Хлопков Ю.И., Жаров В.А., Горелов С.Л. Лекции по теоретическим методам исследования турбулентности

Подождите немного. Документ загружается.

Некоторое проникновение в предмет может быть получено, если мы рассмотрим способы

измерений. Рассмотрим течение жидкости вдоль длинной прямой трубы в качестве примера. При

этом основной гидродинамический подход состоит в измерении перепада давления вдоль трубы с

помощью отверстия в стенке трубы и манометра, а также измерения количества жидкости,

протекающей через сечение трубы в единицу времени. Если разделить последнюю величину на

площадь поперечного сечения трубы, то получим среднемассовую скорость

U, которая является

нашей первой статистической величиной. С увеличением внешней силы, т. е. перепада давления,

скорость течения также увеличится. В конце концов, отклонение от линейной связи между этими

двумя величинами даст знать о наступлении турбулентности.

То, что это протекает именно так, впервые продемонстрировал Осборн Рейнольдс (1883,

1895), воспользовавшись подкрашенной струйкой тока, – теперь мы называем это методом

визуализации течения. Эта демонстрация приоткрыла одну из тайн, но количественная сторона

дела была отложена до конца 1930-х годов, так как требовала развития анемометрии, т. е.

способов измерения скорости. Изначально эти методы были основаны на идее введения нагретой

проволочки в поток. Изменения локальной скорости потока приводили к изменению температуры

проволочки и тем самым к изменению ее сопротивления, которое измерялось мостом.

Проволочные анемометры все еще широко используются в настоящее время в сочетании с

лазерными анемометрами, действие которых основано на рассеянии лазерного света.

Если расположить анемометр в какой-либо точке внутри трубы, то можно измерить

локальную скорость жидкости в этой точке как функцию времени. В принципе можно получить

все поле скорости

U(t, x). При этом следует иметь в виду, что анемометр должен быть

существенно меньше, чем допустимый размер области течения, соответствующий размеру

наименьшего вихревого движения. Однако анемометр с неизбежностью будет больше

молекулярных масштабов, поэтому все измерения, проведенные этим прибором, соответствуют

континуальному пределу. В соответствии с этим, когда мы указываем точку жидкости, мы имеем в

виду нечто, что одновременно меньше характерных масштабов течения и больше молекулярных

масштабов.

Поле скорости

U(t, x), измеренное таким образом, известно в динамике жидкости как

эйлеровское. Эйлеровская координатная система соответствует лабораторной. Можно также

перейти в систему отсчета, связанную с жидкой частицей, если мы изучаем движение этой жидкой

частицы. Так, если мы пометим жидкость в точке x в некоторый момент времени

, то, наблюдая

за ней в течение времени

t, мы можем ввести лагранжевы координаты X(t), такие, что X(t

) = x, а

лагранжева скорость равна

V(t) = dX / dt. Эта координатная система очень удобна для обсуждения

турбулентной диффузии, но не очень удобна для общего изложения. С одной стороны, не

существует решения задачи перехода к эйлеровской системе координат, с другой стороны, очень

трудно проводить эксперимент в лагранжевых координатах. Тем не менее идея лагранжевых

координат неожиданно появится снова несколько позже.

Изучение хаотического поведения динамических систем с несколькими степенями

свободы вызвала большой интерес в связи с идеей хаоса. Большинство физиков, во всяком случае,

знакомы с идеей итераций простейшего отображения, приводящего к удивительным образам,

которые чувствительны к начальным данным и к величинам управляющих параметров. Кроме

того, хорошо известно, что турбулентность можно рассматривать как типичный пример

детерминистического хаоса, и это часто приводит к неправильному пониманию в отношении

переноса теории хаоса малой размерности на турбулентность. Поэтому мы сделаем здесь

несколько осторожных замечаний по этому поводу.

