Горбатов В.В. Логика

Подождите немного. Документ загружается.



Выполнить упражнения и практические задания:

1) в учебнике Горбатов В.В. Логика. – М.:МЭСИ, 2006. Тема VI,

упражнения 1-3.

2) в учебнике Тарский А. Введение в логику и методологию

дедуктивных наук. – Биробиджан: Тривиум, 2000. Глава V,

упражнения 1-5, 26.

Начните с разбора самого понятия отношения. Какие двух- трех- и

четырех-местные отношения, кроме упомянутых в учебнике, вы можете

назвать?

Попрактикуйтесь в формализации бинарных отношений с помощью

языка ТБО. В частности, попробуйте формализовать известные вам

отноешния родства – это пригодится при изучении следующего

параграфа.

Чат. Совместно с товарищами обсудите вопрос о том, в каких

науках фактически используется теория бинарных отношений. Каково

методологическое значение этой теории?

Тьюториал. В группах по 3-4 человека попробуйте вспомнить

физические законы, в которых идет речь о трех- и четырех-местных

отношениях. Обсудите их логическую форму.

При изучении 2-го вопроса

Готовясь к лекции, студент должен

 Прочитать:

1) Горбатов В.В. Логика. – М.:МЭСИ, 2006. Тема VI, § 3;

 Сформировать общее представление

1) Об основных законах ТБО.

2) О способах преобразования и сокращения реляционных формул

на основании этих законов.

Вы видите, что многие реляционные связки по смыслу совпадают с

логическими союзами пропозициональной логики. Многие законы

логики теории отношений также имеют простое алгебраическое

содержание и фактически известны вам из предыдущих глав.

Но в то же время, теория бинарных отношений содержит операции и

законы, характерные только для нее. Это конверсия, композиция и

оператор исключительности. На них надо обратить особое внимание. В

частности, закон конверсии и хаконы сокращения помогут вам

справиться с практическими заданиями, приведенными в учебнике.

При подготовке к семинарскому занятию, студент должен

 Прочитать:

1) Горбатов В.В. Логика. – М.:МЭСИ, 2006. Тема VI, § 3.

2) Тарский А. Введение в логику и методологию дедуктивных

наук. – Биробиджан: Тривиум, 2000. Глава V.

141

 Изучить дополнительные материалы:

1) Шрейдер Ю.А. Равенство, сходство, порядок.™ – М., 1971.

2) Шрейдер Ю.А., Бирюков Б.В. Категория отношения и ее

когнитивные аспекты. // Вестник Московского университета.

Серия 7. Философия. №3, 2002.



Выполнить упражнения и практические задания:

1) в учебнике Горбатов В.В. Логика. – М.:МЭСИ, 2006. Тема VI,

упражнения 4-5.

2) в учебнике Тарский А. Введение в логику и методологию

дедуктивных наук. – Биробиджан: Тривиум, 2000. Глава V,

упражнения 6-10.

Советую обратить особое внимание на практические задания.

Постарайтесь разобраться в технике сокращения реляционных формул.

Тьюториал. В группах по 3-4 человека попробуйте самостоятельно

составить и упростить цепочки родства. Желательно использовать

отношения родства, известные вам из вашего ближайшего социального

окружения.

При изучении 3-го вопроса

Готовясь к лекции, студент должен

 Прочитать:

1) Горбатов В.В. Логика. – М.:МЭСИ, 2006. Тема VI, § 4;

 Сформировать общее представление

1) О логических свойствах бинарных отношений

2) О классификации бинарных отношений на основании этих

свойств

3) О наиболее важных типах бинарных отношений и их

логических особенностях.

Обратите внимание на три основные своства бинарных отношений –

рефлексивность, симметричность и транзитивность. Проанализируйте

их определения в языке ТБО и сравните их с определениями в язык

КЛП. Убедитесь, что их смысл совпадает.

Полна ли приведенная в таблице классификация отношений? Если вы

считаете, что нет, сформулируйте другие разновидности бинарных

отношений по приведененным в ней признакам. Придумайте для них

названия.

При подготовке к семинарскому занятию, студент должен

 Прочитать:

1) Горбатов В.В. Логика. – М.:МЭСИ, 2006. Тема VI, § 4.

