Габасов Р., Кириллова Ф.М. Методы оптимального управления

Подождите немного. Документ загружается.

При попытке перенесения техники доказательства принципа

максимума (см. § 1) на задачу (1) нетрудно обнаружить, что

•из-за дискретности времени нельзя построить конус достижи-

мости, аппроксимирующий множество достижимости. По той же

причине He удается доказать дискретный аналог принципа мак-

симума и методами §§ 2—4. Как впервые показано А. Г. Бут-

ковским [28], это вызвано не недостатками существующих ме-

тодов, а тем, что дискретный принцип максимума в общем слу-

чае не имеет места.

После ряда попыток доказательства локальных необходи-

мых условий оптимальности (историю вопроса см. в [33]) был

.доказан следующий результат: если

u°(t),

tQ[t

, t

— 1],

—

оптимальное управление,

x°(t),

t&[t

, t1], —оптимальная

траектория, ty°(t), tQ[t

, t

— \] — решение уравнения

wu i).- dff(x4t),r(t), «-(0. t) .„^ jx

aq>(.t-(fi))

)

H (x,

IJJ,

it, t)—Yf(x, «> i),

то выполняется условие [9, 38, 41]:

H (л

(/), f (0, «° (t), t) =maxИ (x°(t), f (^),

ttj

t)\ (3)

где a (if)-—подмножество из U (t), которое строится вдоль

u°(t).

Если множество

{y:y = f(JtP(t),u, t), tteU(t)} (4)

выпукло, то, a{l)—U(t) и соотношение (3) переходит в условие

максимума. Другие случаи, когда справедлив дискретный прин-

цип максимума, описаны в [23, 28, 33, 119, 146].

Новый тип необходимых условий оптимальности для систем,

полученных дискретизацией непрерывных систем, доказан в

[37],

Оказывается, для любого е>0 существует такая точность

дискретизации, что дискретное оптимальное управление удов-

летворяет принципу е-максимума:

Л (xo (t), f

(*),

и° (*), t) > Н (x° (0, f (t), a, t) —

для всех uQU(t

Исследования {40, 47, 112] показали, что дискретный при!

цип максимума тесно связан с вопросом существования опти

малы-юго управления (см. приложение) в соответствующей неп-

рерывной системе.

Учет ограничений на фазовую траекторию. При исследо-

вании дискретных систем с выпуклым множеством (4) можно

использовать методы из §§ 1—4. Каждый из ЭТИХ методов для за-

дач с ограничениями на фазовые координаты приводит к дис-

кретному принципу максимума, который в отличие от результа-

та п. 1 содержит условия трансверсальности, по форме совпа-

дающие с аналогичными условиями из §§ 1—4. Подробности

•описаны в [23, 40, 119, 146].

13-7988 193

ОПТИМАЛЬНОЕ УПРАВЛЕНИЕ СИСТЕМАМИ

С ПОСЛЕДЕЙСТВИЕМ

Принцип максимума

Л. С.

Понтрягина

уже в 1961 г. был пе-

ренесен

[131] на

задачи оптимизации объектов управления, опи-

сываемых обыкновенными дифференциальными уравнениями

запаздывающим аргументом. Впоследствии проблема необходи-'

мых условий оптимальности

системах

последействием иссле-

довалась

во

многих работах

[7, 45, 62, 73, 109, 140, 141,

153]..

Принципиальный результат этих исследований заключается

в.

том,

что

необходимое условие оптимальности

каждой системе

имеет форму глобального принципа максимума, если поведение

системы

определенном смысле непрерывно зависит

от

возму-

щающих параметров.

1. Система

постоянным запаздыванием. Рассмотрим систе-

му

x(t)~f(x(t),x(t~h),u(t), /), *б7-[-о.

(1>

x(t) = w(t), i

—

h<t<,i

, x(t

)~x

где х—n-вектор, и—г-вектор,

— скаляр (время),

h>0 — за-

паздывание.

