Хаимов 3.С. Основы высшей геодезии

Подождите немного. Документ загружается.

Для этого используют зависимость, обратную (6.11):

q + il = F (x^iy). (6.23)

Разлагая правую часть выражения (6.23) в ряд Тейлора,

имея в виду, что при у = 0 и 1=0, а х=Х и, следовательно,

F(x)=F(X ) = q0, получим

q + il = q0 + iy(*L) + +

*\dx)v 2! \ dX* 31 \ dXB /о ^

^ 4! \ dX4 /о ^ 51 I / 0^ V '

в котором значения производных и q0 берутся по широте В0.

Приравняв действительные и мнимые части (6 24), будем

иметь

а ^ а у2 / \ \ у* ( d*q \ _

9о 2 ( dX 2 /о + 24 1 dX4 /о

(6.25)

1 — и _ У3 ( ) j Уь ( & Я \

\ dX j о 6 \ dX s /о 120 \ dX® /о'

Первая производная в (6.25) получится из (6.15) как

-----

= — , (6.26)

dX N cos В0 г

остальные же производные — последовательным дифференциро

ванием по X выражения (6.26). В результате будут получены:

d2o __ t

dX2 ~~ N2 cos B Q 1

------------

-----

(1+2^ + rf);

dX3 N3 cos B0

(6.27)

------------

-----

(5 + 6/2 + 1]2— 4ri6);

dX4 iV4 cos B0

-----

(5 + 28/2 + 24f4 + 6т)2 + 8t)2/2).

dX 5 A/6 cos B0

Подставив (6.27) и (6 25), получим выражения для qo—q

и / (в секундах):

qo~q =

----

[to

--------

р — t0 (Ь + Ч + < + Ч У

С6-28)

2Л/д cos В 0 2 4 N q cos В0

j/P _ ГР

cos B0 q m 30 cos В0

У6Р

(1 2^ + По) +

(5 + 28^ + 24/4 + 6г,2 + 8т$2).

Осталось по qo—q найти разность В0—В, для чего учтем, что

q является функцией только широты, поэтому и обратно В0 =

= ср(<7о) и В = =ф[<7о+ (я—<7о)]. Откуда, раскладывая послед

нее выражение в ряд Тейлора, ограничиваясь двумя членами,

получаем

B0-B = (-f-\ (q0- q ) - ( ~ - ) (6.29)

\ dq / о \ dq* /о 2

в котором производные вычисляют по qo. Их значения будут

dB_ N0 cos Др. ^ Qs в

dq М0 0 0

следовательно,

d2B dq т ,2 . й dB 0 p т/ ^

— — — v q sin Bn —— 2 cos Bqv n . ,

dq2 dq dq dB dq

а учитывая (6.18), будем иметь

i j r =■ - *0 COs2 S o 0 + 4 t 12o + 3 t 14o) -

После подстановки их в (6.29) и приведения подобных членов

окончательно получим

1 + (5+ + чЗ-ЭД) +

+ 1 ^ - ( в1+ и «+«Э1=

' = ^ | 1- ^ г ( 1+ 2'2 + ^ )+ (б-*)

г/4

+ —1 (5 + 28/20 + 241* + 6ri§ + 8г^

120Л^о

При использовании ЭВМ формулы приводят к виду [19]

В = В0— [1 — (Ь4—0,12z2) z2]z2b2 р;

(6.30')

l = [l — (bs—bbz2)z2lzp;

В0 = Р + {50221746 + [293622 + (2350 + 22 cos2 р) cos2 Р] cos2 р} х

X 10_1°sinpcospp;

Р = (х/6367558,4969) р; z — y!(N0 cos В0);

JV0 = 6399698,902— [21562,267—(108,973—0,612 cos2 В0) cos2 В0] X

X cos2 В0]

b2 — (0,5 + 0,003369 cos2B0) sin B0 cos B0;

bs = 0,333333—(0,166667—0,001123 cos2 B0) cos2 B0;

= 0,25 + (0,16161 +0,00562 cos2 B0) cos2 B0;

b5 = 0,2—(0,1667—0,0088 cos2 B0) cos2 B0.

