Хлопков Ю.И., Жаров В.А., Горелов С.Л. Лекции по теоретическим методам исследования турбулентности

Подождите немного. Документ загружается.

3. Турбулентность как ветвь статистической физики

В этом пункте мы будем следовать схеме изложения, сходной со схемой пункта 2,

интересуясь главным образом структурными основами турбулентности. То есть рассмотрим

корреляции скоростей в двух или более точках (и моментах времени), тогда как в пункте 2

рассматривались только одноточечные корреляции. Основы такого подхода изложены Тейлором

(1935) в статье, в которой были введены также понятия статистической однородности и

изотропии, шаг, который перевел теорию турбулентности из разряда инженерной науки в разряд

области физики. В следующей работе [Тейлор, 1938а] было завершено определение

энергетического спектра через волновые числа (т. е. использовано преобразование Фурье от

двухточечной пространственной корреляции), и, как мы теперь понимаем, вычисление этого

спектра является главной целью фундаментальной теории турбулентности.

Двухточечные корреляции второго порядка (или моменты) поля скоростей играют

ведущую роль в теории турбулентности. Поэтому обратим некоторое внимание на связи между

двухточечным (фундаментальным) и одноточечным (инженерным) подходами к решению

проблемы турбулентности. В частности, поскольку многоточечная теория является более общей

по сравнению с двухточечной, мы будем интересоваться условиями, при которых она сведется к

одноточечной.

Начнем с того, как реально можно измерить корреляции в двух точках, например, в

течении в трубе. Можно предположить, что у нас есть анемометр, который измеряет все три

скалярных компонента флуктуирующей скорости в одной точке x. Если у нас есть второй такой

анемометр в точке x

′, то в принципе мы должны перемножить все пары сигналов и усреднить

полученное произведение, чтобы получить девять скалярных компонентов корреляционного

тензора

αβ

, который определяется соотношением

бв б в

(, ;, ) (,) ( , )Qttutu

′′ ′′

=xx x x t

, (57)

Каждый компонент корреляционного тензора сам по себе является функцией восьми

скалярных переменных. Поэтому мы прежде, чем начнем создавать множество данных,

попытаемся аккуратно рассмотреть вопрос о том, как можно решить такую задачу наиболее

систематическим образом. В своей существенной части корреляции скорости, как можно ожидать,

зависят от двух вещей. Во-первых, если мы достаточно далеко раздвигаем точки, в которых

производится измерение, то можем ожидать, что корреляция исчезает. Таким образом, корреляция

будет зависеть от расстояния между измеряемыми точками. Во-вторых, величина корреляций

должна, при фиксированном расстоянии между точками, зависеть от абсолютных величин

компонентов скорости. Если мы обратимся к экспериментальным результатам, относящимся к

сдвиговым течениям (например, рис. 5), то увидим, что величины корреляции, при заданном

расстоянии между точками, зависят от расстояния до оси трубы.

На практике очень хорошим способом решения этой задачи является жесткое закрепление

двух анемометров с помощью устройства, которое позволяет менять расстояние между ними

контролируемым образом. Кроме того, сама эта система закрепляется на втором аналогичном

устройстве, которое позволяет менять положение пары как целого в трубе, так что влияние

изменения расстояния между датчиками можно исследовать в каждой точке независимым

образом.

Формально эта процедура соответствует замене переменных, т. е. мы представляем

двухточечную корреляцию в виде функции переменных

()/

′

=+Rxx

, (58)

′

=−rxx

, (59)

где R – это координаты центра (или абсолютные координаты), а r – разностные координаты (или

относительные координаты).

Аналогичное преобразование может быть выполнено для переменных по времени t и t′,

при этом получим

бв бв

(, ;, ) (, ,ф,)QttQ

′′

=xx rR T

)

, (60)

где

Ttt=+

′

()/

, (61)

ф (tt

′

=−

. (62)

Ясно, что если положить x = x

′ в выражении (60), то получим одноточечную корреляцию,

которой мы интересовались в наших предыдущих рассмотрениях, где она встречалась как

напряжение Рейнольдса. В этом случае ее зависимость от абсолютного положения точки является

важным свойством.

Однако если мы хотим достигнуть фундаментального понимания турбулентности, то нам

необходимо сосредоточиться на том, как корреляции зависят от относительных координат.

