Галусарьян Р.Т. Сборник задач и упражнений по курсу Высшая математика, ч. I

Подождите немного. Документ загружается.

№5. Составить уравнение гиперболы, фокусы которой совпадают с

вершинами, а вершины с фокусами эллипса

3065

№6. Прямая

060512 yx

пересекает ось Ох в фокусе эллипса, а ось

Оу в вершине эллипса. Каково уравнение этого эллипса?

№7. Привести уравнение гиперболы

01615464916

yxyx

каноническому виду. Определить фокусы и уравнения асимптот. Построить

гиперболу.

№ 8. Найти фокус и уравнение директрисы параболы:

241),10)

yxbxya

Задачи для самостоятельной работы

№ 9. Дано уравнение окружности

01264

yxyx

. Найти радиус и

координаты центра окружности.

№10. Составить каноническое уравнение и построить эллипс с центром

в начале координат, если известны вершина

0,10A

и эксцентриситет

№ 11. Составить каноническое уравнение гиперболы с центром в

начале координат, если известны уравнения ее асимптот

и одна ее

точка

1;5,4

. Построить гиперболу.

№ 12. Определить основные параметры и построить эллипс:

а)

,3694

03212834)

yxyxb

№13. Составить уравнение эллипса, фокусы которого совпадают с

вершинами, а вершины – с фокусами гиперболы

№ 14. Прямая

01553 yx

пересекает ось Ох в фокусе, а ось Оу в

мнимой вершине гиперболы. Каково уравнение этой гиперболы?

№15. Привести уравнение гиперболы

03673290169

yxyx

каноническому виду. Определить фокусы и уравнения асимптот. Построить

гиперболу.

№ 16. Найти фокус и уравнение директрисы параболы. Построить

параболу:

143),8)

xybyxa

Выполняются индивидуальные

домашние задания к гл.4 по Сборнику индивидуальных домашних заданий

по высшей математике (Под ред. А.П. Рябушко).

Семинар № 4

Векторная алгебра

1. Действия над векторами. Проекция вектора на ось. Разложение

вектора по базису

kji ,,

2. Скалярное произведение двух векторов. Угол между векторами.

Условие ортогональности и коллинеарности двух векторов.

3. Векторное произведение двух векторов. Свойство

антикоммутативности. Вычисление площади треугольника.

4. Смешанное произведение трех векторов. Условие компланарности

трех векторов. Вычисление объема тетраэдра.

Задачи для решения на семинаре

№1. В треугольнике

ABC

aCAbBA ,

. Точка

BCD

. Найти вектор

, если

DCBD 2

№2.

kjiNMa 623

. Начало вектора точка

0,4,1M

. Найти точку

и орт вектора

№3. Даны модуль и углы с осями Ох и Оу вектора

45,120,12a

. Найти угол и проекцию вектора на ось Oz.

№4. Векторы

ортогональны. Вектор

составляет с ними угол

8,5,3 cba

. Найти скалярное произведение:

)3,323)2,)1 cbacbbaca

№5. Даны координаты точек

1,2,3,0,2,4,4,2,1 CBA

Найти: 1) скалярное произведение

CBBA



2) угол

ABC

, 3) проекцию

№6. При каких значениях m векторы

,6,3,1ma

1,2,2mb

ортогональны?

№7. При каких значениях m и п векторы

,6,,1 nma

3,2,1mb

коллинеарны?

№8. Вектор

1,,YXc

ортогонален вектору

)1,3,2(a

. Найти Х и У,

если

.1,1,2,2 bгдеcb

№9. Даны векторы:

kjia 63

5,4,1b

12,4,3c

Найти: 1)

, 2)проекцию

№10.

.5,2 ba

Угол между этими векторами равен

. Найти

модуль векторного произведения

baba

№11. Даны три точки:

.6,2,5,3,0,3,0,2,1 CBA

Найти: 1) векторное

произведение

BACA

2) площадь

ABC

№12. Вектор

ортогонален векторам

4, 2, 3a

kjb 3

. Найти

вектор

ZYXc ,,

, если он составляет с осью Ох тупой угол и

26c

№13. Даны две тройки векторов: 1)

jcjibjia ,,

kcjibjia ,,

. Найти смешанное произведение каждой

тройки, определить компланарную тройку. Если векторы не компланарны, то

какую (левую или правую) тройку они составляют?

