Хаимов 3.С. Основы высшей геодезии

Подождите немного. Документ загружается.

Отсюда заключаем, что

расстояние между двумя бес

конечно близкими уровен-

ньши поверхностями не оста

ется постоянным из-за изме

нения силы тяжести при пере

ходе от одной точки к другой

точке уровенной поверхности,

так как эти поверхности не па

раллельны. В частном случае

это расстояние постоянно

только для двух сферических

уровенных поверхностей.

Кривые, касательные к ко

торым во всех точках совпадают с направлением силы тяжести,

называются силовыми линиями. Силовые (отвесные) ли

нии, по определению, пересекают все уровенные поверхности

ортогонально. Силовые линии гравитационного поля Земли не

параллельны между собой и имеют двоякую кривизну, т. е. не

являются плоскими кривыми, так как распределение масс, в осо

бенности в наружных слоях Земли, характеризуется крайней

неравномерностью. На рис. 2 показано, как изменяется направ

ление силовых линий в зависимости от неравномерного распре

деления масс.

В 1873 г. немецкий физик Листинг уровенную поверхность,

совпадающую со средней поверхностью морей и океанов, не

возмущенных приливами и отливами, ветрами или изменениями

атмосферного давления, и продолженную под материками

всюду нормально отвесным линиям, предложил назвать о с 

новной поверхностью, а тело, ограниченное этой по

верхностью,— геоидом*. Таким образом, поверхность гео

ида является основной уровенной поверхностью Земли, а сам

геоид в первом приближении принимается за фигуру Земли.

В настоящее время под поверхностью геоида понимают

уровенную поверхность, проходящую через начальную точку от

счета высот, определяемую из многолетних наблюдений за

уровнем морей и океанов на специальных водомерных стан

циях. В нашей стране за начало отсчета высот принят нуль

Кронштадтского футштока**, совпадающий со средним уровнем

Балтийского моря, установленным по многолетним уровнемер

ным наблюдениям. От нуля Кронштадтского футштока ведется

отсчет высот точек земной поверхности в так называемой Бал

тийской системе высот.

Потенциал на поверхности геоида принято обозначать че

рез W0.

* Геоид в переводе с греческого языка означает землеподобный.

** Так называется специальная водомерная рейка, установленная в Крон

штадте.

Рис. 2. Уровенные поверхности и

силовые линии гравитационного

поля

Отрезок силовой линии между двумя поверхностями W—

— Сх и W=C2 можно найти, интегрируя выражение (1.23),

и.

Са—Сх— — j gdh.

Таким образом, зная разность потенциалов между двумя уро-

венными поверхностями, можно определить высоту одной уро

венной поверхности относительно другой. В частном случае вы

соту уровенной поверхности потенциала W относительно геоида

можно определить, интегрируя выражение

W0— W = I gdh.

Поверхность геоида очень сложна из-за неравномерного рас

пределения масс внутри Земли, в особенности в верхних ее

слоях. Строгое определение геоида связано со знанием строе

ния земной коры. Советский ученый М. С. Молоденский пред

ложил изучать поверхность квазигеоида, которую можно

строго определить без привлечения различных гипотез о строе

нии земной коры. Поверхность квазигеоида с поверхностью

геоида совпадает на морях и океанах и почти совпадает на кон

тинентальной части Земли. Максимальное отступление квази

геоида от геоида (2 м) наблюдается в горных районах. Поверх

ность квазигеоида, хотя и не является уровенной поверхностью,

однако позволяет строго решить задачу изучения физической

фигуры Земли.

Учитывая близость поверхностей геоида и квазигеоида, при

рассмотрении общих вопросов геодезии между ними часто не

делают различия.

Во многих случаях практики геоид заменяется эллипсои

дом вращения, поверхность которого принимается за уро

венную поверхность. Уровенная поверхность эллипсоида враще

ния используется как первое приближение для изучения по

верхности геоида. Такой эллипсоид называют уровенным.