Понятно, что нам хотелось бы установить, где турбулентность является чисто

детерминистическим процессом (т. е. ламинарным течением), а где полностью случайным (т. е.

таким, как подбрасывание монеты или бросание костей).

Ранее мы видели, как могут упроститься статистические уравнения, полученные с

помощью усреднения уравнений Навье–Стокса, при описании течения в канале. Для того чтобы

исследовать физику турбулентности, нам необходимо сосредоточиться на простейшей

нетривиальной задаче, и давно признано, что такой задачей является однородная изотропная

турбулентность. Мы начнем с краткого обсуждения двух подходов. Следует заметить, что в этом

пункте переменные по времени нас не интересуют, поэтому выкладки будут выглядеть проще,

если эти переменные не указывать явно.

Термин «однородность» в действительности есть сокращение от «пространственной

однородности» и означает независимость средних величин от абсолютных координат для

заданного направления. Так, течение в канале, рассмотренное ранее, по предположению

однородно по координатам

и x

. Однако неопределенный термин «однородность» обычно

применим к полям, которые являются трансляционно инвариантными во всех трех взаимно

перпендикулярных направлениях, т. е. тот случай, который мы здесь рассматриваем.

Наиболее важное применение этого ограничения состоит в том, что выражение (60) можно

записать как функцию только от относительных координат, т. е.

б в бв бв

() ( ) ( ) ()uu Q Q

′′

=−=xx xx r

, (63)

и аналогично для моментов более высокого порядка. Кроме того, корреляция не должна зависеть

от замены x на x

′, т. е. является симметричной функцией r:

бв вб

() ( )QQ=−rr

. (64)

Дополнительное ограничение, связанное с изотропией, определяется независимостью от

направления. Формально это означает, что все моменты скорости инвариантны относительно

вращения системы координат и относительно отражений от координатных плоскостей.

Принципиальным моментом является также требование дополнительной симметрии:

бв вб

() ()QQ=rr

(65)

Можно вывести дальнейшие следствия из изотропии при первом рассмотрении

одноточечных моментов. Можно показать, что все недиагональные элементы одноточечного

корреляционного тензора равны нулю, т. е.

12 23 31

0uu uu uu===

, (66)

а диагональные элементы все равны

222

123

uuuu===

, (67)

где

〈 u

〉 – средний квадрат флуктуационной скорости в некотором направлении. Отсюда следует,

что одноточечный изотропный корреляционный тензор может быть записан как

бв бв

(0) (2 / 3)дQE=

, (68)

где E – кинетическая энергия турбулентных флуктуаций на единицу массы жидкости, а δ

–

символ Кронекера.

Таким образом, одноточечный корреляционный тензор может быть выражен через одну

скалярную константу. Как мы увидим далее, двухточечный корреляционный тензор может быть

также сведен к одному скаляру, который в данном случае является уже функцией расстояния

между x и x

′.

Теперь рассмотрим вопрос о том, насколько реализуемо представление об изотропной

турбулентности. Возвращаясь назад к результатам, относящимся к течению в трубе как типичному

примеру, из рис. 4 можно видеть, что среднеквадратичные компоненты скорости сильно

отличаются друг от друга, следовательно, соотношение (67) не выполняется. Подобным же

образом рис. 5 показывает, что

〈 u

〉 не равно нулю, за исключением оси симметрии трубы,

следовательно, соотношение (66) не выполняется также. Отсюда ясно, что течение в трубе крайне

анизотропно и это относится к большинству течений, так как наличие границ и наложенного извне

градиента давления неизбежно приводит к выделению предпочтительного направления.

Все это убеждает нас, что изотропные турбулентные течения надо искать там, где имеются

большие физические объемы газа или жидкости с заметной областью, удаленной от границ.

Очевидным примером являются геофизические течения, наблюдаемые в атмосфере или океане.

В противоположном случае течений, наблюдаемых в лабораторных условиях, можно

рассмотреть другой предел и сосредоточиться на вихрях малого размера, относительно которых

можно надеяться, что они не подвержены влиянию твердых границ. Этого можно достигнуть,

поддерживая расстояние между измеряемыми точками малым по сравнению с масштабами длины,

на которых заметна неоднородность – так называемая «локальная изотропия».

