Горбатов В.В. Логика
Подождите немного. Документ загружается.
Эта подстановка произведена правильно. Вместо всех вхождений х
мы подставили терм f(z,v), число вхождений связанной переменной у
осталось неизменным. Смысл формулы не искажен, она была
выполнимой и осталась выполнимой.
Пример 2: x/g(у) – подстановка вместо х терма g(у). Результат –
формула y(R(у, g(у)) & P(g(у))). Например:
Существует человек у, который старше своего отца, который
вчера родился (ложно!)
Существует натуральное число у, которое больше своего квадрата,
который является простым числом (ложно!)
Эта подстановка произведена неправильно. Вместо всех вхождений х
мы подставили терм g(у), но в результате число вхождений связанной
переменной у увеличилось (она оказалась связанной на тех местах, где
появилась в результате подстановки). Смысл формулы сильно искажен –
в тех интерпретациях, при которых она раньше была истинна, теперь она
оказалась ложной.
Упражнение 3. Определите, будут ли правильными следующие
подстановки в формулу y(R(у,х) & P(х)):
а) х/z
б) x/y
в) x/f(z,y)
г) x/g(x)
Теперь можно сформулировать кванторные правила.
Правила введения кванторов:
в А( / β )* в А( / β )
А() А()
(правило генерализации)
Правила исключения кванторов:
и А( ) и А( )
А(/β) А(/β)*
(правило единичного выбора)
*Примечание: при этом β абсолютно ограничена, а все
остальные свободные переменные в А ограничены
относительно β
Чтобы понять смысл понятия ограниченной переменной, рассмотрим
три примера.
101
1) В формуле х + х = 2х переменная х никак не ограничена (вместо
нее можно подставить любое число, и формула останется истинной).
2) В формуле х + 3 < 5 переменная х, напротив, абсолютно
ограничена. Данная формула окажется истинной только при х=2.
3) В формуле х + у < 5 переменные х и у ограничены относительно
друг друга – чтобы формула была истинной, надо выбирать значение х в
соответствии с уже выбранным значением у, или наоборот.
Ограничения, накладываемые на переменные при использовани
правил генерализации и единичного выбора, необходимы для того,
чтобы правильно строить вывод.
Поскольку в исчислении предикатов мы используем существенно
новые правила, которых не было в исчислении высказываний, нам
потребуется уточнить понятия вывода и доказательства.
Выводом в исчислении предикатов является непустая
конечная последовательность формул, удовлетворяющая
следующим условиям:
1) Каждая из них либо является посылкой, либо получена из
предыдущих формул по одному из правил вывода;
2) Если в выводе применялись правила в или в, то все
формулы, начиная с последней посылки и вплоть до
результата применения данного правила, исключаются из
дальнейших шагов построения вывода;
3) Ни одна предметная переменная в выводе не
ограничивается абсолютно дважды;
4) Ни одна переменная в выводе не ограничивает сама себя.
Доказательством в исчислении предикатов называется
вывод из пустого множества неисключенных посылок.
Однако не любой вывод и не любое доказательство в исчислении
предикатов являются завершенными. Дополнительно надо ввести еще
одно требование:
Вывод называется завершенным, если ни одна переменная,
абсолютно ограниченная в процессе этого вывода, не
встречается свободно ни в неисключенных посылках, ни в
заключении.
Завершенное доказательство есть завершенный вывод из
пустого множества неисключенных посылок. Последняя
формула завершенного доказательства называется теоремой.
Для примера рассмотрим следующее умозаключение:
Только сумасшедшие боятся самих себя.
Некоторые политики боятся всех.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ
ОПРЕДЕЛЕНИЕ
ОПРЕДЕЛЕНИЕ
102
Некоторые политики – сумасшедшие.
Примем исходные обозначения. Пусть х и у – переменные,
пробегающие по множеству людей. Одноместные предикаторы P и Q,
определенные на множестве людей, будут означать свойства
«сумасшедший» и «политик» соответственно. Двухместный предикатор
R, также определенный на множестве людей, будем интерпретировать
как отношение «боится».