Эллипсоид вращения, центр и экватор которого совпадают

с центром масс и экватором Земли и наилучшим образом ап

проксимирует поверхность геоида в планетарном масштабе, на

зывается общеземным эллипсоидом.

Общеземной эллипсоид, у которого экваториальный радиус

(большая полуось) ае, полярное сжатие а, масса М и угловая

скорость со совпадают с соответствующими параметрами Земли,

называют Нормальной Землей. Параметры Нормальной Земли

определяют из совместной обработки данных астрономо-геоде-

зических и гравиметрических работ и спутниковых наблюдений,

выполняемых в планетарном масштабе, и стандартизируют ме

ждународными соглашениями. Так, например, на XVII Гене

ральной ассамблее Международного союза геодезии и геофи

зики, состоявшейся в 1979 г. в Канберре, приняты следующие

параметры: fM = 398600,5 км3/с2; ае = 6 378 137 м; ct = 1 : 298,257;

ш = 0,7292115-10"4 рад/с.

Вышеперечисленные параметры относятся к фундамен

тальным параметрам Земли.

Гравитационное поле Нормальной Земли принято за нор

мальное гравитационное поле Земли.

Сила тяжести на экваторе уе и на полюсе ур, распределение

силы тяжести на поверхности эллипсоида уо и внешнем прост

ранстве у могут быть вычислены строго по формулам, вывод

которых выходит за рамки настоящего курса. Здесь мы ограни

чимся перечислением соответствующих формул [13, 14]:

Уе= 1

------

|~<7 + а + а2

------

Т "06? );

YP= -^ -(l+ ?

------

Г аС!) ’ *1,24*

То = ТЛ1 + Рг sin2 В +

sin4 В);

Р2= —~Я— °Ч— —а?

-----

— а<7+ — ~Ф\

К 2 2 14 4

р4= jL - aq --^ -a ? -

У = (То—0,3088//км) см/с2.

Числовые значения коэффициентов для разложений (1.24),

соответствующие фундаментальным параметрам Земли, приня

тым на XVII Генеральной ассамблее Международного союза

геодезии и геофизики, приведены в книге [14]. Для вычисления

нормального значения силы тяжести имеются формулы Гель-

мерта, Пицетти—Сомильяна, Кассиниса, Жонголовича и Гей-

сканена [3].

Разность реального значения силы тяжести g и нормаль

ного значения силы тяжести у называют аномалией силы

тяжести

A g = g -y. (1.25)

Изучив аномалии силы тяжести по всей земной поверхности,

можно определить высоты геоида над общеземным эллипсои

дом и уклонение отвеса от нормали к общеземному эллипсо

иду.

Общий земной эллипсоид необходим для изучения фигуры

Земли в целом и ее планетарных характеристик. Для матема

тической обработки астрономо-геодезических измерений и вы

вода координат пунктов геодезических сетей, а также для це

лей топографических съемок и картографирования территории

отдельных государств применяют земной эллипсоид, по разме

рам и ориентировке близко подходящий к геоиду на террито

рии данного государства и сопредельных стран. Эта близость

понимается как в смысле близости обеих поверхностей по вы

соте, так и в смысле близости нормали к эллиспоиду в некото

рой точке земной поверхности с направлением отвесной линии

в той же точке. Все измерения на земной поверхности, связан

ные с отвесными линиями, проектируются нормалями на поверх

ность отсчетного эллипсоида, и положение этих проекций оп

ределяется соответствующими координатами, связанными с та

ким эллипсоидом.

Земной эллипсоид, заменяющий геоид при астрономо-гео-

дезических определениях и на поверхности которого отобра

жаются материалы астрономо-геодезических работ и топогра

фических съемок на отдельной территории, называется рефе-

ренц-эллипсоидом. Очевидно, референц-эллипсоид по

размерам и ориентировке не будет совпадать с общим земным

эллипсоидом. Из-за неправильности поверхности геоида раз

меры, центр и ориентировка рефереиц-эллипсоидов, наилучшим

образом подходящих для различных территорий, также могут

значительно различаться между собой.

