Гургули С.І., Мойсишина В.М. Тестові завдання з вищої математики
Подождите немного. Документ загружается.
421
г)
3,
63 ;
t
t
xe
y
e
−
−
⎧
=− +
⎪
⎨
=− +
⎪
⎩
д) інша відповідь.
5.3.161. Знайти частинний розв’язок системи диференціальних
рівнянь
48, (0)4,
84,(0) 2.
dx
xy x
dt
dy
xyy
dt
⎧
=
−=
⎪
⎪
⎨
⎪
=
−+ =−
⎪
⎩
а)
412
412
3,
3;
tt
tt
x
ee
y
ee
−
−
⎧
=−
⎪
⎨
=+
⎪
⎩
б)
412
412
3,
;
tt
tt
xe e
y
ee
−
−
⎧
=+
⎪
⎨
=− −
⎪
⎩
в)
412
412
22,
3;
tt
tt
x
ee
ye e
−
−
⎧
=+
⎪
⎨
=−
⎪
⎩
г)
412
412
3,
3;
tt
tt
x
ee
y
ee
−
−
⎧
=+
⎪
⎨
=−
⎪
⎩
д) інша відповідь.
5.3.162. Знайти частинний розв’язок системи диференціальних
рівнянь
5, (0) 4,
3, (0) 2.
dx
xyx
dt
dy
xyy
dt
⎧
=
−=−
⎪
⎪
⎨
⎪
=
−− =
⎪
⎩
а)
42
42
5,
;
tt
tt
x
ee
y
ee
−
−
⎧
=−
⎪
⎨
=+
⎪
⎩
б)
42
42
5,
2;
tt
tt
x
ee
y
ee
−
−
⎧
=−
⎪
⎨
=+
⎪
⎩
в)
42
42
3,
42;
tt
tt
x
ee
y
ee
−
−
⎧
=− −
⎪
⎨
=−
⎪
⎩
г)
42
42
26,
3;
tt
tt
x
ee
y
ee
−
−
⎧
=−
⎪
⎨
=− +
⎪
⎩
д) інша відповідь.
5.3.163. Знайти частинний розв’язок системи диференціальних
рівнянь
3, (0)1,
8,(0)4.
dx
xy x
dt
dy
xy y
dt
⎧
=
+=
⎪
⎪
⎨
⎪
=
+=−
⎪
⎩
а)
5
5
2,
84;
tt
tt
xee
y
ee
−
−
⎧
=−
⎪
⎨
=− +
⎪
⎩
б)
,
4;
t
t
xe
y
e
−
−
⎧
=
⎪
⎨
=−
⎪
⎩
в)
5
5
23,
5;
tt
tt
x
ee
ye e
−
−
⎧
=− +
⎪
⎨
=−
⎪
⎩
422
г)
5
5
,
4;
t
t
xe
y
e
⎧
=
⎪
⎨
=−
⎪
⎩
д) інша відповідь.
5.3.164. Знайти частинний розв’язок системи диференціальних
рівнянь
28, (0)3,
4, (0) 2.
dx
xyx
dt
dy
xyy
dt
⎧
=
+=
⎪
⎪
⎨
⎪
=
+=−
⎪
⎩
а)
6
6
32 5
,
99
810
;
99
t
t
xe
y
e
⎧
=−
⎪
⎪
⎨
⎪
=− −
⎪
⎩
б)
6
6
28 1
,
99
711
;
99
t
t
xe
y
e
⎧
=−
⎪
⎪
⎨
⎪
=− −
⎪
⎩
в)
6
6
14 5
,
33
75
;
66
t
t
xe
y
e
⎧
=−
⎪
⎪
⎨
⎪
=− −
⎪
⎩
г)
6
6
514
,
33
57
;
66
t
t
x
e
y
e
⎧
=− +
⎪
⎪
⎨
⎪
=− −
⎪
⎩
д) інша відповідь.
5.3.165. Знайти частинний розв’язок системи диференціальних
рівнянь
4,(0)3,
4, (0) 5.
dx
xy x
dt
dy
xyy
dt
⎧
=− =
⎪
⎪
⎨
⎪
=
−+ =
⎪
⎩
а)
35
35
4,
4;
tt
tt
x
ee
y
ee
⎧
=+
⎪
⎨
=−
⎪
⎩
б)
35
35
4,
4;
tt
tt
x
ee
y
ee
⎧
=− +
⎪
⎨
=+
⎪
⎩
в)
35
35
2,
32;
tt
tt
xee
y
ee
⎧
=+
⎪
⎨
=+
⎪
⎩
г)
35
35
4,
4;
tt
tt
x
ee
y
ee
⎧
=−
⎪
⎨
=+
⎪
⎩
д) інша відповідь.