Во-первых, идея хаоса не является новой. Больцман сделал предположение о

молекулярном хаосе или

Stossahlanzatz для того, чтобы замкнуть систему уравнений, которая

позднее стала называться иерархией BBGKY. Даже в современном понимании теории хаоса ряд

основных идей давно знаком исследователям турбулентности.

Предположим, что мы рассматриваем эйлеровское поле скорости U(t, x). Тогда это

полностью детерминированная величина, определяемая уравнениями Навье–Стокса для любого

момента времени при заданных начальных условиях. Как согласовать это утверждение с фактом

появления турбулентности? Рейнольдс нашел, что безразмерное соотношение

R нUd= /

(1)

дает критерий перехода от ламинарного течения к турбулентному. Здесь d и U – характерные

длина и скорость, в данном случае – диаметр трубы и среднемассовая скорость, а

ν –

кинематическая вязкость жидкости. Поскольку диаметр трубы и вязкость фиксированы, влияние

числа Рейнольдса R можно интерпретировать как влияние безразмерной скорости. Когда

безразмерная скорость превысит некоторое критическое значение, может возникнуть

турбулентность.

Таким образом, на языке современной теории хаоса число Рейнольдса – это управляющий

параметр. Когда оно превосходит некоторое критическое значение, решение уравнений Навье–

Стокса становится чувствительным к начальным условиям и, следовательно, хаотическим в том

смысле, что любая малая неопределенность в начальных условиях будет усиливаться, приводя к

непредсказуемости поля скорости. Так, отдельная реализация турбулентного поля будет очень

сильно отличаться от любой другой на уровне очень подробного описания, что полностью

согласуется с современной теорией хаоса. Однако надо также иметь в виду, что любое

турбулентное течение можно рассматривать как ансамбль множества реализаций (предполагая

эргодичность, которая является слабым предположением, следующим из перемешивающего

характера турбулентности). Так, среднее поведение, полученное по множеству реализаций,

нечувствительно к бесконечно малым возмущениям начальных условий, т. е. заданный градиент

давления приводит всегда к одной и той же среднемассовой скорости в трубе. Таким образом,

детерминизм восстанавливается для средних величин, характеризующих систему.

Наконец, прежде чем перейти к обсуждению других вопросов, интересно отметить, что

признаки лежащего в основе этих явлений хаоса можно обнаружить во многих сдвиговых

турбулентных течениях. Например, в течении в трубе переход к турбулентности не является раз и

навсегда произошедшим катастрофическим событием, он более похож на квазипериодический

процесс, известный под названием «берстинга». Он может наблюдаться с помощью визуализации

течения или с помощью осреднения по коротким отрезкам времени, содержащим идентичные

нестационарные события. Этот тип когерентных структур (если использовать общий термин)

более присущ свободным сдвиговым течениям, где открытие катящихся вихрей в турбулентном

слое смешения [Браун, Рошко, 1974] стимулировало быстрый рост исследований в этой области.

Понятие перенормировки играет главную роль в современной теории турбулентности, и

будет полезно сделать некоторые общие замечания, относящиеся к рассматриваемому вопросу, с

этой точки зрения. Коротко говоря, этот термин пришел из квантовой физики и относится к

процедуре исключения расходимостей, которые появляются тогда, когда делается попытка

распространить дискретные формулировки динамики частиц на случай непрерывного поля. Эти

расходимости появляются как на больших масштабах, так и на малых, и известны соответственно

как «инфракрасные» и «ультрафиолетовые».

Следует подчеркнуть, что расходимости этого рода не присущи теории турбулентности.

Некоторая путаница по этому поводу может возникнуть благодаря существованию инфракрасной

расходимости при переходе к пределу бесконечных чисел Рейнольдса и является полностью

искусственной ситуацией, рассмотренной с целью проверки частных теорий. Существование

расходимостей – это крах теории, т. е. факт, который не нуждается в формулировке.

