Кочетков П.А. Пособие по математике для поступающих на дистанционное обучение в МГИУ

Подождите немного. Документ загружается.

Задача 7

В параллелограмме АВСD сторона АВ = 6 см, ВС = 8 см,

угол

∠

= 30

. Найти площадь S этого параллелограмма.

Решение:

Определим высоту h:

30sin

⋅

Тогда:

6830sin

=⋅⋅=⋅⋅=⋅= ABBChBCS

(см

Ответ: S = 24 см

5.3. Задачи для самостоятельного решения

1. В прямоугольном треугольнике сумма катетов равна

17 см, а длина гипотенузы – 13 см. Найти катеты и площадь тре-

угольника.

(Ответ: стороны длиной 5 и 12 см, площадь – 30 см

2. В прямоугольном треугольнике один катет равен 3 см, а

другой 4 см. Найти медиану, проведенную к третьей стороне и

площадь круга, в который этот треугольник вписан.

(Ответ: медиана – 2,5 см, площадью S = 19,5 см

3. В ромбе острый угол равен 60

, а большая диагональ рав-

на 6 см. Найти площадь ромба.

(Ответ: площадь равна

36 см

4. В ромбе со стороной 6 см острый угол равен 30

. Найти

площадь ромба.

5. Площадь равнобочной трапеции равно 8 см

, верхнее ос-

нование в 3 раза меньше нижнего основания и равно высоте этой

трапеции. Найти основания трапеции.

6. Из точки, расположенной вне окружности, проведена к

ней касательная длиной 4 см. Расстояние от точки до окружности

равно 2 см. Найти площадь круга, которого эта окружность огра-

ничивает.

7. Площадь прямоугольника 8 см

, одна сторона вдвое

больше другой. Найти площадь круга, диаметром которого явля-

ется диагональ прямоугольника.

8. В равнобедренный прямоугольный треугольник, катеты

которого равны по 3 см, вписан квадрат. Одна из сторон квадрата

лежит на гипотенузе, две его вершины на катетах. Найти площадь

этого квадрата.

9. Из точки С, расположенной вне окружности, проведены к

ней касательная и секущая. Секущая проходит через центр ок-

ружности и в два раза больше касательной. Найти радиус окруж-

ности, если длина касательной равна 4 см.

10. В параллелограмме одна сторона в два раза больше дру-

гой, а острый угол равен 30

. Найти стороны параллелограмма,

если его площадь равна 36 см

11. В прямоугольной трапеции второй угол при основании

равен 45

. Найти боковые стороны и основания трапеции, если ее

площадь равна 24 см

6. СТЕРЕОМЕТРИЯ

6.1. Основные формулы и определения

Параллелепипед

(наклонный параллелепипед)

Все грани – параллелограммы.

hSV

осн

⋅

– объем параллеле-

пипеда;

осн.

= S

ABCD

– площадь основа-

ния;

h = A

O – высота параллелепи-

педа.

Прямой параллелепипед – параллелепипед, у которого верхнее и

нижнее основания – параллелограммы, а боковые грани перпен-

дикулярны основаниям.

Прямоугольный параллелепипед – прямой параллелепипед, у ко-

торого верхнее и нижнее основания – прямоугольники.

Призма

Верхнее и нижнее основания – конгру-

энтные многоугольники, боковые ребра

АА

, ВВ

, … равны и параллельны.

hSV

осн

⋅

(на рисунке приведен част-

ный случай призмы, в основании кото-

рой лежит пятиугольник ABCDE).

Прямая призма – призма, у которой все

грани перпендикулярны основанию.

Правильная призма – прямая призма,

основанием которой служит правиль-

ный многоугольник.

Цилиндр

Основания – круги радиуса R.

ОО

– ось цилиндра;

ОО

= АА

= ВВ

= h – высота.

ОО

– перпендикуляр к основа-

ниям цилиндра;

hRV

⋅

– объем цилиндра;

бок

⋅

2 ;

полн.

= S

бок

2 R

⋅

Конус

Основание – круг радиуса R.

S – вершина конуса; l = AS – об-

разующая конуса;

SO – перпендикуляр к основа-

нию;

SO – ось конуса (SO = h),

ASC – осевое сечение, равнобед-

ренный треугольник;

α =

∠

– угол при основании

конуса;

β =

∠ – угол при вершине конуса.

hRV

= ; RlS

бок

= ;

полн.

RRl

Пирамида

Основание – многоугольник, все

боковые ребра сходятся в точке S

– вершине пирамиды, все боко-

вые грани – треугольники.

hSV

осн

⋅=

h = SO – перпендикуляр, опу-

щенный из на основание (высота

пирамиды).

Правильная пирамида – пирамида, основанием которой является

правильный многоугольник и точка О (проекция вершины S на

основание) лежит в центре основания.

Апофема пирамиды – высота боковой грани правильной пира-

миды.

Усеченная пирамида

(

)

2211

SSSShV ++=

;

ABCDE

;

11111

2 EDCBA

h = CO

– высота усеченной пи-

рамиды.

Сфера, шар

R – радиус шара;

шара

= ;

4 RS

сферы

= ;

ABCDN – шаровой сегмент,

C = r – его радиус, h = высо-

та.

hсегмшарпов

2...

;













−= hRhсегмшарV

6.2. Решение стандартных задач

Задача 1

В шар вписан куб, а в него второй шар. Найти отношение

объемов этих шаров.

Решение:

∆OAB – прямоугольный,

∠

= 45

Катет

45sin

Rr =⋅=

Объем большого шара:

= .

