Кочетков П.А. Пособие по математике для поступающих на дистанционное обучение в МГИУ
Подождите немного. Документ загружается.
21
Рассмотрим решение уравнения:
065
2
=+− yy
2
15
2
64255
2,1
±
=
⋅−±
=y
y
1
= 3, y
2
= 2.
Тогда неравенство примет вид:
0)3)(2( ≥
−
−
y
y
Решение неравенства:
2≤y , тогда 2lg ≤x или
2
100
≤
<
x
3≥y , тогда 3lg ≥x или
3
10≥x
Ответ:
1000 ≤< x , 1000≥x .
2.3. Задачи для самостоятельного решения
1)
36
1
667
1
=−⋅
+xx
;
2)
33269
1
=⋅+
+ xx
;
3)
xxx
932122169
⋅
=⋅+⋅ ;
4)
xxx
212
32623 ⋅=
+
⋅ ;
5)
01232
112
<
+⋅
−
−− xx
;
6)
xx
2922
22
⋅<
+
+
;
7)
1log2log
2
2
1
=
⋅+ xx ;
8)
27
1
loglog2log
33
3
1
=⋅− xx ;
9)
1
16
1
loglog
4
=+
x
x
;
10)
4loglog
3
2
2
2
=− xx ;
11)
49loglog
3
=−
x
x .
22
Построить графики функций:
12)
x
y
=
2
1
;
13)
1
4
−
=
x
y ;
14)
xy lg= ;
15)
xy
2
lg= .
2.4. Задачи повышенной сложности.
1)
64
1
2
2
1
22
=⋅
+x
x
(x = -8).
2)
81389
1
=
⋅
−
+xx
(x = 3).
3)
1522
22
=−
−+ xx
(x = 2).
4) log
16
x – log
4
x + log
2
x =
3
19
(x = 16).
5) log
5
x – log
x
5 = 1,5 (
)25,
5
1
== xx
.
6) log
2
(x+1) = 1 + 2log
2
x (x = 1).
7) log
5
(log
3
x) = 1 (x = 3
5
).
8) lg
2
x
2
–3 lgx = 1 (x
1
= 10, x
2
=
4
1
10
−
)
23
3. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ.
ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ
3.1. Основные формулы и определения
Основные формулы:
1) 1sincos
22
=+ xx ;
2)
xxx cossin22sin ⋅= ;
3)
xxx
22
sin211cos22cos
−
=
−
= ;
4)
y
x
y
x
y
x sincoscossin)sin(
⋅
±
⋅
=
±
;
5)
yxyxyx sinsincoscos)cos(
⋅
⋅
=
±
µ
;
6)
2
cos
2
sin2sinsin
yxyx
yx
−
⋅
+
=+
;
7)
2
cos
2
cos2coscos
yxyx
yx
−
⋅
+
=+ ;
8)
2
cos
2
sin2sinsin
yxyx
yx
+
⋅
−
=− ;
9)
2
sin
2
sin2coscos
yxyx
yx
+
⋅
−
=−
;
10)
[]
)cos()cos(
2
1
sinsin yxyxyx +−−=⋅ ;
11)
[]
)cos()cos(
2
1
coscos yxyxyx −−+=⋅ ;
12)
[]
)sin()sin(
2
1
cossin yxyxyx ++−=⋅
;
13)
x
xtg
2
2
cos
1
1 =+
;
14)
x
xctg
2
2
sin
1
1 =+
.