Смысл, который мы будем придавать термину «перенормировка», хорошо установлен

ранее в статистической физике и физике взаимодействия многих тел. В общем случае он связан с

представлением о квазичастицах, в котором взаимодействующие («голые») частицы заменяются

на «одетые», которые уже не взаимодействуют. «Одетые» частицы перенормированы с помощью

передачи им части энергии взаимодействия. Ранние систематические вычисления этого рода были

проделаны Дебаем и Хюккелем в 1920-м году, которые исследовали электронный газ в

электролите и учли электрон-электронное взаимодействие с помощью замены заряда отдельного

электрона на зависящий от пространственных координат эффективный заряд. Подстановка

эффективного заряда в закон Кулона привела к появлению экранирующего потенциала, в котором

коллективное действие облака электронов можно было интерпретировать как экранирующий

эффект. В наши дни подобная операция должна рассматриваться как перенормировка, а Дебай–

Хюккелевская теория – как специальный случай перенормируемой теории возмущений.

В турбулентности аналогичная ситуация возникает с перенормировкой вязкости жидкости

за счет добавления случайного влияния макроскопического вихревого движения для создания

эффективной или турбулентной вязкости. Фактически эта идея была предложена Буссинеском

hoc

в 1890-х годах – первый пример ренормализованной величины! В этом смысле и будет далее

использоваться термин «перенормировка», хотя временами это будет скорее неявно, чем явно.

Когда турбулентность рассматривается в контексте физики в целом и в контексте фазового

перехода в частности, то естественно предположить, что известная проблема турбулентности

состоит в том, чтобы предсказать критическое значение числа Рейнольдса фазового перехода от

ламинарного течения к турбулентному. Это действительно проблема первостепенной важности, и

она продолжает привлекать большое внимание. Но это не относится к содержанию этой книги.

Рассмотрим турбулентность в жидкости как явление природы, требующее статистического

описания. В соответствии с этим, как и в микроскопической статистической физике, мы

столкнемся с проблемой замыкания статистической иерархии. В пункте 2 эта проблема будет

рассмотрена в том виде, как она появляется у гидродинамиков, которые соприкасаются с

исследованием течений в трубах, струях и даже в таких сложных ситуациях, как обмен тепла и

турбины. Это означает, в сущности, что статистические свойства таких течений осложнены

зависимостью от координат (неоднородность) и от ориентации в пространстве (анизотропия). В

пункте 3 мы рассмотрим вопрос о том, как можно переформулировать проблему турбулентности,

чтобы она стала похожа на теорию поля в теоретической физике, т. е. чтобы она была однородной

и изотропной. Центральным вопросом в этом пункте будет вопрос о том, как можно

удовлетворительно сформулировать тестовые задачи для развиваемых здесь теорий с

искусственной изотропией.

Однако, как мы увидим, хорошо развитая турбулентность может мыслиться как задача из

области критических явлений с фазовым переходом к автомодельному поведению,

демонстрирующему универсальность и масштабную инвариантность.

В пунктах 2 и 3 приведена формулировка проблемы с точки зрения гидродинамиков и

физиков-теоретиков соответственно. Оставшиеся пункты посвящены использованию методов

перенормировки решения задачи, сформулированной в пункте 3, т. е. не рассматривается вопрос

практических приложений.

В пункте 4 рассматривается проблема замыкания в теории турбулентности с помощью

методов статистической теории поля. Здесь общая стратегия состоит в том, чтобы начиная с

теории возмущений и используя так называемое

λ-разложение, ренормализовать это разложение с

помощью частных методов суммирования. Варианты теории рассматриваются с точки зрения их

способности удовлетворять определенным целям.

В пункте 5 рассмотрен новый ренормгрупповой метод, в котором осуществляется

эффективное сокращение степеней свободы, а управляющие уравнения перенормируются для

того, чтобы сделать их независимыми от преобразования. Появление масштабной инвариантности

характеризуется стационарной точкой. Этот пункт в действительности содержит

модифицированную версию статистической проблемы замыкания, которая может мыслиться

наиболее естественной с точки зрения ее компьютерной реализации.

