Кочетков П.А. Пособие по математике для поступающих на дистанционное обучение в МГИУ
Подождите немного. Документ загружается.
31
4. ПРОГРЕССИИ
4.1. Основные формулы
Арифметическая прогрессия
Κ
Κ
,,,,
21 n
aaa – это такая чи-
словая последовательность, в которой каждый член больше пре-
дыдущего на одно и то же число, т.е.
daa
nn
+
=
−1
для всех
Κ,3,2=n
. Здесь d – называется разностью прогрессии.
Справедливы формулы:
1)
)1(
1
−+= ndaa
n
;
2)
n
aa
Saaa
n
nn
⋅
+
==+++
2
1
21
Κ .
Геометрическая прогрессия – это такая числовая последова-
тельность, в которой каждый член равен предыдущему, умно-
женному на постоянное для всех членов число, т.е.
1−
⋅=
nn
bgb ,
для всех n = 2, 3, …. Здесь g называется знаменателем прогрес-
сии.
Справедливы формулы:
1)
1
1
−
⋅=
n
n
gbb
2)
g
gb
Sbbb
n
nn
−
−⋅
==+++
1
)1(
1
21
Κ .
Для убывающей прогрессии (когда
1
<
g ) сумма всех ее
членов равна
g
b
S
−
=
∞
1
1
.
4.2. Решение стандартных задач
Задача 1
Сумма первого и пятого членов арифметической прогрессии
равна 10. Сумма второго и шестого членов равна 12.
Найти сумму пяти членов арифметической прогрессии.
Решение:
Запишем систему:
=+
=
+
12
10
62
51
aa
aa
32
Преобразуем систему:
=+++
=
+
+
12)5()(
10)4(
11
11
dada
daa
Вычтем из второго уравнения первое: 2d =2, d = 1.
Подставим d = 1 в первое уравнение:
6410
11
=−
=
+
daa .
Откуда
3
1
=
a .
Найдем сумму
255
2
4
5
2
1151
5
=⋅
+
+
=⋅
+
=
daaaa
S .
Ответ: 25
5
=
S .
Задача 2
Сумма первых четырех членов арифметической прогрессии
равна 32. Сумма первых восьми членов этой прогрессии равна 96.
Найти первый член прогрессии d
1
и разность прогрессии d.
Решение:
Определяем суммы:
32)3(24
2
11
41
4
=++=⋅
+
= daa
aa
S
96)7(28
2
11
81
8
=++=⋅
+
= daa
aa
S
В итоге получаем:
=+
=
+
2472
1632
1
1
da
da
Из второго уравнения вычтем первое: 4d = 8, тогда d = 2.
Подставим это значение в первое уравнение:
1023163162
1
=
⋅
−=−= da .
Тогда: a
1
= 5.
Ответ: a
1
= 5, d = 2.
Задача 3
Разность между четвертым и третьим членами геометриче-
ской прогрессии равно 16. Разность между шестым и пятым чле-
нами равно 64.
Найти первый член прогрессии b
1
и ее знаменатель g.
Решение:
Условия задачи определяют систему:
=−=−
=−=−
64)1(
16)1(
4
156
2
134
ggbbb
ggbbb
33
Разделим второе уравнение на первое:
4
16
64
)1(
)1(
2
2
1
4
1
===
−
−
g
ggb
ggb
, откуда g = 2.
Запишем первое уравнение:
16)1(
2
1
=−ggb , тогда
4
4
16
)1(
16
2
1
==
−⋅
=
gg
b
.
Ответ: b
1
= 4, g = 2.
Задача 4
Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии
равна 10. Сумма первых трех членов равна 8,75.
Найти первый член b
1
и знаменатель прогрессии g.
Решение:
Условия задачи:
=++=++
=
−
=
∞
75,8)1(
10
1
2
1321
1
ggbbbb
g
b
S
Перепишем первое уравнение:
)1(10
1
gb
−
=
.
Подставим его соотношение во второе уравнение:
.