Оба подхода могут приводить к очень хорошей аппроксимации изотропной

турбулентности. Однако развитию предмета сильно способствовало изобретение искусственного

вида турбулентности. Это турбулентность, сгенерированная решеткой. Для краткости мы будем ее

называть «решеточная турбулентность». Она может быть создана в лабораторных условиях

следующим образом.

Предположим, что воздух, текущий в аэродинамической трубе, проходит через ячейки

решетки. Физическая ситуация, с которой мы сталкиваемся здесь, такова, что пограничные слои

на стенках трубы тонкие, поэтому большая часть потока представляет собой потенциальное ядро

(другими словами, течение в аэродинамической трубе соответствует входной области течения в

трубе). В этих условиях вихревая дорожка генерируется каждым стержнем, из которых сделана

решетка, и при условии точного подбора параметров решетки многочисленные дорожки

сливаются вместе вниз по течению, создавая турбулентное поле. Эксперимент показал, что такие

поля являются приближенно изотропными (см. [Голдстейн, 1938], с. 228–229).

К сожалению, решеточная турбулентность не может быть полностью однородной, так как

она затухает в направлении движения жидкости. Тем не менее, переходя в систему координат,

движущуюся вместе с жидкостью, можно сделать турбулентность математически эквивалентной

изотропной турбулентности, которая свободно затухает во времени. Если движение происходит

вдоль оси

, то вышесказанного можно добиться, введя преобразование

txU=

∞1

, (69)

где – переменная, описывающая затухание во времени.

На практике получено, что ранние стадии затухания могут сильно зависеть от конструкции

решетки, создающей турбулентность. Это не так уж и удивительно, но можно ожидать, что

достаточно далеко от решетки вниз по течению турбулентность будет независима от способа ее

генерации и примет универсальный вид, подчиняющийся только уравнению движения.

Эксперименты подтверждают это.

Возвращаясь к двухточечным корреляциям, напомним, что можно свести девять скалярных

функций, которые (в принципе) необходимо знать, к одной. Общий метод, который позволяет это

сделать, был предложен Робертсоном (1940) и основывается на том, что изотропный тензор может

быть выражен через инварианты группы вращения. Здесь мы изложим только наиболее

интересные моменты.

Робертсон показал, что изотропная двухточечная корреляция может быть записана в виде

бв б в бв

() () ()дQr Arrr Br=+

, (70)

где

A и B – четные функции от r = |r|. Заметим, что этот результат сводится к соответствующему

одноточечному, если положить

r нулю.

Хотя выражение (70) удовлетворяет всем требуемым симметриям, мы можем еще привлечь

уравнение неразрывности для установления связи функций

A и B. Однако сначала мы выразим эти

функции через продольный и поперечный корреляционные коэффициенты.

Это может быть сделано следующим образом. Введем две точки и направление от точки к

точке, т. е. вектор, соединяющий эти две точки. В декартовой системе координат три отличных от

нуля коэффициента корреляции равны друг другу. Если основываться на системе координат,

связанной с двумя точками, то существует два других коэффициента. Корреляция может

вычисляться вдоль направления между точками по скорости, параллельной r, или по поперечным

компонентам

, которые перпендикулярны r. Во втором случае возможно вычисление двух

одинаковых

корреляций.

Продольный и поперечный коэффициенты корреляции

f и g можно ввести с помощью

соотношений

() () ( )

ufr u u

′

= xx

, (71)

() () ( )

ugr u u

′

= xx

, (72)

где

f(r) и g(r) – четные дифференцируемые функции r, удовлетворяющие условию f(0) = g(0) = 1, а

также

f′(0) = g′(0) = 0. Мы должны также потребовать, чтобы x = x′ + r.. Можно связать f(r) и g(r) с

коэффициентами

A и B в (70), рассматривая специальный случай, когда r направлен вдоль x

. То

есть

x = 0, а r = (r

, 0, 0). Тогда, полагая α = β = 1 в (70), получим

() ()Qr Ar B u fr=+=

, (73)

где последний шаг следует из (71). Аналогично можно положить

α = β = 2 в (70), при этом

получим

() ()Qr B ugr==

. (74)

