Габасов Р., Кириллова Ф.М. Методы оптимального управления

Подождите немного. Документ загружается.

88.

-, Теория оптимальных управляемых систем. В сб. «Механ в СССР за

on i°

ЛеТ

' £ £ ^д" «

На

ка

»>

1968

. 179-244 (РЖМат, 1969. №315)

89.

Кротов В. Ф., Методы решения вариационных задач на основе цостаточ-

пых условии абсолютного минимума. I. Автоматика и телемеханика

1962,

23, NH2, 1571-1583 (РЖМат, 1963, 11В401)

телемехаиика

90.

—, Методы решения вариационных задач. II. Скользящие режимы Ав-

томатика и телемеханика, 1963, 24, № 5, 581—598 (РЖМат 1964 ЗБ442)

91.

—, Методы решения вариационных задач на основе достаточных усло-

™fi

™/'"""

MyMa

I][I

Авт

°ма™ка и телемеханика, 1964, 25,

№ 7, 1037—1046 (РЖМат, 1964, 12Б361)

92.

—, Достаточные условия оптимальности для дискретных управляемых

систем. Докл. АН СССР, 1967, 172, № 1, 18—21 (РЖМат, 1967 5Б479)

93.

—, Б у к

р е е в

В. В.,

у р

В. И., Новые методы вариационного

исчисления в динамике полета. М., «Машиностроение», 1969

94.—,

Гурман В. И., Методы и задачи оптимального управления М

«Наука», 1973, 446 с. (РЖМат, 1974, 1Б465К)

95.

Кугушев Е. И., Принцип максимума в задачах оптимального управления

системами с негладкой правой частью. Вести. Моск. ун-та Мат мех

1973,

№ 3, 107—113 (РЖМат, 1973, 9Б548) , '' ' "

96.

Куликовский Р., Оптимальные и адаптивные процессы в системах авто-

матического регулирования. М., «Наука», 1967, 379 с. (РЖМат 1967

8Б412К)

97.

Куржаиский А. Б., О построении методом моментов оптимального управ-

ления, минимизирующего среднеквадратичную ошибку. Автоматика и

телемеханика, 1964, 25, № 5, 624—630

98.

—,

О с и и о

в 10. С., К задачам об управлении при стесненных коорди-

натах. Прнкл. мат. и мех., 1969, 33, № 4, 705—719 (РЖМат, 1970,

4Б542)

99.

Левитин Е. С, Милютин А. А., Осмоловский Н. П., О необхо-

димых н достаточных условиях локального минимума в задаче с огра-

ничениями. Докл. АН СССР, 1973, 210, № 5, 1022—1025 (РЖМат, 1973,

10Б410)

100.

Летов А. М., Аналитическое конструирование регуляторов. I. Автоматика

и телемеханика, I960, 21, № 4, 436—441 (РЖМат, 1961, 10Б330)

101.

-—, Аналитическое конструирование регуляторов. П. Автоматика и теле-

механика, 1960, 21, № 5, 561-568 (РЖМат, 1961, 10Б331)

102.

—, Аналитическое конструирование регуляторов. III. Автоматика и теле-

механика, I960, 21, № 6, 661—665 (РЖМат, 1961, 10B332J

103.

, Аналитическое конструирование регуляторов. IV. Автоматика и теле-

механика, 1961, 22, № 4, 425-435 (РЖМат, 1962, 1Б312)

104.

--, Аналитическое конструирование регуляторов. V. Автоматика и теле-

механика, 1962, 23, № ill, 1405-1413 (РЖМат, 1963, 6В269)

105.

-•-, Динамика полота и управление. М., «Наука», 1969

106.

Лурье А. И., Троицкий В. А., Задача Майера —Больца и оптималь-

ные процессы управления. Тр. 4-го Весе, матем. съезда, 1961. Т. 2. Л

«Наука», 1964, 468 (РЖМат, 1964, 8Б425)

107 Лшстсрник Л. А., Об условных экстремумах функционалов. Мат. сб

1934,41,

№3,390-401

108 Ляпунов А. А., О вполне аддитивных вектор-функциях. I. Изв. АН СССР.

Сер.