24
Графики тригонометрических функций
y = sin x –
функция нечетная,
периодическая
с Т = 2π
y = cos x –
функция четная,
периодическая
с Т = 2π
y = tg x –
функция нечетная,
периодическая
с Т = π
y = ctg x –
функция нечетная,
периодическая
с Т = π
25
Решение стандартных уравнений:
1)
ax =)sin(
, ),2,1,0()arcsin()1( Κ±±=+⋅−= nnax
n
π
,
0)sin( =x , nx ⋅=
π
,
1)sin( =x ,
nx
π
π
2
2
+=
,
1)sin(
−
=x , nx
π
π
2
2
+−= ,
2
1
)sin( =x
, nx
n
π
π
+⋅−=
6
)1( ,
2
1
)sin(
−=x
,
nx
n
π
π
+⋅−=
+
6
)1(
1
,
2
3
)sin( =x
,
nx
n
π
π
+⋅−=
3
)1(
,
2
3
)sin( −=x
,
nx
n
π
π
+⋅−=
+
3
)1(
1
,
2
2
)sin( =x
,
nx
n
π
π
+⋅−=
4
)1(
,
2
2
)sin( −=x
,
nx
n
π
π
+⋅−=
+
4
)1(
1
.
2)
ax =)cos( , ),2,1,0(2)arccos()1( Κ±±=+⋅−= nnax
n
π
,
0)cos( =x
, nx
π
π
+=
2
,
1)cos( =x , nx
π
2= ,
1)cos(
−
=x , nx
π
π
2
+
= ,
2
1
)cos( =x
, nx
π
π
2
3
+±= ,
2
1
)cos(
−=x
,
nx
π
π
2
3
2
+±=
,
2
3
)cos( =x
,
nx
π
π
2
6
+±=
,
2
3
)cos( −=x
,
nx
π
π
2
6
5
+±=
,
26
2
2
)cos( =x
, nx
π
π
2
4
+±= ,
2
2
)cos( −=x
, nx
π
π
2
4
3
+±= .
3)
axt
g
=)( , ),2,1,0()(
Κ
±
±
=
+
= nnaarct
g
x
π
,
0)( =xt
g
, nx
π
= ,
1)( =xt
g
, nx
π
π
+=
4
,
1)(
−
=xt
g
,
nx
π
π
+−=
4
,
3)( =xtg , nx
π
π
+=
3
,
3)( −=xtg , nx
π
π
+−=
3
,
3
1
)( =xtg
, nx
π
π
+=
6
,
3
1
)( −=xtg
, nx
π
π
+−=
6
.
4)
axct
g
=)( , ),2,1,0()( Κ
±
±
=
+
= nnaarcct
g
x
π
,
0)( =xct
g
, nx
π
= ,
1)( =xct
g
, nx
π
π
+=
4
,
1)(
−
=xct
g
, nx
π
π
+=
4
3
,
3)( =xctg
, nx
π
π
+=
6
,
3)( −=xctg , nx
π
π
+=
6
5
,
3
1
)( =xctg
, nx
π
π
+=
3
,
3
1
)( −=xctg
,
nx
π
π
+=
3
2
.
27
3.2. Решение стандартных задач
1) Решить уравнение:
03cos4cos
2
=
+
−
xx
.
Решение:
Обозначим:
yx
=
cos , тогда
22
cos yx = .
Получаем уравнение:
034
2
=+− yy
Решаем:
2
24
2
34164
2,1
±
=
⋅−±
=y
11
cos3
2
24
xy ==
+
=
– нет решения.
22
cos1
2
24
xy ==
−
= , nx
π
2
2
=
.
Ответ:
nx
π
2
1
= ),2,1,0(
Κ
±
±
=
n .
2) Решить уравнение:
2sincos2
2
=
+
xx
Решение:
Преобразуем:
)sin1(2cos2
22
xx −= .
Тогда уравнение примет вид:
0sinsin22sin)sin1(2
22
=+−=−+− xxxx
0)sin21(sin =− xx ,
Решения:
0sin =x , nx
π
=
1
.
2
1
sin =x
, kx
k
π
π
+−=
6
)1(
2
.
Ответы:
nx
π
=
1
),2,1,0(
Κ
±
±
=
n ,
kx
k
π
π
+−=
6
)1(
2
),2,1,0(
Κ
±
±
=
k
.
3) Решить уравнение:
2sin32cos
=
+
xx
28
Решение:
Воспользуемся формулой:
xx
2
sin212cos
−
=
.
