Галусарьян Р.Т. Сборник задач и упражнений по курсу Высшая математика, ч. I
Подождите немного. Документ загружается.
2.316
2.317.
§ 2.7 Применение формулы Тейлора при вычислении предела
функции
Формула Тейлора позволяет данную функцию
xfy
представить в
виде многочлена по степеням х, имеющего счетное число слагаемых (ряда)
или многочлена по степеням
0
xx
:
...)(...)()()(
0
2
02010
n
n
xxaxxaxxaaxf
0
0
)(
i
i
i
xxa
.
При для (4.1.) или для (4.2.) эти равенства можно записать
так:
n
i
n
ii
n
n
xoxaxoxPxf
0
)()()()(
, или так:
00
( ) ( ) (( ) )
n
n
f x P x x o x x
00
0
( ) (( ) )
n
in
i
i
a x x o x x
, где через
n
xo
обозначается бесконечно малая
величина более высокого порядка, чем
n
x
1
2
2
1
1
...)(
ni
i
i
n
n
n
n
n
xaxaxaxo
остаток формулы Тейлора.
Формулы Тейлора часто применяют для приближенного вычисления
значений функции и
n
xo
указывает степень точности вычисления.
Формулы Тейлора для основных элементарных функций:
1.
23
1 ... ( )
2! 3! !
n
xn
x x x
e x o x
n
2.
3.
4.
)(
)!12(
...
!5!3
12
1253
n
n
xo
n
xxx
xshx
5.
)(
)!2(
...
!4!2
1
12
242
n
n
xo
n
xxx
chx
6.
...
!3
)2)(1(
!2
)1(
1)1(
32
x
mmm
x
mm
mxx
m
)(
!
)1()1(
nn
xox
n
nmmm
7.
)()1(...
432
)1ln(
1
432
n
n
n
xo
n
xxxx
xx
8.
35
2
21
21
9.
.
13
arcsin ...
23
2 2! 5
1 3 (2 1)
()
2 ! (2 1)
n
n
n
xx
xx
nx
ox
nn
10.
11.
2 3 4
2 3 4
1 1 1 3 1 3 5
11
2
2 2! 2 3! 2 4!
x x x x x
12.
2 3 4
3
2 3 4
1 1 2 1 2 5 1 2 5 8
11
3
3 2! 3 3! 3 4!
x x x x x
Следует помнить, что применять формулы можно для функции
только в случае, если при .
Упражнения к § 2.7
Используя формулу Тейлора, найти пределы.
2.318.
2.319.
2.320.
3
11
sin
2
3
2
32
0
lim
x
xx
xa rctgxx
x
2.321.
2.322.
2.323.
2.324.
2.325.
2.326.
2.327.
1)1ln(
131
2
2
3
0
lim
x
x
exx
xxx
2.328.
)1ln(
2cos2
22
0
lim
xchxx
xxshx
x
2.329.
2.330.
2.331.
Ответы
Ответы к гл. 1
Семинар №1
1. a) 31 , b) 0 , c)
2cos
, d) 4, -5. 2. a) 38, b) -16, c) 0, d) 0, e) 24, f )368. 3.
a) - 85 , b) 27. 4. a)
1,2
, b)
3,2,2
5.
2,1,3
. 6. a) -26 , b) 0 , c)
cos
, d) 2, -3.
7. a) 55, b) 44 , c) 0, d )0, e) -90, f ) -48. 8. a) -16 , b) – 848.
9. a)
3,2
, b)
2,3,1
.
10.
2,4,3
Семинар №2
1.
.10,
5
27
,
5
6
,9,6,
5
21
,
5
2
ABDBC
2. а)
xy 2
; б)
.8
2
3
xy
3.
.0,4,12,0
4. 1) 10, 2)
01352 yx
,
,02752)3 yx
4)
,5xy
5)
.23
5. а)
5y
, б)
3x
, в)
1--2xy112 илиxy
.
6.
6,2
. 7.
1341
22
yx
.
8.
.24,3,1,5,3,2,0 ABDBC
9.
.15,13,5,4 BDACD
10. а)
2xy
; б)
3
x
y
11.
037:,01634: yxCMyxCK
.
12. а)
4x
, б)
1y
, в)
x3y5 илиxy
.
13.
.034,064 yxyx
14.
.441
22
yx
15.
.2532,3,2,5
22
1
yxOR
Семинар №3
1.
1341
22
yx
. 2.
1
144225
22
yx
.
3.
3
5
,1
6436
22
yx
.
4.
0,3,0,3,3,4,5)
21
FFcbaa
,
3,4,,1,2)
1
baполуосиОцентрb
1,72,1,72F
21
Fфокусы
.
5.