мат., 1940, 3, № 0, 465-478

109 Мардаиоп М. Д., Г аса нов К. К, Условия оптимальности для систем

' ннтегро-дифференцналышх уравнений с запаздыванием- АзССР Елмлэр

Акад. хоборларн. Физ.-техи. ва рфзиНат елмлэри сер., Изв АН АзССР.

Сер фнз.-техн. и мат. п., 1972, № 3, 114-119 (РЖМат, 1973, 5Б564)

ПО 'Mi еле А„ Расширение теории оптимальной программы расходования

' топлива реактивным самолетом при горизонтальном полете В сб «Ис-

следование оптимальных режимов движения ракет», М„ Оборонгиз, 1J59

203

111.

Милютин А. А., Общие схемы получения необходимых условий экстре-

мума и задачи оптимального управления. Успехи мат. наук 1970 25

№5,

ПО—116 (РЖМат, 1971, 2Б584) ' '

112.

Мордухович Б. Ш., Существование оптимальных управлений и необхо-

димые условия оптимальности в динамических системах. Автореф. кан-

дидатской диссертации. Белгосуииверситет, Минск, 1973

113.

Охоцимский Д. Е. К теории движения ракет. Прикл. мат. и мех., 1946

10,

вып. 2

114.

Плотников В. И., Об оптимальном управлении системами с распределен-

ными параметрами. Докл. АН СССР, .1967, 175, №6, 1238—1241 (РЖМат,

1968,

2В571)

115-

—, Необходимые условия оптимальности для управляемых систем об-

щего вида. Докл. АН СССР, 1971, 199, № 2, 275—278 (РЖМат, 1971,

12Б727)

116.

—, Необходимые и достаточные условия оптимальности и условия един-

ственности оптимизирующих функций для управляемых систем общего

вида. Изв. АН СССР. Сер. мат., 1972, 36, № 3, 652—679 (РЖМат, 1972,

9Б500)

117-

Понтрягин Л. С, Некоторые математические задачи, возникающие в свя-

зи с теорией оптимальных систем автоматического регулирования. Сес-

сия АН СССР по научн. пробл. автоматиз- произ-ва, 1956, Т. 2. М.,

АН СССР, 1957, 107-117 (РЖМат, 1958, 4693)

118.

—, Болтянский В, Г., Гамкрелидзе Р. В., Мищенко Е. Ф.,

Математическая теория оптимальных процессов. М., «Наука», 1969,

384с.

(РЖМат, 1970, 1Б529К)

W9.

Пропой А. И., Элементы теории оптимальных дискретных процессов. М.,

«Наука», 1973, 256 с. (РЖМат, 1973, 10В528)

120.

Пшеничный Б. Н., Необходимые условия экстремума! М., «Наука», 1969,

151 с. (РЖМат, 1970, 8Б533К).

124.

Розоноэр Л. И., О достаточных условиях оптимальности. Докл.

АН СССР, 1959, 127, № 3, 520—523 (РЖМат, 1961, 6В314)

122.

—, Принцип максимума Л. С. Понтрпгииа в теории оптимальных си-

стем. I- Автоматика и телемеханика, 1959, 20, № 10, 1320—1334 (РЖМат,

1961,

9Б320)

123.

—, Принцип максимума Л. С. Поитрягина в теории оптимальных си-

стем. П. Автоматика и телемеханика, 1959, 20, № 11, 1441—14Б8

(РЖМат, 1961, 9Б321)

124.

—, Принцип максимума Л. С. Понтрягииа в теории оптимальных систем.

III.

Автоматика и телемеханика, 1959, 20, № 12, 1561—1578 (РЖМат,

1961,

9Б322)

125.

Сарачик П. Э., Кренц Дж. М., Оптимальное управление в системах

со многими ограничениями. Труды II Междун. конгресса ИФАК по

автомат, управлению. М., «Наука», 1965

126.

Сотсков А. И., Принцип максимума для некоторых задач оптимального

управления с негладким функционалом. Тр. 3. Зимн. школы по мат. про-

граммир. и смежи, вопр., 1970. Вып. 3. М., 1970, 591-600 (РЖМат,

1971,

9Б412)

127.

Срочко В. А., Исследование второй вариации на особых управлениях.

