Гургули С.І., Мойсишина В.М. Тестові завдання з вищої математики
Подождите немного. Документ загружается.
431
а)
1
lim 1
n
n
n
a
a
+
→∞
<
; б)
lim 0
n
n
a
→∞
≠
; в) lim 1
n
n
n
a
→∞
≤
;
г)
lim 0
n
n
a
→∞
=
; д) інша відповідь.
6.2.17. Яка з умов гарантує розбіжність ряду
()
1
0
nn
n
aa
∞
=
>
∑
?
а)
1
lim 1
n
n
n
a
a
+
→∞
≤
; б)
lim 0
n
n
a
→∞
=
; в) lim 1
n
n
n
a
→∞
> ;
г)
lim 1
n
n
n
a
→∞
≤
; д) інша відповідь.
6.2.18. Яка з умов гарантує розбіжність ряду
()
1
0
nn
n
aa
∞
=
>
∑
?
а)
1
lim 1
n
n
n
a
a
+
→∞
>
; б)
lim 1
n
n
n
a
→∞
≤
; в)
lim 0
n
n
a
→∞
=
;
г)
1
lim 1
n
n
n
a
a
+
→∞
≤
; д) інша відповідь.
6.2.19. Ряд
1
1
p
n
n
∞
=
∑
збігається, якщо:
а)
1
p
≤
; б) 1
p
> ; в) 1p
<
− ;
г) 1
p
=
; д) інша відповідь.
6.2.20. Ряд
1
1
p
n
n
∞
=
∑
розбігається, якщо:
а)
1
p
>
; б)
2p
=
; в)
1
p
≤
;
г) 2p ≥ ; д) інша відповідь.
6.2.21. Ряд
() ( )
1
1
10
n
nn
n
aa
∞
−
=
−
>
∑
збіжний, якщо тільки:
432
а)
lim 0
n
n
a
→∞
=
; б)
lim 0
n
n
a
→∞
=
і
1
, 1, 2, 3, ...
nn
aa n
+
>= ;
в)
1
, 1, 2, 3, ...
nn
aan
+
<= ; г)
1
, 1, 2, 3, ...
nn
aan
+
≥= ;
д) інша відповідь.
6.2.22. Для залишку ряду лейбніцевого типу
() ( )
1
1
10
n
nn
n
aa
∞
−
=
−>
∑
виконується умова:
а)
nn
ra≤ ; б)
2nn
ra
+
≤ ; в)
1nn
ra
−
≤ ;
г)
1nn
ra
+
≤ ; д) інша відповідь.
6.2.23. Які з наведених нижче тверджень правильні?
1)
Якщо ряд
1
n
n
a
∞
=
∑
збіжний, то ряд
1
n
n
a
∞
=
∑
теж збіж-
ний.
2)
Якщо ряд
1
n
n
a
∞
=
∑
розбіжний, то ряд
1
n
n
a
∞
=
∑
теж роз-
біжний.
3)
Якщо ряд
1
n
n
a
∞
=
∑
розбіжний, то ряд
1
n
n
a
∞
=
∑
може збі-
гатись.
4)
Якщо ряд
1
n
n
a
∞
=
∑
збіжний, то ряд
1
n
n
a
∞
=
∑
теж збіж-
ний.
а) 1 і 4; б) 2 і 4; в) 1 і 3; г) 1 і 2; д) інша відпо-
відь.
6.2.24. Які з наведених нижче тверджень неправильні?
1)
Якщо ряд
1
n
n
a
∞
=
∑
збіжний, то ряд
1
n
n
a
∞
=
∑
може розбі-
гатись.
433
2)
Якщо ряд
1
n
n
a
∞
=
∑
розбіжний, то ряд
1
n
n
a
∞
=
∑
може
збігатись.
3)
Якщо ряд
1
n
n
a
∞
=
∑
збіжний, то ряд
1
n
n
a
∞
=
∑
може розбі-
гатись.
4)
Якщо ряд
1
n
n
a
∞
=
∑
розбіжний, то ряд
1
n
n
a
∞
=
∑
теж розбі-
жний.
а) 1 і 2; б) 2 і 3; в) 3 і 4; д) 1 і 3; д) інша відпо-
відь.