Поэтому каждый референц-эллипсоид имеет свои пара

метры и свою систему координат. В качестве основных пара

метров обычно принимают большую полуось а, полярное сжа

тие а и положение его центра относительно центра масс Земли.

В СССР в качестве референц-эллипсоида принят эллипсоид

Красовского, названный так в честь крупнейшего советского

геодезиста Ф. Н. Красовского, под руководством которого были

в 1940 г. выведены параметры из обработки данных астроно

мо-геодезических сетей СССР, США, Западной Европы и гра

виметрической съемки СССР: а = 6 378 245 м; а= 1:298,3.

Размеры эллипсоида Красовского довольно близки к разме

рам общего земного эллипсоида, а их сжатия практически сов

падают.

Столь же надежно с использованием большой астрономо-гео-

дезической сети СССР осуществлено ориентирование эллипсо

ида Красовского путем установления исходных геодезических

дат — определения координат начального пункта геодезической

сети страны и исходного азимута. В качестве последних при

няты координаты центра Круглого зала Пулковской обсерва

тории и геодезический азимут с сигнала А на пункт Бугры Саб-

линской базисной сети. Высота геоида над поверхностью рефе

ренц-эллипсоида в Пулково принята равной нулю.

Указанные исходные геодезические даты и эллипсоид Кра

совского в качестве координатной поверхности образуют «Си

стему координат 1942 г.», принятую в СССР и ряде других

стран.

$ 6. СИСТЕМЫ КООРДИНАТ

1. Системы координат, применяемые в высшей геодезии, можно

разделить на две группы: прямолинейная прямоуголь

ная (двухмерная — на плоскости, трехмерная — в простран

стве) ; полярная (двухмерная — на плоскости, на поверхно

сти шара или эллипсоида, трехмерная — в пространстве).

Система координат, начало которой совпадает (почти совпа

дает) с центром масс планеты, называется планетоцентри-

ч с с кой (квазипланетоцентрической) системой. По этому оп

ределению система координат, связанная с центром масс Земли,

называется геоцентрической (квазигеоцентрической) си

стемой. В частном случае координаты, связанные с общим зем

ным эллипсоидом, будут геоцентрическими, а коорди

наты, связанные с референц-эллипсоидом, — квазигеоцен

тр и ч е с к и м и.

В планетарной геодезии применяются также гелиоцентриче

ская (начало в центре масс Солнца), луноцентрическая (начало

в центре масс Луны), марсоцентрическая (начало в центре масс

Марса) и другие планетоцентрические системы координат. В от

личие от планетографических координат, в которых основной

координатной плоскостью является плоскость экватора соответ

ствующего цланетарного тела (Солнца, Венеры, Марса, Луны

и др.), в планетоцентрической системе за основную координат

ную плоскость обычно принимают плоскость земного экватора

или другие плоскости, связанные с Землей. В случае плането

графических координат латинское название небесного тела за

меняется в наименовании координат соответствующим грече

ским названием (например: ареографические координаты — на

Марсе, зенографические координаты — на Юпитере).

Планетографические координаты обычно применяются для

изучения фигуры небесных тел и определения положения точек

на их поверхности. Планетоцентрические координаты мы будем

применять в задачах определения фигуры Земли и положения

точек земной поверхности и околоземного пространства.

Аналогом планетоцеитрической системы является объекто

центрическая система координат, начало которой обычно совме

щается с центром масс ИСЗ и космических аппаратов.

В зависимости от выбора основной координатной плоскости

будем отличать экваториальную (экватор или плоскость,

параллельная экватору), эклиптическую (плоскость эк

липтики), горизонтную (плоскость местного горизонта) и

орбитальную (плоскость орбиты небесного объекта) си

стемы координат.