55
22
yx
. 6.
1
144169
22
yx
. 7.
1
16
3
9
2
22
yx
.
8.
) 2,5;0 , 2,5, ) 1, 1 , 3a F x b F y
9.
5, 2, 3RC
10.
1
36100
22
yx
. 11.
1
818
22
yx
.
12.
0,5,0,5,5,2,3)
21
FFcbaa
,
,4,32,2,1)
1
baполуосиОцентрb
4,1,0,1F
21
Fфокусы
.
13.
3065
22
yx
. 14.
1
916
22
yx
.
15.
2
2
12
1
5
1, 5,1 , 15,1 ,
64 36
3 4 11 0, 3 4 19 0
y
x
FF
x y x y
16.
0,3,2),2,2;0) xFbyFa
Семинар №4
1.
ba2
3
1
. 2.
6,2,2N
,
7
6
,
7
2
,
7
3
0
a
.
3. 6 или -6. 4.
.162)3,62)2,12)1
5.
.25,2)3,45)2,25)1
0
6.
1
или
2
.
7.
4.3/1 nm
. 8. Х = -1, У = 1.
9. 1) 13, 2) 5. 10. 10. 11. 1)
kji 82412
, 2) 14.
12.
8,24,6c
.
13. 1) компланарные, 2) левая тройка. 14. 3.
15. 1) нет, 2) да.
Семинар №5
1. 1)
012423 zyx
,
2)
.3:,6:,4: zOzyOyxOx
3. 1)
016364 zyx
, 2)
062 zyx
, 3)
2y
.
4.
21/5arccos,21/5arccos
. 5.
1,6 qp
6.
2
или
2
. 7.
4.3/1 nm
. 8. 2. 9. 11.
10. 1)
3
1
2
23
y
z
x
, 2)
4
3
1
2
3
ZYx
,
3)
51
1
6
2 zyx
11. 1)
1,3,2,
352
11
arcsin
0
M
, 2) параллельны.
12.
3
. 13
1,2,5
1
M
.
Семинар №6
1.
358
1326
X
.
2. 1)
80
6
45
4
42
1
AB
, 2)
6
5
, 3)
3
38
15
BC
, 4)
BBE
.
3.
32
112
22
37
8
48
14
39
.
4.1)
1
2
0
1
1
3
0
3
3
6
1
1
A
, 2)
2
9
1
5
1
B
.
5. 1)
,
52
13
39
30
5
5
13
1
2)
1
1
1
0
. 6.
13
02
133
X
.
7. 1)
4
1
2
8
5
9
AB
, 2)
1
8
AC
, 3)
5
3
5
BC
,
4)
BBE
.
8.
181
. 9. 1)
6
5
4
10
9
8
6
7
4
4
1
1
A
, 2)
3
4
5
7
1
B
.
10. 1)
,
3
2
5
3
1
4
3
2
6
2)
4
2
5
3
.
Семинар№7
1. а) 2, б) 2, в) 3.
2. 1) если определитель матрицы не равен нулю, 2) если ранг матрицы,
составленный из координат векторов равен п .
3. 1) линейно зависимая
2
3 1 2
a a a
, 2) линейно независимы.
4. 1)
0, 2, 1
, 2) система не совместна.
5.
3 5 25 10 2
1 2 2 1
, , ,
12
93
t t t t
tt
.
6. Если свободные переменные
,,
5
24
x x x
, то ФСР имеет вид:
1/ 2,1, 0, 0, 0 , 1/ 2, 0, 1,1, 0 , 1, 0, 1, 0, 1
1 2 3
X X X
Общее решение
1 1 2 2 3 3
X c X c X c X
.
7. а )2, б) 3, в) 2.
8. 1) линейно независимы., 2)линейно зависимая
2
3 1 2
b b b
9. 1) система не совместна, 2)
1, 0, 1
.
10.
5 4 11 7 3
1 2 2
, , ,
12
10 5
t t t
tt
.
11. Если свободные переменные
3
,,
5
4
x x x
, то ФСР имеет вид:
1/5, 7/5,1, 0, 0 , 7 /5, 1/5, 0,1, 0 , 1/5, 7/5, 0, 0, 1
1 2 3
X X X
Общее решение
1 1 2 2 3 3
X c X c X c X
.
Ответы к главе 2
2.1. 2/3, 2.2. 24/9, 2.3. , 2.4. 0, 2.5. 0, 2.6. , 2.7. 17/30,
2.8. 13/8, 2.9. 1/4, 2.10. -1/2 2.11. . 2.12. 0, 2.13. 3/2, 2.14. 2, 2.15.
4/3, 2.16. 4/3, 2.17. 0, 2.18. 1, 2.19. 5/7, 2.20. 9/5, 2.21. 5/3, 2.22. 5/4, 2.23.
