Хлопков Ю.И., Жаров В.А., Горелов С.Л. Лекции по теоретическим методам исследования турбулентности

Подождите немного. Документ загружается.

11/ 3

1(,)

дн ()

2рн() н ()

kjjl

−

′′′

′′

′

′′ ′′

∫

(247)

Затем выписывается перенормированное диссипативное соотношение [МакКомб, 1986] в

форме

е 2н () ()

kkEkdk=

∫

. (248)

Это позволяет вычислить постоянную Колмогорова. Не смотря на то, что величина этой

постоянной была в хорошем согласии с экспериментом, была показана ее нефизическая

зависимость от скалярного параметра h (как в результатах Роуза). Эта зависимость была объяснена

неправильной связью между условным средним и обычным средним по ансамблю.

В ряде статей [МакКомб иУатт, 1990, 1992; МакКомб, Робертс и Уатт, 1992] была сделана

попытка улучшить итеративный метод усреднения и поставить его на твердое основание. Это

потребовало развития хорошо разработанного формализма, в котором условное усреднение

определено по смещенному подансамблю при обычном среднем по ансамблю, определенном по

всему представительному ансамблю. Условное среднее по u

(в котором u

считается постоянной)

впоследсвии связывается с безусловным усреднением по всему ансамблю с помощью разложения

=+Δ

′

(249)

где V

не зависит от u

, и, следовательно, может быть усреднено безусловно, в то время как Δ

отражает влияние взаимодействия мод на условное среднее.

Этот формализм является очень общим и может применяться для рассмотрения проблем с

межмодовым взаимодействием, но его применение для некоторых частных физических систем

нуждается в предположении о связи между V

и u

, таком, что Δ

можно считать малой. Для случая

турбулентности вера в то, что энергетический каскад является локальным в пространстве

волновых чисел, предполагает, что соответствующее соотношение можно получить, беря V

определенном посредством разложения первого порядка u

в ряд Тейлора в окрестности k = k

для

первой полосы волновых чисел, подлежащей исключению, а затем обобщая эту процедуру на

последующие полосы.

Как и ранее, возьмем автомодельную эффективную вязкость для n-й исключаемой

полосы в соответствии с (246), но теперь рекурсивное соотношение для автомодельной вязкости

принимает вид

н ()

′

4/3 4/3

н () н () дн ()

nn n

kh hkh hk

−

′′

%% %

, (250)

Это изменяет рекурсивное соотношение (сравните с (246) в ранних вариантах теории) в

направлении исправления ошибки. Однако новый способ проведения условного усреднения

приводит к новым приращениям в описанных выше уравнениях для рекурсивных соотношений,

так что

1(,)

дн ()

4рн() н ()

khjjhl

′

′′

′

′′ ′′

∫

(251)

для полосы волновых чисел

01;1,k

−

′′′

≤≤ ≤ ≤

где l′ = |k′ - j′| и Q′ определено соотношением

11/ 3 14 / 3 1 2

()(з )

Qh h lh O

−

′′

=− −+

, (252)

где η - параметр, определяющий ширину полосы и связанный с масштабным множителем h

формулой h = 1 - η.

Вычисления, выполненные с помощью описанной процедуры, дают спектральную

постоянную Колмогорова a = 1,60 ± 0,01 независимо от ширины полосы в области 0,25 ≤ η ≤ 0,45.

Этот метод был применен к описанию конвекции пассивного скаляра [Уатт, 1991], где была

получена перенормированная скалярная диффузия. В этих вычислениях была получена

спектральная константа Обухова-Коррзина β = 1,02 ± 0,01 для полосы 0,17 ≤ η ≤ 0,33.

Соответствующие числа Прандтля равнялись 0,6-0,7.

Числа, которые появляются в этих вычислениях, являются хорошими, и количественное

поведение такой RG теории, вообще говоря, удовлетворительно. Эти улучшения

рассмотренной итеративной теории усреднения можно приписать тому факту, что процедура

исключения мод является рациональным приближением к уравнению Навье-Стокса в том смысле,

что все члены, которыми пренебрегли, имеют

порядок η

или более высокий, где η - безразмерный параметр, определяющий ширину полосы.

Это показано на рис. 11, где представлено изменение постоянной Колмогорова в зависимости от η

для старой теории итеративного усреднения и для двухполевой теории.