Система координат, начало которой совпадает с точкой на

блюдения на земной поверхности или в околоземном простран

стве, называется топоцентрической системой координат.

Топоцентрические системы координат будем подразделять: на

горизонтную, если за основную плоскость принята плос

кость горизонта наблюдателя; на экваториальную, если

за основную плоскость принять земной экватор.

В зависимости от выбора направления осей координат по от

ношению к точкам пространства системы координат делятся:

на звездные, если они ориентированы по отношению к дале

ким звездам; на земные, если они ориентированы по отноше

нию точек, неподвижных на земной поверхности.

Из-за прецессии и нутации оси вращения Земли, колеба

тельных движений Земли вокруг своей оси вращения, движения

Земли в мировом пространстве начало счета, основные плоско

сти и оси координат с течением времени изменяют положение

и направления в пространстве. Поэтому планетарные коорди

наты необходимо фиксировать на эпоху, на которую заданы па

раметры, изменяющиеся со временем и определяющие начало

и ориентировку осей координат.

Таким образом, система координат задается на определен

ную эпоху. В частном случае координаты, связанные с положе

нием оси вращения и экватора Земли на момент наблюдения,

называются мгновенными или истинными координатами.

2. В геоцентрической экваториальной системе оси координат

задаются по отношению характерных точек земной поверхности

или небесной сферы. На рис. 3 ось Z(z) направлена на север

ный полюс Земли. Если при этом ось X направлена в точку

Гринвича Ge (в точку пересечения гринвичского меридиана с эк

ватором), то получим земную систему координат XYZ, которая

участвует в суточном вращении Земли, оставаясь неподвижной

относительно точек земной поверхности. Эта система координат

удобна для определения положения точек земной поверхности

и изучения фигуры Земли.

Направляя ось х (см. рис. 3) в точку весеннего равноден

ствия У, получаем звездную систему координат xyz, не связан

ную с суточным вращением Земли, удобную для изучения дви

жения небесных тел. Хотя ее начало перемещается в мировом

пространстве с некоторым ускорением, участвуя в годовом дви

жении Земли вокруг Солнца и Солнца в Галактике, но это дви

жение относительно далеких звезд можно считать равномерным

и прямолинейным. Поэтому движение околоземного небесного

объекта в системе координат xyz можно изучать, пользуясь за

конами механики, выводимыми для инерциальной системы по

отношению далеких звезд.

Переход от звездных геоцентрических экваториальных коор

динат х0у у о, z0 средней эпохи Т0 к соответствующим координа

там х, у, г на момент наблюдения Т осуществляется преобразо

ванием координат за прецессию и нутацию (см. § 39).

3. Положение точек земной поверхности относительно зем

ного эллипсоида определяется геодезическими широтой В, дол

готой L и высотой Н (рис. 4).

Геодезической широтой точки Q называется острый

угол В, образованный нормалью Qn к поверхности эллипсоида

Рис. 3. Геоцентрические звездная и Рис. 4. Эллипсоидальные коорди-

аомная системы координат наты

и данной точке и плоскостью экватора EGeEr. Геодезиче

ской долготой L точки Q называется двугранный угол, об

разованный плоскостью начального меридиана PGePf и плос

костью геодезического меридиана PQoP/ данной точки. Заме

тим, что плоскость геодезического меридиана точки Q проходит

через нормаль Qn и ось вращения эллипсоида POP'. Широты

точек северного полушария называют северными, они имеют

знак « + », широты точек южного полушария — южными, и

имеют знак «—». Точки, расположенные восточнее начального

меридиана, имеют восточные долготы, а точки, расположенные

западнее начального меридиана, — западные долготы. В нашей

геодезической литературе принято отсчитывать долготы от на

чального меридиана против хода часовой стрелки от 0 до 360°.

Отрезок нормали Q0Q называется геодезической высотой Я. Гео

дезическая высота отсчитывается от поверхности эллипсоида

в сторону увеличения высот. Если, конечно, точка расположена

ниже поверхности эллипсоида, то ее высоте приписывается знак

минус.