2. Турбулентность как естественное состояние течения жидкости

Динамика жидкости основана на изучении сравнительно простых течений: свободных

струй и следов, пограничных слоев, прилегающих к твердой поверхности, течений в прямых

трубах и плоских каналах. Эти классические течения образуют специальный случай и могут быть

отнесены к течениям в пограничных слоях или (более общо) к двумерным потокам. При переходе

к турбулентности нужно проявлять осторожность, когда имеется среднее двумерное течение, так

как на самом деле турбулентное движение остается полностью трехмерным.

Для того чтобы представить непосредственно суть турбулентности как основного явления

движения жидкости, рассмотрим стационарное среднее течение в плоском канале в качестве

представительного примера. Кроме того, поскольку динамика жидкости не включается в обычный

курс физики, мы начнем с краткого введения в математическое описание движения жидкости на

уровне уравнений и рассмотрим способы их применения к простым ламинарным течениям.

Далее будут рассмотрены течения несжимаемой жидкости. Для обсуждения условий, при

которых это может быть справедливо, см. [Бэтчелор, 1967]. Для наших целей оно сводится к

утверждению того, что плотность

ρ всегда остается постоянной, а уравнение неразрывности

можно записать в виде

вв

/Ux0

∂

, (2)

где U

(x, t) – скорость жидкости в точке x в момент времени t. Отметим, что здесь в основном

используется декартова система записи тензоров, греческие индексы

α, β, γ, ... принимают

значения 1, 2, 3, …. Мы также будем использовать соглашение о суммировании, согласно

которому по повторяющимся индексам проводится суммирование.

Для несжимаемой жидкости уравнение, выражающее закон сохранения импульса,

записывается в виде

ббвв

ббв

(/ у /)

UtUUx

Px x

∂

∂∂ ∂

∂∂ ∂ ∂

=− −

, (3)

где

αβ

– тензор напряжений, P – давление. Для ньютоновской жидкости тензор напряжений

задается соотношением

бв б в в б

ус(/ /vU x U x)

∂

∂∂∂

, (4)

где

ν – кинематическая вязкость жидкости.

Подставляя

αβ

из (4) и воспользовавшись уравнением (2), получим уравнение движения

несжимаемой ньютоновской жидкости в виде

ббв

/ н

UtUUx

Px U

∂

∂∂ ∂

∂∂

=− + ∇

(5)

которое известно как уравнение Навье–Стокса. Для тех читателей, которые незнакомы с этим

уравнением, его вывод можно найти во многих учебниках по динамике жидкости (например,

[Бэтчелор, 1967]). На этой стадии может быть полезно узнать, что это уравнение есть не что иное,

как второй закон Ньютона, примененный к жидкому континууму. Для этого надо рассмотреть

отдельную жидкую частицу объема d

V и массы dm = ρ dV, которая согласно механике Ньютона и

своей континуальной природе (конвективная часть) имеет ускорение

∂ U/∂ t + (U, ∇)U. Правая

часть уравнения описывает взаимодействие между жидким элементом и остальной жидкостью.

Уравнения (2) и (5) описывают движение многих обычных жидкостей, таких, как вода,

алкоголь, глицерин, воздух и большинство газов, при условии, что их плотность остается

постоянной. Многие другие жидкости (например, суспензии, растворы полимеров) требуют для

своего описания более сложных конститутивных соотношений между тензором напряжений и

тензором скоростей деформаций, чем рассмотренная ниже линейная связь.