«Дифферент уравнения», 1974, 10, № 6, 1050—1066 (РЖМат, 1974,

-0Б518) „ _

128.

—, Метод преобразования вариаций в теории особых управлении. В сб.

«Диффереиц. и интегральные уравнения». Вып. 2. Иркутск, 1973, 70—80

(РЖМат, il975, 1Б796)

129.

Фельдбаум А. А., Оптимальные процессы в системах автоматического

регулирования. Автоматика и телемеханика, 1953, 14, № 6

130.

—, Оптимальные процессы в системах автоматического регулирования.

Автоматика и телемеханика,, 1963, 14, № 5

131.

Харатишвили г. Л., Принцип максимума в теории оптимальных про-

цессов с запаздыванием. Докл. АН СССР, 1961, 136, № 1, 39—42

(РЖМат, 1963, 12В487)

204

132.

Хрусталем М- М., О достаточных условиях оптимальности в задачах с

ограничениями на фазовые координаты. Автоматика и телемеханика,

1967,

№ 4, 18—29 (РЖМат, 1968, 1Б497)

133.

—, Необходимые и достаточные условия для задачи оптимального управ-

ления. Докл. АН СССР, 1973, 211, № 1, 59—62 (РЖМат, 1973, 10Б440)

134.

Цискаридзе К. Ш., Экстремальные задачи в банаховых пространствах.

Автореф. кандидатской диссертации. Тбилисский госуниверситет, Тбилиси,

1973

135.

Цянь Сюэ-сзнь, Техническая кибернетика. М., Изд-во ин. лит., 1956,

462 с. (РЖМат, 1957, 6065К)

136.

Чистов В. П., Бондарен к о В. И., Святославе кий В. А., Опти-

мальное управление электрическими приводами постоянного тока. М.,

«Энергия», 1968

137.

Эрроу К. Дж., Гурвиц Л., Удзава Х„ Исследования по линейному

и нелинейному программированию- М-, Изд-во ин. лит., 1962 334с.

(РЖМат, 1962, 12В413К)

138.

Янг Л., Лекции по вариационному исчислению и теории оптимального

управления. М., «Мир», 1974, 488с. (РЖМат, 1975, 2Б474К)

139.

Antosiewicz H. A., Linear control systems. Arch. Ration. Mech. and Anal.,

1963,

12, № 4, 313—324 (РЖМат, 4964, 4B290)

140.

Banks H. Т., Necessary conditions for control problems with variable ti-

me lags. SIAM J. Contr., 1968, 6, № 1,

9—47

(РЖМат, 1968, 12Б515)

144.—,

Ma ni tius A., Application of abstract variational theory to

hereditary systems: a survey. «14th Joint Automat. Contr.

Conf.,

Columbus,

Ohio,

1973. Prepr. techn. pap.» New York, N. Y., 1973, 3—4 (РЖМат,

1974,

2Б600)

142.

Bellman R., Qlicksberg I., Gross 0., On the K<bang-bang» control

problem- Quart. Appl. Math-, 1956, 14, № 1, 11—18 (РЖМат, 1957, 7038)

143-

Berkovitz L. D., Variational methods in problems of control and pro-

gramming. J- Math. Anal, and Appl., 1961, 3, № 1, 145—169 (РЖМат,

1963,

6Б323)

144-

Bushau D. W., Experimental towing tank. Stevens Inst, of Technology Re-

port 469, Hoboken, 1953

145.

Butkovsky A. G., Egorov A. I., Lurie K. A., Optimal control of dis-

tributed systems (A survey). SIAM J. Contr., 1968, 6, № 3, 437—476

(РЖМат, 1969, 5Б573)

146.

Canon M. D., Cullum C. D., Jr., Polak E., Theory of optimal control

and mathematical programming. New York, McGraw-Hill, 1970, XII, 284pp.

(РЖМат, 1971, 10Б462)

147.

Caratheodory C, Variationsrechnung, Teuber, Berlin—Leipzig, 1935

148.

Desoer C. A., The bang-bang servo problem treated by variational techni-

ques-

Inform, and Contr., 1959, 2, № 4, 333—348 (РЖМат, 1962, 10Б315)

149.

