Хаимов 3.С. Основы высшей геодезии

Подождите немного. Документ загружается.

анов и параллелей: AB=CD=MdB\ AD = BC=NcosBdl, будет

dP = MN cos BdBdl. (4.65)

Учитывая, что M N=R2 = b2jW4, где b — малая полуось эл

липсоида, получим

dP =

-----

b*cosB

-----

dBdl ^466j

(1 —e2sin2B)2

Площадь конечной трапеции, ограниченной широтами Bi и

и долготами Ц и L2, выразится двойным интегралом

Р = f

f J (

— е

sin

) - 2

cos В dB dl, (4.67)

UB,

откуда, интегрируя по dl, получаем

в%

P = b*(Li —L1) | (1 —е

sin

В)-2 cos В dB. (

)

Для вычисления интеграла разложим подынтегральную функ

цию в ряд по биному Ньютона и почленно проинтегрируем:

(1 — e

sin

B )-

=l-f 2e

sin

B + 3e

sin4B + 4e

sm6B + . . .. (4.69)

Подставляя его в (4.67) и ограничиваясь членами с е6, по

лучаем

я*

Р = Ъ% (L

— Lx) j (cos В +

sin

В cos В + 3e

sin

В cos В +

+ 4e

sin

В cos В -f • • •) dB,

откуда

P = b

— Li) Г sin В -f — e

sin

В + — e

sin

В +

L 3 5

+ — e

sin7B + . . . l Bs. (4.70)

7 JBj

Подставляя пределы интегрирования, окончательно имеем

P =

— Lx) £ (sinB2— sinВг) + ~ ~ e2(sin

— sin

Bx) +

+ — e

(sin

B2— sin

Bj) -f- — ee (sin

— sin

Вг) 1. (4.71)

5 7 J

Для удобства вычислений формулу (4.71) представим в виде

Р = Ь2 (L2— L J [sin В2— sin Вх -f I + II + Ш]/р, (4.72)

где I = (2/3) е

(sin

— sin

Вх);

II = (3/5) е

(sin

— sin

Bt);

III = (4/7) е® (sin

— sin

Bx).

р ”/

Рис 20 Сфероидическая трапе- Рис 21. Рамки съемочной трапе

ция ции

Применив формулу (4.72), подсчитаем площадь половины

поверхности эллипсоида. В этом случае Bi = 0°,

5 2

= 90°, Ь2—

—L\ = 2зт. Получим:

Рi

nb2 ^ sin 90° + е2 sin

90° + е

sin

90° +

- ~ -e

sin

90° j = 2nb2 ^ 1 + -~-e2 + -^-e

+ -y- e& j •

Площадь всей поверхности эллипсоида будет

Р = = 4 я ^ 1 + -2 -е 2 +-|-е4 +-у-е6 + . . . (4.73)

Для эллипсоида Красовского она составляет 510 083 035 км2.

Точность вычисления площадей по указанным формулам зависит

от числа удерживаемых в них знаков.

Расчет рамок съемочных трапеций

Западная и восточная рамки съемочной трапеции ABCD

(рис. 21) представляют собой дуги меридианов АВ и CD между

широтами Si и В2: AB = CD = Mm(B2—Bij'Vp", где Mm — радиус

меридианной кривой, взятой по средней широте Bm= (Si + В

Южная и северная рамки являются дугами параллелей, длина

которых определяется разностью долгот I между меридианами

АВ и CD, т. е. BC = NicosB\ • /"/р"— южная рамка с широтой Si;

AD = N2cosB2- 1"/р" — северная рамка с широтой В2-

Обозначив ДВ" = (В

—Вх)" и приняв знаменатель масштаба

карты т , а также выразив размеры рамок в сантиметрах, полу

чим следующие формулы для вычисления размеров рамок съе

мочных трапеций:

в с = аг = — I" -^3- cos Вх;

m р"

>4Z> = а

= — V — cos В2; (4.74)

m р"

Л В = DC = АВ".

m р"

Для контроля определяют диагональ трапеции по формуле

d = ]/a

+ r2. Существуют специальные таблицы, из которых

размеры рамок и площадей трапеций различных масштабов

можно выбрать по аргументу широты *.