4
35
75,8)1(10)1)(1(10
32
==−=++− gggg
Тогда:
4
5
4
35
1010
3
=−=g , тогда
8
1
3
=g и
2
1
=g
.
Тогда:
5)1(10
1
=−= gb .
Ответ: b
1
= 5,
2
1
=g
.
4.3. Задачи для самостоятельного решения
1) В арифметической прогрессии 6 членов. Сумма членов с
четными номерами равна 27, а сумма членов с нечетными номе-
рами 21.
Найти первый член прогрессии а
1
и ее разность d.
2) Найти сумму всех четных чисел от 2 до 20.
34
3) В геометрической прогрессии: b
1
= 3, g = 2. Найти сумму
первых десяти членов прогрессии.
4) Найти сумму бесконечно убывающей прогрессии:
Κ+++++
27
1
9
1
3
1
13
.
5) В геометрической прогрессии: b
2
+ b
3
= 6, b
4
– b
2
= 24.
Найти сумму первых шести членов.
6) Сумма четвертого и шестого членов арифметической
прогрессии равна 14.
Найти сумму первых девяти членов прогрессии.
7) Найти геометрическую прогрессию, если сумма первых
трех членов равна 7, а произведение этих трех чисел равно 8.
8) Определить х, при котором числа lg x, lg 2x, lg 40 являют-
ся членами арифметической прогрессии.
9) Определить х, при котором числа 2
х
, 2
х+1
, 2
7
образуют
геометрическую прогрессию.
10) Найти сумму всех двухзначных чисел, кратных пяти.
35
5. ПЛАНИМЕТРИЯ
5.1. Основные формулы и определения
ВС = а, АС = b, AB = c.
CK – медиана из вершины С.
АК = КВ;
АL – медиана из вершины А.
CL = LB;
АМ – биссектриса
∠ САВ.
∠
САМ =
∠
ВАМ;
h = AN – высота из вершины А,
АN ⊥ BC;
)(
2
1
cbap ++= - полупериметр;
S – площадь треугольника АВС;
α
= < ВАС;
β
= < АВС;
γ
= < АСВ;
r – радиус вписанного круга; R – радиус описанного круга;
;
4
))()((sin
2
1
2
1
R
abc
rpcpbpappcbhaS =⋅=−−−=⋅⋅=⋅=
α
α
cos2
222
⋅⋅−+= cbcba - теорема косинусов;
R
cb
2
sinsinsin
===
γβα
α
- теорема синусов;
M
B
CM
c
b
=
- свойство биссектрисы АМ;
2=
OL
AO
- свойство медианы АL.
Прямоугольный треугольник.
222
bac
+
=
- теорема Пифагора;
;cossin ;sincos
βαβα
====
c
a
c
b
βα
ctgtg
b
a
== ;
αβ
ctgtg
a
b
== ;
2
cba
r
−
+
=
;
2
c
R =
.
36
Выпуклый четырехугольник
ACd =
1
; BDd =
2
,
ϕ
sin
2
1
21
⋅⋅= ddS
ABCD
.
Параллелограмм
AB||DC; AD||BC;
AD = BC = a; AB = CD = b;
α
sin⋅=
⋅
=
abhaS
ABCD
.
Ромб
AB = BC = CD = AD = a;
21
dd ⊥ ;
ahaddS ===
α
sin5,0
2
21
.
Трапеция
BC || AD;
h
ba
S
2
+
=
Свойства вписанного
четырехугольника
π
ϕ
β
γ
α
=+=+
Свойства описанного
четырехугольника
=
dbca +
=
+
37
Окружность. Круг.
∠
AKB – вписанный угол в ок-
ружность;
∠
AOB – центральный угол;
R – радиус; О – центр круга;
L = 2
π
· R – длина окружности;
S =
π
· R
2
– площадь круга;
α
2
2
1
RS
OABсектора
= ;
α
RL
ABдуги
=
(при α, из-
меренном в радианах).
СА – секущая;
МС – касательная к окружно-
сти;
ОМ⊥СМ;
АС · ВС = (МС)
2
.