Основное отличие системы

(1) от

обыкновенной системы

из

состоит

в том, что

пространство состояний системы

уже не

конечномерно. Однако

для

задачи оптимального управления,,

рассмотренной

[131],

это

обстоятельство несущественно,

В качестве класса допустимых управлений возьмем

мно

жество г-мерных кусочно непрерывных функций

u(t),t£T,

co.

значениями

из

множества

(t)eu.

На правый конец траектории

x(t), tQT,

системы наложим;

ограничение

*(/i)GS,

где 5—гладкое многообразие

в R,

Пусть качество допус-

тимого управления, переводящего траекторию системы

(1) на

множество

оценивается функционалом

J(u)^\fo(x(t), x{t-~h),u{t), t)di. (2>

'и

Найдем управление u°(t),

на

котором величина

(2)

минималь-

на.

Нетрудно проверить,

что

техника

§ 1

полностью переносится

на сформулированную задачу

приводит

следующему резуль-

тату (впервые полученному

Г, Л.

Харатишвили [131]).

Теорема,

Для

оптимального управления

u°(t) и

соответ-

ствующей оптимальной траектории -х°(г.) существуют число

фо>

решение i|)°(/) сопряженного уравнения

194

фО(0

dff(x»(t), x*(t—h), -ф

(t), u°(t), t) _

-dH(x° (t + h),

x«

(t), ip (t + h),

u°

(t + h), t + h )

*6[*o. ii — h],

dH(x°(t), x*(t—h),

y*(t),

K-(Q,

(3)

бл

te[*i—Mil.

(4)

касательной плоскости к

HC*,

У,

Ф,

й,

= Yf{x,

У,

и,

Фо/оС*.

у, a, t),

такие, что:

1) выполняется условие максимума

H(jfi(t),

x°(t-h), -f(t), «°(t), t) =

- шах Я

(x°

(0, x<>(t-h), f

(/),

'а, 0.

2) вектор ip°(ii) ортогонален

многообразию S в точке .x°(ti),

з)

\b\+H(i)\\^o,teT.

Системы с последействием. Продолжая исследования

Г. Л . Харатишвили, многие авторы с помощью методов из

§§ 1—4 исследовали оптимальные управления в разнообразных

системах с последействием, частным случаем которых является

система с запаздыванием (1).

Исследования [5, 40, 62, 109, 140, 153] показали, что прин-

цип максимума Понтрягина можно перенести на системы

с последействием, решения которых в некотором смысле непре-

рывно зависят от параметров. Системы с последействием нейт-

рального типа

x(t)**f(x(i),

x(t

—

h),

x(t

—

h),

u(t), t)

указанным свойством не обладают и

ДЛЯ

них принцип максиму-

ма в общем случае не имеет места.

Уже из (3) видно, что сопряженная система заметно слож-

нее аналогичной системы из § 1. С усложнением систем с после-

действием структура сопряженных систем усложняется, Стано-

вится более сложным и условие максимума (4). В работе [39]

найдена новая форма представления необходимых условий оп-

тимальности первого порядка, которые одинаково просто запи-

сываются для всех систем с последействием. Подробное изло-

жение этого вопроса приведено в [45].

§ 8. ОСОБЫЕ УПРАВЛЕНИЯ И УСЛОВИЯ

ОПТИМАЛЬНОСТИ ВЫСОКОГО ПОРЯДКА

Из самого определения необходимых условий оптимальности

видно, что сила того или иного конкретного условия тем выше,

чем меньше иеоптимальных управлений ему удовлетворяет.

В этом смысле самыми СИЛЬНЫМИ необходимыми условиями яв-

13*

195

ляются условия, совпадающие с достаточными условиями опти-

мальности. Как показала история двадцати лет развития мето-

дов оптимального управления, принцип максимума Понт-

рягина содержит самые сильные необходимые условия опти-

мальности первого порядка. Однако уже простейшие примеры

показывают

[118],

что он далек от достаточных условий опти-

мальности. Это и не удивительно, поскольку при анализе допу-

стимого управления с помощью принципа максимума (см. § 1)

