Галусарьян Р.Т. Сборник задач и упражнений по курсу Высшая математика, ч. I
Подождите немного. Документ загружается.
2.224.
2.225.
2.226.
2
4
32
,1
, 1 1
,1
ax x если х
f x bx x если х
ax bx если х
§ 2.5 Производная. Дифференцирование функций
1. Производные функций, заданных явно
Таблица производных
1
1.
aa
x a x
2
1
8.
cos
tgx
x
2. ln
xx
a a a
2
1
9.
sin
ctgx
x
3.
xx
ee
2
1
10. arcsin
1
x
x
1
4. ln x
x
2
1
11. cos
1
arc x
x
1
5. log
ln
a
x
xa
2
1
12.
1
arctgx
x
6. sin cosxx
2
1
13.
1
arcctgx
x
7. cos sinxx
1
14.
2
x
x
Правила дифференцирования
1. u v w u v w
,
2. u v u v v u
,
2
3.
u v v u
u
v
v
.
Производная сложной функции равна произведению производных всех
составляющих ее функций.
Пример:
32
1
sin ln 3sin ln coslnx x x
x
.
Применены формулы производных степени, синуса и логарифма
Упражнения к § 2.5
Найти первую производную:
2.227. а)
3
23
2
32
xa
b
y x x x
, б)
3
4
31
54
y x x c x x
x
,
в)
23
7
2
5
7
ax
y x x x x c
b
x
,
г)
ln 4
sin1,3 1,1
a
y x x arctg
x
.
2.228. а)
2
4
42y x x x
, б)
3
5
1
2
x
yx
x
,
в)
2
2
3
1
t
st
tt
, г)
3
3
1
2 8 1 ?s t t s
t
.
2.229. а)
2sin cos
sin 2cos
xx
yx
xx
, б)
arcsiny x x
,
в)
2 ln
cos
x
x
e
y x x
x
, г)
shx chx
yx
thx
.
Найти производные сложных функций:
2.230.
5
23
4 sin 2y x x x
. 2.231.
4
1 sin 3
10
x
yx
.
2.232.
3
2 3 2
4cos 5 ln 1y x x x
.
2.233. а)
2
3
23
x
x
yx
, б)
sin
sin
ax
y x x a
.
2.234 а)
5
lny x tg x
, б)
16
2
4
ln arcsin 2y x x x
,
2.235. а)
3
2
1
ln cos5
yx
x
, б)
53
3
2
log 1y x arctg x
.
2.236. а)
10
2
41y x x x
, б)
3
arcsin 5y x x
.
2.237. a)
2
2
4
x
arctg
y
x
, б)
y x x x
,
в)
2
cos
5 arcsin
2
x
x
y
, г)
73
cos 2 3y x arctg x
.
2.238. а)
2
arccos3 1 9y x x
, б)
22
ln 1 1y x x x x
.
2.239. а)
2
ln ax bx c
ye
, б)
a a x
a x a
y x a a
.
2.240. а)
4
1
1
thx
y
thx
, б)
3
lny sh x chx
.
2.241. а)
2
cos sin
3
x
y
, б)
5
ln lnyx
.
2.242. а)
3
3
1
ln
1
x
y
x
, б)
2
3
1
ln
xx
y
x
.
Используя метод логарифмического дифференцирования
lny y y
или формулу производной степенно – показательной функции
1
ln
v v v
u vu u u u v
,
найти производные следующих функций:
2.243. а)
32
4
2 1 5 1
4
xx
y
x
, б)
2
3
5
21xx
y
x
.
2.244. а)
1
3
22
x
xx
y x x
, б)
sin 1
x
y x x x e
.
2.245. а)
3
sin2
x
xyx
, б)
x
x
y x x
.
2.246. а)
2
3
sin2
x
exy x x
, б)
3
sin
1 sin
x
x
y x x x
.
2.247. а)
22
cos 3
5
2 1 ln
x x x
xx
yx
, б)
2
2
3
4
33
sin
1
ln ln
22
xx
x
yx
xx
.
2.248. а)
2
cos
5
2
1 sin
x
x
xxyx
, б)
3
3
1 sin
ctgx x
y x x x
.
2.249. а)
cos2
2
arcsin 3
x
x
xxyx
, б)
cos
3
3
1
1
x
x
y x x tg
x
.
2.250. а)
ln 2 1
ctg x
x
yx
, б)
2
sin 2
42
52
x
e
yx
xx
.
2.251. а)
63
ln 2 1
5
sin
xx
x
yx
, б)
2
3
2
94
x
arctg
yx
x
.
Найти производную и построить ее график
2.252.
2
1 , ,1
3 2, 1, 2 ,
2, 2
x если х
y х х если х
х если х
2.253.
2
ln 1 , ,0
2
,0
2
x если х
y
xx
если х
2. Производные высших порядков явных функций
Производной п-го порядка называется производная от производной п -
1 - го порядка:
1n
n
yy
.
Например,
,
VI V
y y y y
.
Производные п -го порядка для некоторых функций.
1) Степенная функция
1 1 ,
,
!,
0,
n
n
kn
n
k
ax b
ax b
k k k n a
если к не целое или к n
an если к п
если целое к n
,
при
1
!
1
11
n
n
n
n
na
k
ax b
ax b
.