Рис.11. Сравнение постоянной Колмогорова α, вычисленной

с помощью теории итеративного усреднения, с новыми

вычислениями, использующими двухполевую теорию,

в виде функции ширины полосы η

Несмотря на препятствия, возникающие в процессе приложения пертурбативной RG к

уравнениям Навье-Стокса, которые отмечались в работе МакКомба и Шанмугасундарама (1983),

Жу и др. (1988) предположили, что метод Роуза (1977) может быть применен к полю скорости.

Они показали, что член с тройным моментом является существенным при рассмотрении сильных

взаимодействий в окрестности границы между исключаемыми и оставляемыми волновыми

числами.

Их выражение для автомодельной вязкости отличается от всего, что было получено в

какой-либо версии итеративного усреднения, и имеет вид

1/ 2 1/ 3 4/3

н ()бе н()

nn n n

kk k k

−

′

% ′

, (253)

хотя их форма рекурсивного соотношения совпадает с (246) (но отличается от (250)). Выражение

для приращения вязкости задается в этом случае формулой

11/ 3

4( )/3 11/ 3

2()

1(,)

дн ()

2рн()

(,)

4рн()

khjj

hLl

khj

−

−− −

−

′′′

′′

′′′

′

∫

∑

∫

′′

i−

(254)

где волновые числа ограничены соотношениями

01,

hjh

−−

′

Это выражение для приращения существенно отличается от всего того, что было рассмотрено в

предыдущих пунктах. Однако оно очень похоже на выражение Роуза (1977) для скалярного

случая. В частности, второй член, который не имеет аналога в какой-либо форме итеративного

усреднения, возникает из переразложения тройной нелинейности в каждом цикле итераций. Цена

за это - некоторая форма инвариантности, которую надо наложить на процедуру обрывания λ-

разложения для u

в каждом цикле.

Особый интерес в этой работе представляет исследование влияния тройной нелинейности

на перенос энергии. Перенос энергии и спектральная вихревая вязкость были проанализированы с

помощью прямого численного моделирования, в котором вводилось искусственно обрезание на

волновых числах k

, меньших максимальных разрешенных в численном анализе волновых чисел

. Таким способом было возможно оценить влияние мод в полосе k

< k < k

на разрешенные

масштабы, у которых k < k

. Уравнение энергии было сформировано из уравнений Навье-Стокса

обычным образом. Затем, введя T

(k) и T

(k) для представления передачи энергии к моде k,

возникающей за счет взаимодействия с одной или обеими модами выше параметра обрезания k

соответственно Жу и Вахала (1993), получили следующее:

1. T

(k) отводит энергию из всех явных масштабов способом, который согласуется с идеей

вихревой вязкости.

2. T

(k) управляет локальным потоком энергии через границу k

Соответствующие (по энергии) вихревые вязкости ν

(k) и ν

(k) могут быть определены

по T

(k) и T

(k) для заданного спектра энергии E(k). Это делается с помощью соотношений

н () ()/2 ()kTkkEk

>> >>

=−

() ()/2 ()kTkkEk

>< ><

=−

При этом было получено, что квадратичный вклад ν

(k) (несмотря на его различное определение)

ведет себя как соответствующая вихревая вязкость из итеративного усреднения. Наоборот,

качественно наиболее важная черта величины ν

(k) заключена в очень резком ее увеличении при

k → k

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В предыдущих пунктах нами рассмотрены возможности методов перенормировки при

создании теории турбулентности. Теперь мы сделаем попытку оценить успешность этих теорий.

Фактически это означает, что мы хотим сравнить их предсказания с результатами, полученными

из эксперимента. А под экспериментами будем подразумевать не только течения жидкости в

лабораторных условиях или в естественных природных условиях, но также результаты прямого

численного моделирования уравнений Навье-Стокса на компьютерах.

Можно заметить здесь, что экспериментальная ситуация далека от удовлетворительной.

Точность получаемых данных в этой области значительно меньше, чем в других сопоставимых

областях физики твердого тела. Как мы уже указывали, отдельные экспериментальные измерения

колмогоровской спектральной постоянной могут быть сделаны с тремя значащими цифрами, но

неопределенность возникает при сравнении результатов различных авторов. Фактически

экспериментальная область значений этой константы определяется неравенством 1,20 ≤ a ≤ 2,20,

хотя многие исследователи сходятся на значении a ≈ 1,5. (При этом существование закона «-5/3»

сомнения не вызывает.)