Очевидно, (74) дает нам связь коэффициента

B с g(r), и если мы подставим этот результат в (73),

то легко получим связь

A с f(r) и g(r). Тогда уравнение (70) может быть записано в виде

(

)

бв б в

бв

() () () /

()д

Qr u fr grrrr

ugr

=−

(75)

Наш последний шаг состоит в исключении функции

g(r), связав ее с функцией f(r). Мы сделаем

это, продифференцировав соотношение (75) по

и привлекая уравнение неразрывности. После

простых выкладок и небольшой перегруппировки членов легко находим, что двухточечная

изотропная корреляция может быть выражена через одну скалярную функцию следующим

образом:

(

)

бв бв

бв

() () ()/2д

() /2

Qr u fr rfr

ufrrr r

′

−

, (76)

где штрих означает дифференцирование по

r. Для частного случая r = 0 можно заметить, что

бб бв

(0) Tr(д )3 2Qu u==

∑

(77)

где Tr – след, т. е. сумма диагональных элементов матрицы.

Два важных масштаба можно определить с помощью продольного корреляционного

коэффициента

f(r). Первый – это микромасштаб Тейлора λ. Это дифференциальный масштаб

длины и его можно получить следующим образом. Предположим, что мы разложили функцию

f(r)

в ряд в точке

r = 0. Тогда требуя, чтобы f(r) была симметричной функцией от r, т. е. f′(0) = 0,

можно написать

22 4

() 1 /2л ()

rr Or=− +

, (78)

1/ л (0)f

′′

=−

, (79)

т. е. мы определили микромасштаб, аппроксимируя параболой корреляционную функцию в

области малых

Продольный интегральный масштаб

L определяется выражением

Lfrd=

∞

∫

()

(80)

Можно проиллюстрировать физический смысл

L (хотя и не строго), придавая экспоненциальный

вид корреляционной функции. (На практике этот вид может быть очень хорошей аппроксимацией,

хотя ясно, что он непригоден в точке

r = 0, где мы требуем выполнения условия f′(0) = 0 из

соображений симметрии.)

Исключительно для этой цели рассмотрим

f(r) =

= exp(–

b r), где b – некоторый параметр с размерностью обратной длины. Подставляя это

выражение в (80), легко найдем, что

L = 1/b. Другими словами, если корреляция была

экспоненциальной по виду, то интегральный масштаб – это длина, на которой корреляция

изменяется от 1 до 1/

Турбулентность – это существенно нестационарное явление. Тем не менее, можно

отличать ситуации, когда средняя скорость зависит от времени, от ситуаций, когда зависимость от

времени отсутствует. Например, каждодневным образчиком этого является ситуация, когда мы

пользуемся трубой для стока воды, соединенной с краном. Теперь представим, что мы открываем

и закрываем кран. Во время этих манипуляций средняя скорость воды в трубе будет меняться со

временем. Но если допустить, что внешние факторы (установка крана, регулировка сопла или

окружающие условия) будут постоянны, то очевидно, что средняя скорость воды будет также

постоянна – условие, которое мы ранее назвали «стационарное среднее течение».

Распространение этой идеи на многовременные моменты дает нам представление о

стационарности. Формально величина

(x, t) есть стационарная случайная величина, если

связанное с ней распределение вероятностей зависит только от разности моментов времени,

входящих в ее определение, но не от их абсолютных величин.

В качестве примера рассмотрим двухточечную корреляцию. Временно опуская

зависимость от пространственных координат и тензорные индексы, получим из соотношений (57)

и (60):

() ( ) (ф,)utut Q T

′

, (81)

где

τ и T – соответственно относительное и абсолютное времена. Тогда, если u(t) – стационарная

случайная функция, соотношение (81) примет вид

() ( ) (ф)(utut Q Qt t

′

==−)

′

, (82)

причем

Qt t Qt t()()−

′

−

. (83)

Таким образом, стационарность – это однородность во времени.

Использование Фурье-анализа приводит к трем главным выигрышам. Он сводит

дифференциальный оператор к мультипликативному, дает относительно простую картину

турбулентности и позволяет определить число степеней свободы турбулентной системы. Мы

начнем рассмотрение с турбулентной жидкости, занимающей куб со стороной

L. Поле скорости

(или какая-либо другая динамическая переменная) может быть разложено в ряд Фурье следующим

образом

бб

( , ) ( , )exp( )ut u t i=⋅

∑

, (84)

где волновой вектор k определен соотношением

123

/)(, , )Lnnn=k

, (85)

, n

и n

– целые числа, по каждому из которых суммирование проводится от минус до плюс

бесконечности.

