Габасов Р., Кириллова Ф.М. Методы оптимального управления

Подождите немного. Документ загружается.

Теоремы существования оптимальных управлений, в которых

учитывается взаимосвязь всех параметров задачи (A) и кото-

рые предназначены для применения в конкретных ситуациях,

естественно назвать индивидуальными теоремами существова-

ния [9]. Методы получения таких теорем развиты в работах

[47—50,

112°, 9]. Они основаны на переходе к вспомогатель-

ным задачам с заведомо существующим решением и использо-

вании теории необходимых условий оптимальности. При этом

возникает классификация теорем существования в зависимости

от порядка применяемых необходимых условий (если порядок

k>\,

то говорят о теоремах существования ВЫСОКОГО порядка).

В общем случае индивидуальные теоремы существования но-

сят, естественно, апостериорный характер. Однако с их помощью

без труда выделяются различные классы систем с априорными

условиями существования, включающими параметры xo, qp(x),

, t\. На таком пути получается и ряд существенных обобщений

известных результатов для задачи (А) на уровне применения

необходимых условий оптимальности первого -порядка.

Остановимся кратко на трех методах получения индиви-

дуальных теорем существования, которые можно рассматри-

вать и как новые методы доказательства и обобщения ряда из-

вестных результатов. Первый метод [48, 112°, 50, 9] связан с

переходом к расширенной задаче в форме Гамкрелидзе и при-

менением теории необходимых условий оптимальности особых

управлений. В нем, по существу, находятся эффективные усло-

вия, при которых заданная обобщенная оптимальная траекто-

рия x*(t) реализуется в исходной задаче.. Отметим, что близкие

соображения на уровне применения условий первого порядка

имелись фактически в работах Макшейна [178, 180,

165°],

Р. В. Гамкрелидзе

[57°],

Г. П. Ивановой [13], Б. Т. По-

ляка [58]. Второй метод основан на использовании формулы

приращения функционала в расширенной задаче и приводит,

в частности, к теоремам существования оптимальных управле-

ний в задачах минимизации вогнутых функционалов на траек-

ториях линейных по состоянию систем с управляемой структу-

рой (см. [40°, 42°, 49, 112°, 9]). В третьем методе исходная

задача заменяется последовательностью конечно-разностных ап-

проксимирующих задач и осуществляется предельный переход с

применением необходимых условий оптимальности в дискрет-

ных системах (см. [40°, 47, 112°, 50]).

A-оптимальность обобщенных траекторий. Наряду с исход

ной задачей (A) рассмотрим расширенную задачу в смысл*

Варги (п. 4.1), в которой заведомо существует оптимальна*

траектория x*(/). Выберем такую параметризацию задачи (A)

(множества R(x, t) из (4.1)), в которой соответствующее оп-

тимальное управление обладает специальной структурой, позво-

ляющей выделить широкий набор необходимых условий опти-

мальности и получить конструктивную информацию об

x*(t).

16* 243

Удачным оказывается представление Гамкрелидзе (п. 4.2), при-

водящее к особым управлениям. Эффективные условия, гаран-

тирующие Л-оптимальность обобщенной траектории x*(t) и

представляют собой апостериорную форму индивидуальных тео-

рем существования.

Из принципа максимума Понтрягина в расширенной задаче

следует, что обобщенная траектория х* (t) является опти-

мальной в задаче (А), если для почти всюду t£[t

, t

] выпук-

ло множество

У*(*)={г>еЯ

:«=/(*• (0, «• *). ueM*(t)), (1)

где

M*(t)^{u%U:(^(t)Yf(

x*(t),u

t)^

.=max

(Ф*

(0)'/

(л*

(О, «- 0>. (2)

4»*

(t)~соответствующее решение сопряженного в принципе

максимума уравнения [118°, 45°] с граничным условием

Ф* (t1)

•=

=- —--г-(x*

(i-i)).

Подобные результаты имеются в работах

[9,13,180].

Множество V* (t) заведомо выпукло, если вы-

пукло множество допустимых скоростей в задаче

(3.4) —

(3.6) (или множество Q(x, t) из (5.9) в соответствующей за-

даче Лагранжа), если система (3.4) одномерна и т. д.