2) Тригонометрические функции
sin sin , cos cos
22
nn
nn
n
n
ax a ax ax a ax
.
3) Логарифмическая функция
1
1!
ln 1
n
n
n
n
na
ax b
ax b
.
4) Показательная функция
n
ax b n ax b
e a e
,
ln
n
kx b n n kx b
a k a a
.
Производная п-го порядка для произведения двух функций (формула
Лейбница)
0
n
n
n k k
k
n
k
u v C u v
1 2 2 1
11
2! 2!
n n n n
nn
n n n n
u v nu v u v u v nu v u v
Найти производные указанного порядка
2.254. а)
5 4 3 2
3 5 4 ?y x x x x y
,
б)
4
1
?
60
yy
x
.
2.255. а)
3
2
1?y x y
,
б)
3
2
1?y x y
.
2.256. а)
4
3
ln ?y x x y
,
б)
2
sin3 ?y x x y
.
2.257.
2
arcsin
?
1
x
yy
x
.
2.258.
2
sin3 0 ?
x
y e x y
2.259.
2
?y arctgx y
2.260.
2
4?y x y
2.261.
?
x
y x y
2.262.
arcsin 3sin ?y x y
2.263.
44
sin cos ?y x x y
2.264.
?
x
y x y
2.265.
5
2
ln 1 ?y x y
2.266.
4
1
?
1
yy
x
2.267.
22
ln ?y x x a y
Найти производные п-го порядка:
2268.
2
1
41
y
x
. 2.269.
lg 2 1yx
. 2.270.
2
1 cosyx
.
2.271.
2
1
x
y
x
. 2.272.
44
sin cosy x x
. 2.273.
lny x x
.
Используя формулу Лейбница, найти производные указанного порядка
2.274.
2
cos1
2
x
xy
найти
6
y
.
2.275.
3
1
ax
xey
найти
20
y
.
2.276.
5
sin2y x x
найти
10
y
.
2.277.
2
1 sinx x x
найти
15
y
.
2.278.
2 x
y x x x e
найти
20
y
.
3. Производные функций, заданных параметрически
Если функция задана параметрически
x x t
y y t
, то
первая производная для нее определяется по формуле
t
x
t
y
y
x
,
вторая производная определяется по формуле
22
22
3
x
tt
t t t
xx
t
t
y
x y x y
y или y
x
x
.
Найти первую и вторую производные для функций, заданных
параметрически:
2.279.
2
, ln 1x arctgt y t
. 2.280.
33
cos , sinx t y t
.
2.281.
cos , sinx a t y b t
. 2.282.
sin , 1 cosx t t y t
2.283.
22
ln 1 , arcsin 1x t y t
.
2.284.
2
,1
t
t
x arctge y e
. 2.285.
2
ln , 1x t y t
.
2.286.
2
1
ln ,
cos
x ctgt y
t
.
4. Производные функций, заданных неявно
Пусть функция задана неявно
,0F x y
(1)
и
y y x
функция от х.
Для нахождения первой производной
y
следует равенство (1)
продифференцировать по х и полученное равенство решить как уравнение
относительно
y
или можно воспользоваться формулой
x
y
F
y
F
.
Найти
y
и
y
для неявно заданных функций(61 – 64):
2.287.
33
30x y xy
. 2.288.
2n0xyx l y
.
2.289.
32
0y xyx
2.290.
y
exy 1
.
2.291.
x
xy arctg
y
. Найти
y
.
§ 2.6 Вычисление пределов с помощью правила Лопиталя
1. Неопределенности и .
Правило Лопиталя: Предел отношения двух бесконечно малых или
бесконечно больших функций равен пределу отношения их производных,
если последний предел существует.
0
0
0
0
0
0
0
0 0
:
( )
( )
' ( )
' ( )
( )
( )
' ( )
' ( )
lim
lim
lim
lim lim
x x
x x
x x
x x x x
f x
x
f x
x
f x
x
f x
x
:
( )
( )
'( )
'( )
( )
( )
'( )
'( )
lim
lim
lim
lim lim
x x
x x
x x
x x x x
f x
x
f x
x
f x
x
f x
x
0
0
0
0 0
Буква над знаком равенства означает, что для вычисления предела
применяется правило Лопиталя. В этих формулах х может стремиться и к
бесконечности . Если после применения правила Лопиталя
неопределенность или сохраняется, то следует применить еще раз
правило Лопиталя.
2. Другие неопределенности
а) Неопределенность приводится к виду с помощью
равенства или к виду с омощью равенства
.
б) Неопределенность приводят с помощью преобразования
к виду , если . Если же
, то предел равен (или ). в) Неопределенности
0
0
или
0
приводятся к вышерассмотренным с помощью преобразования:
Неопределенность
1
также можно раскрывать с помощью
последнего преобразования, но лучше пользоваться формулами,
приведенными в §2.
Упражнения к § 2.6
Используя правило Лопиталя и эквивалентность, найти пределы.
2.292.
2.293.
2.294.
2.295.
2.296.
2.297.
2.298.
2.299.
3
4324
0
6sin6
3
4
24)1ln(
lim
xxx
xxxxx
x
2.300.
2.301.
2.302.
2.303.
2.304.
2.305.
2.306.
2.307.
2.308.
2.309.
xx
x
x
ln
1
1
lim
1
2.310.
2.311.
2.312.
2.313.
2.314.
2.315