Надо заметить, что нами используются одинаковые обозначения для полей, независимо от

того, является ли это поле физической скоростью или ее Фурье-образом. Несмотря на то, что в

математических монографиях используются другие обозначения, обозначения, принятые ниже,

являются обычными в работах подобного рода. Путаницы при этом не происходит, наоборот,

очень удобно представлять величину

(k, t) как поле скорости в пространстве волновых чисел.

Мы начнем с преобразования уравнения неразрывности, так как это позволит нам

довольно легко сдвинуться с места. Поскольку мы ограничиваемся изотропными полями с

нулевым средним, то соотношение (15) можно упростить

бб

(,) (,)Utut=xx

. (86)

Тогда, подставляя (84) в (2) и проводя дифференцирование, получим

вв

()(,)exp( )0ik u t i ⋅=

∑

kkx

. (87)

Это соотношение должно выполняться для всех exp(

ik⋅x). Поэтому уравнение неразрывности

принимает вид

вв

(,) 0ku t =k

, (88)

т. е. векторы u(k) и k взаимно ортогональны.

Займемся теперь преобразованием уравнения Навье–Стокса. При этом придется

представить поле давления тоже в виде ряда Фурье, коэффициенты ряда обозначим через

p(k) по

аналогии с полем скорости. После этого надо подставить выражения для скорости и давления,

записанные через Фурье-компоненты, в уравнение (5). Мы получим требуемую форму, учтя

следующие моменты:

• • Каждая производная по пространственным переменным заменяется при переходе к

пространству волновых чисел на соответствующий компонент волнового вектора

мультипликативно.

• • Нелинейный член является произведением в физическом пространстве, поэтому, согласно

теореме о свертке, он должен перейти в свертку в пространстве волновых чисел.

В соответствии с этим, представляя переменную суммирования в свертке через j, можно

записать преобразованное уравнение Навье–Стокса следующим образом:

бввб

(/ н )(,)

() (,) ( ,)

tku t

ik p ik u t u t

∂∂

=− − −

∑

kjk

. (89)

Здесь и далее полагается, что ρ = 1 (так как жидкость несжимаемая). Следует заметить, что

нелинейный член после преобразования Фурье представляет взаимодействие мод c волновыми

векторами j с модами c волновыми векторами j – k, в результате которого образуются моды с

векторами k. Это явление известно как нелинейное смешение. Оно лежит в основе хаотического

поведения жидкости.

Уравнения (88) и (89) вместе определяют две неизвестных величины: скорость и давление.

Можно исключить одно уравнение и одну неизвестную величину и тем самым получить

соленоидальное уравнение Навье–Стокса в виде, который является отправной точкой во многих

современных теориях турбулентности.

Мы сделаем это следующим образом. Умножим каждый член в уравнении (89) на

просуммируем по

α. Из уравнения неразрывности в форме (88) немедленно следует, что оба члена

в левой части уравнения исчезают. Поэтому, перегруппировав оставшиеся члены, можно записать

давление в виде

бв в б

() (,) ( ,)

kkk u tu t

−

=− −

∑

kjkj

. (90)

Ранее мы отмечали, что давление в действительности является нелинейной величиной, оправдание

этому теперь очевидно.

Продолжая процедуру вывода, подставим выражение (90) для давления в уравнение

Навье–Стокса, замечая, что индекс

α теперь является немым и может быть заменен на индекс γ,

чтобы устранить путаницу с обозначениями, возникшую в уравнении (89). Кроме того, используя

свойства символа Кронекера, получим окончательно

бвг в б

(/ н )(,)

() (,) ( ,)

tku t

utu t

∂∂

=−

∑

kjkj

, (91)

где

()

бвг в бг г бв

() (2) () ()M i kD kD

−

=+kkk

, (92)

бв бв б в

() д /

kk k=−k

. (93)

Отметим, что нами использована инвариантность нелинейного члена по отношению к замене