Глава 5

РЕШЕНИЕ ГЕОДЕЗИЧЕСКИХ ЗАДАЧ

НА ПОВЕРХНОСТИ ЗЕМНОГО ЭЛЛИПСОИДА

§ 21 ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ

Измеренные на местности углы и линии после редуцирования их

на поверхность относимости, которой служит поверхность рефе-

ренц-эллипсоида, используются в дальнейшем при решении раз

личных геодезических задач. Основными задачами являются:

решение треугольников по измеренным углам и одной стороне

(базису), вычисление координат пунктов, расстояний и азимутов

направлений, позволяющих определять взаимное положение раз

личных точек на эллипсоиде.

Последняя задача обычно является конечной целью всех гео

дезических измерений, поэтому носит название главной гео

дезической задачи. Она подразделяется на прямую и

обратную в зависимости от того, что задано и что требуется

определить.

Решение указанных основных задач осложняется тем, что

проводить их необходимо на поверхности эллипсоида, для кото

рой нельзя получить конечных формул, аналогичных имеющимся

для сферы или плоскости. При решении задач на эллипсоиде

необходимо учитывать меняющуюся в зависимости от широты

кривизну этой поверхности.

Линейные размеры кривых на эллипсоиде одинаковой дуго

вой величины также зависят от широты. Поэтому к геометриче

ским фигурам, образованным этими кривыми, не могут быть

применены обычные правила равенства их элементов. Так, на

пример, треугольники с равными сторонами, расположенные под

разными широтами, будут иметь не равные соответствующе

расположенные углы; аналогично, треугольники, имеющие рав

ные углы и по одной одинаковой стороне, будут иметь не равные

две другие стороны, если они расположены не на одной широте,

и т. д.

Однако решение задач облегчается тем, что земной эллип

соид мало отличается от шара, поэтому треугольники на его по

верхности могут с небольшими погрешностями заменяться сфе

рическими и решаться по формулам сферической тригонометрии.

* Таблицы координат Гуасса — Крюгера и таблицы размеров рамок и

площадей трапеций топографических съемок. М., Геодезиздат, 1948

При такой замене в вычисленные по правилам сферической

тригонометрии элементы вводят поправки, учитывающие сфе-

роидичность Земли. Чем длиннее стороны рассматриваемых гео

метрических фигур, тем больше поправочных членов должно

учитываться. При этом исходят из следующих соображений.

К величинам первого порядка малости наряду с е2^0,007 и

а »0,003 относят величины s/R, В2—Si, l= L 2—Li, которые при

s порядка 30 км будут: s/R = 30/64000,005; В2—Bi<1000'7p"~

~ 0,005; /«lOOO'Vp" или jjOOO'Vp" (в зависимости от широты).

К величинам второго порядка малости относят е4, e2s/R, е21,

(B2—Bi) s/R и т. д.

При 5<30 км обычно в поправочных членах сохраняют члены

третьего порядка малости; при s = 40—60 км необходимо уже

удерживать и члены четвертого порядка малости. При больших

расстояниях учитывают еще больше поправочных членов.

§ 22. РЕШЕНИЕ СФЕРОИДИЧЕСКИХ ТРЕУГОЛЬНИКОВ

Сфероидическими треугольниками называются тре

угольники, образованные на поверхности эллипсоида (сфероида)

геодезическими линиями. Если длины сторон в треугольнике не

превышают

10 0 — 2 0 0

км, их можно считать сферическими, т. е.

расположенными на сфере соответствующего радиуса.

При решении сферических треугольников по правилам сфе

рической тригонометрии стороны должны выражаться в радиан-

ной или градусной мере, так как являются дугами соответствую

щих окружностей. Но на местности измерения производятся

в линейной мере. Это вызывает необходимость предварительного

их перевода в угловую меру, а после решения треугольников —

в линейную, так как в дальнейшем потребуются именно такие

стороны. Все это вызывает большие неудобства. Поэтому при ре

шении сферических треугольников применяют два метода, по

зволяющие получать длины сторон в линейной мере без пере

вода их в дуговую.

Такими методами являются решения треугольников по тео

реме Лежандра и по способу аддитаментов. Их достоинство со

стоит также в том, что они позволяют решать треугольники как

плоские после введения соответствующих поправок в сфериче

ские углы или стороны, что значительно облегчает вычисления.