Объем малого шара:

ππ

== .

Тогда:

22=

Ответ:

22=

Задача 2

В прямом круговом цилиндре высота в четыре раза больше

радиуса круга основания. Объем цилиндра равен 12, 56 м

Найти площадь боковой поверхности цилиндра. (Принять

= 3,14).

Решение:

Объем цилиндра:

⋅

Поскольку: H = 4r, то:

V ⋅=

⋅

Тогда:

м.

Площадь боковой поверхности:

12,252 =⋅=

Ответ: S = 25,12 м

Задача 3

В прямоугольном параллелепипеде одна сторона основания

в два раза больше второй стороны этого прямоугольника. Высота

в три раза больше меньшей из сторон основания. Объем прямо-

угольника равен 48 м

Найти длину главной диагонали прямоугольного параллеле-

пипеда.

Объем прямоугольника:

6)3()2( aaaaV =⋅⋅= .

Тогда:

(м).

Главная диагональ L равна:

=++=

222

9)4( aaaL

1421414

=== aa (м).

Ответ: L =

142

м.

Задача 4

В основании четырехугольной пирамиды – прямоугольник

со сторонами 2 и 4 см. Объем пирамиды 24 см

. Найти высоту

пирамиды.

Решение:

Объем пирамиды:

HSV

осн

⋅=

где

bаS

ocн

⋅

Тогда:

2433

⋅

H см.

Ответ: H = 9 см.

6.3. Задачи для самостоятельного решения

1. Прямой круговой конус разрезан плоскостью, параллель-

ной основанию ровно по середине его высоты.

Найти отношение объема конуса к объему его верхней отре-

занной части, которая также представляет собой прямой круговой

конус.

2. В куб с ребром 1м вписана правильная четырехугольная

пирамида. Найти объем пирамиды.

3. В куб с ребром 2м вписан правильный круговой конус.

Найти объем этого конуса.

4. Куб с ребром 4м разрезан плоскостью, проходящей через

две соседние вершины нижнего основания и две противолежащие

вершины верхнего основания по главной диагонали.

Найти площадь прямоугольника, полученного в сечении ку-

ба плоскостью.

5. Правильная треугольная призма со стороной 2 см имеет

объем

34 см

Найти высоту призмы.

6. В шар диаметром 10 см вписан круговой цилиндр, высота

которого в 3 раза больше диаметра его кругового основания.

Найти объем кругового цилиндра.

7. Основание правильной четырехугольной пирамиды -

квадрат со стороной 4 см. Все ребра наклонены под углом 45

плоскости основания.

Найти объем пирамиды.

8. В основании конуса - круг радиуса R = 6 см. Образующие

конуса наклонены к плоскости основания под углом 30

Найти объем конуса.

9. В круговой конус вписан куб, ребро которого равно ра-

диусу основания конуса.

Найти отношение объема куба к объему конуса.

7. ТЕКСТОВЫЕ ЗАДАЧИ

7.1. Решение стандартных задач

Задача 1

Из города со скоростью 20 км/час выехал велосипедист, а

через четыре часа вслед за ним выехала машина со скоростью

60 км/час. Через сколько часов и на каком расстоянии S от города

машина догонит велосипедиста.

Решение:

Пусть u = 20 км/час – скорость велосипедиста,

v = 60 км/час – скорость машины.

Составим уравнение:

uּt = v(t – 4) = S

Тогда:

2060

6044

−

⋅

−

(часов)

S = uּt = 20ּ6 = 120 км

Ответ: t = 6 часов, S = 120 км.

Задача 2

В свежескошенной траве – 50% воды, в сене – 10% воды.

Сколько сена получится из 900 кг скошенной травы.

Решение:

Трава и сено состоят из твердой части и воды. В свежеско-

шенной траве твердая часть составляет половину ее веса, т.е.

= 900 кг ּ0,5 = 450 кг

При сушке трава теряет только воду, а твердая часть остает-

ся. В сене 10% воды и 90% (т.е., 0,9 часть веса) составляет твер-

дая часть (т.е., те же 450 кг).

Следовательно, вес сена P определится из соотношения:

P ּ 0,9 = 450 кг

Тогда:

кг500

9,0

кг450

==P .

Ответ: P = 500 кг.

Задача 3

Бак объемом 3 м

заполняется из двух кранов за t = 20 ми-

нут. Известно, что один кран вдвое больше дает воды в единицу

времени.

Определить, сколько дает воды каждый кран в одну минуту.

Решение:

Пусть p – мощность 1-го крана (количество воды в минуту),

2p – мощность 2-го крана.

Согласно условиям задачи:

p ּ t + 2p ּ t = 3000 (л)

Тогда:

)л(3000

p л/минуту.

Ответ: p = 50 л/минуту, 2p = 100 л/минуту.

Задача 4

Завод выполнил план в первый месяц на 20%, а во второй

месяц снизил показатели на 10% по сравнению с первым меся-

цем. На сколько процентов выполнил двухмесячный план завод.

Решение:

Пусть Q – плановое задание на 1 месяц.

В первый месяц объем выпуска продукции:

= Qּ(1 + 0,2) = 1,2Q.

Во второй месяц:

= Q

ּ(1 – 0,1) = 1,2Qּ0,9 = 1,08ּQ.

Объем продукции за два месяца:

+ Q

= 1,2Q + 1,08ּQ = 2,28Q.

Следовательно, план перевыполнен на:

%14%100

228,2

=⋅

−

Ответ: α = 14%.