будет отрицательным при с>d (система устойчива)
и положительным при c>d (система неустойчива). Значит, границе устойчивости
соответствует равенство с=d, при котором корень р
1
=
. Условием границы
устойчивости третьего типа является обращение в нуль коэффициента а
0
в уравнении
(3.4).
АСУ, находящиеся на границе устойчивости, неработоспособны, т.к. малейшее
изменение параметров системы может привести к неустойчивости.
Все указанные выше условия устойчивости получены в предположении, что
система описывается линейным дифференциальным уравнением (3.1), хотя все
реальные АСУ не являются строго линейными.
Линейные дифференциальные уравнения получаются в результате линеаризации
путем разложения в ряд Тэйлора с отбрасыванием нелинейных членов высших
порядков, считающихся пренебрежимо малыми для малых отклонений. Справедливо
ли говорить об устойчивости системы по ее линеаризированным уравнениям? При
ответе на этот вопрос ссылаются на три теоремы А.М. Ляпунова:
1) Если вещественные части всех корней характеристического уравнения
линеаризированной системы отрицательны, то реальная система также
устойчива и отброшенные при линеаризации малые нелинейные члены не могут
сделать ее неустойчивой.
2) Если имеется хотя бы один корень с вещественной положительной частью, то
реальная система неустойчива и отброшенные при линеаризации малые
нелинейные члены не могут ее сделать устойчивой.
3) Если линеаризированная система находится на границе устойчивости, то
отброшенные при линеаризации малые нелинейные члены могут сделать
реальную систему устойчивой или неустойчивой.
Кроме того, линеаризация основана на предположении о малости отклонений
входных и выходных звеньев от их установившихся значений. Поэтому приведенные
выше условия характеризуют устойчивость системы при малых отклонениях.
Поскольку вычисление корней характеристического уравнения (3.4) оказывается
часто затруднительным (особенно при n>3), в ТАУ применяют критерии
устойчивости, позволяющие определить знаки вещественных частей без вычисления
самих корней.
3.1.1 Необходимые условия устойчивости
Для устойчивости системы необходимо, но не достаточно, чтобы все
коэффициенты характеристического уравнения (3.4) были положительными.
Т.е. если все а
0
, а
1
,…а
n
больше нуля, то система может быть устойчивой. Но если
хотя бы один из них отрицателен или равен нулю, система неустойчива или
неработоспособна, т.к. находится на границе устойчивости.