используется лишь ограниченная информация о поведении оп-

тимизируемой системы (например, в принципе максимума для

простейшей задачи терминального управления используется по-

1 J i.. .. .A df(x, и, t) д(г>(х({,))

ведение функции / (x, и, г), ----—', - --

'-i только вдоль

одного управления tt

—

tt(t) и соответствующей ему одной тра-

ектории x = x(t), i&T). Особенно четко «слабость» принципа

максимума выявляется в тех случаях, когда гамильтониан до-

стигает максимума в нескольких точках и, в частности, совсем

не зависит от параметров управления. Подобные случаи, следуя

£122—124],

называют особыми. Интерес к особым управлениям

•определяется как их местом в практических задачах оптималь-

ного управления [136, 176], так и моделями скользящего режи-

ма, которые возникают на пути математически адекватного опи-

сания реальных процессов

[49—51,

57,

89—91,

93, 94]. Особые

управления, по определению, удовлетворяют необходимым усло-

виям оптимальности первого порядка и поэтому для их анализа

с точки зрения оптимальности нужны условия оптимальности

второго и более высокого порядка.

История развития теории особых управлений и основные ре-

зультаты этой теории изложены в

[49—51,

43]. Мы ограничимся

лишь простейшими сведениями. .

Особое управление. Рассмотрим задачу

X = f(X, U, t), x(/

) —x

, /6Т =

[<0|

'l].

/(w)-=cp(x(^)){to}mln, K(t)6t/. (1)

xGR

ttGJRr-

Кусочно непрерывная г-мерная функция u(t), t£T, называ-

ется управлением, особым на участке асТ, если найдется

множество o.cU, «>\и(О¥=0> ^6

такое, что для всех ix-jo.

выполняется тождество

H(x(t),

«НО, *, t)*aH{x(t), «Kt), tt(t), t), tea, (2)

где x(t) — траектория системы (1), ty (t)

—

решение уравнения

,i,

dH(x(i), ц>,а(0,0 .,./

АР

(-«(Л))

Тождество (2) служит для вычисления особых управлений:

производя последовательное дифференцирование по

полу-

чим уравнения для u{t). Если

•

f(x,u,

t) = f(x,

0+2/,(x,

t)th,

(3>

..=-1

то удобным аппаратом исследования является аппарат ско-

бок Пуассона

[49--51,

43, 105].

Первые необходимые условия оптимальности особых уп-

равлений получены для случая, когда-U —открытое множест-

во,

выполняется (3). С помощью двухсторонних иголь-

чатых вариаций

v, tefc -+е),

Att(t) =

j—".

te[- +

'•+2e),

, о, ie[-, ^+2s),

в работе [82] получено условие

д d* dH(x(t),

x\i(t),

u{t),

t) .

ди

<и

• ди ^ '

*•

ЕСЛИ

вдоль особого оптимального управления

tt(t)

условие

(4) обращается

тождество, то для оптимальности управле-

ния необходимо, чтобы [83]

д_ d* dffjxjt), ^ jt),

(Q.

ди di*

~дй ^

u и

Для получения каждого нового условия используется новый

тип вариаций, представляющих определенную связку из конеч-

ного числа игольчатых вариаций.

Эти результаты

работе [152] обобщены

на

многомерный

случай (г>1). Оказалось, что среди необходимых условий опти-

мальности теперь, кроме условий типа неравенства (4), будут и

условия типа равенства. Например, для оптимальности особого

управления u{t) необходимо, чтобы все коэффициенты при

и и

свободные члены в системе уравнений

d dH(

(t), i|i(Q,

и, t) _

ди

были равны нулю. Несмотря на ряд интересных результатов '[8,

10,

29,

49—51,

65, 80, 152] многие вопросы

теории многомер-

ных особых управлений еще не нашли ответа. В частности, от-

крыт вопрос

методе вычислений особых оптимальных управ-

лений.

При исследовании особых управлений

случае, когда U—•

открытое или выпуклое множество, универсальным оказался

метод пакета вариаций [48]. Новые результаты

этом направ-

лении получены В. А. Срочко [127, 128].

