Хаимов 3.С. Основы высшей геодезии

Подождите немного. Документ загружается.

требуется высокая точность, различия астрономических и гео

дезических координат могут быть не замечены, если референц-

уллипсоид по форме и ориентировке в теле Земли так удачно

определен, что уклонения отвеса на данной территории не пре

вышают нескольких угловых секунд. Это обстоятельство также

определяет требования к точности установления референц-эл-

лнпсоида как отсчетной поверхности для данной территории и

изучению уклонений отвесных линий по всей этой территории.

В высокоточных астрономо-геодезических работах и при гео

дезических изысканиях для целей строительства и эксплуата

ции гидротехнических комплексов, ускорителей элементарных

частиц, радиотехнических систем и других уникальных инженер

ных объектов требуется знать уклонения отвесных линий с точ

ностью порядка 0,3—0,7".

Ъ 7 УКЛОНЕНИЯ ОТВЕСНЫХ ЛИНИЙ

Угол между вектором g силы тяжести и вектором п нормали

к земному эллипсоиду в точке Q называется уклонением

отвесной линии.

В зависимости от принятого эллипсоида различают абсо

лютные и относительные уклонения отвесных линий. Абсо

лютным (относительным) уклонением отвеса называ

ется угол между отвесной линией и нормалью к общеземному

эллипсоиду (референц-эллипсоиду).

Уклонение отвесной линии, определенное как угол между

нокторами g и п, называют астрономо-геодезическими

уклонениями отвесных линий в отличие от гравиметриче

ских, связанных с нормальным гравитационным полем Земли.

Гравиметрическим уклонением отвеса называется

угол между вектором g силы тяжести реального поля и векто

ром у силы тяжести нормального поля.

Когда не требуется высокая точность в определениях, абсо

лютные астрономо-геодезические уклонения отвеса отождест-

пляют с гравиметрическими, полагая, что за Нормальную Землю

нринят общеземной эллипсоид.

Однако при высокоточных измерениях следует иметь в виду,

что силовая линия нормального поля из-за непараллельности

уровенных поверхностей несколько отклоняется от нормали к об

щему земному эллипсоиду. Этот малый угол, зависящий от

формы эллипсоида, высоты Н и широты В точки, в первом при

ближении можно вычислить по формуле

e = p#sin2B, (1.32)

где (3 = —0,1709" для эллипсоида с полярным сжатием а=

"1 : 298,257 [13], если высоту точки Н выразить в километрах.

Уклонение отвесной линии обозначают через Ф, составляющую

и плоскости меридиана (А = 0°)— через а составляющую

п плоскости первого вертикала — через т| (см. § 17). Проекция

уклонения отвесной линии в любом произвольном вертикале вы

числяется по формуле

Фл = i cos Л -f rj sin А. (1.33)

В частном случае, если А = 0°, то va = |; если же А = 90°, то

Оа=Л-

По определению

#2 = |2 + т12_ (1<34)

Ниже приведем формулы, вывод которых дается в фундамен

тальных курсах и монографиях по геодезии [14], используемые

для перехода от астрономических к геодезическим коорди

натам:

В — (р— I, L = X—risectp. (1.35)

z = z„-|-£cos4 + г] sin

А = а —t]tg<p + (Ticosa— ism a)ctgz0. (1.36)

По этим же формулам можно выполнить переход от геодезиче

ских координат к астрономическим. Если же известны как аст

рономические, так и геодезические координаты, то по форму

лам (1.33) — (1.35) можно вычислить уклонение отвесной линии

и его составляющие в любом направлении.

Заметим, что в формулах (1.35) и (1.36) при вычислении

тригонометрических функций без потери в точности можно при

нять а =А, <р=В, z= z0.