6.2.25. Степеневим рядом загального вигляду назива-
ється ряд виду:
а)
()
0
0
n
n
n
axx
∞
=
−
∑
; б)
()
0
0
n
n
n
ax x
∞
=
−
∑
; в)
0
1
x
x
n
n
an
∞
−
=
∑
;
г)
1
n
n
n
ax
∞
=
∑
; д) інша відповідь.
6.2.26. Радіус збіжності степеневого ряду
()
0
0
n
n
n
axx
∞
=
−
∑
може бути знайдений за формулою:
а)
1
lim
n
n
n
a
R
a
+
→∞
= ; б) lim
n
n
R
a
→∞
= ; в)
1
lim
n
n
n
a
R
a
→∞
+
= ;
г)
lim
n
n
n
R
a
→∞
=
; д) інша відповідь.
6.2.27. Радіус збіжності степеневого ряду
()
0
0
n
n
n
axx
∞
=
−
∑
може бути знайдений за формулою:
434
а)
1
lim
n
n
n
a
R
a
+
→∞
=
; б)
lim
n
n
n
R
a
→∞
=
; в)
1
lim
n
n
R
a
→∞
=
;
г)
1
lim
n
n
n
R
a
→∞
=
; д) інша відповідь.
6.2.28. Ряд Тейлора функції
(
)
f
x має вигляд:
а)
() ()( ) ()( )
()
()( )
2
000 00 00
... ...
n
n
fx fx xx f x xx f x xx
′′′
+−+ −++ −+
;
б)
()
(
)
()
(
)
()
(
)
(
)
()
2
00 0
00 0 0
... ...
1! 2! !
n
n
fx fx f x
fx xx xx xx
n
′′′
+−+−++ −+
;
в)
()
() ()
2
00
0
0
... ...
1! 2! !
n
xx xx
xx
fx
n
−−
−
++ ++ +;
г)
() ()( ) ()( )
()
()( )
2
000 00 00
1! 2! ... ! ...
n
n
fx fx xx f x xx nf x xx
′′′
+−+ −++ −+
;
д) інша відповідь.
6.2.29. Ряд Маклорена функції
(
)
f
x має вигляд:
а)
()
(
)
(
)
(
)
(
)
2
00 0... 0...
n
n
ffxfx fx
′′′
++ ++ +;
б)
()
(
)
(
)
(
)
(
)
2
0 1! 0 2! 0 ... ! 0 ...
n
n
ffxfx nfx
′′′
++ ++ +;
в)
()
(
)
(
)
(
)
(
)
2
00 0
0......
1! 2! !
n
n
ff f
fxx x
n
′′′
++ ++ +
;
г)
()
(
)
(
)
(
)
(
)
2
11 1
1 ... ...
1! 2! !
n
n
ff f
fxx x
n
′′′
++ ++ +
;
д) інша відповідь.
435
6.2.30. Яка функція є сумою ряду
0
!
n
n
x
n
∞
=
∑
?
а)
sin
x
; б)
x
e
; в) chx; г)
(
)
ln 1
x
+
; д) інша відпо-
відь.
6.2.31. Яка функція є сумою ряду
()
()
21
1
1
1
21!
n
n
n
x
n
−
∞
−
=
−
−
∑
?
а)
sin
x
; б) cos
x
; в) shx; г) arctgx ; д) інша відпо-
відь.
6.2.32. Яка функція є сумою ряду
()
()
2
0
1
2!
n
n
n
x
n
∞
=
−
∑
?
а)
()
ln 1
x
+
; б) sin
x
; в) chx; г) cos
x
; д) інша відпо-
відь.
6.2.33. Яка функція є сумою ряду
()
21
1
21!
n
n
x
n
−
∞
=
−
∑
?
а)
x
e
; б) sin
x
; в) shx; г) chx; д) інша відповідь.
6.2.34. Яка функція є сумою ряду
()
2
0
2!
n
n
x
n
∞
=
∑
?
а)
cos
x
; б)
x
e ; в) chx; г) arctgx ; д) інша відпо-
відь.
