Хаимов 3.С. Основы высшей геодезии

Подождите немного. Документ загружается.

в природе. Несмотря на тяжелые и сложные военные условия (работы про

ходили в разгар Французской революции), Деламбр и Мсшень за 6 лет

справились с поставленной задачей и проложили цепь триангуляции из

115 треугольников через всю Францию и часть Испании. Она образовала

дугу меридиана 9°40', т. е. дугу длиной 1000 км со средней широтой, рав

ной 45°.

Одним из крупнейших градусных измерений XIX в. было первое русское

градусное измерение, проводившееся под руководством известных русских

астрономов и геодезистов — профессора В. Я. Струве (1793— 1864 гг.) и ге

нерала К. И. Теннера (1783— 1860 гг.) в пограничных западных губерниях

России. Продолженное через Швецию и Норвегию Зеландером (1804— 1870 гг.)

и X. Гастином (1784— 1873 гг.), оно доставило огромную дугу меридиана,

простиравшуюся от северного побережья Норвегии до берегов Дуная в Бес

сарабии протяженностью 25°20' по широте. Все работы по созданию «дуги

Струве», как иногда называют это русско-скандинавское градусное измере

ние, были выполнены за период с 1816 по 1852 г. По тщательности исполне

ния, глубине научных разработок и объему выполненных работ «дуга

Струве» не имела себе равных и не потеряла своей ценности до настоящего

времени. Она использовалась при вычислениях размеров земного эллипсоида

у нас в стране и во многих зарубежных странах.

Из проводившихся в Европе первой половины XIX в. работ следует от

метить два небольших, но важных градусных измерения. Одно из них, про

тяженностью в 2°0Г, исполнено в 1821— 1823 гг. крупнейшим немецким уче

ным К. Гауссом (1777— 1855 гг.) (Ганноверское), другое с длиной дуги 3°4' —

в 1831— 1834 гг. известным немецким ученым Бесселем (1784— 1846 гг.)

в Восточной Пруссии. Эти работы представляют большую научную ценность

благодаря разработке новых, более совершенных методов измерений и спо

собов уравнивания, образцовому исполнению и решению отдельных вопросов

постановки высокоточных геодезических измерений.

С 1800 по 1900 г. продолжались работы англичан в Индии, доставив

шие ряд больших дуг градусных измерений по меридианам и параллелям,

размером в 10—20°. Эти работы имели большое значение в изучении формы

и размеров Земли.

Во второй половине XIX в большое развитие получили работы по про-

ложению градусных измерений по параллелям, из которых крупнейшими

явились: градусное измерение по параллели 47—48°, начинавшееся в Бресте —

во Франции и проходившее через Париж — Вену — Кишинев — Ростов-на-

Дону — Астрахань, и градусное измерение по параллели 52° — от западных

берегов Ирландии через Лондон — Бельгию — Берлин — Ченстохов — Вар

шаву — Г родно — Бобруйск — Орел — Липецк — Саратов — Самару — Орен

бург — Орск. Инициатором проведения этих градусных измерений был

В Я Струве

Из работ XIX в. следует отметить еще градусные измерения, выполнен

ные в США. Особенно широкий размах они принимают в конце XIX и на

чале XX вв , когда американцами было проложено несколько больших дуг

по меридианам и параллелям. Наибольшей из них явилась трансконтинен

тальная дуга параллели со средней широтой 39°, протяженностью в 48°46'.

Другой крупной дугой явилась дуга по меридиану 98°, исполненная в 1901—

1907 гг от берегов Мексиканского залива до границы с Канадой Проложен

ная мексиканцами через всю Мексику, эта дуга в 33° по широте стала одной

из крупнейших меридианных дуг. В конце XIX в. англичане начали работы

в Африке по проложению градусного измерения от мыса Доброй Надежды

до Каира

В XX в. продолжаются работы по построению рядов триангуляции на

всех континентах, а также сплошных триангуляционных сетей, покрывающих

целые страны. Небывалый размах эти работы приняли в нашей стране.

Градусные измерения СССР отличаются не только своим объемом, но

и высоким научным уровнем, коротким сроком исполнения, обеспечившим

однообразие методов и условий их проведения, применением новейших при

боров и современных способов измерений, обусловивших их высокую точ

ность. Градусные измерения в СССР проводились по специальной программе

Автор

Год

Большая

полуось а, м

Сжатие а

Примечание

Дел амбр

1800 6 375 653 1 : 334 Лежит в основе вывода ме

Вальбек

1819

6 376

896

1 : 302,8

тра

Первый эллипсоид, при

менявшийся в России

в X IX в.