Уклонения отвесных линий в разных точках земной поверх

ности не одинаковы и зависят от многих причин. Их изменения

могут быть плавными и носить систематический характер на

больших территориях. Такие изменения уклонения отвесных

линий, называемые общими, обусловлены крупными волнами

геоида и параметрами принятого земного эллипсоида. Наряду

с этим изменения уклонений отвесных линий могут происходить

в некоторых районах скачкообразно и иметь большую ампли

туду. Такие быстрые изменения, вызванные причинами мест

ного характера, называются местными уклонениями отвес

ных линий.

К местным аномалиям относятся: местные вариации в рас

пределении плотности масс внутри Земли, отдельные горные

хребты, глубокие впадины и другие формы рельефа.

Примером местных аномалий отвесных линий может слу

жить так называемая «местная Московская аттракция», обус

ловленная местным неравномерным распределением масс в зем

ной коре. Московская аттракция проявляет себя изменениями

уклонений отвесных линий на 15,6" на расстоянии 25 км по ме

ридиану колокольни Ивана Великого Московского Кремля.

На Кавказе по меридиану г. Орджоникидзе уклонения отвес

ных линий на расстоянии 50 км имеют диапазон ( + 35) —

( “18"), а на Гаваях амплитуда местной аномалии уклонений

отвесных линий на расстоянии 120 км достигает 97,6".

Рсференц-эллипсоид Красовского так определен, что уклоне

нии отвесных линий на нашей территории в среднем составляют

И 4", исключая, конечно, местные аномалии (районы Москвы,

Кавказа, Байкала и др.).

Из астрономо-геодезических определений уклонений отвес

ных линий установлено, что действительные их значения значи

тельно меньше тех, которые предвычислены, исходя из разли

чия притягивающих масс горных цепей, материков и океанов.

'Гак, например, вблизи берегов океанов теоретически предвы-

чпсляют уклонения отвесных линий 30—40", а в действительно

сти исследования океанских районов последних лет показали,

что уклонения отвесных линий на океанских побережьях, как

! правило, не превышают 10". Такое же явление ранее было от

крыто в Гималаях.

Это обстоятельство привело к появлению так называемых

гипотез изостазии *, по которым следовало, что в земной коре

происходит изостатическая компенсация, т. е. существует равно

весие масс, когда недостаток масс в поверхностных областях

компенсируется ее избытком в нижележащих слоях за счет из

менения плотности различных частей земной коры и наоборот.

Подобная компенсация происходит только до определенной

глубины, называемой поверхностью изостазии или по

верхностью изостатической компенсации, достигаю

щей в среднем 100 км. Ниже поверхности изостазии располага

ются слои равных плотностей, возрастающих с глубиной.

Одной из наиболее простых гипотез изостазии является ги

потеза англичанина Пратта (1809—1871 гг.), который считал,что

над поверхностью изостазии Т (рис. 6, а) веса столбов зем

ной коры, имеющих одинаковые основания, равны и постоянны.

Суть этой гипотезы можно хорошо проследить по рис. 6, а.

Пусть в земной коре вырезаны три столба, имеющие равные

площади оснований: столб А, соответствующий участку суши

с возвышенностью; столб В — участку земной коры, поверхность

* Изостазии в переводе с греческого означает равновесие.

# б Уродень моря

)ис. 6. Гипотезы изостазии:

~ по Пратту; б — по Эри

Заказ № 314

которой совпадает с поверхностью геоида, и столб С, соответ

ствующий участку коры с океанической впадиной

По Пратту, столбы А, В, С должны иметь одинаковую массу.

Но так как их объемы существенно различны, то равенство

масс может быть достигнуто только в том случае, если плотно

сти пород, залегающих под океаном, будут больше некоторой

средней плотности б равнинных участков, совпадающих с по

верхностью геоида, а плотности пород под горными масси

вами — меньше их на величину Дб.