Eaton J. H., An iterative solution to time-optimal control. J. Math. Ana'

and Appl., 1962, 5, № 2, 329—344 (РЖМат, 1964, 6B349)

150.

Gamkrelidze R. V., On some extremal problems in the theory of differer

tial equations with applications to the theory of optimal control. J. So'

Industr. and Appl. Math., 1965, A3, № 1, 106—128 (РЖМат, 1966, 8Б348)

151.

Goh B. S„ The second variation for the singular Bolza problem. SIAM

J. Contr., 1966, 4, № 2, 309-325 (РЖМат, 1968, 1Б489)

152.

—, Necessary conditions for singular extremals involving multiple control

variables. ,SIiAM J. Contr., ,1966, 4, № 4, 7,1.6—731 ••(РЖ-М-агг. /1968, 7Б443)

153.

Halanay A., Optimal controls for systems with time lag. SIAM J. Contr.,

1968,

6, № 2, 215-234 (РЖМат, 1969, 4Б420)

154.

Halkin H., Convexity and control theory. Proceedings of the International

Summer School of Physics. Course on Functional Analysis and Optimi-

zation (Italy, Ravello), 1965

155 _ Finite convexity in infinite dimensional spaces. Proa Colloq, Conve-

xity, Copenhagen, 1965. Copenhagen, 4967, 11126—131 (РЖМ«г, 1967,

12Б455)

205

156-—,

Neustadt L. W„ General necessary conditions for optimiza-

tion problems. Proc. Nat. Acad. Sci. U.S.A., 1966, 56, № 4, 1066—1071

(РЖМат, 1967, 7Б355)

157.

Hestenes M. R., Variational theory and optimal control theory. Comput

Methods Optimiiz. Problems. New York—London, Akad. Press, 1964

(РЖМат, 1966, 4Б324)

158.

Hopkin A. M., A phase-plane approach to the compensation of saturating

servomechanisms. Trans. AIEE, pt. 1, 1951, 70,. № 5

159.

Jacobson D. H., Mayne D. Q., Differential dynamic programming.

New York, Elsevier, 1970, 208 p. (РЖМат, 1972, 2Б831К)

160.

Kaltnan R. E., The theory of optimal control and the calculus of varia-

tions.

RIAS Technical .Report, 61-3, '1.9.91

361.

La Salle J. P., The time optimal control problem. Contributions to the

theory of nonlinear oscillations. 5. Princeton Univ. Press, Princeton-

New Jersey, 1960

162.

Luenberger D. G., Control problems with kinks. IEEE Trans. Automat.

Contr., 1970, 15, № 5, 570—575 (РЖМат,

.1971,

9Б414)

163.

McDonald D., Multiple mode operation of servomechanisms. Rev. Sci.

Instrum-, 1952, № 1

164-

McShane E. J., On multipliers for Lagrange problem. Amer. J. Math.,.

1939,

60, № 6

165.

—, Optimal controls, relaxed and ordinary. Math. Theory Control.

New York—London, Acad. Press, 1967,

il—

9 (РЖМат, 1968, 8Б533)

166.

Mlele A., General variational theory of the flight paths of rocket powered

aircraft, missiles and satellite carriers, Astronaut. Acta, 1958, 4, № 4

167.

iNeustadt L. W., Synthesizing time optimal control systems. J. Math.

Anal, and Appl., 1960, 1, № 3-4, 484—493 (РЖМат, 1963, 1Б201)

168.

—, An abstract variational theory with applications to a broad class of

optimization problems. I, General theory. SIAM J. Contr., 1966, 4, № 3,

505—527 (РЖМат, 1967, 6Б483)

169.

—, An abstract variational theory with applications to a broad class of

optimization problems. II- SIAM J. Contr., 1967, 5, №1, 90—137 (РЖМат,

1974,

7Б575)

170.

—, A general theory of extremals J. Comput. and Syst. Sci., 1969,3, №1,

57—92 (РЖМат, 1969, 10Б376)

171.

—, The existence of optimal controls in the absence of convexity condi-

tions.

J. Math. Anal, and Appl., 1963, 7, № 1, 140—117 (РЖМат, 1964,

6B353)

172.