Бессель 1841

6 377 397

1 : 299,15

Применяется во многих

странах (в СССР — до

1946 г.)

Кларк

1880

6 378

249 1 : 293,47

Применяется в США и Ка

наде

Жданов

1893

6 377

717

1 : 299

Выведен по русским гра

дусным измерениям

Хейфорд 1909

6 378

388

1 : 297

Был принят в качестве меж

дународного (до 1967 г.)

Красовский

1940

6 378

245

1 : 298,3

Принят в СССР и всех со

циалистических странах

Европы и Азии

и единому плану и за короткий срок покрыли громадную территорию на

шей страны. При этом созданная астрономо-геодезическая сеть включает

не только астрономо-геодезические, но также и гравиметрические определе

ния ускорения силы тяжести, равномерно распределенные по всей территории ,

страны и вокруг пунктов I класса.

Почти каждое крупное градусное измерение XIX и XX вв. сопровожда- (

лось выводом новых размеров земного эллипсоида. В табл. 1 приведены не- *

которые из этих выводов, а также указаны их авторы.

В середине XIX в. закончился второй этап в изучении фигуры Земли,

к этому времени стало ясно, что эллипсоид вращения, так же как и шар,

лишь приближенно представляет собой действительную фигуру Земли.

Результаты градусных измерений показали, что расхождения в основных

параметрах эллипсоидов вращения не могут быть объяснены только ошиб

ками измерений и вычислений и что их причина кроется в физической при

роде более сложной формы нашей планеты.

Первые попытки представить фигуру Земли трехосным эллипсоидом и

вычислить его размеры были сделаны русским геодезистом Ф. Ф. Шубертом

(1789— 1865 гг.) в 1860 г. и английским ученым Кларком в 1878 г. Но, как >

было затем установлено, трехосный эллипсоид также лишь приближенно j

представляет действительную фигуру Земли, оказавшуюся значительно слож- *

нее его. '

Бурное развитие народного хозяйства СССР после Великой Октябрьской

социалистической революции, стремительный рост объемов геодезических

работ создали благоприятные условия для прогресса геодезической науки.

Организация правильного планирования, проведения и использования геоде

зических работ, развернувшихся на значительной территории страны, потре

бовали разработки принципиально новых решений задач по определению точ- !

ных координат пунктов геодезической сети, отличных от решений, пригод-

ных для малых территорий.

Прежде всего необходимо было определить новые размеры и ориенти

ровку земного эллипсоида, наиболее подходящего для громадной террито

рии СССР. Затем потребовалась разработка строгих методов редуцирования

результатов геодезических измерений на поверхность нового референц-эллип-

соида и разработка новых методов уравнивания обширной астрономо-геоде-

зической сети. Все эти задачи были успешно решены советскими геодези

стами, признанным руководителем которых был выдающийся ученый, чл.-корр.

АН СССР проф. Ф. Н Красовский (1878— 1948 гг.).

Современный период в изучении фигуры Земли связан с работами со

ветского ученого М. С. Молоденского, который разработал метод точного

определения физической поверхности Земли. С этого времени изучение по

верхности Земли и ее гравитационного поля становится основной задачей

при изучении фигуры Земли.

Появление ИСЗ позволило разработать новые независимые методы опре

деления фигуры Земли. Так, например, при помощи спутниковых, астрономо

геодезических и гравиметрических методов были установлены геодезические

референц-системы, определяющие геодезическую модель Земли и принятые

в качестве международных: геодезическая референц-система 1967 г.— а —

= 6 378 160; а = 1:298,247 и затем геодезическая референц-система 1980 г

а = 6 378 137; а = 1 : 298,257.

2. Об истории развития основных геодезических работ

Градусные измерения, первоначально осуществляемые исключительно в на

учных целях, впоследствии стали использоваться для создания опорной гео

дезической сети. Развивающееся капиталистическое общество и его военные

нужды требовали создания более точных и подробных карт. Геодезической

основой для них вначале служили только астрономические пункты. Но для

карт более крупного масштаба точность астрономических определений была

недостаточной. Поэтому с конца XVIII в. и особенно в XIX в. начинаются

работы по развитию более точных опорных пунктов путем построения три

ангуляционных сетей с одновременным определением высот пунктов из баро

метрического и геодезического нивелирования.