Мы только слегка затронем здесь вопросы сравнения. Более подробное рассмотрение

приведено в работе [МакКомб, 1990]. Кроме того, поскольку общая методология и даже цели RPT

и RG теорий отличаются очень сильно, будем проводить сравнения для них отдельно.

Все RPT теории являются отрезками второго порядка перенормированных пертурбативных

разложений. Существование перенормировки устраняет одну неопределенность, а именно:

неперенормированное примитивное пертурбативное разложение, как оказывается, перестает

действовать уже в низших порядках. Как мы видели ранее, такие разложения являются сильно

расходящимися по причине комбинаторного эффекта (число членов возрастает очень быстро с

порядком итераций), а также потому, что эффективным параметром разложения является число

Рейнольдса, которое очень велико. К сожалению, перенормировка не добавляет определенности, а

только вселяет надежду, что обрыв ряда на втором порядке может служить, в некотором смысле,

хорошей аппроксимацией к реально протекающим физическим процессам.

Сказав так, мы возвращаемся к положительным результатам, заметив прежде, что все

рассмотренные теории воспроизводят исходные симметрии уравнений Навье-Стокса в том

смысле, что они сохраняют энергию и импульс. По этой причине будем различать их по тому,

насколько правильно они описывают поведение в инерционной области. Надо подчеркнуть здесь,

что эти теории, по размерности, совместимы с колмогоровским спектром [Эдвардс, 1965], но те

теории, которые здесь отнесены к RPT теориям первого рода, дают в функции отклика

расходящийся в пределе бесконечных чисел Рейнольдса интеграл, что приводит к бесконечному

значению константы Колмогорова.

При проведении более общих количественных и качественных оценок RPT теорий мы

полагаемся на небольшое число исследований свободно затухающей турбулентности, в которой

начальный спектр считается заданным, а уравнения для функций отклика (или пропагатора)

решаются по времени вперед. Пионерской работой в этой области была работа Кречнана (1964с,

1965), затем следовали работы Геринга и Кречнана (1972, 1979), МакКомба и Шанмугасундарама

(1984), Кото, Канеды и Бекки (1988), МакКомба, Шанмугасундарама и Хатчинсона (1989),

МакКомба, Филипяка и Шанмугасундарама (1992).

Приведем здесь только представительный пример результатов подобных вычислений, и

ради удобства мы возьмем их из работы МакКомба и Шанмугасундарама (1984) и МакКомба и др.

(1992).

На рис. 12. продемонстрирован одномерный спектр для низких и умеренных чисел

Рейнольдса порядка R

= 40, где R

- число Тейлора-Рейнольдса, подсчитенное по

среднеквадратичной скорости и тейлоровскому микромасштабу, определенному формулой (79).

Продемонстрированные спектры определены для произвольных начальных условий с помощью

LET и DIA теорий. Они получены в условиях, когда все интегральные параметры достигают своей

постоянной величины. На этом рисунке полученные спектры сравнены с экспериментальными

результатами некоторых исследований. Можно видеть, что теории согласуются с экспериментом

очень хорошо, по крайней мере, так же хорошо, как и экспериментальные результаты согласуются

друг с другом.

Рис.12. Одномерный спектр для низких и умеренных чисел Рейнольдса, подсчитанный с помощью LET и

DIA теорий.

LET ——, DIA -----. Экспериментальные результаты: ·, R

= 39,4 (Стюарт и Таунсенд, 1951); ○, R

= 49,0 и

●, R

= 35,0 (Чен, 1968); ', R

= 38,1 и ▲, R

= 36,6 (Комте-Беллот и Коррзин, 1971); ▼, R

= 45,2 (Френкель

и Клебанов, 1971)

Среди интегральных параметров, которые определяют, является ли спектр установившимся, надо

указать коэффициент асимметрии. Было установлено, что турбулентное поле скорости не является

нормально распределенным. Одним из показателей отклонения распределения от гауссовского

является коэффициент асимметрии [МакКомб, 1990]. Помимо большого физического значения

коэффициент асимметрии имеет практическое значение, так как с помощью него можно очень

точно различать результаты различных теорий. На рис. 13 показан расчетный коэффициент

асимметрии S(t) в виде функции от времени для LET, DIA и SCF теорий. «Новая» форма LET, так

же, как и старая, некорректна. Эти вычисления были проведены для установившегося числа

Тейлора-Рейнольдса R

= 15 и сравнены с данными, полученными в пионерской работе Орзага и

Паттерсона (1972), посвященной численному моделированию. Очевидно, что LET теория дает

заниженное значение коэффициента асимметрии на малых временах, но устанавливается на

больших временах на значениях, хорошо согласующихся с экспериментом.