Rockafellar R. Т., Conjugate convex functions in optimal control and the

calculus of variations. J, Math. Anal, and Appl, 1970, 32, № 1, 174—222

(РЖМат, 1971, 6Б529)

.173.

Valentine F. A., The problem of Lagrange with differential inequalities as

added side conditions. Diss. Univ. Chicago, 1937

174.

Varsan C, Teoria generala a problemelor de extremum cu aplicatli la

sistemele de control optimal. Bucuresti, Akad. RSR, 1974, 373 p. (РЖМат,

1975,

4Б716К)

175.

Wierzbicki A. P., Maximum principle for semiconvex performance func-

tionals. SIAM J. Contr., 1972, 10, № 3, 444—459 .(РЖМат, il973>, 4Б655)

176.

Woodside C. M., etc. Singular arcs occurring in optimal electric steel refi-

ning. IEEE Trans. Automat. Contr., 1970, AC-15, № б

•177 Zadeh L. A., .Optimality and non-scalar-valued performance criteria.

IEEE Trans. Automat. Contr., 1963, AC-8, № il, '59—60

ПРИЛОЖЕНИЕ

СУЩЕСТВОВАНИЕ ОПТИМАЛЬНЫХ УПРАВЛЕНИЙ

Б. Ш. Мордуховт

Проблема существования оптимальных управлений занима-

ет принципиальное место в теории оптимальных процессов и?

играет важную роль при решении практических задач. Как от-

метил Л. Янг [138°]*, теория необходимых условий опти-

мальности является наивной, если не выяснен вопрос о сущест-

вовании решения вариационной задачи в заданном классе до-

пустимых функций. В противном случае численные алгоритмы,.

основанные на необходимых условиях оптимальности, не при-

водят, вообще говоря, к построению оптимизирующей последо-

вательности допустимых элементов даже тогда, когда необхо-

димые условия выделяют единственный подозрительный на оп-

тимальность элемент. Не всегда обоснована также попытка де-

лать вывод о существовании решений задачи оптимизации, ис-

ходя из физических соображений. Математическая задача оп-

тимизации представляет собой модель реального процесса, и-

нельзя быть уверенным, что построенная модель в точности от-

ражает физическую ситуацию. Если из физических соображе-

ний ясно, что решение существует, то отсюда не вытекает спра-

ведливость теоремы существования в соответствующей матема-

тической задаче. Как отмечено в [4], существование решения в-

математической задаче оптимизации является первым критери-

ем того, что построенная модель адекватно отражает физичес-

кий процесс.

Для задач оптимального управления решение в стандартных.

классах функций (гладких, кусочно-непрерывных, измеримых и

т. п.) может не существовать даже в самых простых случаях,

как например, в следующей ситуации:

х =

и,

JC(0)==0- 0<и(0<1,

I (х,

и)

= { [х

(t) —

it"

(t)]

dt{to}inf.

Ф. Кротов считает

[89°],

что решения возникающих на:

практике вариационных задач могут существовать или не су-

ществовать в стандартных классах функций с одинаковой веро-

ятностью. Поэтому важно выделить классы задач оптимального

управления, в которых решение заведомо существует, и уметь

выяснять вопрос о существовании решения в конкретных ситу-

ациях..

Впервые на необходимость доказательства теорем сущест-

вования решений вариационных задач обратил внимание-

* Символ

[№°]

означает ссылку на литературу основного раздела («Необ-

ходимые условия оптимальности»).

207

Вейерштрасс [233] в своей знаменитой полемике с Б. Ри-

маном по поводу принципа Дирихле (см., например, [28]). Он

привел простые примеры задач, в которых решение не сущест-

вует в классе гладких функций и метод вариаций Эйлера

—-

Лаг-

ранжа не применим. Открытие Вейерштрасса сыграло значи-

тельную роль в дальнейшем развитии вариационного исчисле-

ния. С одной стороны,, возрос интерес к достаточным условиям

• оптимальности и прямым методам решения вариационных за-

дач,

где обходятся трудности, связанные с существованием

.абсолютной минимали. С другой стороны, было положено

начало теории существования решений вариационных задач и

получению необходимых условий оптимальности в классах не-

гладких и разрывных функций.