Тогда наше логическая форма этого умозаключения представляет
собой утверждение о выводимости:
х(R(x,x) P(x)) Все, кто боится себя – сумасшедшие
х( Q ( x ) & yR ( x , y )) Существуют политики, которые боятся всех
х(Q(x) & Р(x)) Существуют сумасшедшие политики
Попробуем обосновать эту выводимость посредством исчисления
предикатов. Сначала запишем исходные посылки:
+1. х(R(x,x) P(x)) цель: х(Q(x) & Р(x))
+2. х(Q(x) & yR(x,y))
Теперь применим к ним правила исключения кванторов. Сначала
исключим квантор общности, так как для этого не требуется
ограничивать никакие переменные:
3. R(z,z) P(z) (1,
и
)
Затем исключим квантор существования:
4. Q(z) & yR(z,y) (1,
и
) z – абс. огр.
Далее нам нужно разбить полученную конъюнкцию на две формулы:
5. Q(z) (4, &
и
)
6. yR(z,y) (4, &
и
)
К последней из них мы опять применим правило исключения
квантора общности:
7. R(z,z) (6,
и
)
Теперь нетрудно получить требуемый результат, сопоставив шаги 3 и
7, а потом введя конъюнкцию и квантор существования.
8. P(z) (3,7,
и
)
103
9. Q(z) & P(z) (5,8, &
в
)
10. х(Q(x) & Р(x)) (9,
в
)
Итак, вывод построен. Ни одна переменная не была абсолютно
ограничена дважды, ни одна переменная не ограничивает сама себя.
Переменная z, абсолютно ограниченная в процессе этого вывода, не
встречается свободно ни в неисключенных посылках, ни в заключении,
так что вывод можно считать завершенным.
Упражнение 4. При помощи исчисления предикатов обоснуйте
следующие умозаключения:
а) Ни один умный человек не станет обманывать сам себя. Джон
обманул всех. Следовательно, его самого тоже обманул какой-
то глупец.
б) Только сумасшедший станет разговаривать сам с собой.
Гражданин N разговаривает со всеми. С гражданином N
разговаривают только психиатры. Следовательно, некоторые
психиатры – сумасшедшие.
в) Алиса нравится всем, кроме жены Стивена. Алисе не нравится
никто, кроме ее мужа. Никто не может быть женат сам на
себе. Значит, Стивену нравится его жена.
Рассмотрим теперь пример доказательства. Пусть нам нужно
доказать теорему x(P(x) & yQ(x,y)) yx(Q(x,y) P(x))
1. + x(P(x) & yQ(x,y))
2. + yx(Q(x,y) P(x))
3. P(x) & yQ(x,y)) (1, и) х абс. огр.
4. x(Q(x,y) P(x)) (2, и) y абс. огр.
5. Q(x,y) P(x) (4, и)
6. yQ(x,y)) (3, &и)
7. Q(x,y) (6, и)
8. P(x) (3, &и)
9. P(x) (5,7 и)
10.yx(Q(x,y) P(x))
11.x(P(x) & yQ(x,y)) yx(Q(x,y) P(x)) (10, в)
В этом доказательстве ни одна переменная не была абсолютно
ограничена дважды, ни одна переменная не ограничивает сама себя.
Переменные х и у, абсолютно ограниченные в процессе вывода, не
встречаются свободно ни в неисключенных посылках (которых нет), ни
в заключении, значит доказательство можно считать завершенным.
Теорема доказана.
104
Упражнение 5. При помощи исчисления предикатов докажите
следующие теоремы:
а) x(P(x) Q(x)) (xP(x) xQ(x))
б) xy(Q(y,x) P(y)) y(P(y) xQ(y,x))
в) хy(P(x,y) Q(x)) y(xQ(x) P(x,y))
Все эвристики, которые были сформулированы для исчисления
высказываний, сохраняют свою силу и для исчисления предикатов. Но к
ним добавляются еще две, связанные с использованием кванторов:
Эвристика № 9. Если целью является формула с
квантором – αА или αА, – то можно выбирать
дополнительные посылки, не обращая внимания на кванторы,
а исходя только из структуры подкванторного выражения А
(кванторы потом всегда можно ввести).