§ 31. ФОРМУЛЫ Д ЛЯ ГАУССОВА СБЛИЖ ЕНИЯ

МЕРИДИАНОВ

Сближение меридианов на плоскости, необходимое для пе

рехода от геодезических азимутов к дирекционным углам и об

ратно, может быть выражено как через геодезические, так и

через прямоугольные координаты точек.

Сближение меридианов на плоскости

в функции геодезических координат

Пусть Q' — изображение на плоскости точки Q эллипсоида;

Q'D и Q'F — изображения меридиана и параллели точки Q

(рис. 32); у — сближение меридианов на плоскости (гауссово

сближение меридианов). Проведем через точку Q' касательную

ТТ\ к параллели. Тогда угол, образованный этой касательной

с положительным направлением оси у, будет равен углу у. Тан

генс этого угла определяет геометрическое значение производ

ной в точке с бесконечно малыми приращениями координат dx

и dy относительно точки Q', а именно

_ dx , dx dy /п 01Ч

Ч У - — или ^ ? = —7-:-л7-> (6-31)

dy dl dl

где и — можно найти, дифференцируя по I (6.21),

dl dl

— = — I sin В cos В Г1 + — cos2 В (5■— tg2 В + 9^)1, (6.32)

dl р L 6р2 J

-^ - = N cos Б [l + -^-cos25 (1 — tg2 Б + т]2) ]. (6.33)

Подставляя (6.32) и (6.33) в (6.31), получаем

t g Y = ^ [ l + ^ c o s 2B(l + tg2B + 3T!2)]. (6.34)

Отсюда Y=arctg (tg у), которое, учитывая, что в

-градус

ных зонах у не превышает 3°,

можно разложить в ряд

T= p tg 7—р -& - + .... (6.35)

После подстановки в эту фор

мулу значения tgy из (6.34) бу

дем иметь (членами пятого по

рядка пренебрегаем)

y=l sinfij^l + -^-cos

В (1 + 3ri

)j.

^ Рис. 32. Сближение меридианов

(6 .36 ) на плоскости

При вычислении на ЭВМ используют формулу

У =

+ [(0,33333 + 0,00674 cos

В) + (0,2 cos

В —0,0067) /2] х

cos

В} I sin Вр. (6.37)

Сближение меридианов на плоскости

в функции плоских координат

Для выражения гауссова сближения меридианов на плоскости

через прямоугольные координаты точки необходимо в формулу

(6.36) подставить значение I из (6.30) и выразить широту В

через В0 следующим образом:

В = В0—(В0—В) и sin В = sin [В0—{В0—В) « sinB

—

— {В0—В)" cos В01р.

Подставляя В0—В из уравнения (6.30), учитывая только глав

ный член и то, что

NJMq = 1 + V . где nl = е'2 cos В0;

напишем

sin В = sin В0 [ 1

------

(1 + Л§)

Подставим полученное значение sin В и / из (6.30) в (6.36).

Тогда после соответствующих преобразований, пренебрегая чле

нами пятого порядка малости, окончательно получаем

Y = J L 0 tg Я0 Г1 - (1 + tg2B0-r)2) I . (6.38)

0 L J

При использовании ЭВМ применяют формулу

V = {1 — [ (0,33333 — 0,00225 cos

В0) —

— (0,2—0,067 cos

В0) z2\z2} z sin В

р, (6.39)

где

вычисляют по формуле (6.30').

§ 32. ВЫЧИСЛЕНИЕ МАСШТАБА ИЗОБРАЖЕНИЯ И ПОПРАВКИ

В РАССТОЯНИЕ ПРИ ПЕРЕНОСЕ ЕГО С ЭЛЛИПСОИДА

НА ПЛОСКОСТЬ (РЕДУКЦИЯ РАССТОЯНИЙ)

Как уже отмечалось, масштаб изображения проекции Гаусса —

Крюгера постоянен в каждой точке, не зависит от направления

и меняется только с изменением координат самой точки. Он оп

ределяет величину искажения бесконечно малых отрезков, про

веденных из данной точки, и является важнейшей характеристи

кой любой равноугольной проекции.