Первые теоремы существования абсолютной минимали в

классе гладких функций были доказаны Гильбертом [143,

144] путем выделения сходящейся минимизирующей последова-

тельности допустимых кривых. Им же была выдвинута идея

•расширения класса допустимых кривых для получения более

-общих теорем существования. При этом Гильберт высказы-

вал уверенность в том, что «всякая задача вариационного ис-

числения имеет решение, если только слову «решение» придать

соответствующий смысл» [138°, с. 186]. Вместе с тем, он считал,

что решения «регулярных» вариационных задач на самом деле

принадлежат достаточно узким классам «доступных» функций

(гладких, аналитических и т. п.). Данная программа построе-

ния теории существования решений вариационных задач была

сформулирована Гильбертом в его 19-й и 20-й проблемах

[1].

Идеи Гильберта получили глубокое развитие в работах

.Лебега [164, 165] и Тонелли [215—218] (см. также [45,

163,

174, 175, 186—188] и др.), которые расширили класс до-

пустимых кривых от гладких до абсолютно непрерывных функ-.

ций и обосновали общий метод доказательства теорем сущест-

вования решений вариационных задач (метод Лебега — Тонел-

.ли).

Метод Лебега — Тонелли состоит в доказательстве

полунепрерывности снизу минимизируемого функционала на

компактном множестве допустимых кривых. Таким образом,

доказательство существования вариационной задачи сводится к

применению классической теоремы Вейерштрасса в функцио-

нальных пространствах. На таком пути было доказано [215,

.216,

188, 175], что для существования абсолютно непрерывных

решений простейшей задачи вариационного исчисления

-t

(х)

= \ /°(х, х,

t)dt-*M,

x(t

)=x

, х^1)=х

(1)

достаточно выпуклости гладкой функции

(x,x,t)

no x и

выполнения условий роста по х на бесконечности:

.208

/• (x, x, t) >

(|x|),

1 im ^

—

oo, (2)

£->co S

которые известны под названием условий Нагумо-Тонелли.

Условия выпуклости f°(x,x,t) no x, которые необходимы

и достаточны для полунепрерывности снизу функционала в

(1) относительно СИЛЬНОЙ топологии в

([if-,

t1]), являются

ограничительными и не всегда выполняются в возникающих

на практике задачах. В соответствии с программой Гильберта

встала необходимость нового расширения задачи (1), в кото-

ром теоремы существования ВЫПОЛНЯЛИСЬ бы автоматически.

Такие расширения были построены в работах Н. Н. Боголюбо-

ва [86] и Л. Янга [235] разными, но в определенном смысле

эквивалентными способами.

Н. И. Боголюбов наряду с задачей (1) рассмотрел вариа-

ционную задачу такого же типа, в которой функция

/° (х, х, t) заменена своей выпуклой оболочкой по х (наиболь-

шей выпуклой по х функцией, не превосходящей /°(х, х, t)),

и показал, как по решению расширенной задачи можно по-

строить минимизирующую последовательность допустимых

кривых задачи (1). Л. Янг расширил класс допустимых

кривых в задаче (1) до обобщенных кривых

{x(t),

p(t)},

где

x(t) абсолютно непрерывна, а

[--(г.)

при каждом t является

положительной вероятностной мерой на R} V t~(t)(di))

—

. —со

вариация котором сосредоточена на конечном отрезке при

всех t (финитность меры). Предполагается также, что интег-

ралы \ g

(v)

у.

(/)

(dv) измеримы для любой непрерывной на R

—со

действительной функции

g'(v),

и пара

{x(t),

|л(£)} связана

соотношением x(t)= \ ^(^(d-a). Данное в [235] расширение

—со

задачи может быть представлено в виде

t% 00

/ (х,

у,)

= [dt

f(x (t), v, t)

\>.

(t) (dv) {to}

to -co

{to}inf,

x(if-)

—

x(t

) =

(3'

Л.

Янг специальным образом ввел топологию на множест-

ве обобщенных кривых, которая обеспечивает (при выполне-

нии условия роста типа (2)) компактность расширенного мно-

жества, плотность в нем допустимых кривых исходной задачи

(1) и непрерывность минимизируемого функционала в (3).