На рис. 13 расчеты для всех трех теорий были сделаны в работе МакКомба и

Шанмугасундарама (1984), которая устанавливает строгую совместимость трех теорий.

На рис. 14 это не так: одномерный спектр по LET теории, согласно работе МакКомба и

Шанмугасундарама (1984), сравнен с предсказаниями, полученными в работе Геринга и Кречнана

(1979) по теории лагранжевых траекторий ALHDI и SBALHDI. В этом случае число

Тейлора-Рейнольдса равно R

= 500, которое является достаточно большим для наблюдаемой

инерционной области колмогоровского типа. Ясно, что (допуская, как и ранее, разброс данных

эксперимента), указанные три теории согласуются с экспериментом и оказываются

сопоставимыми с колмогоровским распределением.

Рис. 13. Эволюция фактора скоса для низких чисел Рейнольдса.

LET (новая форма) ——, LET (старая форма) – – –, DIA -----,

SCF — - —. Экспериментальные результаты: ○, ', □ (Орзаг и Паттерсон, 1972)

Особенно интересно, что чисто эйлеровская LET теория ведет себя очень схоже с теориями

лагранжевых траекторий.

Степень несовпадения между ними может быть обусловлена применением различных

численных методов в конкретных исследованиях [МакКомб и Шанмугасундарам, 1984]. Напротив,

на рис. 15 установившиеся одномерные спектры вычислены одним и тем же методом для трех

чисто эйлеровских теорий LET, DIA и SCF для значительно большего числа Рейнольдса R

= 1040.

Результат является удивительным, так как все три теории согласуются до неразличимости и все

три совместимы с колмогоровским спектром. Как бы то ни было, результаты подтверждают, что

RPT теории заслуживают большего внимания.

Рис. 14. Одномерный спектр при больших числах Рейнольдса:

сравнение LET теории и теории лагранжевых траекторий

с экспериментом. Теория: LET ——, ALHDI — - —,

SBALHDI — - - —. Эксперимент: ○, ●, ', ▲, R

= 2000 (Грант и др., 1962); ■, R

= 538 (Кистлер и

Вребалович, 1966);·, R

= 308 (Уберой и Фреймут, 1969); □, R

= 850 (Коантиц и Фавр, 1974)

Рис. 15. Сравнение чисто эйлеровских теорий при больших числах Рейнольдса (R

= 1040). LET——, DIA

— - —, SCF -----.

Не вдаваясь в подробности здесь уместно заключить, что все теории, рассмотренные выше,

согласуются с экспериментальной картиной достаточно хорошо в пределах разброса

экспериментальных данных. Этот общий результат обнадеживает и более важен, чем некоторые

детали различий между теориями. Теоретические построения при исследовании турбулентности

пользуется дурной славой в связи со своей сложностью, но тем не менее дают хорошие

результаты, согласующиеся с экспериментом, без использования ad hoc методов или подгоночных

констант, что весьма примечательно. Однако, без сомнения, существует необходимость для

улучшения методов этих теорий, а это можно ожидать в свою очередь после лучшего понимания

физических явлений, лежащих в основе турбулентного движения.

Напротив, как мы видели, большинство ренормгрупповых теорий макроскопических

движений жидкости связано с ситуацией, когда действительное движение жидкости сильно

управляется взбалтывающей силой. Это очень искусственная ситуация, и здесь было мало

попыток получить количественные оценки. Однако (как и в других разделах физики) прямое

численное моделирование может дать соответствующий стандарт сравнения, но препятствием

здесь является то, что различие между моделями FNS типа и турбулентностью жидкости гораздо

больше, чем между моделью Изинга и ферромагнитной решеткой. Вероятно, более подходящей

теорией для турбулентности могут служить новые оболочечные модели [Эйнк, 1993] или строго

переномируемые модели для скалярного переноса [Авеланеда и Майда, 1992], поэтому можно

ожидать развития в этой области в ближайшие несколько лет.