423
5.3.166. Знайти частинний розв’язок системи диференціаль-
них рівнянь
4, (0) 2,
,(0)1.
dx
xyx
dt
dy
xy y
dt
⎧
=
+=
⎪
⎪
⎨
⎪
=
+=
⎪
⎩
а)
3
3
2,
;
t
t
x
e
ye
⎧
=
⎪
⎨
=
⎪
⎩
б)
2,
;
t
t
x
e
ye
−
−
⎧
=
⎪
⎨
=
⎪
⎩
в)
3
3
,
2;
tt
tt
xe e
y
ee
−
−
⎧
=+
⎪
⎨
=−
⎪
⎩
г)
3
3
3,
2;
tt
tt
xee
y
ee
−
−
⎧
=−
⎪
⎨
=− +
⎪
⎩
д) інша відповідь.
5.3.167. Знайти частинний розв’язок системи диференціальних
рівнянь
2, (0) 1,
43, (0)4.
dx
xyx
dt
dy
xyy
dt
⎧
=
+=−
⎪
⎪
⎨
⎪
=
+=
⎪
⎩
а)
5
5
32,
22;
tt
tt
x
ee
ye e
−
−
⎧
=− +
⎪
⎨
=+
⎪
⎩
б)
5
5
2,
22;
tt
tt
x
ee
y
ee
−
−
⎧
=− +
⎪
⎨
=+
⎪
⎩
в)
5
5
2,
22;
tt
tt
xe e
y
ee
−
−
⎧
=−
⎪
⎨
=+
⎪
⎩
г)
5
5
2,
5;
tt
tt
x
ee
yee
−
−
⎧
=− +
⎪
⎨
=−
⎪
⎩
д) інша відповідь.
5.3.168. Знайти частинний розв’язок системи диференціальних
рівнянь
2, (0) 3,
36, (0)2.
dx
xyx
dt
dy
xyy
dt
⎧
=+ =
⎪
⎪
⎨
⎪
=
+=
⎪
⎩
а)
7
7
12 ,
3;
t
t
x
e
y
e
⎧
=+
⎪
⎨
=−
⎪
⎩
б)
7
7
14 ,
24 ;
t
t
x
e
y
e
⎧
=− +
⎪
⎨
=− +
⎪
⎩
в)
7
7
2,
13 ;
t
t
xe
y
e
⎧
=+
⎪
⎨
=− +
⎪
⎩
г)
7
7
4,
1;
t
t
x
e
y
e
⎧
=−
⎪
⎨
=+
⎪
⎩
д) інша відповідь.
424
5.3.169. Знайти частинний розв’язок системи диференціаль-
них рівнянь
3,(0)2,
3, (0) 4.
dx
xy x
dt
dy
xy y
dt
⎧
=
+=−
⎪
⎪
⎨
⎪
=+ =
⎪
⎩
а)
24
24
42,
5;
tt
tt
x
ee
yee
⎧
=− +
⎪
⎨
=−
⎪
⎩
б)
24
24
,
22;
tt
tt
xee
y
ee
⎧
=− −
⎪
⎨
=+
⎪
⎩
в)
24
24
3,
3;
tt
tt
xe e
y
ee
−−
⎧
=−
⎪
⎨
=+
⎪
⎩
г)
24
24
3,
3;
tt
tt
x
ee
yee
⎧
=− +
⎪
⎨
=+
⎪
⎩
д) інша відповідь.
5.3.170. Знайти частинний розв’язок системи диференціальних
рівнянь
2,(0)2,
2, (0) 0.
dx
xy x
dt
dy
xy y
dt
⎧
=
−+ =
⎪
⎪
⎨
⎪
=
−=
⎪
⎩
а)
3
3
3,
;
tt
tt
x
ee
yee
−−
−−
⎧
=− +
⎪
⎨
=− +
⎪
⎩
б)
3
3
,
;
tt
tt
x
ee
y
ee
−−
−−
⎧
=+
⎪
⎨
=−
⎪
⎩
в)
3
3
3,
22;
tt
tt
xee
y
ee
−−
−−
⎧
=−
⎪
⎨
=−
⎪
⎩
г)
3
3
53,
22;
tt
tt
xe e
y
ee
−−
−−
⎧
=−
⎪
⎨
=− +
⎪
⎩
д) інша відповідь.