В качестве конкретного примера рассмотрим стационарный сдвиговый поток между

бесконечными пластинами, которые расположены параллельно плоскости (

, x

) при x

= 0 и

= 2a. Течение жидкости происходит только в направлении x

, а поле скорости сводится к

U(x,

t) = (U

), 0, 0). Тогда производная по времени от скорости исчезает, а нелинейный член в

уравнении (5) можно записать в виде

12 12 1

() ()/ 0UxUx x

∂

, (6)

в результате чего уравнение Навье–Стокса запишется следующим образом:

112

/ у /Px x

∂

∂∂∂

, (7)

Отметим, что равенство нелинейного члена нулю – это характерное свойство одномерного

ламинарного течения и что уравнение Навье–Стокса в этой частной ситуации описывает

равновесие между продольным градиентом давления и вязкими напряжениями. Для этого течения

тензор вязких напряжений можно получить из соотношения (4):

12 1 2

усн/dU dx=

, (8)

это выражение соответствует закону Ньютона. Этот закон дает одновременно и определение и

метод измерения динамической вязкости

μ = ρν. С точки зрения физики этот эффект можно

интерпретировать как необратимый поток продольного импульса (т.е. в направлении

) в

направлении

Можно решить уравнения (7) и (8) одновременно и получить хорошо известный

параболический профиль скорости. Для этого подставим уравнение (8) в уравнение (7), получим

сн /dU dx P x

∂

, (9)

Интегрируя дважды и используя условия «прилипания»

(0) = U

(2a) = 0, получим

(2 )

()

2сн

dP y a y

−

=−

, (10)

Следует заметить, что в рассматриваемой ситуации давление зависит только от одной переменной,

поэтому замена частной производной на обыкновенную справедлива. К тому же давление

изменяется в направлении движения потока, следовательно, его градиент является отрицательной

величиной, а выражение для скорости – положительной.

Можно получить много физических сведений о турбулентности, если изучать способы

передачи энергии от точки к точке в турбулентном потоке или от одной группы вихрей с

определенными размерами к другой с другими размерами. Отметим, что под словом «энергия» мы

будем всегда подразумевать кинетическую энергию макроскопического движения жидкости.

Начнем с некоторых общих для ламинарных и турбулентных течений соображений.

В общем случае жидкость, занимающая объем

V и ограниченная поверхностью S, обладает

кинетической энергией

, связанной с движением жидкости, выраженной через поле мгновенной

скорости U(x,

t), равной:

UdV=

∑

∫

, (11)

Далее иногда будет использован знак суммирования вместо соглашения о повторяющихся

индексах вида

= U

. Легко показать (см., например, [МакКомб, 1990]), что уравнение для

может быть выведено из уравнения Навье–Стокса, при этом получим

бб

/ сс

dE dt U f dV dV=−

∫∫

, (12)

где f

(x, t) – внешняя сила (на единицу массы жидкости), а ε – энергия диссипации в единицу

времени на единицу массы жидкости. Она определяется выражением

бв вб

бв

ен (/ /

UxUx

∂∂∂∂

∑∑

)

(13)

Уравнение (12) говорит нам о том, что скорость изменения энергии равна скорости притока

энергии за счет работы внешних сил и убыли за счет преобразования энергии в тепло благодаря

вязкости. Сделаем по этому поводу два замечания.

Во-первых, нелинейные члены в уравнении Навье–Стокса не вносят вклада в уравнение

(12), т. е. эти члены не производят работы над системой. (Это замечание относится и к давлению:

как будет видно из дальнейшего изложения, давление действует аналогично нелинейным членам.)

Математически это объясняется тем, что любой член, имеющий дивергентный вид в уравнении

для энергии, исчезает при интегрировании по объему системы при получении уравнения для

глобального значения этой величины.

Во-вторых, вязкие члены можно разделить на две части, одна из которых имеет

диффузионный характер и исчезает при интегрировании, а другая описывает диссипацию энергии

и представлена в правой части уравнения (13).

Научное исследование турбулентности берет начало с работ Осборна Рейнольдса (1883).