Формулы для выражения масштаба также могут быть полу

чены в функции геодезических и прямоугольных координат,

Перепишем формулу (6.6) следующим образом:

2 dD2 dx2 + dy2

ds2 (MdB f + (/V cos Bdl)'

/ ^ \2

( Л .У _________Л Л 1

_______

.. (6.40)

\ dl / dB V

X + ( W c o s B f

H o-^-=tgY, поэтому =secy.

dy \ dy /

Учитывая, что в равноугольной проекции масштаб изображе

ния в точке одинаков по всем направлениям, определим его для

элемента параллели. Но для параллели =0, т. е. широта не

изменяется с изменением долготы. Следовательно, из формулы

(6.40)

dy sec у / г\ л 1 \

т = — ----------1— . (6.41)

dl Ncos В v 7

Разложим sec у в ряд Маклорена

sec

7 = 1

+ —— - f—— — -f- . .. . (6.42)

г 2р2 “ 24 р4 ~ v '

Подставляя в уравнение (6.42) значение

= / sin В из формулы

(6.36), получаем с достаточной при /<1,5° точностью

sec

+ (Z sin

В)/(

р2).

Затем это значение sec

подставляем в формулу (6.41) и,

учитывая-^-[формула (6.33)], после соответствующих преобра-

зований получаем

tn—\-\ cos2 В (1 -)- т)2), (6.43)

где ц = е' cos В. Из (6.43) следует, что чем дальше от осевого

меридиана, тем масштаб больше отличается от единицы, тем

искажения длин больше.

Выразим теперь масштаб изображения в функции плоских

прямоугольных ординат у.

Для этого в формуле (6.43) заменим I на приближенное зна

чение из (6.30): I =

------

------р, а также cos

В и г\2 соответ-

N0 cos В о

ственно через cos2 В0 и Тогда

Я1= Н— (1+Т]о).

2 N1

Учишвая, что 1 + г|20 = ЛГ20//?2о, окончательно получаем

171=1-

2Rl

Для точек с у < 60 км и Во>55° эта формула дает ошибку

менее чем 1 • 10”7. Более точное значение для масштаба изобра

жения имеет следующая формула

т— 1 Ч— ^-г + — . (6.45)

24 Ri

Не различая длины дуги кривой и ее хорды, что приводит

к относительной ошибке, не превышающей 1 /200 ООО ООО (при

расстоянии до 30 км будет меньше 0,14 мм), получаем из

(6.40) следующее выражение: dD = mds, откуда

D = J mds.

(6.46)

Для расстояний, меньших 10—15 км, т. е. в геодезических се

тях 3, а иногда 2 класса можно принимать масштаб изображе

ния т постоянным, и тогда

| = s ч— — s = s+As. (6.47)

D = т \ ds — s ( I -\-

0 V

у2

ш г„

Более точная формула после интегрирования (6.46) и не

больших преобразований, введения обозначения ym=(yt +

+ г/a)/2 и At/=«/г—г/» будет иметь вид

D = s ll + A r + ^ r V (6-48)

= s^l

24 Rt

§ 33 ВЫЧИСЛЕНИЕ ПОПРАВОК В НАПРАВЛЕНИЯ ЗА КРИВИЗНУ

ИЗОБРАЖЕНИЯ ГЕОДЕЗИЧЕСКОЙ ЛИНИИ НА ПЛОСКОСТИ

(РЕДУКЦИЯ НАПРАВЛЕНИИ)

Приближенное значение этих поправок 8qk можно получить сле

дующим образом. Пусть на эллипсоиде имеем две точки Q и К,

удаленные от осевого меридиана CD на расстояние СК и DQ

(рис. 33). Изображением на

плоскости этих линий и точек

будут соответственно C'D

Q'K' с координатами послед

них xq, Xk и yq, ук. Через точки

Q и К проведем геодезические

линии QD и КС так, чтобы

они пересекли меридиан под

90°.