2) Тарский А. Введение в логику и методологию дедуктивных

наук. – Биробиджан: Тривиум, 2000. Глава V.

 Изучить дополнительные материалы:

142

1) Тарский А. Введение в логику и методологию дедуктивных

наук. – Биробиджан: Тривиум, 2000. Глава III.

2) Шрейдер Ю.А. Равенство, сходство, порядок.™ – М., 1971.



Выполнить упражнения и практические задания:

1) в учебнике Горбатов В.В. Логика. – М.:МЭСИ, 2006. Тема VI,

упражнения 6-7.

2) в учебнике Тарский А. Введение в логику и методологию

дедуктивных наук. – Биробиджан: Тривиум, 2000. Глава V,

упражнения 14-16.

Начните с анализа определений логических свойств бинарных

отношений. Попрактикуйтесь, применяя их на примерах. Пострайтесь

выделить группы отношений с похожими наборами логических свойств.

Объясните, чем, на ваш взгляд, обусловлено это сходство.

Чат. Обсудите с товарищами перспективы применения теории

бинарных отношений в вашей профессиональной области. Результаты

обсуждения изложите на семинаре.

Контрольные вопросы:

1. Чем отличаются реляционные суждения от атрибутивных?

2. Какие отношения называются бинарными? Тернарными?

3. Какие логические операции можно осуществлять над бинарными

отношениями?

4. Каковы основные законы ТБО?

5. Какие из них знакомы вам из пропозициональной логики, а какие

специфичны для теории отношений?

6. Что такое рефлексивность отношения?

7. Что такое симметричность отношения?

8. Чем несимметричные отношения отличаются от

антисимметричных?

9. Что такое транзитивность отношения?

10.Какое отношение задается набром свойств «рефлексивность +

симметричность + транзитивность»?

11.Каким логческим свойством отличается отношение тождества от

отношения подобия?

12.Чем отличается частичный порядок от линейного?

При изучении темы необходимо:

Прочитать литературу:

Основная:

1. Горбатов В.В. Логика. – М.: МЭСИ, 2006. Тема VI.

143

2. Тарский А. Введение в логику и методологию дедуктивных наук.

– Биробиджан: Тривиум, 2000. Глава V «О теории отношений».

Дополнительная:

3. Шрейдер Ю.А. Равенство, сходство, порядок.™ – М., 1971

4. Шрейдер Ю.А., Бирюков Б.В. Категория отношения и ее

когнитивные аспекты. // Вестник Московского университета.

Серия 7. Философия. №3, 2002.

Посетить сайты:

1. HTTP://NTL.NAROD.RU/LOGIC/COURSE/INDEX.HTML :

Учебные материалы по курсу логики (определения, задачи,

примеры и т.д.).

2. HTTP://WWW.LOGIC.RU/RUSSIAN/LOGSTUD/INDEX.HTML :

Электронный журнал «Логические исследования».

3. HTTP :// WWW . PHILOS . MSU . RU / VESTNIK / PHILOS / ART /2002/

SHREYD _ CATEG . HTM – статья «Категория отношения и ее

когнитивные аспекты», авторы Шрейдер Ю.А. и Бирюков Б.В.

4. HTTP://PSI-LOGIC.SHADANAKAR.ORG/INDEX.HTML

Психологика (сайт Мирослава Войнаровского).

144

§1. Отношения и их виды.

Как вы помните, в силлогистике изучаются только

атрибутивные суждения (суждения о свойствах).

Реляционные суждения (суждения об отношениях)

изучает специальный раздел логики – теория

отношений. Очевидно, что суждения об отношениях

могут нести в себе информацию об объектах, которую

нельзя передать атрибутивными высказываниями.

Основы логической теории отношений были

заложены Августом Де Морганом, идеи которого

были развиты Ч. Пирсом и Э. Шрёдером.

В настоящее время теория отношений (и ее

геометрический вариант – теория графов) широко используется в

социальных науках. С помощью графов в науках о человеке и обществе

передаются отношения и системы отношений в социальных группах,

процессы коммуникации, цепочки связей между индивидами, разного

рода социопсихологические шкалы и метрики. Алгебра отношений

позволяет создавать и обрабатывать всевозможные базы данных.