Задача, которую решал Рейнольдс, принадлежит к классическим работам, посвященным

исследованию течений в прямых трубах с постоянным круговым сечением. Используя свой

«метод цветных полосок», он первым показал для заданной жидкости и параметров трубы, что

течение будет ламинарным для скорости жидкости, не превышающей некоторой критической

величины. При скорости, равной критической, течение внезапно становится турбулентным на

некотором расстоянии от начала трубы. При скорости больше критической турбулентное

состояние оказалось вполне типичным, хотя и можно поддерживать ламинарное состояние,

устраняя возмущения на входе в трубу. Эксперименты Рейнольдса показали, что минимальное

значение безразмерной скорости R, определенной соотношением (1), при котором может

появиться турбулентность, приблизительно равно 2000. Однако ламинарное течение в трубе

может быть метастабильным при значительно больших числах Рейнольдса. Подробности по этому

вопросу можно найти в монографии [Шлихтинг, 1968].

Рассмотрим теперь течение в трубе, когда число Рейнольдса заметно превосходит критическую

величину. На рис. 1 показано распределение средней скорости в зависимости от расстояния точки

наблюдения от оси трубы. Среднее течение направлено по оси

, а x

– поперечная или

радиальная координата. Для сравнения изображен также эквивалентный ламинарный профиль для

того же числа Рейнольдса. Последний профиль, естественно, описывается параболой,

определенной соотношением (10), полученной из уравнения Навье–Стокса. Теория

турбулентности должна решить аналогичную задачу для турбулентного профиля скорости.

Рис. 1. Сравнение ламинарного и турбулентного распределений

средней скорости для течения в трубе при R = 10

Как правило, мы будем рассматривать среднее значение как результат осреднения по

времени, при этом средняя скорость будет обозначаться чертой сверху. В общем случае операция

осреднения, определенная некоторым способом, будет изображаться угловыми скобками

〈 〉 , и

эти скобки будут использоваться для обозначения моментов более высокого порядка. Так, для

средней скорости можно написать

бб б

(,) (,) (, )

UtUt Uttd

−

′

== +

∫

xx x

, (14)

где 2

T – время осреднения, которое должно быть существенно больше времени турбулентных

пульсаций для их успешного сглаживания и существенно короче характерного внешнего времени

задачи. Для определенности далее будут рассматриваться течения, средняя скорость которых

постоянна по времени.

В этом пункте мы следуем процедуре, предложенной Рейнольдсом (1885), согласно

которой мгновенная скорость представляется в виде суммы средней по времени скорости

отклонений от этого среднего значения

, т.е.

ббб

(,) (,) (,)UtUtut=+xxx

, (15)

Аналогично можно представить и давление

(,) (,) (,)Pxt Pxt pxt=+

, (16)

где

(,)Ptx

– среднее давление, а p(x, t) – флуктуации давления.

Из этих определений следует, что флуктуации имеют нулевое среднее, т. е.

(,) 0ut=x

(,) 0pt=x

, (17)

С физической точки зрения этот результат имеет простое объяснение: в среднем мгновенная

скорость одинаковое время как превосходит среднюю скорость, так и имеет значения меньше ее.

Соответственно среднее от квадрата флуктуаций не равно нулю и можно ввести

среднеквадратичную величину

u′ следующим образом:

1/ 2

(,) (,)ut u t

′

∑

. (18)

На практике

u′ часто используется как удобная мера интенсивности флуктуаций.

Мы напоминаем, что зависимость от времени, обозначенная выше для

среднеквадратичного значения флуктуаций, относится к медленным внешним изменениям и

оставлена только в целях обобщения записи. Когда мы обратимся к конкретным примерам

реальных течений, то будем ограничиваться только стационарными случаями.