Большой размах эти работы получили после наполеоновских войн и осо

бенно после фундаментальных исследований Гаусса, Бесселя, Струве.

Во всех развитых странах появляются специальные учреждения, на

которые возлагаются задачи по картографированию территорий. Эти учреж

дения, чаще всего организованные военными ведомствами, занимались прове

дением основных работ (так стали называться работы по созданию астро-

номо-геодезического обоснования) и топографических съемок. На них возла

галось также издание карт различных масштабов.

В России таким учреждением был Корпус военных топографов, создан

ный в 1822 г. на основе Военно-топографического депо, в свою очередь об

разованного из Депо карт, организованного в конце XVIII в. для составле

ния, издания и хранения карт.

Еще ранее картографированием территории России занимался Географи

ческий департамент Петербургской Академии наук, учрежденный в 1739 г.,

деятельность которого была наиболее плодотворной в период с 1757 по

1765 г., когда руководил им великий русский ученый М. В. Ломоносов

(1711—1765 гг.).

Однако первые топографические съемки в России были начаты еще при

Петре I на Дону в 1696 г. и в 1715 г. на Иртыше. При нем начинается под

робное географическое изучение территории России, организуется ряд гео

дезических экспедиций с целью картографирования отдаленных районов им

перии, была создана первая инструкция, регламентировавшая порядок и тех

нику проведения работ.

Первые систематические триангуляционные работы в России относятся

к 1816 г. и связаны с именами К И. Теннера, проводившего их на террито

рии бывшей Виленской губернии, и В. Я. Струве, исполнявшем их в Прибал

тийских губерниях.

В течение всего XIX в. Корпусом военных топографов проведены боль

шие работы по триангулированию пограничных и центральных районов

России, созданию на эти территории карт различных масштабов. Недостат

ком этих работ явилось то, что все погубернские триангуляции имели само

стоятельные сети с собственным началом и собственной координатной систе

мой, относившейся к различным эллипсоидам (Вальбека, Кларка, Бесселя).

Не было единых технических установок, единого плана проведения работ,

пункты в натуре слабо закреплялись и быстро утрачивались При соедине

нии различных триангуляций получались недопустимые невязки, а несмыка-

ние рамок планшетов на границах съемок достигало на местности 200 м

и более Объем работ не обеспечивал нужды развития такой большой страны,

как Россия.

В 1871 г. Военно-топографический отдел Корпуса военных топографов

приступил к систематическому проведению геометрического нивелирования.

К 1894 г протяженность нивелирной сети составила 13 тыс. км; было вы

полнено первое уравнивание ее и составлен каталог, содержавший 1092 марки

Но и в этом вопросе единой установки и единой исходной поверхности для

определения высот пунктов в разных частях страны не существовало.

Помимо Корпуса военных топографов, выполнившего большой объем

астрономо-геодезических, топографических и картографических работ, в цар

ской России триангуляционные и съемочные работы выполнялись Гидрогра

фическим управлением (по берегам морей), Межевым ведомством, Переселен

ческим управлением, Горным ведомством и Ведомством путей сообщений.

Однако все они вместе с Корпусом военных топографов смогли к 1917 г.

покрыть топографическими съемками менее 20 % территории России

Широким фронтом развернулись геодезические работы в нашей стране

после Великой Октябрьской социалистической революции

Начало советскому периоду развития геодезии было положено Декре

том СНК РСФСР за подписью В И Ленина от 15 марта 1919 г., в самый

разгар гражданской войны Согласно этому Декрету было организовано Выс

шее геодезическое управление (В ГУ )— в настоящее время Главное управле

ние геодезии и картографии (ГУГК) при Совете Министров СССР, на кото

рое возлагалось производство геодезических и топографических работ

с целью изучения территории страны, поднятия и развития ее производи

тельных сил

Наряду с ВГУ продолжало свои работы и Военно-топографическое уп

равление (ВТУ), согласовывавшее свои планы проведения геодезических ра

бот с ВГУ

С самого начала проведение основных геодезических работ в нашей

стране осуществлялось на широкой научной основе, разработанной Ф Н. Кра-

совским Работы проводились по единым техническим инструкциям и на

ставлениям, создававшимся по всем основным видам работ.