Отношение – это такая связь между объектами, которая не

сводится к собственным свойствам этих объектов, но

объединяет их в единый комплекс. Например, Ромео и

Джульетта были связаны в единый коплекс (пару) неким

отношением (любовь), которое невозможно дедуцировать из

собственных свойств Ромео или Джульетты.

В естественном языке отношения обозначаются при помощи

абстрактных имен («дружба», «вражда», «родство» и т.п.) или

функциональных выражений («больше», «меньше», «равно» и т.п.).

Иначе говоря, отношения обозначаются двух- и более местными

предикаторными выражениями.

Содержание (интенсионал) отношения составляет система

признаков, характеризующих данную связь между объектами.

Например, в содержание отношения руководство входят

такие признаки как контроль, координация и пр.

Объем (экстенсионал) отношения представляет собой множество

упорядоченных n-ок объектов, находящихся в этой связи друг с другом.

Так, объем отношения руководство можно представить в виде

множества пар «руководитель + подчиненный».

В зависимости от того, какое количество объектов необходимо для

данного отношения, выделяются различные виды отношений:

1) бинарные (двухместные)

2) тернарные (трехместные)

...

n) n-арные (n-местные)

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

А. Де Морган

(1806-1871)

145

Так, например, отношение «столица» – двухместное, ибо требует как

минимум двух объектов – город, являющейся столицей, и страна,

столицей которой он является. А отношение «сводничество» следует

назвать трехместным, ибо для него необходимы как минимум три

объекта – сводник и те двое, кого он сводит друг с другом.

Упражнение 1. Определите, к каким видам принадлежат следующие

отношения:

а) знакомство

б) продажа

в) подчинение

г) наследование

д) обмен

В дальнейшем для простоты мы будем исходить из предположения,

что любое n-местное отношение можно представить как конъюнкцию

определенного количества двухместных отношений. Скажем,

трехместное отношение «ревность», имеющее место между а, b и с,

можно представить как систему бинарных отношений: а любит b, b

любит с, а ненавидит c.

У бинарных отношений принято выделять их область и

противообласть.

Областью называется множество предметов, которые

состоят в этом отношении к каким-либо другим предметам

(т.е. множество исходящих вершин графов).

Противообластью называется множество предметов, к

которым некие другие предметы находятся в данном

отношении (т.е. множество входящих вершин графов).

По характеру взаимозосвязи между областью и противообластью

отношения можно делить на исключительные и неисключительные.

Отношение между а и b называется исключительным,

если известно, что только a находится в этом отношении к b;

оно называется неисключительным, если возможно, что не

только a находится в этом отношении к b.

Если и само отношение, и его конверсия являются исключительными,

такое отношение называется взаимно-однозначным.

Упражнение 2. Определите, какие из следующих отношений

являются исключительными, а какие – нет. Какие из них являются

взаимно-однозначными?

а) отец

б) родитель

в) брат

г) жена

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

146

§2. Язык и семантика теории бинарных отношений.

Алфавит ТБО включает в себя следующие виды символов:

1) P, Q, R, S, … – реляционные переменные

2)  , +, , –, /,

–1

, ! – реляционные связки

3) I, U,  – реляционные константы

4) ( , ) – скобки

Определение формулы. (1) реляционные константы и

переменные являются формулами; (2) если А и В – формулы,

то А!,А, А

–1

, А+В, АВ, А–В, и А/В также являются

формулами; (3) ничто другое не является формулой.

Формула, входящая в состав некоторой формулы, называется ее

подформулой и выделяется скобками.

Реляционные связки позволяют производить различные операции над

отношениями, связывая их в более сложные отношения.

Символ Название



дополнение (отрицание)

–1

конверсия (обращение)

+ объединение (логическое сложение)



пересечение (логическое умножение)

– вычитание

/ композиция

! оператор исключительности

Зададим теперь семантику ТБО с помощью графов. Граф есть

ориентированное ребро, исходящая врешина которого обозначает

первый, а входящая – второй элемент бинарного отношения.