(см.

[112°]). Б. T. Поляк [58] нашел априорные условия одно-

точечности множества максимумов (2) для случая, когда кри-

терий качества в задаче (A) имеет форму Больца

<•

Цх,

«)

(хЩ) + \/

(х, и, t)dt (3)

с сильно выпуклой по и функцией /°(x, и, t). Другие усло-

вия такого типа имеются в [40*, 112°, 213]. В диссертации

[112'] разработана схема применения подобных теорем в кон-

кретных ситуациях и выделены различные классы систем с

априорными условиями существования.

В работе [48] получены первые теоремы существования

высокого порядка в задаче (А) с разделенной по (x, и) диф-

ференциальной системой

x=f

(x, 0+/з(«1 0

в предположении о дважды непрерывной дифференцируемое-

ти по х функций /,(x, t), cp(x). Доказано, что обобщенная

оптимальная траектория х* (t) реализуется в исходной зада-

че,

если для почти всюду tQ[t

, t

] хотя бы одна из матриц

ЧЕТ*(i),

K*(t)=—

д'л* определенно положительна

244

на гиперплоскости L*(t) = {i:(4i*(t)yZ =

0}.

Здесь Н

(х, ф, t) =

—

ф'/-(я, t), а матрица W*(t) находится из уравнения

=-1>Z(

*V)> t)W-W

£(x*(t), t)-K*{t)

Y(t-)

—

Более общие теоремы существования высокого порядка и пере-

ход к априорным условиям имеются в работах [112°, 9]. При

доказательстве теорем существования высокого порядка исполь-

зуются методы и вариации, лежащие в основе теории особых

•оптимальных управлений

[49°].

При этом требуется обобщение

ряда результатов теории особых управлений на случай измери-

мых функций для специального типа задач, к которым приво-

дят вопросы теории существования.

Метод приращений функционала. Пусть

{x*(t),

и>*(^)},

<t<ti — A-оптимальная пара в расширении Гамкрелидзе за-

дачи (А). Для доказательства теорем существования ^опти-

мальных управлений достаточно показать, что найдется допу-

стимая в задаче (А.) пара

{x(t),

u(t)},

для которой 1(х, «)<

</(x*, со*). Эффективные условия для выполнения последнего

свойства найдены в работах [40°, 49, 112°, 9] с помощью фор-

мулы приращения функционала [40°] и необходимых условий

•оптимальности в расширенной задаче. В [40°] доказано суще-

ствование оптимальных управлений в линейной по состоянию

задаче минимизации функционала (3)

•

с разделенной по (x, и)

функцией /

(л, и, t)=fi°(x, t)+/2°("> t) при условии вогнутости

ло х дифференцируемых функций fi°(x, t), qn(x). При этом не

использовались соображения, связанные с теоремой Ляпунова

[108°].

В [49] рассмотрена линейная по состоянию система с уп-

равляемой структурой (f(x, и, t)=A(u, t)x+b(u, t)) и доказа-

но существование решений в задаче (А) при дополнительном

предположении о выпуклости множества

V.(*.

ф)

{г>б./?

:-п

= ф'.А(и,0, иеМ{х, ф,

*)},'•

(4)

где M(x, ф, t) = {aeU:^{A(tt, t)x + b(u, t))—f

(a, t) =

= тах[ф'(Л(

о, t)x-\-b{v, t)) — f°

(v,

t)]}.'

Отметим, что выпук-

vQU

лость множества (4) достаточно проверить лишь на некоторой

•обобщенной оптимальной траектории х* (t) и соответствующей

траектории ty*{t) сопряженной системы. Это обстоятельство

позволяет использовать метод приращений для доказательства

индивидуальных теорем, существования. Результаты такого типа

получены в [112°, 9], где выведены также априорные условия

существования и схема применения полученных теорем в кон-

кретных ситуациях. Данный метод позволяет исследовать и не-

245

которые классы нелинейных по состоянию задач оптимального

управления.