Там, где RG метод был применен к проблеме вычисления подсеточной вязкости,

качественное поведение физически приемлемо, а предсказываемое значение константы

Колмогорова находится в хорошем согласии с экспериментом. Однако еще отсутствует

критическая проверка теории, и существует настоятельная необходимость детального

количественного исследования погрешностей.

В данной работе мы представили очень узкий взгляд на теорию турбулентности,

концентрируя внимание на методах перенормировки и подчеркивая сходство между проблемой

турбулентности и другими проблемами теории поля и статистической физики. В

действительности, с точки зрения фундаментальности, это наиболее развитые и наиболее

подходящие теории, но они не дают всей картины исследований. Мы, например, проигнорировали

вихревой метод, который может оказаться более естественным способом описания

турбулентности [Шорин, 1994], многочисленные феноменологические модели, которые

доминируют в инженерных исследованиях [Роди, 1980], и совсем не упомянули исследования

малоразмерного хаоса, который, возможно, способен привести к созданию теории

турбулентности. Этот последний пункт можно описать как истинно физический подход, дающий

основу для исследований и движущийся от простого к сложному. К сожалению, он все еще мало

развит и в обзоре конечного объема необходимо принять некоторые ограничения.

В данном обзоре не дано полное обоснование теоретических методов, а в области

эксперимента не описана вся его сложность и привлекательность. В связи с этим заметим, что в

последние два десятилетия обнаружилось, что движение жидкости, являющейся сложнейшей

естественной нелинейной системой, необычайно богато удивительными явлениями. Это

справедливо для простых жидкостей даже при малых числах Рейнольдса, но это справедливо в

гораздо большей степени для гетерогенных систем, особенно в турбулентном режиме. В

последнем случае уменьшение турбулентного трения за счет введения полимерной добавки -

наиболее яркий пример, в котором турбулентное трение может быть уменьшено на 95 %. В этом

явлении мы встречаемся с макроскопическим аналогом явления сверхтекучести, который можно

наблюдать в лабораторных условиях при нормальной температуре. Возможно, поскольку

линейные проблемы уже решены в физике, и традиционные области физики конденсированного

состояния превратились в электротехнику, материаловедение или инженерные науки, ученые в

области фундаментальных наук могут с большей энергией обратиться к исследованиям

макроскопического движения жидкости. Нам представляется, что это то направление, в котором

каждый может найти область применения.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Avellaneda M., Majda A.J. 1992. Phys. Fluids A 4. 41.

2. Bakewell H.P., Lumley J.L. 1967. Phys. Fluids 10. 1880.

3. Balescu R., Senatorski A 1970. Ann. Phys. NY 58. 587.

4. Balescu R. 1975 Equilibrium and Nonequilibrium Statistical Mechanics (New York:

Wiley)

5. Bazdenkov S.V., Kukharkin N.N. 1993 Phys. Fluids A 5. 2248.

6. Batchelor G.K. 1952. Proc. Roy. Soc. A. 213. 349.

7. Batchelor G.K. 1967. An Introduction to Fluid Dynamics (Cambridge: Cambridge

University Press)

8. Batchelor G.K. 1971. The Theory of Homogeneous Turbulence 2

edn (Cambridge:

Cambridge University Press)

9. Birnbaum Z.W. 1964. Introduction to Probability and Mathematical Statistics (New York:

Harper)

10.

10. Brown G.L., Roshko A. 1974. J. Fluid Mech. 64. 775.

11.

11. Brown L.W.B., Antonia R.A., Rajagopalan S. 1983. Phys. Fluids 26. 1222.

12.

12. Champagne F.H., Harris V.G., Corrsin S. 1970. J. Fluid Mech. 41. 81.

13.

13. Chen W.Y. 1968. Spectral energy transfer and higher-order correlations in grid

turbulence, PhD thesis, University of California, San Diego

14.

14. Chen S., Kraichnan R.H. 1989. Phys. Fluids A 1. 2019.

15.

15. Chorin A. 1994. Vorticity and Turbulence (New York: Springer)

16.

16. Coantic M., Favre A. 1974. Adv. Geophys. 18A. 391.

17.

17. Cocke W.J. 1969. Phys. Fluids 12. 2488.

18.

18. Comte-Bellot G., Corrsin S. 1971. J. Fluid Mech. 48. 273.

19.

19. Corrsin S. 1972. Phys. Fluids 19. 1370.

20.