Эквивалентность расширений Н. Н. Боголюбова и Л. Ян-

га доказана А. Д. Иоффе и В. М. Тихомировым [19].

14-7988

209

На первый взгляд может показаться, что переход к расши-

ренной задаче в форме Боголюбова или Яига полностью снима-

ет трудности, связанные с существованием решения исходной

вариационной задачи в стандартных классах функций, и обос-

новывает метод необходимых условий оптимальности при на,-

хождении абсолютной минимали (минимизирующей последова-

тельности). На самом деле это не так, потому что найти опти-

мальный элемент в расширенной задаче и аппроксимировать

его исходными допустимыми элементами значительно труднее,,

чем решить задачу в первоначальной постановке (если в ней

существует «классическое» решение). Данные обстоятельства

особенно ярко проявляются при рассмотрении вариационных

задач с ограничениями (в частности, задач оптимального управ-

ления),

где они приводят к неэффективности принципа макси-

мума Понтрягина в расширенной задаче (см. §§ 4, 8).

Наряду с расширениями типа Боголюбова — Янга задача (1)

допускает и другой тип расширений, который состоит в перехо-

де к разрывным кривым

A;(if).

Расширения такого типа берут

начало от работы А. М. Размадзе [200] и получили наиболее'

полное развитие в диссертации В. Ф. Кротова [36] (см. также

[33—35,

93°]). В. Ф. Кротов считает, что рассмотрение класса

абсолютно непрерывных функций в качестве основного класса

допустимых кривых в задаче (1) не связано с существом вариа-

ционной задачи, а диктуется соображениями теории действи-

тельных функций. Он рассмотрел расширение задачи (1) на

класс сложных объектов (названных им (у, z)-линиями), кото-

рые не являются функциями в обычном смысле и могут, в част-

ности, содержать вертикальные отрезки. В. Ф. Кротов доказал

существование решения в классе (у, г)-линий, возможность его

аппроксимации кусочно-гладкими функциями и разработал но-

вый метод получения необходимых и достаточных условий опти-

мальности в расширенной задаче, который отличен от метода

вариаций Эйлера—Лагранжа. С помощью своих расширений

В.

Ф. Кротов впервые обнаружил скользящие режимы в кон-

кретных задачах динамики полета и указал методы их нахож-

дения. Отметим, что скользящие режимы допускают описание и

в рамках расширений типа Боголюбова—Янга (для задач опти-

мального управления это сделано Р. В. Гамкрелидзе [57°]). В

такого типа расширениях могут возникать и разрывные решения

x(t),

если не выполняются условия роста (2). Общая конструк-

ция расширений вариационных задач исследована в работе

А. Д. Иоффе и В. М. Тихомирова [19].

Ниже дается обзор основных методов и результатов теории

существования решений задач оптимального управления. При

этом рассматриваются объекты, которые описываются обыкно-

венными дифференциальными уравнениями

x(t) = f{x(t),a(t),t) для почти всех te[t

, ti] (4)

210

с граничными условиями

С*

(to).

to.xit&titeEcIp**, (5)

ограничениями на управление

u(t)QU(x(t), t)cU для

ПОЧТИ

всех te[t

> *1I> (

)

фазовыми и интегральными ограничениями

(xW.mBcR

<t<t

(7)

]g(x{t),u(t),t)dteGcR>*. (8)

Минимизируемый функционал имеет форму Больца

/(*,»)=•?(*

(to), to.

*(*!).

^l) + Si/

(x(t)

«(t)> t)Mr (9)

хотя принципиальные моменты, как правило, связаны с' раз-

дельным рассмотрением двух случаев: f°----0 (задача'терминаль-

ного управления, или задача Манера); ф=0 (задача минимиза-

ции интегрального функционала, или задача Лагранжа). Реше-

ние задачи (4)

— (9)

ищется (кроме § 8) в стандартном классе

допустимых пар {x(t),

u(t)},

<t<ti, где x(t) абсолютно не-

прерывна, ii.(t) измерима. В дальнейшем всюду предполагается,

что в задаче (4)-—(9) существует

ХОТЯ

бы одно допустимое уп-

равление (допустимая пара). Если специально

не оговорено-

противное, то функциональные параметры f, f°, g предполага-

ются непрерывными по своим переменным или удовлетворяю-

щими условиям Каратеодори (непрерывность по (x, и), измери-

мость по t), функция ср полунепрерывна снизу, множества Е,"В,

G замкнуты, область управления U(x, t) полунепрерывна-свер-

ху no'x, измерима по t в смысле теории многозначных отобра-

жений [152, 63,' 92, 79°], 0 можно считать полным сепарабель-

ным метрическим пространством. В основном будут рассматри-

ваться различные частные случаи задачи (4)

—

(9), с которыми

связаны принципиальные моменты в излагаемых методах и; ре-

зультатах.