5.2. Решение стандартных задач
Задача 1
Прямоугольный треугольник с катетами a = 3 см и b = 4 см
вписан в круг.
Найти отношение площадей круга и треугольника (принять
π
= 3,14).
Решение:
Гипотенуза прямоугольного треугольника равна диаметру
круга, т.е. с = 2R.
Тогда: a
2
+ b
2
= c
2
= 4R
2
.
Откуда:
22
2
1
baR +=
.
Площадь круга равна:
)(
4
222
baRS
кр
+==
π
π
.
38
Площадь треугольника:
2
ba
S
тр
⋅
=
.
Тогда отношение
2,3
2
)(
22
≈
⋅
+
==
ba
ba
S
S
k
тр
кр
π
Ответ: k = 3,2.
Задача 2
В равнобочной трапеции верхнее основание в 2 раза меньше
нижнего и равна высоте. Площадь трапеции S = 6 см
2
. Найти бо-
ковые стороны трапеции.
Решение:
По основным формулам для
трапеции:
h
ba
S ⋅
+
=
2
По условию задачи: b = 2a,
h = a.
Тогда:
2
3
2
)2(
2
aaaa
S =
⋅+
=
Тогда основание
2
3
62
3
2
=
⋅
== Sa
см.
Из прямоугольного
∆АВС находим гипотенузу с
.5
24
2
2
22
a
a
a
hxc =+=+=
Тогда:
55
2
2
==c (см)
Ответ:
5=с (см).
Задача 3
Точка А находится на расстояние r = 4 см от окружности ра-
диуса R. Из точки А к окружности проведена касательная АК
длиной
24 . Найти радиус R окружности.
39
Решение:
∆АКО – прямоугольный.
По теореме Пифагора:
222
)()( RrRAK +=+
Преобразуем это выраже-
ние:
rRrAK 2)(
22
+=
Тогда:
2
42
1632
2
)(
22
=
⋅
−
=
−
=
r
rAK
R
(см)
Ответ: R = 2 см.
Задача 4
В ромб, сторона которого АВ = 20 см, вписан круг радиусом
R. Диагонали ромба d
1
= 36 см и d
2
= 48 см. Найти площадь кру-
га S.
Решение:
Диагонали ромба в точке их пересечения взаимно перпен-
дикулярны и делятся пополам.
Поэтому ∆ОАВ – прямоуголь-
ный, стороны ОА = 18 см, ОВ =
24 см.
Площадь ∆ОАВ равна:
22
RABOBOA
S
⋅
=
⋅
=
Откуда:
5
108
20
2418
=
⋅
=
⋅
=
A
B
OBOA
R
см.
Площадь круга:
1335)
5
108
(14,3
22
≈⋅=⋅= RS
π
(см
2
)
Ответ: S = 1335 (см
2
).
40
Задача 5
Радиус окружности, в которую вписан квадрат, равен R =
6 см.
Найти площадь S квадрата.
Решение:
∆ОАВ – прямоугольный, а его
катеты:
ОА = ОВ = R
По теореме Пифагора:
(ОА)
2
+ (ОВ)
2
= (АВ)
2
= 2R
2
.
Тогда площадь квадрата:
S = (AB)
2
= 2R
2
= 72 см
2
.
Ответ: S = 72 см
2
.
Задача 6
Дан равносторонний треугольник. В этот треугольник впи-
сана окружность, а вторая окружность описана около этого тре-
угольника. Найти отношение s/S площадей соответствующих
кругов.
Решение:
∆АВС – равносторонний,
тогда
∠
А = 60
0
.
R - радиус описанной ок-
ружности,
r – радиус вписанной ок-
ружности.
Тогда
∠
ОАС = 30
0
.
Определяем:
2
30sin
0
R
Rr =⋅=
Проводим расчет:
4
1
)
2
(
2
2
2
2
===
R
R
R
r
S
s
π
π
π
π
.
Ответ:
4
1
=
S
s
.