При этом по теореме Лежандра поправки вводятся в сфериче

ские углы треугольника, стороны же остаются равными сфери

ческим, а по способу аддитаментов поправки вводятся в сфери

ческие стороны треугольника, сферические же углы остаются

без изменения.

Решение малых сферических треугольников

по теореме Лежандра

В 1787 г. А. Лежандр (1752— 1833 гг.) доказал теорему, которая

гласит, что если стороны плоского и сферического треугольни

ков равны между собой, то углы такого плоского треугольника

равны соответствующим углам сфе

рического треугольника, уменьшен

ным на одну треть сферического

избытка.

Таким образом, решение сфери

ческих треугольников сводится к

решению плоских, если углы сфе

рического треугольника исправить Рис 22 сферический и плос-

соответствующей поправкой, рав- кий треугольники

ной

з сферического избытка.

Для доказательства теоремы Лежандра рассмотрим сфери

ческий треугольник ABC (рис. 22) со сторонами, а, Ь и с, выра

женными в линейных единицах, и плоский треугольник А'В'С'

с соответственно равными сферическим сторонами а, b и с.

Углы сферического треугольника равны А, В и С, а углы

плоского — А', В' и С'. Требуется определить такие разности

углов АА=А—А', АВ = В —В', АС =С —С', вычитая которые из

углов сферического треугольника, можно было бы переходить

к углам плоского треугольника: А'= А—АЛ; В '=В—'АВ; С' = С—

—А С.

Пусть R — средний радиус эллипсоида для средней широты

В, на которой расположен сферический треугольник ABC. Выра

зим его стороны в радианной мере, получим a/R, b/R, c/R. Тогда

по теореме косинусов для сферического треугольника имеем

cos (alR) = cos (b/R) cos (c/R) -j- sin (b/R) sin (c/R) cos A,

откуда

cos ( - M - cos ( ± ) COS ( f )

cos A = --------

, '

' ■— • (5.1)

sin i

(iHi)

Учитывая, что a/R, b/R, c/R при длинах сторон порядка 30 км

и среднем радиусе эллипсоида ~6400 км — величины первого

порядка малости, разложим косинусы и синусы малых дуг

в ряд, ограничиваясь членами четвертого порядка малости, т. е.

полагая

* х2 х4 . х3 .

cosx=

--------

+ — — . . . и sin л: = л;

---------

_l . . . ,

2! 4! 3!

получим

, + (, _

. 2К» 24Я4 \ 2Р‘ ^ 24R* I \ 2R’1 24R4 /

COS гI = ----------------------------------------

— —-------

-----------------------------------------------------------------------

/6 Ь3 \ / с с3 \

\ R ~ 6Я® ) \ R ~ 6R* )

Раскрывая скобки и ограничиваясь заданной точностью, на

пишем

а2 а* . Ъ2 Ь4 . с2 с4 Ь2с2

COS Л =

2R2 1 24 Я4 1 2#2 24/?4 1 2R2 24Я4 4R*

be / j b

~R*~ \ 6R2 )

Ь2 с2 — а2 а* — 64 — с4 — 662с2

2 be ~+ 2AR2bc

, b2 + c2

или

6R2

л Ь2 -f с2 — а2 а4 — 64 — с4 — 662с2

cos А = —

-----------

-----------------------------

2Ьс 1 24 R2bc 1

6* + с2 / Ъ2 + с2 — а2 \

\ 26с )

После перемножения и приведения подобных членов с такой

же точностью получим

£2 £2 — д4 _|_ ^4 с4 — 2 а 2Ь2 — 2 а 2с2 — 262с2 /с оч

co s,4= — —

----------

+ — ~ — —

------------------------------------

. (5.2)

2 be т 24 R2bc 7

Для плоского треугольника А'В'С' аналогично по теореме ко

синусов будем иметь

coSi4' = ОЪ2 + с2— а2)/(26с), (5.3)

• 2 л г 1 2 л / 4 W — (Ь2 + с2 — а 2)2

откуда sin2 Л = 1 — cos2 Л =

---------

>- =

— а4 — 64 — с4 + 2а2 ft2 + 2а2с2 + 2&2с2 -- ..