К 1930 г на территории европейской части СССР было образовано во

семь полигонов из рядов триангуляции 1 класса, каждый периметром 800—

1000 км Они были уравнены по способу Красовского в 1932 г на эллипсоиде

Бесселя с исходным пунктом в Пулкове

В это же время в СССР вводится система плоских прямоугольных ко

ординат Гаусса— Крюгера

В 1933 г проводится второе уравнивание нивелирной сети европейской

части СССР, включавшей линии высокоточного и точного нивелирования об

щей протяженностью 69 450 км.

Наряду с астрономо-геодезическими работами выполняется сплошная

гравиметрическая съемка, ставшая органической частью основных геодези

ческих работ

К 1939 г ряды триангуляции уже образовали 70 полигонов, протяжен

ностью в 46 000 км Встал вопрос о новом уравнивании астрономо-геодези-

ческой сети СССР, которое было выполнено в 1942 г. и к 1945— 1946 гг.

перевычислено на эллипсоид Красовского Оно включало уже 87 полигонов

из 311 звеньев *

Новый размах получили геодезические работы после Великой Отечест

венной войны, когда наряду с восстановлением народного хозяйства и гео

дезической основы в бывших оккупированных областях происходит бурное

освоение и развитие новых и малообжитых районов страны.

* Звеном называют ряд треугольников триангуляции (сторон полигоно-

метрии), составляющих одну сторону полигона, длиной 200—250 км, с изме

ренными базисными сторонами и азимутами Лапласа на его концах

К 1960 г полностью завершается создание карты масштаба 1:100 000

на всю территорию СССР.

К 1970 г в основном закончено создание астрономо-геодезической сети

1 класса на всей территории страны.

В настоящее время на территории нашей страны заканчивается съемка в

масштабе 1 :25 000 на основе геодезических сетей 1—3 классов, что явится

крупным достижением советской геодезии и невиданным в практике миро-

гюго картографирования мероприятием.

Большой размах принимают нивелирные работы по созданию высотной

опорной сети. После 1945 г. проводится сплошное нивелирование территории

страны по новой классификации из четырех классов нивелирования, вклю

чавшее все ранее проложенные ходы нивелирования, и выполняется третье

уравнивание сети из 110 тыс. км нивелирных линий I и II классов.

В 1977 г. было закончено четвертое уравнивание нивелирной сети I

и II классов, включавшее 500 полигонов периметром от 500 км в централь

ной части страны до 6000 км на северо-востоке.

Началось и нашло широкое применение в геодезии ИСЗ, разрабаты

ваются новые космические методы, которые позволяют поставить и решить

ряд задач, выполнение которых было бы невозможно при использовании

обычных наземных средств, по созданию глобальных геодезических сетей,

охватывающих весь земной шар, по связи различных континентов и коорди

натных систем, всестороннему изучению фигуры Земли.

Дальнейшее развитие этих методов приведет к новым важным достиже

ниям во всех областях геодезической науки и техники.

Раздел второй

ЭЛЕМЕНТЫ СФЕРОИДИЧЕСКОЙ ГЕОДЕЗИИ

Глава 4

ГЕОМЕТРИЯ ЗЕМНОГО ЭЛЛИПСОИДА

§ 13 ПРЕДМЕТ СФЕРОИДИЧЕСКОЙ ГЕОДЕЗИИ

Сфероидическая геодезия как один из разделов высшей геоде-|

зии изучает способы решения геодезических задач на поверх-'

ности земного эллипсоида.

Как это было отмечено в первом разделе курса, на прак

тике задачу трехмерного пространства часто сводят к решению

задач в двумерном пространстве, определяя раздельно плано

вые координаты и высоты точек относительно поверхности

земного эллипсоида. В нашем курсе будем полагать, что все

измеренные величины редуцированы на поверхность земного

эллипсоида методом проектирования. Требуется решить задачу

перехода от элементов нормального сечения к геодезическим

линиям на поверхности эллипсоида и изучить способы отобра

жения их на поверхности шара или на плоскости (§§ 17 и 19).

В связи с этим в сфероидической геодезии изучаются геомет

рия земного эллипсоида и способы отображения его поверхно

сти и элементов на сфере и на плоскости. При этом как само

стоятельные задачи рассматриваются свойства нормального

сечения и геодезической линии, основных координатных линий

на поверхности эллипсоида, способы равноугольного отобра

жения поверхности эллипсоида по частям на плоскости, ме

тоды перевычисления эллипсоидальных координат В, L в плос

кие координаты х9 у и обратно.