Отметим, что в отличие от результатов предыдущего пункта

метод приращений не гарантирует Л-допустимости обобщенной:

оптимальной траектории

x*(t),

т. е. приводит « более тонким

теоремам существования. Подчеркнем также то обстоятельство,.

что метод приращений функционала (как и теоремы высокого

порядка из предыдущего пункта) особенно эффективно приме-

няется при анализе многоэкстремальных ' задач минимизации

вогнутых функционалов. Данный тип задач, как правило, не

поддается анализу с помощью классических методов.

Метод дискретных аппроксимаций. В методе дискретных;

аппроксимаций исходная задача (А) заменяется последователь-

НОСТЫО конечномерных задач оптимизации (Aw), N==1, 2,...

(с дискретным временем), которые получаются из (A) путем,

эйлеровой замены производной:

Теоремы существования оптимальных управлений в задаче (А)

получаются с помощью предельного перехода (A

)-*-(A) при

jV---co и применения необходимых условий оптимальности в ап-

проксимирующих задачах. В [40°] доказана теорема существо-

вания решения задачи (А) при f(x, и, t)—fi(x, t)+c(t)u, V—

отрезок прямой c помощью дискретного принципа максимума

в задачах (Ajv), N=\, 2, Там же высказана гипотеза о свя-

зи между существованием решения в непрерывных задачах оп-

тимизации и аналогом принципа максимума Поитрягина в дис-

кретных аппроксимирующих задачах. Частичное доказательст-

во этой гипотезы при некоторых условиях корректности дано а

работе

[47°].

В [47] доказано существование оптимальных управлений

в одномерной задаче (А) с помощью одного варианта принципа

квазимаксимума [40°, П2°], который в отличие от дискретного

принципа максимума выполняется при обычных предположе-

ниях. Принцип квазимаксимума приводит к соотношению [112°,

47°]

limH{x%(t),

y%{t)u°

(t),

0=-max#(x*(-).

ф*

(t). и, t),

N-too

uQU

to<t<t

(5)

где #(x,

t|),

= Yf(x> я, -)» x.U-)> fjv(')

—

оптимальные тра-

ектории в ОСНОВНОЙ и сопряженной [40

] системах задачи (A

N=\,2,.,

,,х* (t),

<|>*

(t) —равномерные пределы последова-

тельностей {x°

(t)},

{<&(•*)},

Л/= 1,2, ...

В [112°] с помощью соотношения (5) получены индивидуаль-

ные теоремы существования первого порядка, которые содер-

246

жат ряд известных результатов (Филиппова, Чезари, Ивановой,

Поляка) и могут применяться в конкретных ситуациях. На та-

ком пути доказана также теорема Нойштадта [171°] для слу-

чая <р(х)=с'х без привлечения теоремы Ляпунова о векторных

мерах (можно рассмотреть и более общие, в частности, вогну-

тые функционалы).

Дальнейшее развитие метода дискретных аппроксимаций со-

стоит в использовании конструкций лексикографического мак-

симума и формул приращения функционала в дискретных сис-

темах. На таком пути получены теоремы существования реше-

ний в линейных по состоянию системах с управляемой

структурой, в которых условия выпуклости .множества (4) за-

меняются предположениями о полунепрерывности снизу других

множеств, построенных по параметрам задачи.

Отметим, что метод дискретных аппроксимаций позволяет

получить теоремы существования в классах кусочно-непрерыв-

ных и других доступных функций (см. § 8), Этот метод позво-

ляет не только доказывать существование решений в непрерыв-

ной задаче, но и обосновывать возможность их построения по

решениям конечномерных задач.

путем доказательства сходи-

мости

)~>-(A)

по управлениям,

траекториям, скоростям и

т. Д.

§ 8. ТЕОРЕМЫ СУЩЕСТВОВАНИЯ

В КЛАССАХ ДОСТУПНЫХ ФУНКЦИЙ

В предыдущих параграфах рассматривались теоремы суще-

ствования решений задач оптимального управления в классе

измеримых управлений и абсолютно непрерывных траекторий.