~ 4£>ас2 ' ^

Сравнив формулы (5.3), (5.4) с (5.2), видим

cos А — cos А' — 6с sin2 Л7(6#2) или cos Л —со8Л' =

= — 6csinM 7(6fl2). (5.5)

Вспомнив из тригонометрии, что

Р л . ос —В • в — сс f\ » сс 4- 8 • ос в

sin— sin —

-------

= —

sin— LJ— sin

--------

—,

2 2 2 2

получим

о • Л + Л' • A — A' be sin2 А' /с c\

— 2 sin— —

-----

sin

------------

= —-------------. (5.6)

2 2 6R2 v 1

Учитывая, что разность A—A' — величина малая, можно по

ложить

. л—Л' Л —Л' . Л + Л' . , ,

S1n ------------«

-------------; sin

------

« sin А ,

2 2 2

тогда А—А'— (

с sin A')/(6R2).

Но (be sin А')

= Р — площади треугольника А'В'С', поэтому

Складывая почленно равенства (5.7), (5.8), (5.9), получаем

(Л -fB + C)— (А' + В '+ С') = (Р/#2) р или, так как Л' + В'Н-

-f С' =180°,

то (Л + В + С) = ЛЧ B, + C, + (P/i?2)p=180° + e,

— сферический избыток. Вводя величину р

/(2

R2) — f (5.10), для

которой по аргументу средней широты треугольника составлены

таблицы, получим такие формулы для вычисления сферического

избытка, если известны две стороны и углы

если известны только одна сторона и все углы треугольника.

При вычислении сферического избытка стороны обычно выра

жают в км.

Из формул (5.7), (5

), (5.9) следует

Углы А', В', С' называются плоскими приведенными

углами.

Для вычисления сферических избытков по формулам (5.11)

и (5.12) необходимо знать углы плоского треугольника, которые

нам неизвестны Но, как показывают исследования, при длинах

сторон до 90 км для вычисления сферических избытков можно

пользоваться сферическими углами, допуская ошибку в вычисле

нии избытка менее 0,0005". Если стороны треугольников превы

шают 90 км, то необходимо пользоваться методом приближений,

описание которого приведено в [51.

(5.7)

точно так же

А В - (В —Bf) = — р

; 3 ^

1 Р

— р

-------

3 Я*

1 Р

— р

----

3 Д

(5.8)

(5.9)

где

ас sin В'

ab sin С

2 Я2

е = 2/Р = fbc sin А' = fac sin В' = fab sin C\ (5.11)

или

s = fb2 sin A' sinCVsin Bf = fa2 sin Bf sin CVsin A'

= fc

sin A sin BVsin C\

(5.12)

Ar = A — e/3; В' = В — e/3; С' = С— e/ 3. (5.13)

Для равносторонних треугольников сферические избытки

равны:

при s, км

5 10 20

0,07 0,25 1

30 60 111

2 8 27

Формулы (5.13) выражают теорему Лежандра для малых

сферических треугольников, стороны которых не превышают

200 км В этом случае ошибки вычисления плоских углов тре

угольников будут не более

0 0

\гг.

Если стороны треугольников превышают

2 0 0

км, то при вы

воде формул необходимо учитывать дополнительные члены сле

дующего порядка малости, а также поправочные члены за

сфероидичность треугольников.

Значение f для территории СССР с достаточной точностью

можно принимать постоянным, равным 0,00253.

Получив приведенные углы, в дальнейшем треугольник ре

шают как плоский по теореме синусов, а именно, если задана

сторона b и углы, то

где q = bfe\nB'. Контроль: Ь/sin В' = c/sin С '= a/sin А'. (5.15)

Решение сферических треугольников способом аддитаментов

Этот способ был предложен немецким ученым И. Зольднером

в 1820 г. Суть его заключается в решении сферического тре

угольника по формулам прямолинейной тригонометрии со сфери

ческими углами и сторонами, исправленными специальными по

правками, называемыми аддитаментами.

Пусть имеем сферический треугольник ABC (см. рис. 22) со

сторонами а, & и с, выраженными в линейной мере, и сфериче

скими углами

А, В, С. Переведя стороны в радианную меру, по

теореме синусов будем иметь

sin (a/R)/sin А = sin (b/R)/sin В = sin (c/R)lsin C, (5.16)

где R — средний радиус эллипсоида на средней широте тре

угольника.