В теории существования решений задач типа

(4)—-(9)

полу-

чили развитие как рассмотренные выше методы, классического

вариационного исчисления, так и ряд новых методов.- , Общие

теоремы существования оптимальных управлений были получе-

ны с помощью бесконечномерного варианта теоремы, Вейер-

штрасса о достижении полунепрерывной снизу функции своегс

минимума на компакте. Методы и результаты этого направле-

ния представляют собой развитие классических построений Ле-

бега— Тонелли. Следует отметить, что .связь, с методами клас-

сического вариационного исчисления была замечена не сразу в

силу специфики первых задач теории оптимального управления.

По мере рассмотрения более общих задач были выявлены как

14*

211

сфера непосредственного применения классических вариацион-

ных методов, так и новые моменты, требующие дополнительных

соображений. Теоремы существования оптимальных управлений,

полученные с помощью развития метода Лебега—Тонелли, рас-

сматриваются в §§ 2, 3, 5.

Наиболее близко к классическому вариационному исчисле-

нию стоят задачи Лагранжа с линейными по переменным уп-

равления дифференциальными связями, которые допускают

введение стандартной топологии на множестве пар (равномер-

ная СХОДИМОСТЬ траекторий, слабая в L

, p>\, сходимость

управлений). Метод Лебега—Тонелли приводит к теоремам су-

ществования решений таких задач с условиями выпуклости

области управления U(x, t), выпуклости функции f°(x, и, t) по

и и условиями роста типа (2), которые появляются в случае

неограниченности U(x, t). Важно подчеркнуть, что условия вы-

пуклости не только достаточны, но и необходимы для полунеп-

рерывности интегрального функционала в (9) относительно

введенной топологии.

При переходе к нелинейным по управлению системам возни-

кают принципиальные трудности в развитии метода Лебега —

Тонелли, связанные с тем, что топология вводится лишь на мно-

жестве траекторий. Вопросы замкнутости множества траекто-

рий сводятся при этом к анализу дифференциальных уравнений

•с многозначной правой частью (уравнения в контингенциях), a

ДЛЯ

восстановления по предельной траектории допустимого уп-

равления необходимо применять теоремы измеримого выбора из

теории многозначных отображений («лемма Филиппова о неяв-

ных функциях» [64]). Для нужных свойств замкнутости множе-

ства траекторий необходимыми и достаточными являются усло-

вия определенной выпуклости множества допустимых скоростей

в задаче (4)

—

(9) (см. §§ 3, 5). Новым в развитии метода Ле-

бега — Тонелли явилось также нахождение априорных условий

Лредкомпактности минимизирующей последовательности допу-

стимых пар без предварительного предположения об ограничен-

ности множества траекторий. Принципиальные результаты в те-

ории существования оптимальных управлений были получены

по схеме Лебега — Тонелли в работах А. Ф. Филиппова [64],

Важевского

[228],

Роксина

[207],

Варги [222],Чезари [95, 96],

Макшейна

[180],

Олеха

[194],

А. Д. Иоффе [18], Рокафелла-

ра [206] и др. Полученные теоремы гарантируют существова-

ние решений в задаче (4)

—

(9) при условии выпуклости мно-

жества

Q(x,t) = {g =

(g,

q^g):g =

/(x,

и, t), qv>f°(x,u, t),~q>g(x, u, t),

UQU(X,

t)}

и некоторых условиях совместного роста по {х, и) (см. §§ 3, 5),

которые обобщают условия На'гумо — Тонелли. Если множест-

во Q(x, t) невыпукло, то строятся расширения задачи (4) — (9)

212