Такой класс допустимых 'пар удовлетворяет необходимым тре-

бованиям к полноте в естественных'функциональных простран-

ствах и позволяет использовать при доказательстве теорем су-

ществования рассуждения, связанные с предельным переходом.

Расширение класса допустимых кривых от гладких (кусочно-

гладких) до абсолютно непрерывных функций (что соответст-

вует переходу от кусочно-непрерывных к измеримым управле-

ниям) производится в вариационном исчислении и теории опти-

мального управления, начиная с классических работ Д. Гиль-

берта, Лебега, Тонелли. Данный переход позволяет полу-

чить значительно более общие теоремы существования опти-

мальных элементов и вместе с тем не приводит, как правило, к

серьезным усложнениям при решении задачи в расширенном

классе (основное необходимое условие оптимальности

—

прин-

дни максимума Понтрягина

—

выполняется для случая измери-

мых ограниченных управлений*). В этом СОСТОИТ принципиаль-

* Случай неограниченных управлений рассмотрен в [166°, 180].

247

ное отличие данного типа расширений от расширений, описан-

ных в §§ 4, 5, где изменяется не ТОЛЬКО класс допустимых

элементов, но и сам вид задачи. Если решение задачи оптималь-

ного управления существует в классе измеримых функций, то

оно может быть найдено с помощью принципа максимума Понт-

рягина и других необходимых

условий

оптимальности.

При этом,

как правило, оказывается, что найденное решение обладает бо-

лее регулярной природой

(кусочно-непрерывное,

кусочно-посто-

янное, гладкое и т. п.), т. е. принадлежит некоторому классу

доступных функций. Вместе с тем любое измеримое управле-

ние может быть эффективно аппроксимировано допустимыми

управлениями из классов доступных функций.

Таким образом, переход к измеримым управлениям не вно-

сит, как правило, принципиальных изменений в структуру ва-

риационной задачи и процедуру ее решения, по позволяет уве-

реннее пользоваться методом необходимых условий оптималь-

ности при нахождении оптимального управления. Особое место

в теории существования оптимальных управлений занимают pa-

боты, в которых находятся априорные условия на параметры

задачи, гарантирующие существование решений в заданных

классах доступных функций (кусочно-непрерывных управлений,

кусочно-гладких траекторий и т. п.). Остановимся кратко на ос-

новных результатах в этом направлении. Все функциональные

параметры рассматриваемых задач будем считать непрерывны-

ми

(если

не оговорены дополнительные предположения).

Первый тип результатов связан с применением необходимых

условий оптимальности. С одной стороны, индивидуальные

теоремы существования (п. 7.1) при некоторых дополнительных

предположениях гарантируют существование решений

классах

непрерывных управлений и гладких траекторий, Апостериорные

условия этих теорем легко выражаются в априорной форме для

специальных классов задач. С другой стороны, с помощью не-

обходимых условий оптимальности в «измеримых» расширениях

получается ряд теорем существования оптимальных управлений

в классе релейных функций с конечным числом моментов пере-

ключения для линейных по управлению систем. При этом тре-

буется выполнение некоторых условий невырожденности (нор-

мальность по Ла Саллю

[157],

условие общности положения

[53°] и т. п.). Более тонкий результат в этом направлении по-

лучен в

[44°].

Результаты такого типа естественно получаются

и с помощью необходимых условий оптимальности в дискрет-

ных аппроксимациях (см. п. 7.3). При этом возникает ряд новых

теорем.

Второй тип результатов относится к линейным по состоянию

задачам оптимального управления и связан с анализом мно-

жества достижимости. Здесь решающую роль играют обобще-

ния теоремы Ляпунова о векторных мерах, которые позволяют

доказать, что для систем с аналитическими коэффициентами

548

совпадают множества достижимости, порожденные измеримыми

и кусочно-непрерывными управлениями (принцип релейности).

Общая конструкция таких результатов связана с анализом

экстремальных решений в смысле Олеха. Наиболее СИЛЬНЫЙ

результат в этом направлении принадлежит Халкину

[136].