Пусть в треугольнике ABC сторона а известна (базисная

сторона). Тогда, решая треугольник, определим сторону Ъ

Раскладывая синусы малых величин в ряд и ограничиваясь

двумя членами разложения, получаем

sin B r sin В

- — sin A' = q sin Аг\ с =

-----

sin С' = q sin С', (5.14)

т R ' cin Д '

sin (blR) = sin (a/R) sin В/sin A.

(5.17)

Сократив на R и обозначив через Аъ = Ь3/ (6R2), Аа = аг/ (6R2) >

Ac=cd/(6R2) поправки к сторонам — их аддитаменты, а через

&' = b— Аъ\ а' = а — Аа\ — с—Ас (5.19)

— стороны плоского треугольника, из формулы (5.18) получим

br = a'sin J3/sin А и, аналогично, c' = a'sinC/sin А.

Стороны сферического треугольника, как это следует из

(5.19), будут

Ъ = Ъ' + АЬ, c= (f + Ae. (5.20)

Для контроля определяем а = а'+А а. Из изложенного следует

такой порядок применения способа аддитаментов для решения

сферических треугольников:

) по исходной стороне а вычисляется или выбирается из

таблиц ее аддитамент Аа с точностью до миллиметра;

2) из исходной стороны вычитается ее аддитамент. Полу

чается исправленная сторона, соответствующая стороне плоского

треугольника;

3) с исправленным значением исходной стороны и со сфери

ческими углами решаются треугольники по формулам прямо

линейной тригонометрии и определяются стороны плоского

треугольника Ъг и сг\

4) по найденным сторонам (Ъ' и с') определяются их адди

таменты Аъ, Ас;

5) прибавляя к вычисленным сторонам плоского треуголь

ника их аддитаменты, получают искомые значения сторон сфе

рического треугольника, выраженные в линейной мере.

Рассчитаны специальные таблицы линейных аддитаментов,

из которых их можно выбирать по аргументу 5, учитывая ши

роту В*.

В приведенных выше формулах средний радиус Земли i?, не

обходимый для вычисления аддитаментов, определяется по сред

ней широте сети треугольников и принимается постоянным

в пределах изменения широты до 5°. Иначе говоря, в пределах

пояса, простирающегося по широте на

1000

км, можно не счи

таться с изменением длины радиуса Земли, если он относится

к средней широте указанного пояса.

Для сторон треугольников до 100 км аддитаменты вычис

ляют по формулам

Aa = kod\ Ab = kV*\ Ac = kc\

(5.21)

где k= 1/(

/?2) = 409-10~8 можно принимать постоянным для

всей территории СССР, а стороны при вычислении аддитаментов

брать в км.

Для контроля вычислений решение сферических треугольни

ков проводят указанными двумя способами.

* Буткевич Л В О нелогарифмическом решении треугольников по спо

собу аддитаментов.— Геодезия и картография, 1968, № 2, с. 57, 58.

Решение главной геодезической задачи заключается в опреде

лении геодезических широт, долгот, азимутов и длин линий на

поверхности земного эллипсоида. В зависимости от заданных

и определяемых элементов задача может быть прямой и обрат

ной.

Если на поверхности эллипсоида (рис. 23) заданы коорди

наты какой-либо исходной точки Qi—В\, L\, расстояние до опре

деляемой точки Q2—s и азимут линии Q

—А\, а требуется

определить координаты точки Q2—В2, Ь2 и обратный азимут —

А2, то возникающая в этом случае задача называется прямой

геодезической задачей. Последовательно решая прямую

задачу по каждой паре пунктов, определяют координаты всех

пунктов геодезической сети.

Если на поверхности эллипсоида заданы координаты точек

Qi и Q

, а требуется определить расстояние между ними s, пря

мой и обратный азимуты А\ и А2, то имеем обратную гео

дезическую задачу.

Решение прямой и обратной геодезических задач может про

изводиться как прямыми, так и косвенными методами.

Прямые методы решения заключаются в непосредственном

решении сфероидического полярного треугольника QiPQ2 по из

вестным двум сторонам и углу между ними, а именно: в прямой

задаче известны стороны QiP=90° — Вь QiQ2 = s и угол А\\ из

решения треугольника определяются остальные его элементы —

разность долгот I, служащая для определения долготы Ь2, сто

рона Q2P — 90°—В2, служащая для определения широты В2, и

Рис. 23. Прямой метод решения главной геодезической

задачи