волновых векторов и индексов для того, чтобы записать правую часть уравнения (91) в

симметричном виде, в котором используется оператор инерциального переноса (92). Легко

проверить, что решение уравнения (91), если оно удовлетворяет уравнению неразрывности (88) в

начальный момент времени, будет решением во все последующие моменты времени. Умножая

каждую часть уравнения на

, легко обнаруживаем, что левая часть уравнения, благодаря

соотношению (88), исчезает. Правая часть уравнения (91) тоже исчезает, что является следствием

важного свойства оператора

αβ

(k):

ббв

() 0kD =k

. (94)

Для того, чтобы развить формализм, основанный на уравнении (91), мы должны знать кое-

что об общих свойствах иерархии моментов в пространстве волновых чисел. Мы начнем с

рассмотрения свойства однородности, которое в конфигурационном пространстве x означает

инвариантность по отношению к сдвигам.

Временно опуская зависимость от времени, запишем выражение для коэффициентов Фурье

в выражении (84) следующим образом

бб

( ) (1/ ) ( ) exp( )uLu i=−

∫

kxkd⋅xx

, (95)

из которого следует, что двухточечная корреляция в k-пространстве может быть связана с

соответствующей величиной в x-пространстве соотношением

бв

() ( )

(1/ ) ( ) ( ) exp( )

(1/ ) ( ) ( ) exp( ( ) )exp( )

Ldduu i i

′

′′ ′′

=−⋅−⋅

′

′′

=−×−+⋅

∫∫

xx x x k x k x

xx x x r k k x k r

⋅

(96)

Теперь мы воспользуемся свойством инвариантности в виде

бв бв

() ( ) (0) ()uu uu−=xxr r

и соотношение (98) можно переписать в виде

бв

() ( )

(1 / ) (0) ( ) ex p( ( ) ) exp( )

Ldduu i i

′

=×−+⋅

∫∫

xr r k k x k r

⋅

(97)

На этом шаге можно выполнить интегрирование по x, поэтому с учетом

(1/ ) exp( ( ) ) дLd i

′

−+⋅=

∫

xkkx

корреляция в пространстве волновых чисел примет вид

бв

,0 бв

() ( )

д (1 / ) ( ) exp( )

LdQr i

′

=⋅

∫

. (98)

Таким образом, если мы находим корреляцию двух различных мод k и k

′, то получим

неисчезающий вклад только при условии k + k

′ = 0. Аналогично можно показать, что для

моментов третьего порядка

бвг

() () () 0, 0uuu =++≠kjl kjl

(99)

и, в общем случае, свойство однородности для момента произвольного порядка означает, что он

равен нулю, если сумма волновых векторов, его определяющих, не равна нулю. Наконец, для того,

чтобы получить предел системы с бесконечным объемом, мы определим тензор корреляции в

пространстве волновых чисел следующим образом:

бв б в

() ( /2р)()()QLuu=kk−k

(100)

бвг б в г

(,) ( /2р) ()()( )QLuuu=−kj k j k j−

′

. (101)

Ясно, что эта процедура может быть индуктивно продолжена в направлении определения тензоров

произвольного порядка.

Ранее было дано короткое введение в приложение теории инвариантов Робертсона (1940) к

тензору изотропных корреляций в конфигурационном пространстве. Тот же метод может быть

применен к тензору изотропного спектра (например, [Бэтчелор, 1971]), который существенно

проще использовать в пространстве волновых чисел, хотя здесь мы только приведем

окончательные результаты. Применяя те же рассуждения, что и ранее, получим результат,

аналогичный уравнению (70), удовлетворяющий всем требованиям симметрии. Кроме того,

используя уравнение неразрывности для исключения одного из скаляров, получим требуемый

общий вид:

бв бв

(;,) ()(;,)QttDQktt

′

=kk

. (102)

Для случая одновременных корреляций:

(;, ) (;)Qktt Qk t

′

. (103)

Для случая, когда корреляции не зависят от времени:

(;0) ()Qk qk=

. (104)

Из выражения (102) следует, что описанный выше вид изотропного спектра удовлетворяет

условию неразрывности

αβ

(k) = 0 для произвольного q(k). Эта процедура может быть

распространена на моменты более высокого порядка, но поскольку нас интересует замыкание на

уровне вторых моментов, мы не будем это делать, упомянув для полноты результат Орзага (1969),

который рассмотрел общую проблему представления изотропного момента произвольного

порядка с помощью скалярных функций.