Ввиду равноугольного изо

бражения углы фигур

Рис 33 Редукция направлений

в проекции Гаусса—Крюгера

C'D'Q'K', CDQK будут равны, т. е.

Z.C {- Z.D + ZLQ -f Z./C = 360° + г = А.С' + A.D' + /_Q + ^К ' =

= 360° + (6?*+6fe,), (6.49)

где е — сферический избыток трапеции CDQK на эллипсоиде;

бqh и 6feg — редукции направлений.

Геодезическая линия эллипсоида KQ изображается на плос

кости кривой, вогнутость которой обращена к оси абсцисс, так

как LC' + LD' =180°, a LQ '+LK'> 180°.

Из равенства (6.49) следует

е == I I “Ь I Sfejr I • (6.50)

Но сферический избыток e=(P /R 2)р, где Р — площадь трапеции,

Р = — + DQ- DC- m = xk—x„\ C K = J!*—, z 5 q = -^ -;

2 mu rrtq

tnq и nik — масштабы изображения в точках Q и К. Полагая,

что при небольших сторонах и малых ординатах их можно счи

тать одинаковыми и равными единице, напишем выражение

для сферического избытка в виде

е = р 1*±Ш - = (8qk + 8kq). (6.51)

Вообще \6qh\¥=\6kq\, знаки их различны, но при длинах

сторон, меньших 10 км, и среднем значении ординат г/т^ЮО км

(в 3-градусных зонах) расхождения между абсолютными зна

чениями bqk и бkq не превышают 0,05". Поэтому для сетей

3 класса и ниже можно полагать, что

I ^qk | == | $kq | И 8д& = 8^ = 2^2 РУт ^ f Ут ~

(6.52)

ГД6 Ax = (xk~ ХяУ’ Ут=

Максимальная ошибка вычисления bqk по формуле (6.52)

при s^lO км не более 0,03"

Для сетей 2 класса применяют более точные формулы:

s q k = \ f {xq—xk) (2yq + yk),

(6.53)

^kq = ~ f {.Xq Xfc) (2l/k -j- Уд),

обеспечивающие вычисление б до 0,01", а для сетей 1 класса

имеем формулы еще сложнее Поправки bqk алгебраически при

бавляют к измеренным направлениям.

Из формул (6.52) и (6.53) еле

дует, что для определения редук

ций направлений необходимо знатй

координаты пунктов. Обычно

вычисляют с точностью до 0,1 Ц

для триангуляции

класса, до

м — 2 класса и до десятков мет

ров для 3 и 4 классов. i

Установим связь между сфери^

ческими избытками треугольников

и поправками за кривизну изобра

жений. Пусть имеем треугольник 1.2.3 (рис. 34), у которого

N,k — направления 2 измеренные на поверхности эллипсоида,

W'tft — редуцированные на плоскость направления (t, k = l, 2, 3),

При этом N'lk = Ntk + Sih. Если N\ — углы на плоскости; Nx—•

углы на эллипсоиде и А — поправки за кривизну в угол, то бу

дем иметь:

N[ = N ls-N [2 = N13- N 12+ (813 - 612) = Nx + A lf

N2= N21

----

Л/^23 = W 2i — ^ 2 3 + (®21

-----

®2з) — -^2 + ^2»

Л/з — N 32— 31 = А/^32— Л/з1~Ь (6 32— 6 31) = з -f- A s-

Суммируя почленно эти равенства, получим

N\ '-j- N2 “Ь Л

= Nx -f- N2 -j- iV

-j- 2 A.

Ho N[ + N2 + N3 = 180°; iV, + N2 + N3 = 180° + e,

поэтому

E A ^ -

, * = 1,2,3. (6.54)

Формула (6.54) служит для контроля вычисления редукции

углов.

В работах низших классов по малости редукций направле

ний обычно указанные поправки в углы не вводят.

После редуцирования на плоскость длин линий и углов при

ступают к уравнительным вычислениям.