№14. Найти объем тетраэдра

DABC

, если

4,5,5,1,1,2 BA

3,1,4,1,2,3 DC

№15. Принадлежат ли одной плоскости четыре заданные точки: 1)

2,3,4,2,1,1 BA

7,1,1,3,5,1 DC

;

0,5,5,1,2,3 BA

12,11,2,2,1,4 DC

Задачи для самостоятельной работы

Выполняются индивидуальные домашние задания к гл.2 по Сборнику

индивидуальных домашних заданий по высшей математике (Под ред. А.П.

Рябушко): ИДЗ- 2.1 (С. 67 – 72), ИДЗ- 2.2 задачи 1,2 (С.75 - 80)

Семинар № 5

Прямая и плоскость в пространстве

1. Общее уравнение плоскости.

2. Уравнение плоскости, проходящей через заданную точку

перпендикулярно заданному вектору- нормали.

3. Уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки.

4. Угол между плоскостями. Условия параллельности и

перпендикулярности двух плоскостей.

5. Расстояние от точки до плоскости.

6. Каноническое и параметрические уравнения прямой, проходящей

через заданную точку параллельно заданному вектору.

7. Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки.

8. Угол между прямыми. Условия параллельности и

перпендикулярности двух прямых.

9. Угол между прямой и плоскостью. Условия параллельности и

перпендикулярности прямой и плоскости.

Задачи для решения на семинаре

№1.Плоскость проходит через точку

4,1,2

перпендикулярно

вектору

4,2,3n

. 1) найти уравнение плоскости, 2) найти точку

пересечения плоскости с координатными осями, 3) построить плоскость.

№2. Построить плоскости: 1)

0632 zx

, 2)

052x

№3. Составить уравнение плоскости, проходящей через:

1) точку

0,2,1

параллельно векторам

2,1,0a

0,2,3b

2) точки

4,0,2,0,3,0,3,1,1

321

MMM

3) точку

0,2,3

перпендикулярно оси Оу.

№4. Найти угол между двумя плоскостями

0122 zyx

04623 zyx

№5. При каких значениях параметров параллельны плоскости

0412 zqypx

03 qzyx

№6. При каких значениях р перпендикулярны плоскости

012 pzypx

04332 zyxp

№7. При каких значениях m и п векторы

,6,,1 nma

3,2,1mb

коллинеарны?

№8.Найти расстояние от точки

0,2,1

до плоскости

2 3 6 6 0x y z

№9. Найти высоту DO тетраэдра DABC, как расстояние от вершины D

до плоскости ABC, если

,1,3,2A

,2,1,4B

7.3,6C

8,4,5D

№10. Найти уравнение прямой, проходящей через:

1) т.

1,3,2

параллельно вектору

3,2,1a

;

2) т.

3,2,0

перпендикулярно плоскости

043 zyx

;

3) две точки

5,0,4,0,1,2

№11. Найти угол между прямой и плоскостью и точку их пересечения:

7 z

0523 zyx

;

1 zyx

05233 zyx

№12. При каких значениях р прямая

1 z

параллельна

плоскости

013 zpyx

№13. Найти точку, симметричную точке

13,6,3M

относительно

плоскости

02332 zyx

Задачи для самостоятельной работы

Выполняются индивидуальные домашние задания к гл.3 по Сборнику

индивидуальных домашних заданий по высшей математике (Под ред. А.П.

Рябушко): ИДЗ 3.1 (С. 97 – 103), ИДЗ 2.2 задачи 1,2 (С.75 - 80).

Семинар № 6

Матрицы. Действия над матрицами

1. Матрицы. Прямоугольные и квадратные, диагональные и единичные.

Транспонирование матриц.

2. Умножение матрицы на число. Сложение матриц.