197

Особые оптимальные управления в задачах с замкнутым

множеством U изучались в работах [13—15, 43]. Методом при-

ращений (см. § 2) с помощью игольчатых вариаций было до-

казано необходимое условие оптимальности особого управления:

V'(-*

(-).

«40.

t)w*(t)Lj(x°(t),

и«(о,

0 +

для Bcex'-agtu, igo. Здесь nx «-матричная функция

\F°

(i)-- ре-

шение уравнения

Wo_.=

-*П*-(0.

«'(0.

vj-o_iro a/(*°(Q. и"(0. О_

ал»

Условия оптимальности особых управлений в задачах с

ограничениями на правый конец траектории. Построение тео-

рии особых оптимальных управлений в задачах с краевыми ус-

ловиями встретило серьезные трудности. В этой области полу-

чены лишь частные результаты [67]. В последнее время

С. Я. Гороховик и В. В. Гороховик развивают новый подход к

ЭТИМ задачам, основанный на методах векторной оптимизации

[66].

Особые точки. Если под особым элементом задачи оити-

изации понимать элемент, на котором необходимое условие

птимальности первого порядка вырождается, то особой точкой

ятимального управления a°(t), t&T, можно назвать такой мо-

мент т

Т,

в который максимум гамильтониана достигается на

более чем одной точке

и 6

Примером особых точек являются

точки переключения оптимального управления. Особые точки

можно рассматривать как моменты сопряжения неособых участ-

ков оптимального управления. В [43] показано, что в некото-

рых задачах неоптималыюсть иеособого допустимого управле-

ния, удовлетворяющего принципу максимума, определяется тем,

что в особых точках не выполняются необходимые условия оп-

тимального сопряжения. Первые результаты в атом направле-

нии содержатся в [43], но проблема еще серьезно не исследова-

лась.

Напомним, что в классическом вариационном исчислении

смысл условий сопряжения имеют условия Вейерштрасса--Эрд-

мана.

Условия оптимальности высокого порядка для неособых

управлений. Как уже отмечалось выше, потребность в дальней-

шем развитии теории необходимых условий оптимальности вы-

зывается тем, что известные иеобходимые условия «далеки» от

198

достаточных условий оптимальности. Если иметь в виду те фор-

мы условий (и необходимых и достаточных), которые в настоя-

щее время общеприняты, то процесс совершенствования усло-

вий (как необходимых, так и достаточных) может идти беско-

нечно. Однако с точки зрения современных потребностей,

достаточно, по-видимому, построить теорию необходимых усло-

вии оптимальности второго порядка- Эта проблема оказалась

чрезвычайно трудной и, несмотря на ряд серьезных усилий [99,

174],

не имеет заметных положительных результатов. Первые

результаты по необходимым условиям оптимальности второго

.порядка приведены в [52, 43, 159].

БИБЛИОГРАФИЯ

Альсевич В. В., Минимизация негладких функций иа множестве конеч-

ных состояний динамической системы. Дифференц- уравнения, 1974, 10,

№ 2, 349—350 (РЖМат, 1974, 6Б633)

•2.

—, Задача терминального управления с иедиффереицируемым критери-

ем качества- В сб. «Дифференц. и интегральные уравнения». Вып. 2.

Иркутск, 1973, 81—87 (РЖМат, 1975, 1Б795)

-3.

Андриенко А. Я., Иванов В. П., Петров Б. Н., Портнов-Соко-

ло в Ю. П., Вопросы теории терминальных систем управления. (Обзор).

Автоматика и телемеханика, 1974, № 5, 44—60 (РЖМат, 1974, 9Б708)

Андронов А. А., Собрание трудов. М„ АН СССР, 1956, 538 с.

Ахиев С. С, Ахмедов К. Т., К более общему понятию сопряженного

уравнения для системы дифференциальных уравнений с запаздывающим

аргументом нейтрального типа. АзССР Елмлэр Акад. хэбэрлэри. Физ.-

техн. ва puiaanjjaT елмлэр и сер.. Изв. АН АзССР. Сер. физ.-техн. и мат.