Высота геоида £ над эллипсоидом отсчитывается по нормали

и может иметь как положительный, так и отрицательный знаки.

Отрезок Qott называется радиусом кривизны нормального

сечения и обозначается через N. Отрезок Q'on = e2N, при этом

б>2 = а(2—а ) — квадрат эксцентриситета меридианного эллипса.

Геодезические координаты В, L, Я принято называть про

странственными эллипсоидальными коорди

натами.

Как видно из рис. 4, пространственные эллипсоидальные и

прямолинейные координаты связаны следующими формулами:

X = (N + Я) cos В cos L,

Y = (N + Я) cos В sin L, (1.26)

Z = (N + Н— e2N) sin 5.

D = У Х 2 + У2 ,

ctgB = (D—e2N cos B)IZ,

H = D secB—N = ZcosecB—(l—<?)N.

Широта вычисляется по итерационной формуле [14]. Для

точки, расположенной на эллипсоиде (# = 0 ):

X = N cos В cos L,

Y = N cos В sin L, (1.28)

Z—N( 1 — e2)sinB.

Отсюда

ctg В — - p <*Tct>~, (1.29)

т. e. геодезическая широта может быть вычислена без прибли

жений.

От эллипсоидальных координат В, L можно однозначно пе

рейти к координатам точки Q на плоскости по соответствую

щим формулам, зависящим от способа отображения поверхно

сти эллипсоида на плоскости. Подробно этот вопрос будет рас

смотрен в гл. 6.

4. Системы координат пространственные прямолинейные

прямоугольные (X, Y, 2) и эллипсоидальные (В, L, Н) коорди

наты, а также плоские координаты (х, у) представляют систему

геодезических координат.

Система геодезических координат находит широкое приме

нение в теоретических исследованиях и практических работах

в геодезии, топографии и картографии, так как она объединяет

в единую систему данные геодезии, топографических съемок и

картографирования по всей поверхности Земли. Кроме того,

она определяется положением центра масс, оси вращения и эк

ватора Земли, а также нормалью земного эллипсоида, что

весьма удобно для изучения физической фигуры Земли и геоида

относительно земного эллипсоида, определения высот и реше

ния других научных и практических задач геодезии и други"

наук.

5. К сферическим координатам относятся астрономические

широта ф и долгота Я, связанные с отвесной линией. Астро

номическую широту ф определяем как острый угол

между отвесной линией точки Q и экватором Земли. Астро

номическая долгота Я есть двугранный угол, образован

ный плоскостью начального меридиана и плоскостью астроно

мического меридиана точки Q. При этом плоскость астрономи

ческого меридиана содержит линию отвеса точки Q и ось

вращения Земли. Способы отсчета астрономических широт и

долгот подобны способам отсчета геодезических широт и

долгот.

Как видно из определения геодезиче

ских и астрономических широт и долгот,

между ними имеются существенные раз

личия, которым в геодезических работах

уделяется самое большое внимание.

Кроме того, эти отличия, зависящие от

фигуры Земли и земного эллипсоида, от

его ориентировки в теле Земли, явля

ются особым предметом изучения геоде

зии.

В мелкомасштабном картографиро

вании и в особых условиях выполнения

геодезических работ, где не требуется

высокая точность, отличиями геодезических и астрономических

координат пренебрегают. В этом случае им дают общее назва

ние — географические координаты.

В геодезии применяются пространственные полярные (сфе

рические) координаты — геоцентрические радиус г, широта Ф

и долгота X, показанные на рис. 1 и примененные нами при изу

чении потенциала Земли в § 4.

6. Положение точек земной поверхности также определяется

в топоцентрической горизонтной системе координат, показанной

на рис. 5. Начало координат совмещено с точкой Qi, ось Z' на

правлена по нормали к земному эллипсоиду в сторону увеличе

ния высот, ось Х; лежит в плоскости геодезического меридиана

и направлена на север, а ось Y' дополняет левую декартову си

стему. Плоскость Q\X'Y' представляет плоскость геодезического

горизонта.