Эвристика № 10. Если при осуществлении вывода на
каком-то шаге необходимо применить несколько различных
кванторных правил, то сначала по возможности следует
использовать те правила, которые не требуют ограничения
переменных (а именно, (
и
) и (
в
)).
ТЕСТЫ
1. Обозначение квантора общности – это перевернутая буква А, взятая
из английского
1) Apple
2) After
3) All
4) Another
2. Обозначение квантора существования – это перевернутая буква Е,
взятая из английского
1) Enter
2) Exist
3) Example
4) Execute
3. Логическую форму высказывания «Каждый человек моложе своего
отца» выражает формула
1) х R(x,f(x))
2) хy R(x,y)
3) х R(x,f(x))
4) хy R(x,y)
4. Логическую форму высказывания «Некоторые числа больше, чем
их квадрат» выражает формула
1) х R(x,f(x))
2) хy R(x,y)
105
3) х R(x,f(x))
4) хy R(x,y)
5. Логическую форму высказывания «Кто-то любит всех» выражает
формула
1) х R(x,f(x))
2) хy R(x,y)
3) х R(x,f(x))
4) хy R(x,y)
6. Логическую форму высказывания «Каждый человек любит кого-то»
выражает формула
1) х R(x,f(x))
2) хy R(x,y)
3) х R(x,f(x))
4) хy R(x,y)
7. Формула ... не является законом классической логики предикатов
1) A A
2) A A
3) A A
4) A A
8. Формулы ... не являются законами классической логики предикатов
1) A A
2) A A
3) A A
4) A A
9. Формулы ... не являются законами классической логики предикатов
1) A A
2) A A
3) (A & A)
4) (A & A)
10.Формула ... не является законом классической логики предикатов
1) (A&B) (A & B)
2) (A & B) (A&B)
3) (A&B) (A & B)
4) (A & B) (A&B)
11.Основоположниками классической логики предикатов являются
1) Готлоб Фреге
2) Бертран Рассел
3) Фрэнсис Бэкон
4) Аристотель
12.Классическая логика предикатов анализирует внутреннюю
структуру ... суждений
1) только сложных
2) только простых атрибутивных
3) только простых реляционных
4) как простых, так и сложных
106
13.Другое название логики предикатов – «теория ...»
1) квантификации
2) коммуникации
3) верификации
4) референции
14.Вхождение предметной переменной в некоторую формулу
называется связанным, если оно ... или ...
1) следует непосредственно за квантором
2) находится непосредственно перед квантором
3) находится в области действия квантора по данной переменной
4) находится вне области действия каких-либо кванторов
15.Одна и та же переменная в процессе вывода может быть абсолютно
ограничена ... раз
1) только один
2) не более двух
3) не более трех
4) неограниченное число
16.В процессе вывода ни одна переменная не должна ограничивать
1) ни одну другую переменную
2) две другие переменные одновременно
3) ни одну предметную константу
4) сама себя
17.Вывод считается завершенным, если ни одна переменная,
абсолютно ограниченная в процессе этого вывода, не встречается
свободно ни в ... , ни в ... .
1) последующих посылках
2) исключенных посылках
3) неисключенных посылках
4) заключении
18.Теоремой логики предикатов называтся формула, представляющая
собой последний шаг любого
1) вывода
2) завершенного вывода
3) доказательства
4) завершенного доказательства
19.Переменная в выводе становится абсолютно ограниченной, если к
формуле, содержащей свободное вхождение этой переменной,
применено правило ... по этой переменной
1) введения квантора существования
2) исключения квантора общности
3) введения квантора общности
4) исключения квантора существования
20.Переменная в выводе становится абсолютно ограниченной, если к
формуле, содержащей связанное вхождение этой переменной,
применено правило ... по этой переменной
107
1) введения квантора существования
2) исключения квантора общности
3) введения квантора общности
4) исключения квантора существования
108
ТЕМА V.
