Корнилов И.А. Элементы страховой математики

Подождите немного. Документ загружается.

2.6. Рисковая надбавка

Рассмотрим задачу определения рисковой надбавки. Пусть

компания имеет однородный портфель n договоров с одинаковыми

страховыми суммами S и вероятностями наступления страховых случаев

p. Компанию интересует не только среднее число случаев np, но и

величина возможного превышения этого значения d и вероятность

такого отклонения. Поскольку в основе процесса лежит биномиальный

закон, интересующая нас оценка может быть получена с помощью

интегральной теоремы Лапласа:

{

}

{

}

()

tn/pqtpn/mPnpqtnpmP

Φ=⋅<−=⋅<−

(В более общем случае, когда эта теорема неприменима,

используется неравенство Чебышева /27/).

Пример 12. Пусть число договоров n=1000, p=0.1 - вероятность

наступления страхового случая. Тогда np=100 среднее ожидаемое число

случаев. Компанию интересует вероятность того, что фактическое число

случаев не превысит некоторого заданного значения max(m). Если срок

действия договоров один год, то какова должна быть эта граница, чтобы

она превышалась не чаще, чем 1 раз в 25 лет? Какова при этом рисковая

надбавка? Предположим, что в этой подотрасли страхования надбавка, в

среднем, составляет 10% от рисковой премии. Оценить

конкурентоспособность компании.

Решение. npq = 90,

npq

= 9.48. Вероятность нарушения правой

границы: (1-Ф(t))/2=0.04, тогда Ф(t)=0.92 и по таблице находим t=1.75

d =⋅⋅⋅=1645 01 0 9 1000 15 6... . Θ=d/n⋅p=16.62/100=0.1662=16.62%

При относительной надбавке 16.62% можно обеспечить с

надежностью 0.96 (нарушение не чаще одного раза в 25 лет), что число

страховых случаев не превысит 100+16.62=116.62 ≈117.

С позиции конкурентоспособности надбавка 17% велика, а

вероятность разорения (раз в 25 лет) слишком велика (по западно-

европейским стандартам). Попытаемся изменить условия.

Пример 13. Пусть в условиях примера 12 мы хотим обеспечить

вероятность разорения не выше 0.01 (не чаще 1 раза в 100 лет).

Решение: Здесь Ф(t)=0.98 и t=2.325. Следовательно,

d=2.325⋅9.48=22.1 то есть надбавка увеличилась почти в 1.33 раза и

достигла 22.1% - слишком много (для нашего примера). m ≤ 100 + 22,1.

Округляем до ближайшего целого числа 123. Тогда Θ = 23 %.

Пример 14. Найдем надежность, которую может обеспечить

надбавка в 10%.

Решение: d=100⋅10%=10; t=10/9.48=1.053; Ф(t)=0.71;

=(1-0.71)/2=0.145 .

Итак, вероятность разорения достигла 0.145 (один раз в семь лет!),

что совершенно неприемлемо.

В данном случае (п. 12 – 14) неприятности страховщика вызваны

противоречием между относительно высокой вероятностью наступления

страхового случая 0.1 и сравнительно небольшим объемом страхового

портфеля n=1000.

Пример 15.Проанализируем ситуацию у другого страховщика,

который имеет дело с такими же рисками p=0.1 , но объем портфеля у

него в 10 раз больше n=10000.

Решение: Итак n=10000, p=0.1, np=1000, npq=900,

npq =30. Если

=0.04, то Ф(t)=0.92; t=1.75; d=1.75⋅30=52.5, m ≤ 1000 + 52,5 т.е.

m ≤ 1053, то есть относительная надбавка составляет 53/1000=0.053

против 0.17 в п.12. - уменьшилась втрое! Это означает, что на каждую

тысячу договоров (при одинаковой надежности) у второго страховщика

отклонения будут втрое меньше. Следовательно, он может

соответственно снизить надбавку, и тогда его тарифы будут ниже, чем у

конкурента. Тогда конкурент с малым портфелем тоже должен снизить

свои тарифы, а это резко снизит его надежность, и, скорее всего, он

разорится (в этом примере мы не рассматриваем другие пути повышения

надежности). Этот пример показывает, почему крупные компании

выживают, а мелкие разоряются.