Как показано на рис. 5, положение точки Q

относительно

начала координат Qi можно определить пространственными по

лярными координатами: s12 — расстоянием, геодезическим ази

мутом А

и геодезическим зенитным расстоянием zi2.

Геодезический азимут А\2 направления Q1Q2 есть дву

гранный угол между плоскостью геодезического меридиана на

чальной точки Qi и плоскостью вертикала, содержащей нормаль

точки Qi и точку Q2. Геодезическое зенитное рас

стояние Z\2 есть угол между нормалью точки Qi и направле

нием QiQ2.

Как следует из принятых обозначений (см. рис. 5), между

пространственными прямолинейными прямоугольными и поляр

ными координатами существуют связи, записываемые следую

щими формулами:

X' = ssinzc0si4,” Y' = ssinzsinA, Z' = scosz; (1.30)

2' л У'

cos z =

-----

, tg Л = — ,

s X'

s = д/X'2 + Y'2 + Z'2. (1.31)

ские горизонтные коор

динаты

В формулах для упрощения записи опущены нижние ин

дексы.

Топоцентрические горизонтные координаты однозначно оп

ределяются через пространственные геодезические координаты

X, Y, Z или В, L, Н точек Qi и Q2 [13, 14].

Рассмотрим астрономические топоцентрические горизонтные

координаты: азимут а и зенитное расстояние г0.

Если геодезические топоцентрические горизонтные коорди

наты определяются нормалью к отсчетному эллипсоиду, плос

костями геодезических горизонта и меридиана начальной точки

Qi, то ас!рономические топоцентрические горизонтные коорди

наты определяются отвесной линией, плоскостями истинного го

ризонта и астрономического меридиана той же точки.

Астрономическим азимутом а линии Q1Q2 называ

ется двугранный угол между плоскостью астрономического ме

ридиана начальной точки Q{ и плоскостью вертикала конечной

точки Q2, содержащей отвесную линию точки Qi и линию Q

Астрономическим зенитным расстоянием z0

лиши Q1Q2 называется угол между отвесной линией точки Qi

и линией Q

Геодезический (астрономический) азимут отсчитывается от

северного направления геодезического (астрономического) ме

ридиана по ходу часовой стрелки от 0 до 360°. Геодезическое

(астрономическое) зенитное расстояние отсчитывается от нор

мали к эллипсоиду (отвесной линии) в начальной точке Qi по

ходу часовой стрелки от 0 до 180°.

Угломерные приборы ориентируют в астрономической си

стеме: вертикальная ось прибора совпадает с отвесной линией,

а горизонтальный круг прибора — с плоскостью истинного го

ризонта.

Если известен азимут сиг линии Q1Q2, то после наведения

зрительной трубы прибора на точку Q2 и установки на горизон

тальном круге отсчета, равного азимуту ai

, угломерный прибор

будет полностью ориентирован в астрономической системе от

счета. При этом начальный диаметр горизонтального круга

(штрихи 0 и 180°) будет совмещен с плоскостью астрономиче

ского меридиана. Таким образом, отсчет по горизонтальному

кругу, когда зрительная труба прибора наведена на некоторую

точку, будет равен азимуту этой точки. Этот способ ориентиро

вания часто используется в практике астрономо-геодезических

работ, при топографических и инженерных съемках, в системах

навигации и целеуказания.

Различие геодезических и астрономических топоцентриче-

ских горизонтных координат обусловлено уклонением отвесной

линии от нормали к эллипсоиду относимости. Для перехода от

геодезических к астрономическим координатам и обратного пе

рехода от астрономических к геодезическим координатам необ

ходимо знать уклонения отвесной линии. В геодезических опре

делениях, топографических съемках и других работах, где не