 3 /2], если числа cos a

, cos a

, а также числа sin a

sin a

и sin a

в некотором порядке тоже образуют арифметические

прогрессии.

2. Найти все несократимые дроби a/b, представимые в виде b,a

(запятая разделяет десятичные записи натуральных чисел b и a).

3. Можно ли намотать нерастяжимую ленту на бесконечный конус

так, чтобы сделать вокруг его оси бесконечно много оборотов? Ленту

нельзя наматывать на вершину конуса, а также разрезать и перекру-

чивать. При необходимости можно считать, что она бесконечна, а угол

между осью и образующей конуса достаточно мал.

4. Алиса и Базилио играют в следующую игру; из мешка, пер-

воначально содержащего 1331 монету, они по очереди берут монеты,

причем первый ход делает Алиса и берет 1 монету, а далее при каждом

следующем ходе игрок берет (по своему усмотрению) либо столько же

монет, сколько взял другой игрок последним ходом, либо на одну

больше. Проигрывает тот, кто не может сделать очередной ход по

правилам. Кто из игроков может обеспечить себе выигрыш независимо

от ходов другого?

5. На биссектрисе данного угла фиксирована точка. Рассматрива-

ются всевозможные равнобедренные треугольники, у которых вершина

находится в этой точке, а концы оснований лежат на разных сторо-

нах этого угла. Найти геометрическое место середин оснований таких

треугольников.

6. Все имеющиеся на складе конфеты разных сортов разложены

по n коробкам, на которые установлены цены в 1, 2, .. ., n у. е.

соответственно. Требуется купить такие k из этих коробок наименьшей

суммарной стоимости, которые содержат заведомо не менее k/n массы

всех конфет при одном лишь условии, что масса конфет в любой

коробке не превосходит массы конфет в любой более дорогой коробке

а) Какие коробки следует купить при n = 10 и k = 3?

б) Тот же вопрос для произвольных натуральных n > k.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

Д л я н а ч и н а ю щ и х

[1] Б о л л У. , К о к с т е р Г. Математические эссе и развлечения. —

Мир, 1986.

[2] И г н а т ь е в Е. И. В царстве смекалки. — М.: Наука, 1978.

[3] К о з л о в а Е. Г. Сказки и подсказки. Задачи для математическо-

го кружка. — М.: МЦНМО, 2004.

[4] К о р д е м с к и й Б. А. Математическая смекалка. — Юниасм,

МДС, 1994.

[5] П р о и з в о л о в В. В. Задачи на вырост. — М.: Бюро Квантум,

2003. — (Приложение к журналу «Квант», № 3, 2003).

[6] С а в и н А. П. Занимательные математические задачи. — М.: АСТ,

1995.

[7] С п и в а к А. В. Тысяча и одна задача по математике. — М.: Про-

свещение, 2002.

[8] У ф н а р о в с к и й В. А. Математический аквариум. — Ижевск:

НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2000.

[9] Ш т е й н г а у з Г. Математический калейдоскоп. — М.: Наука,

1981.

[10] Я щ е н к о И. В. Математический праздник. — М.: МЦМНО,

2005.

К н и г и о м а т е м а т и к е и м а т е м а т и к а х

[11] А н о с о в Д. В. Взгляд на математику и нечто из нее. — М.:

МЦНМО, 2003. — (Библ. «Математическое просвещение», вып. 3).

[12] Б о л и б р у х А. А. Проблемы Гильберта (100 лет спустя). — М.:

МЦНМО, 1999. — (Библ. «Математическое просвещение», вып. 2).

[13] В а с и л ь е в Н. Б. Избранные статьи. — М.: Бюро Квантум,

1998. — (Приложение к журналу «Квант», № 6, 1998).

[14] Г а р д н е р М. Математические досуги. — М.: Мир, 2000.

[15] Г и н д и к и н С. Г. Рассказы о физиках и математиках. — М.:

МЦНМО, 2001.

[16] Д ы н к и н Е. Б., У с п е н с к и й В. А. Математические бесе-

ды. — М.: Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика»,

2002.

[17] К л е й н Ф. Элементарная математика с точки зрения высшей. —

М.: Наука, 1987.

[18] К о л м о г о р о в А. Н. Математика — наука и профессия. — М.:

Наука, 1988. — (Библ. «Квант», вып. 64).

[19] К у р а н т Р., Р о б б и н с Г. Что такое математика? Элементар-

ный очерк идей и методов. — М.: МЦНМО, 2004.

Многие из приведенных здесь книг вы можете найти в электронной

форме на сайте www.math.ru.

Список литературы 449

[20] Р а д е м а х е р Г., Т е п л и ц О. Числа и фигуры (опыты мате-

матического мышления). — М.: НИЦ «Регулярная и хаотическая

динамика», 2000.

[21] С и н г х С. Великая теорема Ферма. — М.: МЦНМО, 2000.

[22] Т и х о м и р о в В. М. Великие математики прошлого и их ве-

ликие теоремы. — М.: МЦНМО, 2003. — (Библ. «Математическое

просвещение», вып. 1).

Э л е м е н т а р н о о в ы с ш е й м а т е м а т и к е

[23] А л е к с а н д р о в П. С. Введение в теорию групп. — М.: Наука,

1980. — (Библ. «Квант», вып. 7).

[24] А л е к с е е в В. Б. Теорема Абеля в задачах и решениях. — М.:

МЦНМО, 2001.

[25] Б о л т я н с к и й В. Г., Е ф р е м о в и ч В. А. Наглядная тополо-

гия. — М.: Наука, 1982. — (Библ. «Квант», вып. 21).