Пример 16. Пусть крупная компания (n=10000) стремится

обеспечить вероятность разорения не выше 0.01 (1 раз в 100 лет). Тогда

Ф(t)=0.98; t=2.325; d=2.325⋅30=69.75≈70 относительная надбавка:

70/1000=7% вполне приемлема. Это означает, что такая компания может

обойтись практически без страховых резервов, в то время как ее слабый

конкурент обязан создать солидный резерв из своих средств. Еще одно

преимущество.

Пример 17. Пусть n=10000, np=1000, d=10%np=100, тогда

t=100/30=3.33, что соответствует Ф(t)= 0.999 и вероятности разорения

0.0005 .

Пример 18. По результатам примеров 15-17 очевидно, что для

большой компании целесообразно остановиться на варианте:

вероятность разорения 0.01 и надбавка 7% . При этом она решает задачу

обеспечения достаточной надежности за счет клиента, но ее услуги еще

и дешевле средних на страховом рынке. Это идеальный вариант для

компании.

Малая компания (примеры 12-14) не имеет ни одного приемлемого

варианта, ей для повышения надежности необходимо увеличить

начальный капитал и прибегнуть к перестрахованию. Но у малой

компании и своих средств мало.

Сравнить устойчивость компаний можно и по отклонению

(точнее, превышению) фактического числа страховых случаев m от

ожидаемого n⋅p на каждые 100 договоров (при одинаковой надежности).

Например, вероятность разорения 0.01 . Тогда для малой компании

получили надбавку 23% , поэтому на каждые 100 договоров у этой

компании с вероятностью 0.99 число страховых случаев не превысит :

n⋅p⋅ (1 + Θ1) = 100⋅0.1⋅ (1+0.23) = 12.3,

а для большой компании правая граница доверительного интервала при

надбавке в 7% будет равна: 10⋅1.07=10.7 , то есть в среднем на полтора

случая меньше.

Таким образом, если на страховом рынке в данной подотрасли

средняя надбавка составляет 10%, то малая компания не в состоянии

выдержать конкуренции, а большая, имея солидный запас прочности

(7%), держится на плаву, не прилагая для этого никаких усилий (только

потому, что она - большая!). Она даже может снизить свой тариф (по

сравнению со средним), например, продавать свои полисы (условно) по

107 единиц, по сравнению с ценой 110 (в среднем) и с ценой 123 у малой

компанией. И тем самым вытеснить конкурентов с рынка. Ничем при

этом не рискуя.

Таким образом, проиллюстрировано преимущество крупных

компаний.

МО

СКО

n p

Рис 2.1

√

Вывод. Если актуарные расчеты показали, что компания не в

состоянии обеспечить достаточно высокую надежность за счет рисковой

надбавки, то она обязана повысить надежность путем создания

достаточных начальных резервов и (или) перераспределить риск путем

перестрахования.

А потенциальному страхователю следует обратиться в крупную

компанию, имеющую большой однородный портфель аналогичных

договоров. Здесь ему предложат более выгодные условия (тариф ниже

при более высокой надежности).

Отметим: рисковая премия + рисковая надбавка = нетто-премия.

Если нагрузка на ведение дела составляет фиксированный процент f от

тарифа, можно найти брутто-премию, разделив нетто-премию на (1-f).

2.7. Нетто - премия

Итак, показано, что нетто - премия, обеспечивающая

безубыточность страхования, должна быть выше рисковой премии,

рассчитанной на основе принципа эквивалентности обязательств сторон.

Разность между ними называется рисковой надбавкой, а отношение этой

разности к рисковой премии – относительной рисковой надбавкой.

Рассмотрим процедуру формирования нетто-премии в договорах с

распределенным ущербом.

Пример 19. Индивидуальный иск принимает 3 значения: 0 , 1 , 4

е.с.с. с вероятностями: 0.9965 , 0.0030 , 0.0005 соответственно. Найти

нетто – премию.