, 2.24. , 2.25. 16/3, 2.26. 9/2, 2.27. 20, 2.28. -1/25, 2.29. 1, 2.30. 1/3,
2.31. 1, 2.32. 1, 2.33. 1, 2.34. 3, 2.35. 5/4, 2.36. 20/9, 2.37. 3/4, 2.38. 7/2, 2.39.
3/2, 2.40. , 2.41. 5/2, 2.42. 0, 2.43.1/2, 2.44. , 2.45. 1, 2.46. 1/4, 2.47. 2/3,
2.48. 2, 2.49. 23/90, 2.50. 1/4, 2.51. 1/8, 2.52. /4, 2.53. , 2.54.
2
1
2
1
N
, 2.55.
2
1
logN
, 2.56. , если ; если же ,
то N=0; 2.57.
)2(
a
N
, 2.58. , 2.59. , 2.60. , 2.61. -
8/5, 2.62. 0.2, 2.63. 0, 2.64. 0, 2.65. , 2.66. , 2.67. 0, 2.68. 0, 2.69. 8/3,
2.70. 2, 2.71.
2
, 2.72. 0, 2.73. 1/2, 2.74. 1/4, 2.75. , 2.76. 0, 2.77. 400, 2.78.
145/1024, 2.79. 49/24, 2.80. n(n+1)/2, 2.81. m/n, 2.82. 19/9, 2.83. 21, 2.84.
n(n+1)/2, 2.85. 1/2, 2.86. 1/24, 2.87. 12/5, 2.88. 3/4, 2.89. 144, 2.90, -2, 2.91.
2/3, 2.92. , 2.93. 1/4, 2.94. 1/2, 2.95. 1/12, 2.96. 20, 2.97. 0, 2.98. ,
2.99. e
-5
, 2.100. e
-0.3
, 2.101. e
3
, 2.102. e
-6
, 2.103. e
6
, 2.104. e
8/3
, 2.105. , 2.106.
16, 2.107. e
4
, 2.108. e
6/5
, 2.109. 0, 2.110. , 2.111. -2.5, 2.112. 1/6, 2.113. 200,
2.114. , 2.115. , 2.116. , 2.117. 1, 2.118. 6, 2.119. , 2.120.
3, 2.121. 2, 2.122. , 2.123. -6/ , 2.124. 11/8 , 2.125 , 2.126. 3/2, 2.127.
, 2.128. 6, 2.129. 2, 2.130. 1/5, 2.131. 2/ , 2.132. 5/4, 2.133. 65/112, 2.134.
7/36, 2.135. 1/48, 2.136. 29, 2.137. 1, 2.138. 2/ , 2.139. а/ ,2.140. 1/2, 2.141.
sina, 2.142.
sin
2
3
, 2.143. 3/11e, 2.144. 2a
2
lna, 2.145. , 2.146. -1/8, 2.147.
8, 2.148. a/cos
2
a, 2.149. 9ln3/ , 2.150. 3ln3, 2.151. , 2.152. 1/8, 2.153. ,
2.154. 3
0.1
, 2.155. , 2.156. , 2.157. e
-1
, 2.158. e
3/2
, 2.159. , 2.160. ,
2.161. a
x
ln
2
a, 2.162. e
-(a+b)
, 2.163. lna, 2.164. 6, 2.165. , 2.166. a
b
lna, 2.167.
, 2.168. e, 2.169. , 2.170. -1/2, 2.171. sinx/x, 2.172. 0, 2.173. ½,
2.174. 1/2, 2.175. одного порядка, 2.175(а). не сравнимы. 2.177. при ,
2.178. а) 1/3; б) 1/2; в) эквивалентны; г) 2; д) 2; е) эквивалентны, 2.179. 1)
1.03; 2) 3.167; 3) 26/9 = 2.(8); 4) 1.12; 5) 0.72; 6) 0.043,
2.180. Указание. Произвести замену x = t
20
.
2.181. точки бесконечного разрыва, x=2 и x = 2
вертикальные асимптоты, y=0 горизонтальная асимптота.
2.182. - точки бесконечного разрыва, x = 1 и x = 1 вертикальные
односторонние асимптоты, y =1 горизонтальная асимптота.
2.183. x =1 точка бесконечного разрыва, x =1 вертикальная
(правосторонняя) асимптота, y =1 горизонтальная асимптота.
2.184. х = 3 точка разрыва 1-го рода, у = 0 горизонтальная
асимптота.
2.185. , горизонтальная асимптота.
2.186. - точки бесконечного разрыва, x =2 и x = 2 вертикальные
асимптоты, y =1 горизонтальная асимптота..