[26] Б у г а е н к о В. О. Уравнения Пелля. — М.: МЦНМО, 2001. —

(Библ. «Математическое просвещение», вып. 13).

[27] В а с и л ь е в Н. Б., Г у т е н м а х е р В. Л. Прямые и кривые. —

М.: МЦНМО, 2004.

[28] В и л е н к и н Н. Я. Рассказы о множествах. — М .: МЦНМО,

2004.

[29] В и н о г р а д о в И. М. Основы теории чисел. — М.: Наука, 1981.

[30] К а л у ж н и н Л. А. Основная теорема арифметики. — М.: Наука,

1969. — (Популярные лекции по математике, вып. 47).

[31] К а н т о р И. Л., С о л о д о в н и к о в А. С. Гиперкомплексные

числа. — М.: Наука, 1973.

[32] О к с т о б и Д ж. Мера и категория. — М.: Мир, 1974.

[33] Р и д М. Алгебраическая геометрия для всех. — М.: Мир, 1991.

[34] С м и р н о в С. Г. Прогулки по замкнутым поверхностям. —

М.: МЦНМО, 2003. — (Библ. «Математическое просвещение»,

вып. 27).

[35] Я г л о м А. М., Я г л о м И. М. Неэлементарные задачи в эле-

ментарном изложении. — М.: Наука, 1954.

[36] Я щ е н к о И. В. Парадоксы теории множеств. — М.: МЦНМО,

2002. — (Библ. «Математическое просвещение», вып. 20).

Р а з н ы е к н и г и

[37] В о р о б ь е в Н. Н. Числа Фибоначчи. — М.: Наука, 1992. — (По-

пулярные лекции по математике, вып. 6).

[38] Г и к Е. Я. Математика на шахматной доске. — М.: Наука, 1976.

[39] Г и л ь б е р т Д., К о н - Ф о с с е н С. Наглядная геометр ия. — М.:

Наука, 1981.

[40] Г о р д и н Р. К. Это должен знать каждый матшкольник. — М.:

МЦНМО, 2004.

[41] Д о л б и л и н Н. П. Жемчужины теории многогранник ов. — М.:

МЦНМО, 2000. — (Библ. «Математическое просвещение», вып. 5).

450 Список литературы

[42] К о к с е т е р Г. С., Г р е й т ц е р С. Л. Новые встречи с геомет-

рией. — М.: Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика»,

2002.

[43] Л и н д г р е н Г. Занимательные задачи на разрезание. — М.: Мир,

1977.

[44] М о с т е л л е р Ф. Пятьдесят занимательных вероятностных задач

с решениями. — М.: Наука, 1985.

[45] О р е О. Графы и их применение. — М.: Эдиториал УРСС, 2002.

[46] П р а с о л о в В. В. Задачи по планиметрии. — М.: МЦНМО, 2006.

[47] П р а с о л о в В. В., Ш а р ы г и н И. Ф. Задачи по стереомет-

рии. — М.: Наука, 1989.

[48] Т а б а ч н и к о в С. Л. Многочлены. — М.: Фазис, 1996.

[49] Ф е й н м а н Р., Л е й т о н Р., С е н д с М. Фейнмановские лек-

ции по физике. — М.: Эдиториал УРСС, 2004.

[50] Ш к л я р с к и й Д. О., Ч е н ц о в Н. Н., Я г л о м И. М. Избран-

ные задачи и теоремы элементарной математики. (Алгебра, пла-

ниметрия, стереометрия). — М.: Наука, 2000.

[51] Ш к л я р с к и й Д. О., Ч е н ц о в Н. Н., Я г л о м И. М. Геомет-

рические неравенства и задачи на максимум и минимум. — М.:

Наука, 1970.

[52] Энциклопедический словарь юного математика / Сост. А. П. Са-

вин. — М.: Педагогика, 1985.

[53] Энциклопедия элементарной математики / Под ред. П. С. Алек-

сандрова, А. И. Маркушевича, А. Я. Хинчина. — М.—Л.: ГТТИ,

1951, 1952; — М.: Физматгиз, 1963; — М.: Наука, 1966.

С б о р н и к и о л и м п и а д н ы х з а д а ч

[54] Б е р л о в С. Л., И в а н о в С. В., К о х а с ь К. П. Петербург-

ские математические олимпиады. — СПб.: Лань, 2003.

[55] Б у г а е н к о В. О. Турниры им. Ломоносова (конкурсы по мате-

матике). — М.: МЦНМО, ЧеРо. 1998.

[56] В а с и л ь е в Н. Б., Г у т е н м а х е р В. Л., Р а б б о т Ж. М.,

Т о о м А. Л. Заочные математические олимпиады. — М.: Наука,

1987.

[57] В а с и л ь е в Н. Б., Е г о р о в А. А. Задачи Всесоюзных матема-

тических олимпиад. — М.: Наука, 1988.

[58] Г а л ь п е р и н Г. А., Т о л п ы г о А. К. Московские математиче-

ские олимпиады. — М.: Просвещение, 1986.

[59] Г о р б а ч е в Н. В. Сборник олимпиадных задач по математике. —

М.: МЦНМО, 2005.

[60] Д о р и ч е н к о С. А., Я щ е н к о И. В. LVIII Московская мате-

матическая олимпиада: сборник подготовительных задач. — М.:

ТЕИС, 1994.

[61] Зарубежные математические олимпиады / Под ред. И. Н. Сергее-

ва. — М.: Наука, 1987.

[62] К а н е л ь - Б е л о в А. Я., К о в а л ь д ж и А. К. Как решают

нестандартные задачи. — М.: МЦНМО, 2004.