§ 34 ПЕРЕВЫЧИСЛЕНИЕ КООРДИНАТ ГАУССА—КРЮГЕРА

ИЗ ОДНОЙ ЗОНЫ В ДРУГУЮ

Каждая зона имеет самостоятельную систему координат. По

этому если геодезическая сеть располагается на стыке двух

зон, то часть ее пунктов будет иметь координаты одной системы,

а другая часть — второй. Обрабатывать математически такую

сеть совместно в данном случае будет невозможно. Для этого

необходимо предварительно получить координаты всех пунктов

в одной системе. Возникает задача перевычисления (преобра-

Рис. 34. Поправки за кри

визну изображения линий

яования) координат из одной

лоны в другую.

Аналогичная задача воз

никает при переходе из 6-гра

дусной зоны в 3-градусную и

«братно и в ряде других слу

чаев. А после окончательного

иычисления координат в еди

ной системе пункты геодезиче

ских сетей должны получить

координаты в системе тех зон,

и которых они расположены,

I. е. вновь возникает задача

перевычисления координат из 30г 30г

.юны в зону. Территория СССР

располагается в 29 6-градус- Еис’ ^ Перекрытие зон в проекции

i г Гаусса—Крюгера

пых зонах, поэтому виздавае- J *

мых в СССР каталогах коор

динаты пунктов, расположенных в пределах ± 3 0 ' от граничного

меридиана, вычисляются одновременно в двух смежных зонах,

а на топографических картах, находящихся в полосе перекры

тия, кроме основной, показываются выходы координатной сетки

смежных зон. При этом величина перекрытия зон зависит от

широты и, например, для карт масштабов от 1:25 000 до

I : 1000000, расположенных в полосе от 28 до 76° с. ш., состав

ляет 4° (по 2° к востоку и западу от граничного меридиана).

Все это уменьшает необходимость перевычисления координат

из зоны в зону, но не исключает ее, так как пункты могут нахо

диться и вне полосы перекрытия, как, например, пункты

ABCDEK

(рис. 35). Обычно перевычисляют в ту зону, в которой

больше пунктов данной геодезической сети. Существует не

сколько способов перевычисления координат пунктов из зоны

в зону. Рассмотрим наиболее распространенные из них.

1. Способ перевычисления координат с предварительным пе

реходом к эллипсоидальным (геодезическим) координатам —

наиболее строгий и универсальный способ. Заключается он

в том, что от плоских координат пункта одной зоны переходят

к его эллипсоидальным координатам, а от последних — к плос

ким смежной зоны. Например, пусть требуется перевычислить

координаты пункта А, данные в зоне I (см. рис. 35), в систему

координат зоны II.

Путь решения заключается в следующем: по известным ко

ординатам xi, у\ пункта Л в I зоне с осевым меридианом Lo1

определяют его геодезические координаты В и L = L0I+/1, затем

переходят к осевому меридиану II зоны Lon = Lor±60 (или

L0II = L0I± 3 o — в 3-градусной зоне) и относительно него опреде

ляют разность долгот Iй = L—L0n, после чего переходят от гео

дезических координат к прямоугольным х2 и у2 пункта Л во

II зоне.

Этот способ связан с большим объемом вычислений, поэтому

раньше применялся для преобразования координат одного или

нескольких пунктов. Но с внедрением ЭВМ, благодаря своей

универсальности и высокой точности, он стал основным при пе

ревычислении координат из зоны в зону.

2. Способы перевычисления координат пунктов при помощи

таблиц имели большое распространение при ручном перевычис

лении координат пунктов. Существует несколько таких таблиц.

Наиболее широко применялись «Таблицы для преобразования

прямоугольных координат» А. М. Вировца и Б. Н. Рабиновича,

позволявшие перевычислять координаты из одной 3-градусной

зоны в другую и из 3-градусной зоны в 6-градусную с точностью

до 2—3 см.

Кроме этих способов применялся еще способ перевычисления

координат путем редуцирования горизонтальных направлений