1) Каждой реляционной переменной сопоставляется её объем – некое

множество графов, определенных на предметной области U.

a b

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

147

2) Дополнением отношения является множество графов, которые не

входят в его объем. Например: если R – интерес, то`R –

безразличие (отсутствие интереса).

R `R

a b a b

3) Конверсией отношения является множество графов, полученных

из графов, входящих в объем данного отношения, путем замены

входящей вершины на исходящую. Например: если R – старше, то

–1

– моложе (старше «наоброт»)

R R

–1

a b a b

4) Пересечением двух отношений является множество графов,

входящих в объем обоих этих отношений. Например: если R

–

получение, а R

– дарение, то R

R

– обмен (получение и

дарение).

R

a b a b

5) Объединением двух отношений является множество графов,

входящих в объем по крайней мере одного из этих отношений.

Например: если R

– сын, а R

– дочь, то R

– ребенок (сын или

дочь)

a b R

или a b

a b

6) Вычитанием из одного отношения другого является множество

графов, которые входят в объем первого, но не входят в объем

второго. Например: если R

– ребенок, а R

– сын, то R

– R

– дочь

(ребенок, но не сын).

–R

a b a b

148

7) Композицией двух отношений является множество графов,

соединяющих исходящую вершину первого со входящей

вершиной второго. Например: если R

– брат, а R

– жена, то R

– шурин (брат жены)

a b с a с

8) Оператор исключительности запрещает проводить для данного

отношения более одного графа, направленного к его входящей

вершине. Например: если R – сын, то R! – единственный сын

R R

a d

c f

R R

Все эти операции естественным образом можно определить и с

помощью логики предикатов, язык и семантика которой были изложены

в главе IV. Пусть xRy означает, что R(x,y). Тогда

x R y  R(x,y)

x R

–1

y  R(y,x)

x (R

) y  R

(x,y)  R

(x,y)

x (R

R

) y  R

(x,y) & R

(x,y)

x (R

–R

) y  R

(x,y) & R

(x,y)

x (R

) y  z(R

(x,z) & R

(z,y))

x R! y  x,y,z (R(x,y) & R(z,y)  х=z)

Реляционные константы U и  совпадают по смыслу с символами 1 и

0 пропозициональной логики, обозначая универсальное и пустое

отношение соответственно.

Универсальным называется отношение, в котором состоит

любая пара объектов универсума. Пустым называется

отношение, в котором не состоит ни одна пара объектов

универсума. Символ I обозначает отношение тождества, в

котором каждый объект универсума находится только сам к

себе.

На языке КЛП это выражается следующими определениями:

xy (x,y)

xy U(x,y)

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

149

xy (I(x,y)  x=y)

Пример формализации. Примем исходные обозначения: Fr – друг,

Bs – начальник. Тогда следующие отношения можно записать в виде

таких формул:

 Друг начальника Fr / Bs

 Враждебный начальник Fr  Bs

 Единственный подчиненный друга Bs

–1

! / Fr

 Враг начальника или подчиненного Fr / (Bs + Bs

–1

)

Упражнение 3. Пусть H – «муж», O – «старше», S – «сестра», а В –

«брат». Запишите на языке ТБО следующие отношения:

а) единственная сестра мужа

б) старший брат жены

в) жена единственного младшего брата

§3. Основные законы теории бинарных отношений.

Используя определенные в прошлом параграфе операции,

можно описать универсальные свойства бинарных

отношений, выражаемые следующими законами:

R `R =  – закон непротиворечия

R +`R = U – закон исключенного третьего

R! / R

–1

= I – закон конверсии

I / R = R

R / I = R – законы сокращения

U  R = R

 + R = R

– R

= R

`R

– закон вычитания

+ R

=`R

`R

– законы Де Моргана

 R

=`R

+`R

 (R

) = (R

R

) + (R

R

)

+ (R

R

) = (R

)  (R

) – законы дистрибутивности

/ (R

) = R

+ R

Опираясь на эти законы, можно упрощать и преобразовывать

различные отношения, например, отношения родства.

Возьмем базисную номенклатуру родства:

F – отец H – муж B – брат C – сын

М – мать W – жена S – сестра D – дочь

150