Рассмотрим сначала уравнение неразрывности (2). Если мы подставим разложение (15) и

усредним согласно определению (14) и (17), то получим

вв

/Ux

∂∂

= 0

. (19)

Вычитание этого результата из уравнения (2) дает похожий результат для

, следовательно,

средняя скорость и флуктуации удовлетворяют уравнению неразрывности порознь. Полученный

результат является простым следствием линейности уравнения (2).

Для того чтобы оперировать подобным образом с уравнением движения, подставим

соотношения (15) и (16) в уравнение (5) и усредним его почленно. Легко показать, что операция

осреднения коммутирует с оператором дифференцирования по времени (см., например,

[МакКомб, 1990]).

На этот раз нам приходится работать с нелинейными членами, поэтому, замечая, что

0Uu U u==

, получим

ббввбв

бб

// /

/ н

UtUUx uu x

Px U

∂∂+∂ ∂+∂ ∂

=− ∂ ∂ + ∇

(20)

Сравнение с уравнением (5) показывает, что уравнение для средней скорости в точности

совпадает с уравнением Навье–Стокса, записанного для средней скорости, в которое добавлен

член, содержащий величины

〈 u

〉 . Таким образом, уравнения для среднего движения (в данном

случае уравнения (19) и (20)) содержат три независимых неизвестных:

и 〈 u

〉 . Если мы

заглянем вперед, то увидим, что уравнение (22) для флуктуаций скорости может быть

использовано для получения уравнения для третьей неизвестной

〈 u

〉 . Однако оно будет

содержать неизвестные моменты третьего порядка и т. д. В этом заключается известная проблема

замыкания, отмеченная в пункте 1.

Уравнение (20) есть уравнение Рейнольдса, а член с

〈 u

〉 – это (кинематическое)

рейнольдсово напряжение. Этот член описывает перенос импульса турбулентными флуктуациями.

Как было отмечено Рейнольдсом, этот член существенно увеличивает вязкие напряжения,

обусловленные случайным блужданием молекул. Гипотеза о том, что существует аналогия между

этими двумя процессами, вместе с утверждением, что величина

〈 u

〉 может быть выражена

линейным образом через тензор скорости деформаций и некоторый эффективный (и явным

образом записанный) коэффициент вязкости, была главной темой в исследованиях

турбулентности.

Подробный вывод тензора напряжений для явного выражения турбулентного трения

можно найти в монографии [Шлихтинг, 1968, с. 537]. Здесь нам будет удобнее ввести полный

тензор сдвиговых напряжений с помощью соотношения

бв бв б в

фу сuu=−

, (21)

в котором тензор вязких напряжений определен соотношением (4).

Уравнение движения для флуктуаций скорости получается вычитанием уравнения (20) из

уравнения (5):

()

ббввбвв

бв бв в б б

// /

//н

utuUxUux

uu uu x p x u

∂∂+∂ ∂+∂ ∂+

+∂ − ∂ = − ∂ ∂ + ∇

. (22)

Ясно, что любой член этого уравнения при усреднении исчезает. Но если умножить их на u

(x, t) и

усреднить, то мы получаем основу для изучения одноточечной одновременной иерархии в

соответствии с известными инженерными методами. Но можно умножить на

′

, t

′

) и усреднить,

тогда получим двухточечную двухвременную иерархию, лежащую в основе фундаментального

подхода. Однако сначала мы сконцентрируем внимание на одноточечной форме уравнений. В

частности, мы рассмотрим энергетический баланс для флуктуаций.

В турбулентном случае уравнение (11) для полной кинетической энергии легко обобщить:

учтя разложение (15), получим

бб

2 сс

UdV udV=+

∑∑

∫∫

, (23)

где опять использовано свойство

бб

0Uu

Обычно мы будем интересоваться только энергией, связанной с флуктуациями скорости

(x, t). Можно получить соответствующее уравнение сохранения энергии из уравнения для

тензора напряжений Рейнольдса. Подробности вывода можно найти во многих монографиях

[МакКомб, 1990], здесь мы только обрисуем общие контуры подхода и процитируем

окончательный результат.