СИЛЛОГИСТИКА.
Содержание темы:
Силлогистика как теория, предназначенная для анализа структуры
простых атрибутивных высказываний. Отец силлогистики – Аристотель.
Силлогистика как первая в истории человечества аксиоматическая
дедуктивная теория.
Структура простого атрибутивного высказывания: субъект, предикат,
связка, кванторное слово. Виды простых атрибутивных высказываний:
по количеству (общие и частные), по качеству (утвердительные и
отрицательные высказывания).
Язык силлогистики и его интерпретация на модельных схемах.
Принципы перевода с естественного языка на язык силлогистики.
Внешнее (пропозициональное) и внутреннее (терминное) отрицание.
Условия истинности различных силлогистических формул (А, Е, I, O).
Распределенность терминов в атрибутивном высказывании.
Отношения между основными типами силлогистических формул
(логический квадрат). Контрарность, подчинение, субконтрарность,
контрадикторность. Выводы по логическому квадрату. Ослабление и
отрицание атрибутивных высказываний. Типичные ошибки,
возникающие при отрицании атрибутивных высказываний.
Обращение и превращение атрибутивных высказываний. Правила
обращения и превращения. Противопоставление субъекту, предикату,
субъекту и предикату. Сведение различных видов противопоставления в
более простым операциям – обращению и превращению. Типичные
ошибки, возникающие в непосредственных умозаключениях.
Простой категорический силлогизм. Состав силлогизма (больший,
меньший и средний термины). Большая и меньшая посылки. Фигура
силлогизма как его характеристика по расположению терминов в
посылках. Модус силлогизма как разновидность его фигуры по типу
входящих в нее высказываний. Общие правила силлогизма (правила
посылок и правила терминов). Типичные ошибки, возникающие при
построении силлогизмов.
Энтимема и ее разновидности. Понятие корректности энтимемы.
Алгоритм восстановления энтимемы до полного силлогизма.
Сложные силлогистические умозаключения: полисиллогизмы и
сориты. Использование сложных силлогистических умозаключений в
юридической практике. Алгоритм нахождения заключения и проверки
правильности сорита.
Цели и задачи изучения темы:
109
1. Рассмотреть состав, структуру и виды простых атрибутивных
высказываний.
2. Сформулировать язык силлогистики, определить основные типы
силлогистических формул.
3. Построить семантику силлогистики с помощью круговых схем.
4. Описать основные отношения между атрибутивными
высказываниями.
5. Изучить выводы по логическому квадрату и проанализировать
основные ошибки, связанные с ними.
6. Рассмотреть схемы других непосредственных умозаключений и
сформулировать их правила.
7. Рассмотреть простой категорический силлогизм, изучить его
состав, фигуры и модусы.
8. Сформулировать общие правила силлогизма.
9. Дать обзор других видов силлогистических умозаключений.
Изучив тему, студент должен:
Знать:
1. Из чего состоит простое атрибутивное высказывание.
2. Какие бывают атрибутивные высказывания по качеству и
количеству.
3. Как строиться язык силлогистики, что он в себя включает.
4. Как силлогистические высказывания интерпретируются на
круговых схемах.
5. Что собой представляет логический квадрат, какие отношения он
фиксирует.
6. Как производится отрицание и ослабление атрибутивных
высказываний.
7. Как производится обращение, превращение и противопоставление
атрибутивных высказываний.
8. Из чего состоит и как строится простой категорический
силлогизм.
9. Каковы общие правила силлогизма.
10.Что такое энтимема и в каких случаях она используется.
11.Что из себя представляют сориты и полисиллогизмы.
Уметь:
1. Анализировать состав и структуру простых атрибутивных
высказываний.
2. Переводить атрибутивные высказывания с естественного языка на
формальный.
3. Пользоваться логическим квадратом для определения отношений
между высказываниями.
110