н„ 1972, № 3, 126—130 (РЖМат, 1973, 5Б256)

•6.

Ахиезер Н. И., Крени М. Г,, О некоторых вопросах теории моментов.

Харьков, ГОНТИ, 1938, 253 с

7. Ахмедов К- Т., Ахиев С. С, Необходимое условие оптимальности для

некоторых задач теории оптимального управления. Ма'рузэлэр. АзССР

Елмлар Акад., Докл. АН АаСОР, 1972, 28, № 5, 12—46 (РЖМат, 1073,

4Б669)

8. Ащепков Л. Т., Об оптимальности особых управлений в системах с за-

паздыванием. .Сшб. мат. ж.,

4973,

14, № 6, 1180—'Ы88 (РЖМат, 1974,

ЗБ574)

9. —, Г а басов Р., К оптимизации дискретных систем. Дифференц. урав-

нения, 1972, 8, № 6, 1068—1080 {РЖМат, 1972, 9Б512)

10.

—, Эппель Д. С, Аналог условия Келли в оптимальных системах с

запаздыванием. Дифференц. уравнения, 11974, il0,.№4, 591—69i7 (РЖМат,

1974,

8Б523)

11.

Байтман М. М., Синтез оптимальных траекторий на плоскости. Рига,

«Зинатне», 1971, 254 с. (РЖМат, 1971, 12Б770К)

12.

—, О квазирегулярном синтезе. Дифференц. уравнения, 1974, 10, № 4,

598—605 (РЖМат, 1974, 8Б524)

13.

Барбашина Е. Е., Необходимые условия опташальнюспи типа Коша—

Мойера для случая замкнутой области управления. Дифференц..

уравнения, 1973, 9, № 3, 549—552 (РЖМат, 1973, 6Б575)

14.

—, К теории необходимых условий оптимальности второго порядка. I.

Дифференц- уравнения, 1972, 8, № 2, 199—213 (РЖМат, 1972, 6Б509)

15.

—, К теории необходимых условий оптимальности второго порядка. II.

Дифференц. уравнения, 1972, 8, № 5, 751—761 (РЖМат, 1972, 8Б533)

199

16.

Беллмаи Р., Г л «осе

ер г И., Гросс О., Некоторые вопросы матема-

тической теории процессов управления. М., Изд-во ии. лит., 1962, 336 с

(РЖМат, 1963, 7В313К)

17.

Благодатских В. И., Достаточные условия оптимальности для диффе-

ренциальных включений. Изв. АН СССР. Сер. мат., 1974, 38, № 3, 615—

624 (РЖМат, 1974, 9Б693)

18.

Блисс Г. А., Лекции по вариационному исчислению. М., Изд-во ин. лит.,,

1950

19.

Болтянский В. Г., Достаточные условия оптимальности и обоснование

метода динамического программирования. Изв. АН СССР. Сер. мат.,

1964,

28, № 3, 481—514 (РЖМат, 1964, 10Б328)

20.

—, Математические методы оптимального управления. М., «Наука», 1966,

,307 с. (РЖ'Мягг, 1967, 7Б352К)

21.

—, Линейная задача оптимального управления. Дифференц. уравнения.,

1969,

5, № 5, 783—799 (РЖМат, 1969, 12ББ21)

22.

—, Опорный принцип в задачах оптимального управления. Дифференц.

уравнения, 1973, 9, № 8, 1363—1370 (РЖМат, 1973, 12В658)

23.

—, Оптимальное управление дискретными системами. М., «Наука», 1973,

446 с. (РЖМат, 1973, 5Б595К)

24.

—, Метод локальных сечений и опорный принцип. Сб. «Математика на

службе инженера» М., «Знание», 1973

25.

—, Г амкр е л и дз е Р. В., Понтрягин Л. С, К теории оптималь-

ных процессов. Докл. АН СССР, 1966, ПО, № 1, 7—10 (РЖМат, 1957,

8685)

26.