Другая гипотеза принадлежит известному английскому аст

роному Г. Эри (1801 — 1892 гг.), который считал, что более лег

кая земная кора, состоящая преимущественно из кремнезема

и алюминия (sial), плавает в вязкой тяжелой магме, подчи

няясь закону Архимеда. При этом плотность земной коры везде

примерно одинакова, поэтому под горными массивами кора

толще, чем под океанами, а под вершинами и впадинами рас

полагаются «зеркально» отображающие их выступы и прогибы

(рис. 6, б).

Наличие изостатической компенсации значительно умень

шает влияние поверхностного рельефа Земли на уклонение от

весных линий. Оно может быть рассчитано по сумме влияний

топографического рельефа и компенсирующих масс, располо

женных между поверхностью изостатической компенсации и

уровнем океана. Такое суммарное значение уклонения отвеса

получило название топографо-изостатического.

Топографо-изостатические уклонения отвесной линии ис

пользовались в геодезических целях при отсутствии гравиметри

ческих съемок и, в частности, для вывода размеров земного эл

липсоида. Так, например, теорию изостазии в свое время ис

пользовали некоторые ученые, в частности американец Хей-

форд, для вывода так называемого «международного эллип

соида» в 1909 г. При выводе размеров эллипсоида Красовского

для той части астрономо-геодезической сети, на которой отсут

ствовали гравиметрические определения, уклонения отвесной

линии также определялись на основе гипотезы изостазии

Пратта при глубине изостатической компенсации, равной 96 км.

Фактические наблюдения в целом подтверждают существо

вание изостазии. Однако гипотезы изостазии не могут объяс

нить сложные взаимодействия между различными частями зем

ной коры и подстилающих ее масс, их распределение в теле

Земли и динамику развития. Цифровые данные о глубине изо

статической компенсации и результаты, полученные с использо

ванием гипотез изостазии, всегда приближенны. Вместе с тем

последние до сих пор находят применение в районах, где отсут

ствуют гравиметрические данные.

По мере развития точных геодезических и гравиметрических

определений уклонения отвесных линий можно получать на ос

нове надежных измерений, и надобность в использовании для

этих целей различных гипотез отпадает.

§ 8. СИСТЕМЫ ВЫСОТ

Для определения координат физической поверхности Земли от

носительно земного эллипсоида наряду с поверхностными эл

липсоидальными координатами (геодезическими широтами В и

долготами L) применяется геодезическая высота Я.

Знание высот точек необходимо для изучения рельефа, при про

ектировании и строительстве всех инженерных объектов. Вы

соты необходимы также при редуцировании всех измеренных

величин на поверхность земного эллипсоида.

Геодезическая высота Я составлена из двух частей: гипсо

метрической и геоидальной. При этом гипсометриче

ская высота Н0 есть высота физической поверхности Земли над

геоидом (квазигеоидом). Гипсометрическая высота в основном

определяет рельеф физической поверхности Земли. Гипсометри

ческая высота в зависимости от способа определения носит раз

личные названия: ортометрическая, нормальная и динамиче

ская высота.

Гипсометрическая высота используется в повседневной ин

женерной практике. Она отображена на картах и приводится

и геодезических каталогах.

Геоидальная часть £ геодезической высоты представляет вы

соту геоида (квазигеоида) над земным эллипсоидом. По анало-

иш с гипсометрической, геоидальная часть £ геодезической вы

соты как бы определяет рельеф геоида (квазигеоида).

Геодезическая высота Я определяется по формуле

Я = Я 0+ £. (1.37)

Геоидальную часть £ называют аномалией высоты,

последняя представляет собой отклонение поверхности геоида

(квазигеоида) от поверхности эллипсоида, обусловленное в ос

новном неравномерным распределением масс внутри Земли.

Аномалия высоты меняется плавно и имеет максимальную ам

плитуду порядка 200 м, в отличие от гипсометрической, которая

быстро меняется и имеет максимальную амплитуду порядка

18 км.