Решение. Среднее значение и дисперсия индивидуального иска

равны:

M(X) = 0⋅0.9965 + 1⋅0.0030 + 4⋅0.0005 = 0.0050

D(X) = 1

⋅ 0.0030 + 4

⋅ 0.0005 + 0 – 0.005

≅ 0.011

S(X) ≅ 0.105

Тогда при условии обеспечения 95% надежности (вероятности

выживания) с использованием нормальной аппроксимации получим:

t(0.95) = 1.645, и используя рисковую премию: П0 = M(X) = 0.005, и

учитывая число договоров N = 10000, найдем нетто-премию:

П = П0 + t⋅S(X)/(

N ) = 0.005 + 1.645⋅0.105/100 = 0.0067.

Тогда относительная надбавка равна:

(0.0067 – 0.005) / 0.005 = 34% .

Итак: рисковая премия = 0.0050, рисковая надбавка = 0.0017,

нетто-премия = 0.0067, брутто-премия (при f = 12%) составит:

0.0067/0.88 = 0.76.

2.8. Переход от единовременной рисковой премии к

периодической

Проиллюстрируем на числовом примере основные положения

принципа эквивалентности взаимных обязательств страховщика и

страхователя. Сравним единовременную премию с рассроченной.

Ограничимся рассмотрением рисковых премий.

Пример 20. Пусть заключается договор на один год о страховании

от пожара. Пусть вероятность пожара в течение года оценена как 0.04, а

страховая сумма составляет 25 000 условных единиц.

Решение. Для единовременной рисковой премии учтем, что в

среднем страховщик должен выплатить эту сумму с p=0.04 или 0 с

вероятностью q=0.96 . Следовательно, средняя выплата составит 1000

у.е. Это и есть современная цена риска страховщика. Поэтому

единовременная рисковая премия (обеспечивающая эквивалентность

рисков сторон) равна П=S⋅p=1000.

Если клиент согласен внести эту сумму немедленно, то актуарные

расчеты закончены, можно заключать договор. Но часто клиент

предпочитает оплачивать страховку поэтапно (в рассрочку,

периодически), например, в начале каждого квартала. Тогда необходимо

найти квартальную нетто-премию “п”.

В простейшем варианте фиксируется номинальный размер этой

премии и рассматривается поток из четырех платежей, (в начале

каждого квартала), эквивалентный (при известной процентной ставке i)

найденной ранее единовременной премии. Считаем, что выплачиваемая

страховая сумма не меняется во времени из-за изменения цены денег (но

возможен и договор с учетом указанного фактора).

При изучении курса «Основы финансовой математики» /30/ в

разделе «Рента» данная задача подробно анализируется для

детерминированного процесса. В банковском деле предполагаются

детерминированными потоки поступлений и выплат (по срокам и

величине) поскольку отклонения караются штрафами. В страховом

бизнесе ситуация несколько иная. Если страховщик не получил

единовременного взноса, то у него нет полной уверенности в том, что

он получит всю оговоренную сумму взносов.

Если страховой случай наступил ранее очередного взноса, то

клиент освобождается от всех дальнейших взносов, а компания должна

выполнить свои обязательства в полном объеме. Возникает элемент

случайности, что приводит к модификации используемого аппарата

ренты. Поэтому во избежание разорения страховщик должен учесть

возможность такого варианта.

Пример 21. В рассматриваемом примере стороны договорились

исходить из условия, что i=20% в год с ежеквартальным начислением

процентов. Это означает 5% квартальную ставку. Если предположить

независимость вероятности возникновения пожара от времени года, то

вероятность пожара в течении года в 0.04 означает для каждого квартала

вероятность 0.01 (пренебрегая различием числа дней в кварталах).

Решение. Из условия следует, что только первый взнос компания

получит с вероятностью 1 (без первого взноса нет ответственности). До

второго взноса пройдет один квартал, за который случай произойдет с

вероятностью 0.01 и не произойдет (тогда компания получит и второй

взнос) с вероятностью 0.99 . Рассуждая аналогично, обнаружим, что

вероятность получения компанией каждого следующего взноса

уменьшается на 0.01 .