Бондаренко В. И., Красопский Н. Н., Филимонов Ю. М., К за-

даче об успокоении линейной системы. Прикл. мат. и мех., 1965, 29, № 5,

828—834 (РЖМат, 1966, 4Б197)

27.

Бутковский А. Г., Метод моментов в теории оптимального управления

системами с распределенными параметрами. Автоматика и телемеханика»

1963,

24, № 9, 1217—1225 (РЖМат, 1964, ЗВ294)

28.

—, Теория оптимального управления системами с распределенными па-

раметрами. М., «Наука», 1965, 474 с.

29.

Вапнярский И. Б., Теорема существования оптимального управления

в задаче Больца, некоторые ее применения и необходимые условия оп-

тимальности скользящих и особых режимов. Ж. вычисл. мат. и мат.

фнз.,

1967, 7, № 2, 259—283 (РЖМат, 1967, 9Б378)

30.

Величенко В. В., О методе поля экстремалей в достаточных условиях

оптимальности. Ж. вычисл. мат. и мат. физ., 1974, 14, № 1, 45—67

(РЖМат, 1974, 6Б634)

31.

Виноградова Т. К., Демьянов В. Ф., К необходимым условиям в

минимаксных задачах управления. Ж. вычисл. мат. и мат. физ., 1974,.

14,

№ 1, 233—236 (РЖМат, 1974, 6Б632)

32.

Габасов Р., Оптимальные процессы с ограничением по циклам. Докл.

АН СССР, 1962, 144, № 4, 699—702 (РЖМат, 1963, 4В322)

33.

—, К теории оптимальных процессов и дискретных системах. Ж- вычисл.

мат. и мат. физ., 1968, 8, № 4, 780—796 (РЖМат, 1968, 12Б519)

34.

—, Кириллова Ф. М. К оптимальным процессам в связанных систе-

мах. Автоматика и телемеханика, 1963, 24, № 6, 757—764 (РЖМат,.

1963,

12В488)

35.

—,

,06 оптимальном управлении в связанных системах дискретного

типа. Автоматика и телемеханика, 1963, 24, № 7, 900—905

36.

—, —, О решении некоторых задач теории оптимальных процессов.

Автоматика и телемеханика, 1964, 25, № 7, 1058—1066 (РЖМат, 1965,.

1Б390)

37.

—,—, К вопросу о распространении принципа максимума Л. С. Пон-

трягииа па дискретные системы, Автоматика и телемеханика, 1966, 26,.

№ И, 46—51 (РЖМат, 1967, 5Б478)

38.

—, —, К теории необходимых условий оптимальности для дискретных

систем. Автоматика и телемеханика, 1969, 29, № 12, 39—47 (РЖМат,,

1970,

5Б496)

200

39.

—, —, Принцип максимума для оптимизации систем с последействиен'„

Докл. АН СССР, 1970, 194, № 5, 995—998 (РЖМат, 1971, ЗБ341)

40.

—,—, Качественная теория оптимальных процессов. М„ «Наука», 197L

507 с. (РДМат,

,1971,

12Б768 К)

41-

—,—, Необходимые условия оптимальности типа равенства в дискрет-

ных 'системах. Диффереяц. уравнения, 1973, 9, № 3, 542—546 (РЖМат.

1973,

6Б606)

42.

—, —, Современное состояние теории оптимальных процессов. Автомати-

ка и телемеханика, 1972, № 9, 31—62 (РЖМат, 1972, 12Б560)

43.

—, —, Особые оптимальные управления. М., «Наука», 1973

44.

—,—, Оптимизация линейных систем. Методы функционального анализа.

Минск, Белорусский ун-т, 1973, 246 с. (РЖМат, 1974, 2Б657К)

45.

—, —, Принцип максимума в теории оптимального управления. Минск,,

«Наука -и техн.», 1974, 27il с. -.(РЖМат, 4974, 9Б749К)

46.

—, —•, Обращение некоторых необходимых условий оптимальности. Докл.:

АН БССР, 1974, 18, № 8, 689—691 (РЖМат, 1974, 12Б343)

47.

—, —., М о р д у х о в и ч Б. Ш., Дискретный принцип максимума. Докл.