§ 14 ЭЛЛИПСОИД ВРАЩЕНИЯ, ЕГО ЭЛЕМЕНТЫ

И СООТНОШЕНИЯ МЕЖДУ НИМИ

Эллипсоидом вращения называется геометрическое

тело, образуемое вращением эллипса вокруг его малой оси.

Уравнение его поверхности вращения в канонической форме

имеет вид

х2/а

+ у2/а2 + z2!b

= 1, (4.1)

где а — большая или экваториальная полуось эллипсоида, b —

малая или полярная полуось.

Сечения поверхности эллипсоида плоскостями, перпендику

лярными к оси вращения РР' (рис. 16), представляют собой

Рис 16 Основные элементы

эллипсоида

окружности, называемые паралле

лями {сс'). Наибольшая парал

лель E'RE, плоскость которой прохо

дит через центр эллипсоида О, назы

вается экватором. Экватор делит

эллипсоид на две одинаковые поло

вины: северную и южную.

Плоскости, проходящие через ма

лую ось эллипсоида, называются м е 

ридианными плоскостями, а

сечения ими поверхности эллипсо

ида — меридианами.

Меридианные сечения представ

ляют собой эллипсы. Расстояние от

центра эллипса до каждого из фокусов F\ или F2i равное

Уа

—

2> называется линейным эксцентриситетом,

а отношение линейного эксцентриситета к большой или малой

полуосям — эксцентриситетом эллипса. В соответствии

с этим различают первый и второй эксцентриситеты меридиан

ного эллипса:

- е = л/а2— b21а, (4.2)

.е'= aJ a2—b2 /Ь. (4.3)

— большая и малая полуоси — опреде

ляют размеры эллипсоида, а эксцентриситет — его форму, т. е.

большую или меньшую приплюснутость у полюсов Чем больше

разность между большой и малой полуосями, тем больше экс

центриситет и наоборот. У шара он равен нулю.

Форму эллипсоида определяет также другая относительная

величина, так называемое полярное сжатие или просто

сжатие эллипсоида, вычисляемое по формуле

первый эксцентриситет-

второй эксцентриситет —

Линейные элементы-

а= :(а—Ь)/а.

(4.4)

Как следует из формулы (4.1), эллипсоид вращения вполне

определяется двумя элементами — большой и малой полу

осями. Вместо малой полуоси чаще используют сжатие или

эксцентриситет. Один из двух заданных элементов обязательно

должен быть линейным.

Наряду с соотношениями (4.2) — (4.4) между элементами

.эллипсоида существуют следующие зависимости:

b ~ a V l

a = b'\J \

„'2

Они вытекают

если положить

+ е'

непосредственно из

е2=

— Ь2/а2;

е'2 = Ф№— \.

формул (4.2) и

(4.5)

(4.6)

(4.3),

(4.7)

(4.8)

Можно установить, что

е* = е,21(1 + е'2),

е,2 = еУ( 1 — еа),

так как b2/a?= 1— е2= 1/(1 + е/2).

Из формул (4.4) и (4.7) следует, что

а ~

— Ыа =

— V

—в2,

откуда <?

а—а2.

Приближенно считают

« 2 а (4.11) и а ж е 212. (4.12)

Для земного эллипсоида при ориентировочных подсчетах

можно принимать а«6400 км, 1/300, е2ж е'2 ж 1/150.

Значения а и е2 в сфероидической геодезии определяют ве

личины первого порядка малости, а

и е4 — второго порядка

малости и т. д.

Для эллипсоида Красовского при точных вычислениях при

няты следующие значения его элементов:

а = 6 378 245,000 00 м; е2 = 0,006 693 421 623;

Ь = 6 356 863,018 77 м; е'2 = 0,006 738 525 415.

а = 0,003 352 329 869;

§ 15. УРАВНЕНИЯ ПАРАЛЛЕЛИ И МЕРИДИАНА.

ШИРОТЫ И ДОЛГОТЫ ТОЧЕК

НА ПОВЕРХНОСТИ ЭЛЛИПСОИДА

Рассмотрим уравнения параллели и меридиана эллипсоида.