Применение необходимых условий оптимальности. Нетруд-

но показать, что в задаче (A) существует непрерывное опти-

мальное управление, если множество M*(t) из (7.2), построен-

ное вдоль некоторой обобщенной оптимальной траектории, одно-

точечного для всех te [t

, t\]. Если же одноточечно множество

V*(t) из (7.1), то в задаче (А) существует непрерывно диф-

ференцируемая оптимальная траектория'. Если при этом допол-

нительно предположить, что множество M*(t) имеет ограни-

ченную вариацию на [to, t1] (в смысле [140]) либо выпукло и

полунепрерывно снизу,'то можно гарантировать существование

оптимальных управлений в классе непрерывных функций. Пос-

ледние утверждения связаны с применением теорем Хермса

[140] и Майкла [182] о непрерывных сечениях многозначных

отображений. Приведенные теоремы позволяют судить о суще-

ствовании доступных решений в конкретных ситуациях. Не-

трудно указать априорные условия для выполнения данных тео-

рем, которые охватывают известные результаты; например: мно-

жество M*(t) одноточечно, если выполняются условия теоремы

Поляка [58]; множество

(t) состоит из одной ТОЧКИ, если

строго выпукло множество скоростей Q(x, t), если функция

(х, и, t) одномерна [47] и т. д.

Для линейных стационарных систем х=Ах+Ви, U — выпук-

лый многогранник, одноточечноеть множества M*(t) гаранти-

руется условием общности положения

[53°],

которое для случая

U— [—1, 1] имеет вид

rank

{В,

A5,...,A"-

B}=n (1)

и совпадает с условием полной управляемости [23,

40°]*.

Ана-

логичный смысл для линейных нестационарных систем имеет

условие нормальности по Ла Саллю

[157],

условие вполне ли-

нейной независимости, связанное с L-проблемой моментов

[87°],

условие невырожденности определяющего уравнения [40°] и

т. д. При этом гарантируется существование релейных опти-

мальных управлений, которые принимают значения в вершинах

многогранника и имеют конечное число моментов переключе-

ния. Подобные результаты получены и для нелинейных по со-

стоянию систем вида

x—f(x)

+b(t)u,

|и|<1,

* Элементарное доказательство теоремы существования релейных опти-

мальных управлений в задаче быстродействия с условием (1) имеется в моно-

графии

[20°].

17—7988

249

в работах [25, 32]. Предложенные при этом условия невырож-

денности допускают эффективную проверку при n<3.

В монографии [44°] доказано существование кусочно-непре-

рывного оптимального управления в задаче минимизации нор-

мы конечного состояния на траекториях системы

x = A{t)x+B(t)tt, (7={а-=(а,...,и

); а

<и

<р

;

—

....г},

(2>

при условии, что матрицы A(t), B(t) кусочно-аналитические.

Прн этом не предполагалось выполнение условий невырожден-

ности типа (1) и использовалась конструкция, связанная с лек-

сикографическим максимумом, которая основана на применении

необходимых условий оптимальности в последовательности не-

вырожденных задач.

В монографии [79°] доказано существование оптимальной

траектории (в классе дважды непрерывно дифференцируемых

функций для задачи классического вариационного исчисления

.37»

при условии определенной положительности матрицы ---"f к

выполнении условий совместного роста типа (5.8). Доказатель-

ство основано на использовании необходимого условия опти-

мальности—уравнения Эйлера

в форме

Дюбуа—Раймона

[79°]..

Анализ множества достижимости. В работе [136] Хал-

кин доказал существование кусочно-непрерывного оптимального

управления в задаче быстродействия для системы (2) с кусоч-

но-аналитическими коэффициентами.* Основную роль в дока-

зательстве Халкина играет его обобщение теоремы Ляпунова

[131,

133] в направлении сужения множества определения век-

торной -меры (вместо всех измеримых подмножеств отрезка

[О,

1] в классической формулировке Халкина допускаются

лишь конечные объединения непересекающихся интервалов).

Данное обобщение позволяет доказать совпадение множеств.

достижимости системы (2), порожденных соответственно изме-

римыми и кусочно-непрерывными релейными управлениями..