Рассмотрим сущность определения гипсометрической высоты

методом геометрического нивелирования. Если бы уровенные

поверхности были бы параллельны между собой, то высоту HQ

тчки Q относительно исходной точки О можно было бы опре

делить путем суммирования элементарных превышений Aht (i =

1, 2,..., п) нивелирных станций, т. е.

# Q= S

1=1

В инженерной практике, когда нивелирование выполняется

ни малой площади, на которой с высокой точностью все уровен-

*2*

ные поверхности можно

принять параллельными

между собой, так и по

ступают. В высокоточных

работах и когда высоты

передаются на большие

расстояния (так, напри

мер, в СССР единую си

стему высот необходимо

распространить на рас

стояние более 10 тыс. км

и на площади 22 млн.

км2) необходимо учиты

вать то обстоятельство, что уровенные поверхности не парал

лельны между собой, вследствие чего суммы нивелирных пре

вышений получаются различными в зависимости от пути ниве

лирования. Действительно, из рис. 7 видно, что высота HQ

точки Q может быть получена различным путем. Во-первых,

нивелированием по земной поверхности от исходной точки О до

определяемой точки Q, путем измерения от станции к станции

превышений Дht. Сумму этих превышений обозначим HQ. Теоре

тически можно представить еще два пути нивелирования — сна

чала по уровенной поверхности, проходящей через начальную

точку О до точки Qo, превышение между которыми равно нулю,

и затем вдоль отвесной линии от точки Qо до определяемой

точки Q, при этом искомое превышение H'q будет равно отрезку

QoQ и, наконец, можно выполнить нивелирование по отвесной

линии от исходной точки О до точки 0 Q, лежащей на уровенной

поверхности определяемой точки Q, и затем по этой уровенной

поверхности до определяемой точки Q, при этом будем иметь

превышение Hq", равное отрезку OOq. Рассматривая рис. 7, за

мечаем, что #</>#</', конечно, Hq^ H q'^ H q". Таким образом,

применяя формулу (1.37), получаем в зависимости от пути ни

велирования разные превышения. При этом разница между пре

вышениями нивелирных ходов, проложенных различным путем,

может достигать от нескольких дециметров до 2—3 м.

Для разрешения этой неоднозначности пользуются потенци

альным свойством уровенных поверхностей. Как известно, раз

ность потенциала между двумя уровенными поверхностями не

зависит от пути нивелирования и является постоянной величи

ной, т. е. AW=WQ—Wo = const (WQ и W0 — потенциалы уровен

ных поверхностей, проходящих соответственно через точки Q

и О, показанных на рис. 7). Из формулы (1.23) следует, что

W0-W Q=jgdh. (1.38)

Применяя теорему о среднем, имеем следующее соотношение:

( Г о -

WQ)

= gm

gdh

HQ,

Рис 7 Геометрия нивелирования высот

С, искомое превышение

№ Вт —

------

X gi — среднее значение силы тяжести, которое,

ротя и слабо, но зависит от пути нивелирования. Для однознач

ности необходимо использовать среднее значение силы тяжести

по отрезку Q0Q, которое можно вычислить, если известно строе

ние земной коры.

I Высоты, определяемые по формуле (1.39), называют орто-

(Метрическими высотами и обозначают №. Из опреде

ления следует, что ортометрические высоты могут быть строго

вычислены, если известно строение земной коры. Вычисленное

Среднее значение силы тяжести gm по измерениям на земной по

верхности приближенно представляет среднее значение силы тя-

Жеети по силовой линии Q0Q. Таким образом, ортометрические

Иыеоты не могут быть строго вычислены без знания строения

мемной коры. Однако ортометрические высоты применяются во

многих странах, так как они непосредственно связаны с геои

дом. Если откладывать по нормали ортометрические высоты, то

можно определить поверхность геоида. При этом поверхность

геоида будет определена с той же точностью, с какой опреде

ляют ортометрические высоты.