Плоскость, параллельная экватору, пересечет поверхность эл

липсоида по окружности радиуса г. При этом, как видно, из

рис. 17,

Уравнение (4.13) и есть уравнение параллели. Пересекая

поверхность эллипсоида вращения плоскостью, проходящей

через ось вращения, получим эллипс. По определению, поло

вина каждого эллипса, расположенная между полюсами, назы

вается меридианом. Исключив координаты о j в уравнении

(4.1) с помощью соотношения (4.13), получим уравнение ме

ридиана

В качестве системы ортогональных координатных линий на

эллипсоиде можно принять меридианы и параллели, так как

они пересекаются под прямым углом. Положение точки на

поверхности эллипсоида можно задать длинами дуг паралле

лей и меридианов.

Г2 = х2 + у2.

(4.13)

r7a2+ z W = 1.

(4.14)

P r

Рис. 17. Геоцентрическая, приведенная и геодезическая

широты

В действительности, долгота L точки на эллипсоиде в ли

нейной мере равна длине дуги экватора от начального мери

диана до меридиана этой точки. Для удобства долгота L вы

ражается в угловой мере как отношение длины дуги экватора

I к большой полуоси а земного эллипсоида, т. е.

L° = (l/a) р°.

Таким образом, меридиан является координатной линией,

для которой соблюдается постоянство долгот. Что касается

второй координаты — широты, дело обстоит сложнее, ибо ее

практически неудобно измерять длиной дуги меридиана, яв

ляющейся дугой эллипса. Поэтому не случайно, что при рас

смотрении систем координат (§

) нами введены геодезическая

(В) и геоцентрическая (Ф) широты, связанные с нормалью и

геоцентрическим радиусом. По определению этих широт, па

раллель есть координатная линия, во всех точках которой гео

центрическая и геодезическая широты имеют одну и ту же ве

личину (В = const, Ф = const). В сфероидической геодезии при

меняется еще одна мера широты — приведенная широта,

которая определяется следующим образом. Возьмем отрезок

прямой, равный большой полуоси эллипсоида, и отложим его

так, чтобы один конец лежал на поверхности эллипсоида

в точке Q, а другой — на оси вращения эллипсоида (см. рис. 17)

и точке Острый угол, составленный отрезком Qn' с плос

костью экватора, называется приведенной широтой и обозна

чается буквой U. Ясно, что параллель является координатной

линией, во всех точках которой сохраняется постоянство при

веденной широты. Установим связь между долготой и приве-

денной широтой, с одной стороны, и де

картовыми координатами — с другой.

Из рис. 17 видно, что

ибо

Рис. 18. Дпффсренци

альные изменения ко

ординат

х = а cos U cos L,

у = a cos C/sinL,

г — b sin U,

г = a cos V,

(4.15)

(4.16)

а из соотношений (4.14) и (4.16) сле

дует, что b2s\n2U = z2.

Из равенства, представленного в третьей строке (4.15), и

рис. 17 следует, что отрезок Qne равен малой полуоси эллип

соида. Тогда отрезок пеп' = а—&, т. е. для всех точек меридиана

отрезок пеп! имеет одну и ту же величину, равную разности

полуосей эллипсоида. Это свойство геометрии эллипса исполь

зуется для его построения.

Рассмотрим связь между различными широтами. При эле

ментарном перемещении вдоль меридиана из точки Qi в точку

(рис. 18) на dB координата г увеличится на dz, а радиус

параллели уменьшится на dr. Из элементарного треугольника

QiQ2Qr имеем

tg B =

-----

jL •

Дифференциалы dz и dr найдем из равенств (4.15) и (4.16):

dz = b cos UdU\ dr = —asinUdU.

Тогда

tg U = (fe/a) tgB. (4.17)

Это основная формула, устанавливающая связь между геоде

зической и приведенной широтами, из которой можно найти и

другие, эквивалентные ей формулы:

t g u = v i-

tgs=Vi-

-tgB,

",2

-tg £/,

■е

tgt/ = (l — a) tgB.

Используя эти формулы, находят разность широт

В — U — ti sin 2В — (п

/2) sin АВ + (п

/3) sin

В — . .

B — U = nsln2U— (n

/2)sin4£/-f(n

/3)sin

С/-f- . .

n = a/(

—a).

(4.18)

(4.19)

(4.20)

(4.21)

(4.22)