425
6 Ряди
6.1 Теоретичні питання
6.1.1. Поняття числового ряду. Збіжність і сума ряду.
Необхідна умова збіжності ряду. Геометрична
прогресія. Гармонічний ряд.
6.1.2. Лінійні операції над збіжними числовими рядами.
6.1.3. Порівняння рядів з додатними членами.
6.1.4. Ознака Даламбера збіжності ряду.
6.1.5. Ознака Коші збіжності ряду.
6.1.6. Інтегральна ознака збіжності ряду.
6.1.7. Знакопереміжні ряди. Ознака Лейбніца.
6.1.8. Знакозмінні ряди. Абсолютна і умовна збіжність.
6.1.9. Функціональний ряд, область його збіжності. Рі-
вномірна збіжність функціонального ряду.
Ознака Вейєрштрасса.
6.1.10. Неперервність суми рівномірно збіжного функ-
ціонального ряду з неперервними членами.
6.1.11. Почленне інтегрування і диференціювання фун-
кціональних рядів.
6.1.12. Степеневий ряд. Теорема Абеля. Інтервал та ра-
діус збіжності степеневого ряду.
6.1.13. Неперервність суми степеневого ряду. Почленне
інтегрування і диференціювання степеневих ря-
дів.
6.1.14. Розклад функцій в степеневі ряди. Єдиність роз-
кладу. Ряди Тейлора і Маклорена.
426
6.1.15. Розклад в ряд Маклорена функцій
,sin ,cos ,
x
exx
()()
1
,,ln1,1 , ,
1
m
shx chx x x arctgx
x
++
−
.
6.1.16. Ортогональність системи тригонометричних фу-
нкцій. Задача розкладу функції у тригонометри-
чний ряд. Єдиність розкладу. Коефіцієнти
Фур’є, ряд Фур’є періоду 2
π
.
6.1.17. Ряд Фур’є періоду 2l .
6.1.18. Ряд Фур’є для парних і непарних функцій. Не-
повні ряди Фур’є.
6.1.19. Комплексна форма ряду Фур’є.
6.1.20. Інтеграл Фур’є. Косинус-перетворення і синус-
перетворення Фур’є.
6.1.21. Інтеграл Фур’є у комплексній формі. Перетво-
рення Фур’є.
6.2 Тестові теоретичні завдання
6.2.1. Якщо ряд
1
n
n
a
∞
=
∑
збіжний, то:
а) lim 0
n
n
a
→∞
≠ ; б) lim 0
n
n
a
→∞
=
; в) lim
n
n
a
→∞
не існує;
г)
lim 1
n
n
n
a
→∞
>
; д) інша відповідь.
6.2.2. Числовий ряд збігається, якщо:
а) існує скінченна границя послідовності частинних
сум ряду;
б) послідовність частинних сум ряду обмежена;
в) послідовність членів ряду монотонно спадна;
г) послідовність членів ряду прямує до нуля;
427
д) інша відповідь.
6.2.3. Яка з умов гарантує розбіжність ряду
1
n
n
a
∞
=
∑
?
а)
lim 0
n
n
a
→∞
=
; б)
1
lim 1
n
n
n
a
a
+
→∞
<
; в)
lim 1
n
n
n
a
→∞
<
;
г) lim 0
n
n
a
→∞
≠
; д) інша відповідь.
6.2.4. Сума ряду
()
1
1
1
n
n
aq q
∞
−
=
<
∑
дорівнює:
а)
1
a
q+
; б)
(
)
1aq
−
; в)
1
a
q
−
; г)
1
a
q
−
;
д) інша відповідь.
6.2.5. Для ряду
1
n
n
a
∞
=
∑
виконання умови lim 0
n
n
a
→∞
=
а) є необхідним для збіжності;
б) є достатнім для збіжності;
в) є необхідним і достатнім для збіжності;
г) означає, що сума ряду дорівнює 0;
д) інша відповідь.
6.2.6. Для ряду
1
n
n
a
∞
=
∑
виконання умови
lim 0
n
n
a
→∞
≠
а) є необхідним для розбіжності;
б) є достатнім для розбіжності;
в) є необхідним і достатнім для розбіжності;
г) означає, що сума ряду відмінна від нуля;
д) інша відповідь.