3. Умножение матриц.

4. Обратная матрица.

5. Решение матричных уравнений.

Задачи для решения на семинаре

№1. Найти матрицу Х из матричного уравнения

BXA

, если

145

803

№2. Даны матрицы

130

765

421

593

201

CBA

Найти: 1) АВ, 2) АС, 3) ВС, 4) ВЕ, Е единичная матрица.

№3. Даны матрицы

CBA

Найти

CAB

. В ответе записать транспонированную матрицу.

№4. Найти обратную матрицу:

, 2)

№5. Решить матричные уравнения:

BXA

, если

;

BAX

, если

Задачи для самостоятельной работы

№6. Найти матрицу Х из матричного уравнения

BXA

, если

543

021

№7. Даны матрицы

223

312

104

102

321

CBA

Найти: 1) АВ, 2) АС, 3) ВС, 4) ВЕ, Е единичная матрица.

№8. Даны матрицы

CBA

Найти

CAB

. В ответе записать транспонированную матрицу.

№9. Найти обратную матрицу:

, 2)

№10. Решить матричные уравнения:

BXA

, если

;

BAX

, если

Семинар № 7

Ранг матрицы. Системы линейных уравнений

1. Ранг матрицы. Методы нахождения ранга.

2. Условие совместности системы линейных неоднородных уравнений.

3. Случай определенного решения. (Методы Крамера и Гаусса

повторить). Матричный способ решения системы.

4. Случай неопределенного решения. Нахождение общего решения

неоднородной системы.

5. Нахождение фундаментальной системы решений для системы

линейных однородных уравнений.

Задачи для решения на семинаре

№1. Найти ранг матрицы:

а)

1 1 1 1

2 0 1 3

3 1 2 2

, б)

1 0 1 1

2 1 3 2

3 1 4 3

4 1 3 4

1 1 2 1

, в)

1 1 4 0

2 3 1 1

5 0 1 2

3 2 5 1

№2 . 1) Когда ранг матрицы

равен п? 2) Когда система п векторов

линейно независима?

№3. С помощью ранга матрицы исследовать на линейную

независимость систему векторов:

1, 1, 2 , 2, 3, 1 , 0, 1, 3

1 2 3

a a a

;

0, 2, 3 , 1, 1, 2 , 2, 0, 3

1 2 3

b b b

№4. Проверить системы линейных уравнений на совместность.

Совместные системы решить по правилу Крамера, методом Гаусса и

методом Жордана.

2 2 2

1 2 3

2 2 5

1 2 3

x x x

, 2)

1 2 3

4 3 2 4

1 2 3

x x x

№5. Найти общее решение системы неоднородных уравнений

5 3 1

1 2 3 4

2 10 3 0

1 2 4

4 20 6 2

1 2 3 4

x x x x

x x x

x x x x

№6. Найти фундаментальную систему решений (ФСР) системы

однородных уравнений

2 3 2 0

1 2 3 4 5

4 2 3 0

1 2 3 4 5

8 4 7 3 0

1 2 3 4 5

x x x x x

Задачи для самостоятельной работы

№7. Найти ранг матрицы:

а)

1 2 1 0

4 3 7 11

5 1 6 11

, б)

1 2 3 4

2 4 6 1

4 8 12 1

1 2 3 6

3 6 9 12

, в)

2 1 4 0

4 2 0 1

8 4 8 2

6 3 12 0

№8. С помощью ранга матрицы исследовать на линейную

независимость систему векторов:

0, 2, 1 , 2, 1, 1 , 3, 1, 0

1 2 3

a a a

;

2, 1, 1 , 3, 0, 1 , 4, 1, 1

1 2 3

b b b

№9. Проверить системы линейных уравнений на совместность.

Совместные системы решить по правилу Крамера, методом Гаусса и методом

Жордана.

1 2 3

2 3 1

1 2 3

4 3 5

1 2 3

x x x

, 2)

2 4 1

1 2 3

8 3 2

1 2 3

x x x

№10. Найти общее решение системы неоднородных уравнений