114
Из геометрической интерпретацию критерия Михайлова следует, что для
устойчивости системы необходимо и достаточно, чтобы пересечение осей
,
осуществлялось в последовательности
1 1 2 2
и го-
дограф Михайлова уходил в бесконечность в
-ом квадранте.
При нарушении хотя бы одного свойства в формулировках критерия ус-
тойчивости свидетельствует о неустойчивости системы.
Построение годографа Михайлова можно проводить в системе MATLAB
с помощью функции nyquist для полинома
.
Пример 4. Для примера 3 построить годографы Михайлова при значени-
ях
,
,
,
и сделать выводы об устойчивости системы.
Для решения задачи воспользуемся Script-файлом:
T1=1;T2=0.1;
k=0;[u,v,w]=nyquist((tf([T1*T2 T1+T2 1 k],[1])),{1e-8,10});
plot(squeeze(u),squeeze(v));hold on
k=5;[u,v,w]=nyquist((tf([T1*T2 T1+T2 1 k],[1])),{1e-8,10});
plot(squeeze(u),squeeze(v));
k=11;[u,v,w]=nyquist((tf([T1*T2 T1+T2 1 k],[1])),{1e-8,10});
plot(squeeze(u),squeeze(v));
k=15;[u,v,w]=nyquist((tf([T1*T2 T1+T2 1 k],[1])),{1e-8,10});
plot(squeeze(u),squeeze(v));grid
На рис. 4 представлены отредактированные графики годографов Михай-
лова: годограф 1 (
) начинается из начала координат и соответствует апе-
риодической границе устойчивости системы; годограф 2 (
) последователь-
но обходит три квадранта, что свидетельствует об устойчивости системы; годо-
граф 3 (
) проходит через начало координат, тем самым система находится
на границе колебательной устойчивости; годограф 4 (
) соответствует не-
устойчивой системе.
С помощью команд
k=5;[u,v,w]=nyquist((tf([T1*T2 T1+T2 1 k],[1])),{1e-8,5});
figure(2);plot(w,squeeze(u),w,squeeze(v));grid
проводится построение вещественной
и мнимой
характеристики
для устойчивой системы при
(рис. 5), для которой выполняется условие
чередования корней:
.