20. Dannevik W.P., Yakhot V., Orszag S.A. 1987. Phys. Fluids 30. 2021.

21.

21. DeDominicis C., Martin P.C. 1979. Phys. Rev. A 19. 419.

22.

22. Dhar D. 1976. Phys. Fluids 19. 1059.

23.

23. Driscoll R.J. Kennedy L.A. 1983. Phys. Fluids 26. 1228.

24.

24. Edwards S.F. 1964. J. Fluid Mech. 18. 239.

25.

25. Edwards S.F. 1965. Int. Conf. on Plasma Physics, Trieste (Vienna: IAEA) p. 595.

26.

26. Edwards S.F., McComb W.D. 1969. J. Phys. A 2. 157.

27.

27. Eyink G.L. 1993. Phys. Rev. E 48. 1823.

28.

28. Eyink G.L. 1994. Phys. Fluids 6. 3063.

29.

29. Forster D., Nelson D.R., Stephen M.J. 1976. Phys. Rev. Lett. 36. 867.

30.

30. Forster D., Nelson D.R., Stephen M.J. 1977. Phys. Rev. A 16. 732.

31.

31. Frenkiel F.N., Klebanoff P.S. 1967. Phys. Fluids. 10. 1737.

32.

32. Frenkiel F.N., Klebanoff P.S. 1971. J. Fluid Mech. 48. 183

33.

33. Frenkiel F.N., Klebanoff P.S. 1973. Phys. Fluids. 16. 725.

34.

34. Gibson C.H., Stegen G.R., Williams R.B. 1970. J. Fluid Mech. 41. 153.

35.

35. Goldstein S. 1938. Modern Developments in Fluid Dynamics (Oxford: Clarendon)

(Reprinted by Dover Publications, New York, 1965)

36.

36. Gotoh T., Kaneda Y., Bekki N. 1988. J. Phys. Soc. Japan. 57. 866.

37.

37. Gotoh T., Rogallo R.S., Herring J.S., Kraichnan R.H. 1993. Phys. Fluids. A 5. 2846.

38.

38. Grant H.L. Stewart R.W., Moilliet A. 1962. J. Fluid Mech. 12. 241.

39.

39. Heisenberg W. 1948a. Z. Phys. 124. 628.

40.

40. Heisenberg W. 1948b. Proc. Roy. Soc. A 195. 402.

41.

41. Herring J.R. 1965. Phys. Fluids. 8. 2219.

42.

42. Herring J.R. 1966. Phys.Fluids. 9. 2106.

43.

43. Herring J.R., Kraichnan R.H. 1972. Statistical Models and Turbulence ed. M. Rosenblatt

and C. Van Atta (Lecture notes in physics, vol. 12, p. 148) (Berlin: Springer)

44.

44. Herring J.R., Kraichnan R.H. 1979. J. Fluid Mech. 91. 581.

45.

45. Hinze J.O. 1975. Turbulence 2

edn (New York: McGraw-Hill)

46.

46. Horner H., Lipowsky R. 1979. Z. Phys. B 33. 223.

47.

47. Hussain A.K.M.F., Reynolds W.C. 1975. J. Fluid Eng. 97. 568.

48.

48. Kaneda Y. 1981. J. Fluid Mech. 107. 131.

49. 49. Kaneda Y 1986. Phys. Fluids. 30. 701.

50.

50. Kistler A.L., Vrebalovich T. 1966. J. Fluid Mech. 26. 37.

51.

51. Kolmogorov A.N. 1941a. C. R. Acad. URSS. 30. 301.

52.

52. Kolmogorov A.N. 1941b. C. R. Acad. URSS. 32. 16.

53.

53. Kraichnan R.H. 1964a. Phys. Fluids 7. 1163.

54.

54. Kraichnan R.H. 1964b. Phys. Fluids 7. 1723.

55.

55. Kraichnan R.H. 1964c. Phys. Fluids 7. 1030.

56.

56. Kraichnan R.H. 1965. Phys. Fluids 8. 575.

57.

57. Kraichnan R.H. 1966. Phys. Fluids 9. 1728.

58.

58. Kraichnan R.H. 1977. J. Fluid Mech. 83. 349.

59.

59. Kraichnan R.H., Herring J.R. 1978. J. Fluid Mech. 88. 355.

60.

60. Kreplin H-P., Eckelmann H. 1979. Phys. Fluids 22. 1233.

61.