6.2.35. Яка функція є сумою ряду
() ()
21
1
1
111
21
n
n
n
x
x
n
−
∞
−
=
−
−≤ ≤
−
∑
?
а)
(
)
ln 1
x
+
; б)
1
1
x
+
; в)
arctgx
;
г)
sin
x
; д) інша відповідь.
436
6.2.36. Яка функція є сумою ряду
() ()
1
1
111
n
n
n
x
x
n
∞
−
=
−−<≤
∑
?
а)
1
1
x
−
; б)
(
)
ln 1
x
+
; в)
x
e ;
г)
arctgx ; д) інша відповідь.
6.2.37. Яка функція є сумою ряду
() ( )
0
111
n
n
n
xx
∞
=
−
−< <
∑
?
а)
1
1
x
−
; б)
arctgx
; в)
(
)
ln 1
x
+
; г)
1
1
x
+
;
д) інша відповідь.
6.2.38. Яка функція є сумою ряду
()
0
11
n
n
xx
∞
=
−
<<
∑
?
а)
1
1
x
−
; б)
x
e ; в)
1
1
x
+
; г)
(
)
ln 1
x
+
;
д) інша відповідь.
6.2.39. Сумою якого ряду є функція
x
e ?
а)
234
1 ...xx x x++ + + + ; б)
234
1...xx x x−+ − + − ;
в)
234
1...
2! 3! 4!
xxx
x++ + + + ; г)
246
1...
2! 4! 6!
xxx
−+−+ ;
д) інша відповідь.
6.2.40. Сумою якого ряду є функція
sin
x
?
а)
246
1...
2! 4! 6!
xxx
−+−+ ; б)
357
...
3! 5! 7!
xxx
x−+−+;
в)
357
...
357
xxx
x−+−+; г)
234
...
2! 3! 4!
xxx
x−+−+ ;
д) інша відповідь.
437
6.2.41. Сумою якого ряду є функція
cos
x
?
а)
246
1...
2! 4! 6!
xxx
++++; б)
357
...
3! 5! 7!
xxx
x−+−+;
в)
246
1...
246
xxx
−+−+ ; г)
246
1...
2! 4! 6!
xxx
−+−+ ;
д) інша відповідь.
6.2.42. Сумою якого ряду є функція
shx ?
а)
357
...
3! 5! 7!
xxx
x−+−+; б)
357
...
3! 5! 7!
xxx
x++++ ;
в)
357
...
357
xxx
x++++ ; г)
357
...xx x x++++ ;
д) інша відповідь.
6.2.43. Сумою якого ряду є функція
chx ?
а)
246
1...
2! 4! 6!
xxx
−+−+ ; б)
234
1 ...xx x x++ + + + ;
в)
246
1...
2! 4! 6!
xxx
++++; г)
246
1...
246
xxx
++++;
д) інша відповідь.
6.2.44. Сумою якого ряду є функція
arctgx ?
а)
357
...xx x x−+−+ ; б)
357
...
3! 5! 7!
xxx
x−+−+;
в)
357
...
357
xxx
x−+−+; г)
357
...
357
xxx
x++−+ ;
д) інша відповідь.
6.2.45. Сумою якого ряду є функція
(
)
ln 1
x
+
?
а)
234
...
234
xxx
x−+−+ ; б)
234
...
2! 3! 4!
xxx
x−+−+ ;
438
в)
234
...xx x x−+−+ ; г)
234
...
234
xxx
x++++;
д) інша відповідь.
6.2.46. Сумою якого ряду є функція
(
)
ln 1
x
−
?
а)
234
...
234
xxx
x−+−+; б)
234
...
234
xxx
x−− − − − ;
в)
234
...
2! 3! 4!
xxx
x−− − − − ; г)
234
...xx x x−+−+ ;
д) інша відповідь.
6.2.47. Сумою якого ряду є функція
1
1
x
+
?
а)
23
1...xx x++ + + ; б)
23
1...xx x−+ − + ;
в)
246
1...
246
xxx
−+−+ ; г)
23
1...
2! 3!
xx
x++ + + ;
д) інша відповідь.
6.2.48. Сумою якого ряду є функція
1
1
x
−
?