Кроме того, современная цена каждого следующего взноса

уменьшается в (1+i)=1/v раз. Это позволяет составить уравнение:

1000 = п + п⋅0.99/1.05 + п⋅0.98/1.05

+ п⋅0.97/1.05

= п⋅3.67

Отсюда: п = 272.5 , а не 250. Номинальный суммарный взнос

1090.

Отметим, что без учета вероятностей поступления каждого

очередного взноса уравнение имело бы вид:

1000 = п⋅ (1 + v + v

+ v

) = п⋅ (1 - v

)/(1 - v) = п⋅3.723

тогда п = 268.6 , несколько меньше, а номинально собранные взносы

1074.4.

Относительная погрешность: (1090 -1074.4)/1074.4 = 0.0145 или

1.5% . Компания идет к разорению.

Отметим, что и современная цена номинально внесенных 1090 у.е.

составляет не 1000, а 272.5⋅ (1-v

)/(1-v) = 272.5⋅3.723 = 1014.6 , т.е. может

показаться, что компания пытается взять с клиента лишние 1.5%, но это

не так. Имеет место «самострахование компании» от риска

недополучения взносов, обеспечивающих эквивалентность обязательств.

Таким образом, если современная цена обязательств учитывает только

изменение цены денег, то актуарная цена учитывает еще и вероятность

недополучения части взносов.

В рассмотренном примере мы сначала нашли единовременную

премию, а затем, на ее основе определили рассроченную премию. Но в

принципе можно обойтись без единовременной премии. Универсальный

алгоритм, применяемый во всех следующих вариантах, мог быть

использован и в уже рассмотренном. Он состоит в составлении

уравнения: «МО взносов = МО возмещений». Взносы дисконтируются

всегда, и всегда учитывается возможность недополучения последних

взносов. При определении размера возмещения возможны различные

варианты, предусмотренные в договоре.

Продолжим анализ равномерного распределения вероятности

возникновения страхового случая (для простоты изложения) и

рассмотрим некоторые модификации договора и актуарное обоснование

этих изменений.

Пример 22. В договоре предусмотрено, что если страховой случай

произошел, и к этому моменту клиент внес не все периодические

премии, то страховщик удерживает из выплачиваемой суммы все

невнесенные премии. Это означает, что страховщик гарантирует себе

получение всех премий. Естественно, такое условие должно отразиться

на величине периодических страховых взносов, точнее, привести к их

снижению.

Решение. Итак, страховая сумма S=25000, P(год)=0.04,

P(кварт)=0.01, Q(год)=1-P(год)=0.96. Страховой случай может не

произойти вообще или произойти в любом из 4-х кварталов с равной

вероятностью. Составим вспомогательную таблицу, на основе которой

будем составлять уравнения, отражающие эквивалентность обязательств

сторон в различных модификациях договора.

В имущественном страховании возмещение не всегда

дисконтируется, поэтому в данном примере мы не учитываем последний

столбец, он будет использован в следующем примере. Составляем

балансовое уравнение (сумма всех дисконтированных взносов равна

сумме всех номинальных возмещений):

Выплачено возмещений Квар-

тал

Вероят

ности

Получено взносов

Недополученные

взносы не

удерживаются

Недополученные

взносы удерживаются

ном дисконтир номинал дисконт номинал дисконтир

1 0.01 п П S S

S-3

⋅п S-3⋅п

2 0.01

⋅п п+п⋅v

S Sv

S-2⋅п (S-2⋅п)⋅v

3 0.01

⋅п п+п⋅v+п⋅v

S Sv

S-п

(S-п)

⋅v

4 0.01

⋅п

п(1+v+v

) S Sv

⋅v

0 0.96

⋅п

п(1+v+v

) 0 0 0 0

Итак, премии дисконтируются (как всегда!), выплаты не

дисконтируются, невнесенные премии удерживаются при выплате

возмещения. Тогда:

(п-(S-3п))⋅0.01+((п+п⋅v)-(S-2п))⋅0.01+((п+пv+пv

)-(S-п))⋅0.01+

+(п(1+v+v

)-S) ⋅ 0.01 + (п(1+v+v

)-0) ⋅ 0.96 = 0;

0.01 ⋅ ((4п-S) + (3п+пv-S) + (2п+пv+пv

-S) + (п(1+v+v

)-S))+

+ 0.96⋅п⋅ (1+v+v

) = 0;

0.01⋅ (10п+3пv+2пv

+пv

-4S) + 0.96⋅п⋅ (1+v+v

) = 0;

п((0.1+0.96) +v(0.03+0.96) + v

(0.02+0.96) +v

(0.01+0.96))=

=0.04⋅S;

п(1.06 + 0.99/1.05 + 0.98/1.05

+0.97/1.05

) = 0.04⋅25000 = 1000

п⋅3.73 = 1000 п = 1000/3.73 = 268.1,

что несколько отличается от ранее полученного значения 268.6. При

всей незначительности этого различия следует признать, что это -

следствие применения другой методики расчета премии.

Пример 23. Разумеется, может возникнуть вопрос о

правомерности различного подхода к взносам (которые

дисконтируются) и возмещениям (которые в большинстве случаев на

практике не дисконтируются). В принципе, не запрещается учитывать в

договорах и изменение цены возмещения. Например, в страховании

жизни возмещение всегда дисконтируется. Рассмотрим это на примере.

Решение. Для этого используем последний столбец составленной

выше таблицы. Соответственно изменится балансовое уравнение:

((п-(S-3п)) + ((п+пv)-(S-2п)v) + (п(1+v+v

)-(S-п)v

) +

+ (п(1+v+v

)-Sv

)) ⋅0.01 + (п(1+...+v

)-0) ⋅0.96 = 0;

0.01⋅((4п-S)+(п+3пv-Sv)+(п+пv+2пv

-Sv

)+(п+пv+пv

+пv

-Sv

))

+п(1+...+v

) ⋅0.96 = 0;

0.01(7п+5пv+3пv

+пv

-S(1+...+v

)) + 0.96п(1+...+v

) = 0;

п((0.96+0.07) +v(0.05+0.96) + v

(0.03+0.96) + v

(0.01+0.96)) -

0.01S(1+...+v

) = 0;

п(1.03 +1.01/1.05 + 0.99/1.05

+ 0.97/1.05

) =

= 0.01S(1 + 1/1.05 + 1/1.05

+ 1/1.05

);

п(1.03 + 0.96 + 0.90 + 0.84) = 0.01⋅S⋅ (1 + 0.95 + 0.91 +0.86);

п = 0.01⋅S⋅ (3.72/3.73) ≅ 0.01⋅S = 0.01⋅25000 = 250.

Неточность объясняется накоплением вычислительных

погрешностей. Результат вполне предсказуем, если цена денег не

меняется, а страховщик обязятельно получает все взносы.

Пример 24. Естественно, результат зависит от закона

распределения вероятности возникновения страхового случая во

времени. Если в этом примере время до наступления случая

распределено по экспоненциальному закону, то вероятность

наступления случая в каждом квартале не одинакова (они только в

сумме дают 0.04). И это отразится на размере премии.

Решение. P

(не будет случая за время t) = e

-λ t

t = 1 (год) , тогда e

-λ

=0.96,

поэтому λ= -ln 0.96 = 0.04082 , λ/4 = 0.010205.

Это позволяет найти вероятности отсутствия случаев по

кварталам:

0.9898 < 0.99, 0.9798 < 0.98, 0.9698 < 0.97, 0.9599 ≅ 0.96.

Полученные вероятности играют роль весовых коэффициентов

для квартальных взносов. Так как они уменьшились, то для сохранения

эквивалентности обязательств размер квартальных премий (по

сравнению с разобранным ранее примером) должен возрасти.