АН СССР, 1973, 213, № 1, 19—22 (РЖМат, 1974, ЗБ608)

48.

—, —, С р очко В. А., К теории оптимальных особых управлений. «Тру-

ды 5-й Междунар. конференции по нелинейн. колебаниям, 1969. Т. 2.»

Киев,

1970, 131—136 (РЖМат, 1971, 11Б657)

49.

—,—,—, Тарасенко Н. В., Условия оптимальности высокого поряд-

ка. I. Вычисление особых управлений. (Обзор). Автоматика и телеме-

ханика,

11971,

№ 5, 5—21 (РЖМат, 1971, 11Б667)

50.

—,—,—, —, Условия оптимальности высокого порядка. II. Необходимые

условия оптимальности высокого порядка. (Обзор). Автоматика и теле-

механика, 1971, № 6,

6—24

(РЖМат, ,197.1,\1.1Б668)

51.

—,—,—,—., Условия оптимальности высокого порядка. III. Достаточные-

условия оптимальности высокого порядка. Дискретные системы. (Обзор).

Автоматика и телемеханика, 1971, № 7,

5—34

(РЖМат, 1971, 12Б679)

52.

—, Тарасенко Н. В., Необходимые условия оптимальности высокого

порядка для дискретных систем, Автоматика и телемеханика, 1971, № 1,

58—65 (РЖМат, 1971, 6Б580)

53.

Гамкрелидзе Р. В., К теории оптимальных процессов в линейных систе-

мах. Докл. АН СССР, 1957, 116, № 1, 9—11 (РЖМаг, 1958, 7764)

54.

—, Теория оптимальных по быстродействию процессов в линейных си-

стемах. Изв. АН СССР. Сер. мат., 1958, 22, № 4, 449—474 (РЖМат,

1960,

6553)

55.

—, Оптимальные по быстродействию процессы при ограниченных фазо-

вых координатах. Докл. АН СССР, 1959, 125, № 3, 475-478 (РЖМат,

1961,

1Б311)

56.

—, Оптимальные процессы управления при ограниченных фазовых ко-

ординатах. Изв. АН СССР. Сер. мат., 1960, 24, вып. 3, 315—356

(РЖМат, 1962, ЗБ354)

57 — О скользящих оптимальных режимах- Докл. АН СССР, 1962, 143

№ 6, 1243—1245 (РЖМат, 1963, 5В343)

58.

—, К теории первой вариации. Докл. АН СССР, 1965, 161, № 1, 23—26

(РЖМат, 1965, 7Б362)

59,

, Харатишвили >Г. Л., Теория .первой вариации в экс-т-ремальвых

' задачах- Сакартвелос ССР Мецпиеребата Академике моамбе. Сообщ.

АН ГрузССР, 1967, 46, № 1, 27—31 (РЖМат, 4968, 10Б467)

60 Экстремальные задачи в линейных топологических пространствах.

' Изв. ' АН СССР. Сер. мат., 1969, 33, № 4, 781-839 (РЖМат, 1970,.

2Б590)

61 —, _, Необходимые условия первого порядка в экстремальных задачах-

В 'сб «Междунар. конгресс математиков в Ницце. 1970», М., «Наука»,

1972,'63-71 (РЖМат, 1973, ЗБ557)

62 Гасанов К. К., Принцип максимума для процессов с распределенными-

' параметрами и запаздывающими аргументами. Дифферент уравнения,.

1973,

9, № 4, 743-746 (РЖМат, 1973, 8Б571)

201

.«3.

Гермейер 10. В., Введение в теорию ясследоваиия операций. М «Hav-

ка»,

1971, 383 с. (РЖМат, 1972, 1В740К) ,

64.

Гернет Н., Об основной простейшей задаче вариационного исчисления.

85.

Гороховик С. Я., Необходимые условия оптимальности многомерных

особых управлений. Дифференц. уравнения, 1973, 9, № 9, 1721—1724

(РЖМат, 1974, 2Б589)

66.—-,

Гороховик В. В., Необходимые условия оптимальности особых

управлений в задачах с подвижным правым концом. Докл. АН БССР

•1976,

20, № 3 '

67.