Дальнейшее продвижение получено в работе Левинсона

[168],

который дал эффективное описание множества достижи-

мости линейной (по х, и) системы с кусочно-аналитическими

коэффициентами, порожденного кусочно-непрерывными управ-

лениями со значениями в вершинах произвольного выпуклого

многогранника. При этом использовались некоторые конструк-

ции комплексного анализа. Из описания Левинсона следует,

что построенное множество достижимости является выпуклым и

компактным. Простое доказательство выпуклости замыкания

множества достижимости, порожденного кусочно-непрерывными

управлениями в нелинейных по управлению системах, имеется

в монографии

[44°].

'Результат Халкина справедлив и для более общих функционалов,.

см.

[127].

250

Наиболее общий результат в этом направлении получен

Халкиным

[136],

который рассмотрел линейную по состоя-

нию систему

x=A(t)x + b(u, t), tt{t)eU(t), (3)

с аналитическими функциями -A(t),

(и, t) и полуаналитическим

в смысле Лоясевича [170] множеством &ц =

{(и,

t):uQU(t)}.

В [136] доказана выпуклость и компактность множества

достижимости системы (3), порожденного кусочно-непрерывны-

ми управлениями. Отсюда вытекает теорема существования

оптимальных управлений в классе кусочно-непрерывных функ-

ций для соответствующей задачи терминального управления.

Вывод теоремы Халкина основан на результате работы

[137],

где доказана выпуклость и компактность следующего «подын-

теграла» (subintegral) от многозначного отображения

\r(t)dt = T{rBR^.r=U(t)dt, у(0еГ(0>

'т

l(t) кусочно-непрерывна} (4)

при условии, что множество ^

—

{(t,

tt)QT

Х-9":и6Г

(<-)}

полу-

аналитическое в смысле Лоясевича и мера на Т непрерывна*

Отметим, что в теореме Халкина (и в построениях работы

[137]),

по существу, доказано, что экстремальные в смысле

Олеха управления являются кусочно-непрерывными. Вывод о

выпуклости и компактности соответствующего мнол<ества дости-

жимости следует отсюда в силу результатов Олеха [191, 192]

(см. л. 6.1). С анализом экстремальных в смысле Олеха управ-

лений и траекторий связан общий подход к проблеме существо-

вания «доступных» решений в линейных ло состоянию задачах

оптимального управления. Результаты <в этом направлении

имеются также в работах [128, 196] и др.

БИБЛИОГРАФИЯ

Александров П. С, Проблемы Гильберта- Сб. статей под ред. П. С. Алек-

сандрова- М-, «Наука», 1969, 240 с. (РЖМат, 1970, 4А10К)

Аркин В. И., О бесконечномерном аналоге задач невыпуклого програм-

мирования. Кибернетика, 1967, № 2, 87—93 (РЖМат, 1968, 1Б506)

—.Левин В- Л., Выпуклость значений векторных интегралов, теоремы

измеримого выбора и вариационные задачи. Успехи мат. наук, 1972, 27,

№ 3, 21—27 (РЖМат, 1972, 9Б468)

Атанс М., Ф а

л б

П., Оптимальное управление. М-, «Машиностроение»,

1968

Ахмедов К. т., Г у

с е й

в Ф, В., Теорема существования для одной

задачи теории оптимального управления. Елми эсэрлэр. Азэрб. унив.

* Выпуклость множества (4) доказывается и без условия полуаналитич-

яоств.

17*

251

Физ.-рщ'ази,Пат елмлэри сер., Уч. зап. Азерб. ун-т. Сер. физ.-мат. н.,

1973,

№ 3, 9—13 (РЖМат, 1974, 11Б687)

6. Барбащин Е. А., К теории обобщенных динамических систем. Уч. зап.

