специальной задаче выпуклого программирования позволяла, с
одной стороны, использовать разнообразные известные вычис-
лительные методы из бурно развивающейся области, а с дру-
гой — начать качественное исследование оптимального управ-
ления [40, 44, 87]. Метод Красовского интенсивно развивался в
работах [26—28, 32, 34, 35, 86, 96—98, 125]. С историей этого
вопроса можно познакомиться в [44].
Другой метод редукции задач вариационного типа к задачам
конечномерного выпуклого программирования основан на тео-
реме об отделимости выпуклых множеств. Элементы этого под-
хода содержатся уже в работе Беллмана, Гликсберга, Гросса
[16,
142]. Затем они использовались Нойштадтом
[167],
Ито-
ном
[149].
В наиболее полном виде новый подход (для частной
задачи) был разработан независимо Антосевичем [139] и для
общих задач оптимизации линейных систем — авторами обзора
[36,44].
Основное отличие метода Красовского от метода, основан-
ного на отделимости выпуклых множеств, состоит в следующем.
В методе Красовского главным фактом является линейность
преобразования, которое осуществляется над управлениями в
системах вида
x=A(t)x+B(t)u. (l)
Это позволяет трактовать задачу оптимизации как L-проблему
моментов из линейного функционального анализа.
В методе [36, 44] используется другое, более глубокое, свой-
ство систем (1), которое определяется только линейностью сис-
темы по х и не зависит от вида неоднородности. Это свойство,
отмеченное уже в § 3, состоит в том, что множество достижи-
мости систем
x=A(t)x+b(u, t), u(t) QU, (2)
выпукло даже для нелинейных функций b(u, t) и невыпуклых
множеств U.
Если подходить к сравнению двух методов с точки зрения
«пространства аргументов»
[111],
то можно отметить следую-
щее:
в методе Красовского построения ведутся в пространстве
управлений (так же, как в вариационном исчислении, в методе
Дубовицкого—Милютина, и т. п.), а в методе [36, 44] построе-
ния ведутся в пространстве состояний'.(образов; как в выпук-
лом программировании, принципе максимума и т. п.).
Выпуклость множеств достижимости позволяет применить к
исследованию оптимальных управлений другие методы. Их опи-
сание и история приведены в [44].
В данном параграфе излагаются элементарные моменты двух
методов.
1.
Метод Красовского. Пусть поведение системы в n-Mep-
лом пространстве описывается уравнением (1). Допустимыми
189