а)
23
1...xx x−+ − + ; б)
246
1...xxx++++ ;
в)
23
1...xx x++ + + ; г)
246
1...
2! 4! 6!
xxx
−+−+ ;
д) інша відповідь.
6.2.49. Встановити відповідність між функціями та ря-
дами Маклорена:
1)
x
e ; 1)
()
2
0
2!
n
n
x
n
∞
=
∑
;
2)
cos
x
; 2)
0
!
n
n
x
n
∞
=
∑
;
439
3)
chx; 3)
()
()
2
0
1
2!
n
n
n
x
n
∞
=
−
∑
.
а) 1-2, 2-1, 3-3; б) 1-1, 2-3, 3-2; в) 1-3, 2-1, 3-2;
г) 1-2, 2-3, 3-1; д) інша відповідь.
6.2.50. Встановити відповідність між функціями та ря-
дами Маклорена:
1)
sin
x
; 1)
()
()
21
1
1
1
21!
n
n
n
x
n
−
∞
−
=
−
−
∑
;
2)
shx; 2)
()
21
1
1
1
21
n
n
n
x
n
−
∞
−
=
−
−
∑
;
3)
arctgx ; 3)
()
21
1
21!
n
n
x
n
−
∞
=
−
∑
.
а) 1-1, 2-3, 3-2; б) 1-2, 2-3, 3-1; в) 1-1, 2-2, 3-3;
г) 1-3, 2-2, 3-1; д) інша відповідь.
6.2.51. Встановити відповідність між функціями та ря-
дами Маклорена:
1)
(
)
ln 1
x
+
; 1)
()
0
1
n
n
n
x
∞
=
−
∑
;
2)
1
1
x
+
; 2)
()
1
1
n
n
n
x
n
∞
=
−
∑
;
3)
1
1
x
−
; 3)
0
n
n
x
∞
=
∑
.
а) 1-2, 2-3, 3-1; б) 1-1, 2-2, 3-3; в) 1-2, 2-1, 3-3;
г) 1-2, 2-3, 3-1; д) інша відповідь.
6.2.52. Встановити відповідність між функціями та ря-
дами Маклорена:
1)
(
)
ln 1
x
+
; 1)
()
21
1
1
1
21
n
n
n
x
n
−
∞
−
=
−
−
∑
;
440
2)
()
ln 1
x
−
; 2)
1
n
n
x
n
∞
=
−
∑
;
3)
arctgx ; 3)
()
1
1
1
n
n
n
x
n
∞
−
=
−
∑
.
а) 1-3, 2-1, 3-2; б) 1-3, 2-2, 3-1; в) 1-2, 2-1, 3-3;
г) 1-1, 2-2, 3-3; д) інша відповідь.
6.2.53. Встановити відповідність між функціями та ря-
дами Маклорена:
1)
sin
x
; 1)
()
()
21
1
1
1
21!
n
n
n
x
n
−
∞
−
=
−
−
∑
;
2)
cos
x
; 2)
()
()
2
0
1
2!
n
n
n
x
n
∞
=
−
∑
;
3)
shx; 3)
()
21
1
21!
n
n
x
n
−
∞
=
−
∑
.
а) 1-1, 2-3, 3-2; б) 1-3, 2-2, 3-1; в) 1-1, 2-2, 3-3;
г) 1-2, 2-1, 3-3; д) інша відповідь.
6.2.54. Коефіцієнти ряду Фур’є
0
1
cos sin
2
nn
n
a
nx nx
ab
ll
π
π
∞
=
⎛⎞
++
⎜⎟
⎝⎠
∑
2l -періодичної фу-
нкції
()
f
x обчислюються за формулами:
а)
() () ()
0
11 1
,cos,sin
ll l
nn
ll l
nx nx
afxdxafx dxbfx dx
lllll
ππ
−− −
== =
∫∫ ∫
;
б)
() () ()
0
00 0
22 2
,cos,sin
ll l
nn
nx nx
afxdxafx dxbfx dx
lllll
ππ
== =
∫∫ ∫
;
в)
() () ()
0
11 1
,cos,sin
22 2
ll l
nn
ll l
nx nx
afxdxafx dxbfx dx
lllll
ππ
−− −
== =
∫∫ ∫
;