Моск. ун-та. Математика, 1949, 2, № 135

—, Алимов Ю. И., К теории релейных дифференциальных

уравнений. Изв. высш. учебн. заведений. Математика, 1962, № 1, 3—13

(РЖМат, 1963, 12Б157)

8. Бурбаки Н,, Интегрирование. Меры, интегрирование мер. М., «Наука»,

1967,

396 с. (РЖМат, 1968, 8Б45К)

9. Габасов Р., М о р д у х о в и ч Б. Ш., Индивидуальные теоремы существо-

вания оптимальных управлений. Докл. АН СССР, 1974, 215, № 4, 772—

775 (РЖМат, 1974, 8Б540)

10.—,

Чу раков а С. В., О существовании оптимальных управлений в

системах с запаздыванием. Дифференц. уравнения, 1967, 3, № 12, 2067—

2080 (РЖМат, 1968, 11Б438)

П. Данфорд Н., Шварц Дж., Линейные операторы. Общая теория. Ч. 1.

М., Изд-во ии. лит., 1962, 895 с. (РЖМат, 1963, 6Б336К)

12.

Егоров Ю. В., Некоторые задачи теории оптимального управления. Ж.

вычисл. мат. и мат. физ., 1963, 3, № 5, 887—904 (РЖМат, 1966, 10Б443)

13.

Иванова Г. П., О теоремах существования в вариационном исчислении.

Докл. АН СССР, 1966, 170, № 2, 253—256 (РЖМат, 1967, 1Б297)

14.

Иоффе А. Д., Преобразования корректно поставленных вариационных

задач. Докл. АН СССР, 1966, 168, № 2, 269—272 (РЖМат, 1966, 9Б382)

15.

—, Преобразование вариационных задач. I. Изв. АН СССР. Техн. кибер-

нетика, 1967, № 3, 51—60 (РЖМат, 1968, ЗБ437)

16.

—, Преобразование вариационных задач. П. Изв. АН СССР. Техн. ки-

бернетика, 1967, № 4, 15—23 (РЖМат, 1968, 4Б536)

17.

—, Обобщенные решения систем с управлением. Дифференц. уравнения,

1969,

5, № 6, 1010—1017 (РЖМат, 1969, 12Б512)

18.

—, Теорема существования для задач вариационного исчисления. Докл.

, АН СССР, 1972, 205, № 2, 277—280 (РЖМат, 1972, 11Б650)

19.

—, Тихомиров В. М., Расширение вариационных задач. Тр. Моск.

мат. о-ва, 1968, 18, 187—246 (РЖМат, 1968, 12Б498)

20.

—, —, Двойственность выпуклых функций и экстремальные задачи. Ус-

пехи мат. наук, 1968, 23, № 6, 51—116 (РЖМат, 1969, 8Б484)

21.

—,' —, О минимизации интегральных функционалов. Функц. анализ и

его прилож., 1969, 3, № 3, 61—70 (РЖМат, 1970, 2Б585)

22.

Казимиров В. И., О полунепрерывное™ интегралов вариационного ис-

, числения. Успехи мат. наук, 1956, 11, № 3, 125—129 (РЖМат, 1957,

3232)

23.

Калман Р. Е., Об общей теории систем управления. (Междупар. феде-

рация по автомат, упр.— 1-й Междуиар, конгресс по автомат, упр.). Т. 2,

М., АН СССР, 1960 (РЖМат, 1961, 6Б294К)

24.

Кириллова Л. С, Теорема существования для задачи терминального

управления. Автоматика и телемеханика, 1963, 24, № 9, 1178—1192

(РЖМат, 1964, 5В315)

25.

Кириллова Ф. М., К проблеме существования оптимальных траекторий

'-' нелинейных систем. Изв. высш. учебн. заведений. Математика, 1961, N° 2,

41-53 (РЖМат, 1962, ЗБ231) '

26.

—, К задаче об аналитическом конструировании регуляторов. Прнкл.

• • мат. и мех., 1961, 26, № з, 433—439 (РЖМат, 1963, 12В476)

27.

—, К задаче существования оптимального управления линейной системы

со случайным возмущением. Сиб. мат. ж., 1964, 5, № 1, 86—93 (РЖМат,

1964,

9В170) •.'-..

• 28. Клейн Ф„ Лекции о развитии математики в XIX столетии. Ч. 1, ОНТИ,

'•' 1937

29.

Кошелев В. Н., Морозов С. Ф., Достаточные условия существования

...... .разрывных решений для простейшего интеграла вариационного исчисле-

252