6.2.7. Якщо для двох рядів
1
n
n
a
∞
=
∑
і
1
n
n
b
∞
=
∑
виконується
умова 0
nn
ab
≤
≤ для всіх
0
nn≥ , то:
428
а) із збіжності ряду
1
n
n
a
∞
=
∑
випливає збіжність ряду
1
n
n
b
∞
=
∑
;
б) із збіжності ряду
1
n
n
b
∞
=
∑
випливає збіжність ряду
1
n
n
a
∞
=
∑
;
в) обидва ряди збігаються чи розбігаються одночасно;
г) збіжність одного з цих рядів не залежить від збіжно-
сті іншого;
д) інша відповідь.
6.2.8. Якщо для двох рядів
1
n
n
a
∞
=
∑
і
1
n
n
b
∞
=
∑
виконується
умова 0
nn
ab≤≤ для всіх
0
nn≥ , то:
а) із розбіжності ряду
1
n
n
b
∞
=
∑
випливає розбіжність ряду
1
n
n
a
∞
=
∑
;
б) обидва ряди збігаються чи розбігаються одночасно;
в) із розбіжності ряду
1
n
n
a
∞
=
∑
випливає розбіжність ряду
1
n
n
b
∞
=
∑
;
г) розбіжність одного з рядів не залежить від розбіж-
ності іншого;
д) інша відповідь.
429
6.2.9. Одночасну збіжність чи розбіжність двох ря-
дів з додатними членами
1
n
n
a
∞
=
∑
і
1
n
n
b
∞
=
∑
гарантує
виконання умови:
а)
lim , 0
n
n
n
a
rr
b
→∞
=<<+∞; б) lim 0
n
n
n
a
b
→∞
=
; в) lim
n
n
n
a
b
→∞
=
+∞ ;
г)
lim 0
nn
n
ab
→∞
−
=
; д) інша відповідь.
6.2.10. Яка з умов гарантує збіжність ряду
()
1
0
nn
n
aa
∞
=
>
∑
?
а)
lim 0
n
n
a
→∞
=
; б)
1
lim 1
n
n
n
a
a
+
→∞
=
; в)
1
lim 1
n
n
n
a
a
+
→∞
> ; г)
1
lim 1
n
n
n
a
a
+
→∞
< ;
д) інша відповідь.
6.2.11. Яка з умов гарантує збіжність ряду
()
1
0
nn
n
aa
∞
=
>
∑
?
а)
lim 1
n
n
n
a
→∞
= ; б)
lim 0
n
n
a
→∞
=
; в) lim 1
n
n
n
a
→∞
<
; г) lim 1
n
n
n
a
→∞
< ;
д) інша відповідь.
6.2.12. Яка з умов гарантує збіжність ряду
()
1
0
nn
n
aa
∞
=
>
∑
?
а)
lim 0
n
n
a
→∞
=
;
б)
() ()
1
,
f
xdx f x
+∞
<+∞
∫
- неперервна, спадна,
(
)
n
afn= ;
в)
() ()
100
1
1,
f
xdx f x<
∫
- неперервна, спадна,
(
)
n
afn= ;
430
г)
() ()
1
lim 0,
n
n
n
f
xdx f x
+
→∞
=
∫
- неперервна, спадна,
()
n
afn= ; д) інша відповідь.
6.2.13. Яка з умов гарантує збіжність ряду
()
1
0
nn
n
aa
∞
=
>
∑
?
а)
1
lim 1
n
n
n
a
a
+
→∞
< ; б)
1
lim 1
n
n
n
a
a
→∞
+
<
; в) lim 1
n
n
n
a
→∞
=
;
г)
lim 0
n
n
a
→∞
=
; д) інша відповідь.
6.2.14. Яка з умов гарантує збіжність ряду
()
1
0
nn
n
aa
∞
=
>
∑
?
а)
lim 0
n
n
a
→∞
=
; б)
1
lim 1
n
n
n
a
a
+
→∞
≥ ; в) lim 1
n
n
n
a
→∞
<
;
г)
lim 1
n
n
n
a
→∞
> ; д) інша відповідь.
6.2.15. Яка з умов гарантує збіжність ряду
()
1
0
nn
n
aa
∞
=
>
∑
?
а)
lim 1
n
n
n
a
→∞
≥ ; б)
lim 0
n
n
a
→∞
=
; в)
1
lim 1
n
n
n
a
a
+
→∞
> ;
г)
() ()
1
,
f
xdx f x
+∞
<+∞
∫
- неперервна, спадна,
(
)
n
afn=
;
д) інша відповідь.
6.2.16. Яка з умов гарантує розбіжність ряду
()
1
0
nn
n
aa
∞
=
>
∑
?