Рассмотрим уравнение (22) для компонент флуктуаций

(x, t). Перепишем его в виде

уравнения для

(x, t), оставляя все другие индексы без изменения и присвоив ему номер (22a).

Теперь умножим (22) на

(x, t) и усредним. После этого умножим (22a) на u

(x, t) и усредним.

Затем, воспользовавшись правилом

дифференцирования произведения функций, сложим

полученные уравнения вместе. Эта процедура приводит нас к уравнению для кинематических

напряжений Рейнольдса

〈 u

〉 . Если мы теперь положим α = γ, то получим уравнение для

среднеквадратичных флуктуаций (или нормальных компонентов напряжений) в виде

бвбв

бв в в в

бв б в

бвв

/2 /

н /2н

utUux

uu x up x

uu U x

uxx

∂∂ ∂∂

∂∂∂∂

∂∂

∂

∂∂∂

∂

=− − −

−+

⎛⎞

+−

⎜⎟

⎝⎠

∑

(24)

Если мы теперь просуммируем данное выражение по

α, разделим на два, то получим

уравнение сохранения турбулентной кинетической энергии

E на единицу массы:

бв в

вв вв

бв б в

бв

/ н /

/ н

EtUEx

uu x

up x E x x

uu U x

∂∂ ∂∂

∂∂

∂∂∂∂∂

∂

∂∂

∂

=− −

−+

⎛⎞

−−

⎜⎟

⎝⎠

∑

−

(25)

где

∑

(26)

Левая часть уравнения (25) дает полную скорость изменения по времени (т. е. локальное

плюс конвективное) турбулентной кинетической энергии на единицу массы жидкости. Другими

словами, уравнение (25) говорит нам, что полная скорость изменения турбулентной энергии по

времени полностью определяется членами, расположенными в правой части уравнения. Для того

чтобы придать этому конкретный смысл, следует заметить, что первые три члена в правой части

уравнения (25) могут быть записаны в дивергентном виде и в соответствии с этим не вносят

вклада в глобальный баланс энергии. Следовательно, основной эффект этих членов заключается в

диффузии турбулентной энергии в пространстве за счет нелинейных и вязких взаимодействий

соответственно.

Трудность, возникающая с четвертым членом, состоит в том, что он не может быть записан

в дивергентном виде. Однако если вывести уравнение баланса энергии для средней скорости, то

соответствующий член может быть найден. Два этих члена, вместе взятых, можно

проинтегрировать и увидеть, что они дают сохранение полной энергии. Таким образом, можно

интерпретировать четвертый член правой части уравнения (25) как поток энергии от среднего

поля к полю флуктуаций. В литературе он часто называется «генеративным членом»: см. [Хинце,

1975]. Очевидно, что последний член в правой части рассматриваемого уравнения выражает

необратимую диссипацию кинетической энергии в тепловую.

Наконец, заметим, что невозможно решить ни уравнение (24), ни уравнение (25): проблема

замыкания не позволяет это сделать. Тем не менее каждый член в отдельности может быть

измерен экспериментально, поэтому генерация флуктуаций и энергетический баланс изучаются

таким способом. Мы вернемся к этому позже.

В случае течения в канале мы конкретизируем процедуру осреднения. Аргументы,

использованные для скорости жидкости в случае ламинарного течения в канале, теперь

применимы только к средней скорости, направленной по оси и зависящей от координаты .

Так, для средней скорости можно написать

12 12 12

() (,) (, )

Ux Uxt Uxt tdt

−

′

== +

∫

. (27)

Поскольку течение в канале стационарно, примем далее, что средняя скорость постоянна во

времени.

Для средней скорости, определенной выражением

UUx

() { (),,}x

, легко показать,

что уравнения (19) и (20), выражающие сохранение массы и импульса, приводятся к виду

/Ux

∂∂

= 0

(28)