61. Kubo R. 1966. Rep. Prog. Phys. 24. 255.

62.

62. Lam S.H. 1992. Phys. Fluids. A 4. 1007.

63.

63. Laufer J. 1951. NACA Rep. 1053.

64.

64. Laufer J. 1954. NACA Tech. Rep. 1174.

65.

65. Lawn C.J. 1971. J. Fluid Mech. 48. 477.

66.

66. Lee L.L. 1965. Ann. Phys. NY 32. 292.

67.

67. Lesieur M. 1987. Turbulence in Fluids (Dordrecht: Martinus Nijhoff)

68.

68. Leslie D.C. 1973. Developments in the Theory of Turbulence (Oxford: Clarendon)

69.

69. Lin J-T. 1972. Phys. Fluids. 15. 205.

70.

70. McComb W.D. 1974. J. Phys. A: Math. Nucl. Gen. 7. 632.

71.

71. McComb W.D. 1976. J. Phys. A: Math. Gen. 9. 179.

72.

72. McComb W.D. 1978. J. Phys. A: Math. Gen. 11. 613.

73.

73. McComb W.D. 1982. Phys. Rev. A. 26. 1078.

74.

74. McComb W.D. 1986. Direct and large eddy simulation of turbulence (ed. U. Schumann and

R. Friedrich) Notes on numerical fluid mechanics, vol. 15 (Braunschweig: Vieweg)

75.

75. McComb W.D. 1990. The Physics of Fluid Turbulence (Oxford: Oxford University Press)

76.

76. McComb W.D., Shanmugasundaram V. 1983. Phys. Rev. A. 28. 2588.

77.

77. McComb W.D., Shanmugasundaram V.1984. J. Fluid Mech. 143. 95

78.

78. McComb W.D., Shanmugasundaram V., Hutchinson P. 1983. J. Fluid Mech. 208. 91.

79.

79. McComb W.D., Watt A.G. 1990. Phys. Rev. Lett. 65. 3281

80.

80. McComb W.D., Watt A.G. 1992. Phys. Rev. A. 46. 4797

81.

81. McComb W.D., Roberts W., Watt A.G. 1992. Phys. Rev. A 45. 3507.

82.

82. McComb W.D., Filipiak M.J., Shanmugasundaram V. 1992. J. Fluid Mech. 245. 279.

83.

83. Ma S.K., Mazenko G. 1975. Phys. Rev. B. 11. 4077.

84.

84. Martin P.C., Siggia E.D., Rose H.A. 1973. Phys. Rev. A 8. 423.

85.

85. Monin A.S., Yaglom A.M. 1975. Statistical Fluid Mechanics vol.2, Mechanics of

turbulence (Cambridge, MA: MIT Press)

86.

86. Nakano T. 1988. Phys. Fluids. 31. 1420.

87.

87. Nelkin M., Tabor M. 1990. Phys. Fluids. A 2. 81.

88.

88. Novikov E.A. 1965. Sov. Phys. – JETP. 20. 1290.

89.

89. O’Brien E.E., Francis G.C. 1962. J. Fluid Mech. 13. 369.

90.

90. Ogura Y. 1963. J. Fluid Mech. 16. 33.

91.

91. Orszag S.A. 1969. Stud. Appl. Maths. 48. 275.

92.

92. Orszag S.A. 1970a Phys. Fluids. 13. 2203.

93.

93. Orszag S.A. 1970b J. Fluid Mech. 41. 363.

94.

94. Orszag S.A., Kruskal M.D. 1968. Phys. Fluids. 11. 43.

95.

95. Orszag S.A., Patterson G.S. 1972. Phys. Rev. Lett. 28. 76.

96.

96. Pandya R.V.R, McComb W.D. The LET theory and its possible application to turbulent

shear flows. ERCOFTAC UK South Special Topic Group on Turbulence Structure. 28 June 1996.

University of Surrey, Guilford, UK.

97.

97. Pao Y-H. 1965. Phys. Fluids. 8. 1063.

98.

98. Pao Y-H. 1968. Phys. Fluids. 11. 1371.

99.

99. Phythian R. 1969. J. Phys A: Gen. Phys. 2. 181.

100.

100. Proudman I., Reid W.H. 1954. Phil. Trans. Roy. Soc. A 247. 163.

101.

101. Qian J. 1983. Phys. Fluids. 26. 2098.