М. С. Молоденский предложил использовать нормальное зна

чение силы тяжести, которое можно вычислить по строгим фор

мулам. Высоты, вычисленные по нормальным значениям силы

тяжести, называют нормальными высотами и обозна

чает их Ну. При этом высота точки Q вычисляется по фор

муле

где ут — среднее значение нормальной силы тяжести, вычис

ленной по формуле (1.24) для средней высоты Нт точки Q. По

определению нормальная высота вычисляется строго без

шания строения земной коры.

Если откладывать нормальные высоты по нормали, то можно

eiporo определить отсчетную поверхность, которую М. С. Моло-

депский предложил называть поверхностью квазигео-

н д а. Формулу (1.40) представим таким образом, что

Первый член представляет сумму элементарных превышений,

полученную из нивелирования; второй член — поправку за не-

и.чраллельность уровенных поверхностей нормального поля;тре

(1.40)

dh Н

---------

(у—ут) dh +

(g—y) dh\. (1.41)

Ут

тий член — поправку за аномалии силы тяжести на станциях

нивелирования.

Если ход нивелирования представляет замкнутый полигон,

то, приняв за превышение непосредственно измеренную сумму

превышений, находим теоретическую невязку замкнутого поли

гона

P = - — $(g -ym)dh.

(

)

Ут

По аналогии формулу ортометрической высоты (1.39) запи

шем так:

Я® = i

+ [J

(y -g m) dh

+ J

(g-y) dhl

(

)

Ортометрическая невязка замкнутого полигона

f —

___

L_ I (

g — gm

)

dh.

^ j ^

ёт

Записав очевидное равенство

U70- w = ymW = gmW - (gm-Ут) HV

и разделив обе его части на gm, получим формулу для вычисле

ния разности ортометрической и нормальной высот

Нё—Ну=

^ -g " V -HT. (

)

8 т

Полученная разность соответствует отступлению почти уровен

ной поверхности квазигеоида от уровенной поверхности геоида.

Если принять ут—^ = 0 ,3 см/с2 и # = 8 км, то Нё— Ну = 2,4 м;

при уш—gm^0,05 см/с2 и Н= 1 км Нё— Ну =0,05 м. Отсюда

следует, что отступление квазигеоида от геоида до 2—3 м воз

можно в горных аномальных районах, а в большинстве слу

чаев оно характеризуется величиной порядка нескольких сан

тиметров. На морях и океанах квазигеоид совпадает с геоидом

Система нормальных высот применяется в СССР и других

странах. Нормальные высоты используются в топографических

картах и приводятся в геодезических каталогах координат и

высот.

В инженерной практике необходимо учитывать следующий

недостаток нормальных высот, а именно — высота уровенной по

верхности меняется по широте. Это изменение особенно значи

тельно в водоемах, простирающихся по меридиану. Например,

на Байкале, простирающемся с юга на север на 450 км, разница

в отметках уреза воды на севере и на юге достигает 0,16 м; на

озере Севан на расстоянии 55 км при его высоте 1900 м эта раз

ница составляет 0,09 м, а на озере Кукунор в Тибете на высоте

3200 м эта разница отметок достигает 0,19 м.

С этим же недостатком встречаемся, применяя ортометриче

ские высоты из-за изменения gm по широте. Для того чтобы

иметь равные отметки на водоемах, применяют так называемые

динамические высоты, вычисляемые по формуле

Hd= — Udh. (1.46)

Тф

Обычно 7Ф вычисляют для широты ф = 45°.

Динамические высоты, вычисляемые по формуле (1.46), для

одной и той же уровенной поверхности будут одинаковыми, ибо

Vq,

и j'gdh остаются постоянными величинами. Для того чтобы

динамические высоты не сильно отличались от нормальных (ор-

тометрических) высот, нормальную силу тяжести рекоменду

ется вычислить по средней широте фш простирания водоема.

Как видно из определения, динамические высоты в отличие

от нормальных, представляющих единую систему высот, явля

ются высотами местной системы, и поэтому они применяются

для решения инженерных задач в определенных ограниченных

районах.