Отметим, что проанализирован договор с фиксированной

выплатой. Но, если ущерб распределен по известному закону, то в

расчетах вместо страховой суммы S (константы) используется условное

математическое ожидание ущерба страховщика (т.е. его выплаты) при

наступлении страхового случая: M(Y|A).

Этот же пример показывает, почему используется именно

современная цена, а не цена в какой-то другой момент времени,

например, через год или месяц. Потребовалось бы дополнительно

оценить вероятность того, данная процедура корректна, то есть к

рассматриваемому моменту времени поток взносов не прервется

(компания получит все взносы). Это не слишком усложнит расчеты при

анализе индивидуального риска, но создаст серьезные трудности при

исследовании коллективного риска (в задачах оценки вероятности

разорения компании и расчета страховых резервов).

2.9. Использование коэффициента рассрочки в страховой

практике

Предположим, что в договоре на 1 год единовременная рисковая

премия равна 100. Пусть относительная рисковая надбавка равна 35%.

Тогда нетто-премия составит 135. Если нагрузка на ведение дела

составляет 10% от тарифа, то брутто-премия равна 150. (В этом примере

не будем интересоваться вопросом: какой процентной ставке и каким

условиям ее начисления соответствует ситуация.)

Если клиент предпочитает платить страховые взносы в рассрочку

(например, в начале каждого квартала), то за счет изменения цены денег

и с учетом риска недополучения всех взносов квартальный взнос в этом

договоре составит 40. Это означает, что номинально клиент заплатит за

страховую защиту 4*40 = 160, а не 150, причем современная цена этого

номинального суммарного взноса составит 152 вместо 150 (из-за риска

недополучения всех взносов).

Если страхователь собирается платить взносы ежемесячно, то

взнос за один месяц равен 14, т.е. за год он заплатит 168 (а не 150 или

даже 160). Причем современная цена этой номинально внесенной суммы

равна 153 (а не 150 или 152). Поскольку риск недополучения всех

взносов увеличился.

Т.е. здесь изложен естественный порядок выполнения актуарных

расчетов. Разумеется, можно построить расчеты и в обратном порядке:

сначала рассчитать взнос за 1 месяц, затем – за 1 квартал, и, наконец, за

1 год. Однако при проведении расчетов этот порядок практикуется

редко.

Но в процессе продажи страхового продукта (когда агент

«агитирует» потенциального клиента заключить договор) переговоры

никогда не начинаются с годового взноса. Психологически (и

тактически) это очень неудобная (для агента) позиция. Если клиент

услышит, что при уплате взносов в рассрочку его номинальные взносы

возрастут, он может решить, что страховщик «собирается наказать

клиента за то, что тот не хочет отдать страховщику всех денег сразу». И

очень трудно будет объяснить ему изменение цены денег, не говоря уже

о риске недополучения всех взносов.

Значительно удобнее (тактически) начать разговор с

ежемесячного взноса. Тогда дело можно представить в виде скидки,

которую компания предоставляет «солидному» клиенту. Страховщик

«стимулирует» благоприятные (для себя) действия клиента.

Если агент показывает будущему клиенту номинальные взносы за

год при различной периодичности взносов, клиент, как правило,

«попадается на крючок». Интересный эффект возникает при разговоре с

«грамотным» клиентом. Он имеет представление об изменении цены

денег и о банковской процентной ставке. Поэтому может сравнить два

варианта: если заплатить сразу годовой взнос, и если положить деньги в

банк под процент и из этого вклада оплачивать страховые взносы.

Здесь он с приятным для себя «открытием» убеждается, что

скидка, представляемая ему страховщиком, несколько больше

банковского процента. Т.е. исключается (по мнению клиента) ситуация,

когда страховщик берет деньги клиента и «прокручивает» их (например,

через банк). Естественно, повышается доверие к этому агенту и

страховой компании, которую тот представляет.

Разумеется, фактор риска недополучения всех премий – слишком

тонкий момент для рядового обывателя. Этот нюанс остается «за

занавесом». Более того, даже большинство рядовых страховых агентов

об этом и не подозревает.