—, Т

'а :р

а с

>е м

к о Н. В., К уславшим траковерсалыноетм ш задаче опти-

мизации с особым управлением. Дифференц. уравнения, 1972, S, N» 12

2244—2247 (РЖМат, 1973, 4Б650) " '

'68.

Гурвиц Л., Прог-раммироваше в лилейных пространствах. В сб. «Иесле-

даватия по .линейному и, нелпшейному прошр-амммроваиию». М„ ИИЛ..

1962,

334 с. (РЖМат, 1962, 12В413К)

69.

Турин Л. Г., Столярова Е. М., Принцип максимума в одной мини-

максной задаче. Ж. вычисл. мат. и мат. физ.,

4973,

,13,

№ 5, 1175—1185

(РЖМат, 1974, 2Б587)

:70.

Понтер И. М., Курс вариационного исчисления. М.—Л., ГИТТЛ, 1941,

308 с.

71.

Данскин Дж. М. Теория макснм'ина и ее приложение к задачам распре-

деления вооружения. М., «Сов. радио», 1970, 200 с. (РЖМат, 1971.

6В488К)

'72.

Данциг Дж., Линейное программирование, его применения и обобщения.

М., «Прогресс», 1966, 600 с. (РЖМат, 1966, 11В245К)

'73.

Демьянов В. Ф,, О необходимом условии экстремума в задачах управ-

ления с последействием. Докл. АН СССР, 1966, 166, № 2, 275—277

(РЖМат, 1966, 7Б386)

74.

—, Миннмакс: дифференцируемом-- по направлениям. Л., Леииигр. уи-т,

1974,

112 с. (РЖМат, 1974, 6Б672К)

'75.

—, Малоземов В. Н., Введение в минимакс. М., «Наука», 1972, 368с.

(РЖМат, 1972, 6Б545К)

76.

Дубовицкнй А. Я., Милютин А. А., Задачи на экстремум при наличии

ограничений. Докл. АН СССР, 1963, 149, № 4, 759-762 (РЖМат, 1963,

10БЗЗЗ)

77.

—,—, Некоторые оптимальные задачи для линейных систем. Автомати-

ка и телемеханика, 1963, 24, № 12, 1616—1625 (РЖМат, 1964, 7Б468}

78.

—, —, Необходимые условия слабого экстремума в задачах оптималь-

ного управления со специальными ограничениями типа неравенства. Ж,

вычисл. мат. и мат. физ., 1968, 8, № 4, 725-779 (РЖМат, 1969, ЗБ375)

79.

Иоффе А. Д., Тихомиров В. М., Теория экстремальных задач. М.,

«Наука», 1974, 479 с. (РЖМат, 1974, 11Б707К)

80.

Калинин А. И„ О необходимых условиях оптимальности для особых

управлений. Дифферент, уряягаши,

197.3,

9, № 3, 688—.573 (РЖМагг,

1973,

6Б574)

81.

Канторович Л. В., Математические методы организации н планирования

производства. Ленинград, Изд-во ЛГУ, 1939, 1—64

.82.

Келли Г., Необходимое условие для особых экстремалей, основанное па

второй вариации. Ракетная техника и космонавтика, 1964, № 8

83.

Копи Р., М о й е р Г., Необходимые условия оптимальности особых экс-

тремалей. Ракетная техника и космонавтика, 1965, № 8

•84 Красовский И. Н., Об одной задаче оптимального регулирования. Прикл.

мат. и мех., 1957, 21,

№.

5, 670-677 (РЖМат, 4961, 6Б316)

85.

—, К теории оптимального регулирования. Автоматика и телемеханика,

1957,

18, № 11, 950—970 (РЖМат, 1958, 5708)

86.

—, К задаче об успокоении линейной системы при минимальной интен-

' сишюсти управления. Прикл. мат. и мех., 1965, 29, N° 2, 218—225

(РЖМат, 1966, 1Б386)

202