Преобразуем уравнение:
2sin3)sin21(
2
=+− xx ,
01sin3sin2
2
=
+
− xx .
Обозначим:
xy sin= , тогда получаем:
0132
2
=+− yy ,
Решаем:
4
13
22
21493
2,1
±
=
⋅
⋅−±
=y
.
Получаем:
xy sin1
4
13
1
==
+
=
,
nx
π
π
2
2
1
+=
,
xy sin
2
1
4
13
2
==
−
= , kx
k
π
π
+−=
6
)1(
2
.
Ответ:
nx
π
π
2
2
1
+= , ),2,1,0(
Κ
±
±
=
n ,
kx
k
π
π
+−=
6
)1(
2
,
),2,1,0(
Κ
±
±
=
k
.
4) Решить уравнение:
0cos2sin
=
+
xx .
Решение:
Воспользуемся формулой:
xxx cossin22sin
⋅
⋅
=
.
Тогда:
)1sin2(coscoscossin2
+
⋅
=
+⋅⋅ xxxxx = 0.
Первое решение:
0cos =x
, тогда
nx
π
π
+=
2
1
.
Второе решение:
01sin2 =+x , откуда
2
1
sin −=x
, kx
k
π
π
+⋅−=
+
6
)1(
1
2
.
Ответ:
nx
π
π
+=
2
1
),2,1,0(
Κ
±
±
=
n
,
kx
k
π
π
+⋅−=
+
6
)1(
1
2
, ),2,1,0(
Κ
±
±
=
k
.
5) Решить уравнение:
tgx
x
2
cos
1
2
= .
29
Решение:
Воспользуемся формулой:
1
cos
1
2
2
+= xtg
x
.
Тогда преобразуем уравнение:
tgxxtg 21
2
=+ ,
или
0)1(12
22
=−=+− tgxtgxxtg
Получаем решение:
1
=
tgx
,
Откуда:
nx
π
π
+=
4
.
Ответ:
nx
π
π
+=
4
;
P
n
∈
.
3.3. Задачи для самостоятельного решения
1)
xx 2cossin32 =−
(
πk2
2
π
x
1
+=
, nx
n
π
π
+−=
6
)1(
2
; k, n∈P – множество целых
чисел);
2)
x
x
x
22
sin3cos2cos2 =+
+
±=+= kxnx
πππ
2
5
3
arccos,2
21
;
3) 1cossin2
2
=
+
xx
∈+±== Pknkxnx ,;2
3
2
,2
21
π
π
π
.
4)
02sin5cos6
2
=
−
+
xx
∈+⋅−=
+
Pnnx
n
;
6
)1(
1
π
π
.
5)
xx
2
cos2sin33 =−
∈+⋅−=+= Pnknxkx
n
,;
6
)1(,
2
2
21
π
ππ
π
.
6)
3)31(
2
=−+ tgxxtg
∈+−=+= Pknkxnx ,;
4
,
3
21
π
π
π
π
.
30
7) 02
sin
1
2
=+ ctgx
x
+= kx
ππ
4
3
.
Построить графики:
8)
xy 2sin=
9)
3
cos
x
y =
10)
xy
2
sin=
11)
xy cos=
12)
tgxy =
13)
xctgy
2
=
3.4. Задачи повышенной сложности
1) cos
4
x - sin
4
x = sin π (x =
24
πkπ
+ ).
2) sinx
⋅ cos2x ⋅ cosx = log
16
2 (x =
28
πkπ
+ ).
3) 3cos
2
x - sin2x = sin
2
x (x
1
= πk
π
+
4
, x
2
= arcctg(-
3
1
) + πn).
4) 1 - sin2x = cosx - sinx (x
1
= πn
π
2
2
+− , x
2
= 2πk, x
3
= πm
π
+
4
).
5) sinx +
3 ⋅ cosx = 2 (x
1
= πn
π
2
6
+ ).
6) sinx + sin7x = 2sin5x (x =
5
πn
).