Рассмотрим физическую интерпретацию функции

q(k) и попытаемся оправдать название

тензора

αβ

(k) «спектральный». Для начала вычислим след тензора Q

αβ

(k), используя выражение

(102):

бв бв

Tr( ) Tr( ( )) 2 ( )Q D qk qk==

. (105)

Теперь можно связать Tr(

αβ

(k)) с энергией E на единицу массы жидкости следующим образом.

Из соотношения (68) получим

()

бв

23 Tr () ()

uQr Ek

∞

== =

∫

, (106)

где необходимое интегрирование по углам легко выполняется. В этом выражении

E(k)dk – это

вклад в полную энергию от гармонических компонентов с волновыми векторами, лежащими в

спектральном интервале между

k и k + dk:

() 4р ()

kkq= k

. (107)

Обычно величина

E(k) называется «волновым спектром». Более формально эта величина

представляет распределение энергии по волновым числам (или по угловым пространственным

частотам), поэтому, в силу предыдущего соотношения, можно интерпретировать величину

q(k) как

плотность вкладов в полную энергию в пространстве волновых чисел. Поэтому мы будем

называть ее спектральной плотностью.

Мы обсудили трехмерный энергетический спектр, который является ключевым понятием в

турбулентности, однако на практике бывает более удобным измерять частотный спектр одной

флуктуирующей скорости в продольном направлении. Фактически огромный массив

экспериментальных данных представляет из себя спектры этого вида, поэтому нам нужно

рассмотреть задачу о том, как связать измеренные спектры с теоретическими. Как обычно, мы

рассматриваем движение жидкости в направлении

, а анемометр расположен в одной точке для

измерения флуктуаций скорости

. Если сигнал анемометра пропустить через спектральный

анализатор, то флуктуации скорости будут разложены на гармоники по (угловой) частоте

ω.

Затем, если выходной сигнал возвести в квадрат и усреднить, то результирующий спектр

(ω) с

необходимостью обладает следующим свойством

111

(щ) щuEd

∞

∫

. (108)

Возможность выразить частотный спектр через волновой связана всецело с гипотезой

«замороженной конвекции» [Тейлор, 1938]. Тейлор предположил, что изменения

во времени в

фиксированной точке обусловлены прохождением замороженной турбулентной структуры при

условии, что средняя (набегающая) скорость, содержащая турбулентные вихри, значительно

больше турбулентных флуктуаций, т. е. можно связать поле скорости в разные моменты времени

преобразованием

11 11 1

(,) ( ,0)uxt ux Ut=−

и, следовательно, локальная производная по времени в точке может быть заменена на

конвективную производную при условии

u′ << U

/,UxuU

∂

∂∂

∂

′

=− <<

. (109)

Гипотеза Тейлора часто рассматривается как имеющая отношение к практике, она широко

используется в экспериментальных работах по турбулентности. Однако в лучшем случае эта

гипотеза является аппроксимацией и, следовательно, при улучшении техники эксперимента

подвергается критической оценке (см., например, [Заман, Хуссейн, 1981] и [Браун, Антония,

Раджагопалан, 1983]). В рамках нашего изложения уравнение (109) эквивалентно

щ/k=

. (110)

В соответствии с этим можно определить

11 1 1 11

() (щ)Ek UE=

. (111)

Поэтому из (110), (111) и (108) следует

11 11 1 1 1

(щ) щ ()

dEkdku

∞∞

∫∫

. (112)

Таким образом, частотный спектр может быть связан с однокомпонентным спектром в

пространстве волновых чисел, но только для одной скалярной переменной. Обобщение на случай

трех измерений очень просто и может быть найдено в книге [Бэтчелор, 1971] или с большими

подробностями в [Хинце, 1975; с. 208–209].

Начнем работу в этом пункте с использования уравнения (91) в качестве основы

формулировки проблемы замыкания для изотропной турбулентности в пространстве волновых

чисел. Сначала рассмотрим уравнение для средней скорости. Если усреднить обе части уравнения

(91), то в результате получим