Из соотношений (1.40) и (1.46) следует, что разницу между

динамической и нормальной высотами можно вычислить по фор

муле

Hd— Hv= W . (1.47)

Тф

Например, если ут — уф — 0,5 см/с2 и Hv = 2 км, то, принимая

Уф = 980 см/с2, получаем Hd— # v= 1 м. Заметим, что горизон

тали, подписанные на топографических картах, строго не отра

жают уровенные поверхности, так же как и точки с равными от

метками высот не лежат на одной уровенной поверхности. Это

обстоятельство необходимо учитывать при расчете зоны затоп

ления, в особенности если она простирается по меридиану.

Глава 2

СПОСОБЫ ОПРЕДЕЛЕНИЯ УКЛОНЕНИЙ

ОТВЕСНЫХ ЛИНИИ И ВЫСОТ ГЕОИДА.

РЕДУКЦИОННАЯ ЗАДАЧА В ГЕОДЕЗИИ

§ 9 СПОСОБЫ ОПРЕДЕЛЕНИЯ УКЛОНЕНИИ ОТВЕСНЫХ ЛИНИИ

И ВЫСОТ ГЕОИДА

1. Понятие об определении уклонений отвесных линий

Существуют три способа определения уклонений отвесных ли

ний: астрономо-геодезический, гравиметрический и астрономо

гравиметрический.

Сущность астрономо-геодезического метода за-’

ключается в вычислении уклонений отвесных линий на астро-

номо-геодезических пунктах, на которых определены как геоде

зические (В, L), так и астрономические (ф, А,) координаты, по

формулам (1.35) — (1.36). Способ позволяет с высокой точ

ностью определить уклонения отвесных линий. Однако из-за

трудоемкости работ применяется в особых случаях.

Гравиметрический способ основан на использова

нии аномалий силы тяжести, проявляющих косвенно кривизну

поверхностей геоида и земного эллипсоида. На возможность ре

шений такой задачи, если известны аномалии силы тяжести по

всей поверхности Земли, указал английский физик Стокс в 40-х

годах прошлого столетия.

В 1928 г. голландский геодезист Венинг Мейнес, используя

решение Стокса, получил формулы для вычислений уклонений

отвесных линий

t 2 я Я

g = _ _J_ J S AgQ (ф) cos AdAdx|>, (2.1)

2я o 0

J 2Jt П

Г) =

------

— S 5 AgQ (i| )) sin AdAdx|>,

2я oo

где Q(\j)) = — [cosec 0 + 12 sin 0— 32 sin2 0 -f

-------

—

-------12 sin2 0 In (sin 0 + sin2 0), 0 = — ;

r l + sin0 v 1 2 ’

ф, A — сферическое расстояние и азимут по направлению от ис

следуемой точки на текущую.

Формулы Венинг Мейнеса исходят из предположения об от

сутствии вне поверхности геоида притягивающих масс, а ано

малии силы тяжести известны по всей поверхности Земли.

В действительности не соблюдаются оба условия: во-первых, над

геоидом в основном расположены материки и поэтому возни

кает задача редукции измеренных значений силы тяжести; во-

вторых, мировая гравиметрическая съемка еще не завершена.

Поэтому гравиметрический способ пока не находит самостоя

тельного применения.

Советские геодезисты Ф. Н. Красовский и М. С. Молоден-

ский предложили астрономо-гравиметрический спо

соб, основанный на сочетании астрономо-геодезического и

гравиметрического способов определения уклонений отвесных

линий. В этом способе достаточно иметь редкую сеть астроно-

мо-геодезических пунктов, на которых уклонения отвесных ли

ний выводятся астрономо-геодезическим способом. Расстояния

между пунктами могут быть 150—200 км. Вокруг исследуемой

точки Q выбирают некоторую область сг, на которой выполнена

сплошная гравиметрическая съемка, и область 2, представляю